湖北省黃岡市黃梅縣育才高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題

高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一：?jiǎn)雾?xiàng)選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正弦函數(shù)二倍角公式即可求解.【詳解】由題意得，故A正確.故選：A.2.設(shè)z=3+2i，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】先求出共軛復(fù)數(shù)再判斷結(jié)果.【詳解】由得則對(duì)應(yīng)點(diǎn)（3，2）位于第三象限．故選C．【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)，為基礎(chǔ)題目．3.的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】誘導(dǎo)公式變形后由兩角差的正弦公式計(jì)算．【詳解】．故選：D．4.在中，已知角、、的對(duì)邊分別為、、，且滿足，則角為（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，即，由余弦定理，又，所?故選：C5.已知，，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，則的坐標(biāo)是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題可得，可得，即求．【詳解】點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，，即,所以．所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.故選：D.6.設(shè)O在的內(nèi)部，D為的中點(diǎn)，且，則的面積與的面積的比值為()A.3 B.4C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算結(jié)合已知可推出，即可判斷是的中點(diǎn)，由此可推出三角形面積之間的關(guān)系，即可得答案.【詳解】為的中點(diǎn)，，由得，是的中點(diǎn)，，故的面積與的面積的比值為4.故選：B7.已知，則的值為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知條件求出，再由二倍角公式直接求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則.所以.故選：D8.在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，若，，則是（）A.鈍角三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】利用正余弦定理可確定邊角關(guān)系，進(jìn)而可判定三角形形狀.【詳解】在中，由正弦定理得，而，∴，即，又∵、為的內(nèi)角，∴，又∵，∴，∴由余弦定理得：，∴，∴為等邊三角形.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分）9.已知向量，，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則與的夾角為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示判斷A，根據(jù)向量平行和數(shù)量積的坐標(biāo)表示判斷B，根據(jù)向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示判斷C，根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)表示判斷D.【詳解】選項(xiàng)A，若，則，解得，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，若，則，解得，則，故B項(xiàng)正確；選項(xiàng)C，若，則，所以，故C項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，，則，，，所以，所以與的夾角不是，故D項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：BC10.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，則（）A. B. C.的面積為 D.的周長(zhǎng)為【答案】ABD【解析】【分析】利用正余弦定理和已知條件，解三角形，驗(yàn)證各個(gè)選項(xiàng).【詳解】由，有，得，選項(xiàng)A正確．因?yàn)?，由正弦定理有，，得，選項(xiàng)B正確．的面積為，選項(xiàng)C錯(cuò)誤．因?yàn)椋捎嘞叶ɡ?，解得，故的周長(zhǎng)為，選項(xiàng)D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.函數(shù)在單調(diào)遞減D.該圖象先向右平移個(gè)單位，再把圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），可得的圖象【答案】ABD【解析】【分析】由圖像可知：，周期，從而利用周期公式可求出的值，再將點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可求出的值，從而可得函數(shù)解析式，然后利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)逐個(gè)分析判斷即可詳解】由圖像可知：，周期，∴；由解得：故函數(shù)對(duì)于A：，故A正確；對(duì)于B：故B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，所以在上不單調(diào)．故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：向右平移個(gè)單位得到，再把橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，可得的圖象，故D正確．故選：ABD三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.______【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量加、減法法則及運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】.

故答案為：13.設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，若，，，且，，三點(diǎn)共線，則_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的加法以及共線向量基本定理，求解即可.【詳解】由題意可得.∵，，三點(diǎn)共線∴，∴∴解得故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查向量的加法以及共線向量基本定理.屬于較易題.14.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，且，若BC邊上的中線長(zhǎng)，則的面積為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)和正弦定理邊化角可求cosA，從而求得A、B、C；在△ADC中，利用余弦定理可求CD，從而可求AC、AB，根據(jù)即可求得答案．【詳解】∵，∴由正弦定理得，∵，∴，∵，∴，∴，．設(shè)，則DC=DB=x，在中，由余弦定理得，解得，∴，∴．故答案為：．四.解答題：（本題共5小題，共77分.）15.若復(fù)數(shù)z＝（m2＋m－6）＋（m2－m－2）i（，i是虛數(shù)單位）．（1）若z是純虛數(shù)，求m的值；（2）z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求m的取值范圍．【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）由純虛數(shù)的定義建立方程，求解即可；（2）由第二象限的點(diǎn)的特征建立不等式組，求解即可.【小問1詳解】解：因?yàn)閦是純虛數(shù)，所以，解得所以m的值為3；【小問2詳解】解：因?yàn)閦在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以，解得，所以m的取值范圍為．16.已知向量與的夾角，且，．（1）求；（2）與的夾角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量數(shù)量積定義及運(yùn)算律求結(jié)果；（2）由向量夾角公式、數(shù)量積的運(yùn)算律求夾角余弦值.【小問1詳解】已知向量與的夾角，且，，則，所以；小問2詳解】由（1）知：，所以，所以與的夾角的余弦值為.17.（1）已知均為銳角，求的值；（2）在正方形中，為的中點(diǎn)，若，求的值.【答案】（1）；（2）12【解析】【分析】（1）利用兩角和的正切公式求出，結(jié)合、的范圍，求出；（2）用，表示，再由平面向量基本定理計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又、為銳角，所以，則，所以；（2）依題意，，又，又，不共線，所以，所以，即.18.已知函數(shù)，最小正周期是.（1）求的解析式；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）求在最值及相應(yīng)的值.【答案】（1）（2）（3）當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為1；當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為【解析】【分析】（1）首先根據(jù)二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù),利用周期公式求出，得函數(shù)解析式；（2）解不等式,可得單調(diào)增區(qū)間；（3）由,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得在上的最大值和最小值，及對(duì)應(yīng)的自變量取值.【小問1詳解】由已知得，因?yàn)榈淖钚≌芷谑?，所以，所以；【小?詳解】令，因?yàn)榈膯握{(diào)遞增區(qū)間是，則由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是；【小問3詳解】由（2）可知在單調(diào)遞增，則在單調(diào)遞減，又因，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為1，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.19.已知三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，向量，，且.（1）求角；（2）若，求的面積的最大值；（3）若，求的周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到，再由正弦定理將邊化角，即可得解；（2）由余弦定理及基本不等式求出的最大值，再由面積公式計(jì)算可得；（3）結(jié)合（2）的結(jié)