職教高考數(shù)列的概念講練結(jié)合

中職數(shù)學(xué)數(shù)列的概念[知識(shí)整合]基礎(chǔ)知識(shí)1．?dāng)?shù)列的概念按照一定次序排列的一列數(shù)，叫作數(shù)列．在數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫作這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，各項(xiàng)依次叫這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)(或首項(xiàng))，第二項(xiàng)，…，第n項(xiàng)，數(shù)列的一般形式寫成：a1，a2，a3，…，an，…，簡記為{an}．注意：①同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)；②數(shù)列中的數(shù)按一定次序排列，兩個(gè)數(shù)列數(shù)的排列順序不同不是相同數(shù)列；③數(shù)列中的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)是不同的．2．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式用項(xiàng)數(shù)n來表示該數(shù)列相應(yīng)項(xiàng)的公式，叫作數(shù)列的通項(xiàng)公式．由此可知，數(shù)列的通項(xiàng)公式是以正整數(shù)集的子集為其定義域的函數(shù)，可記為an＝f(n)(n∈A，A?N*)．注意：數(shù)列的通項(xiàng)公式在形式上不唯一，例如數(shù)列1，－1，1，－1，…，其通項(xiàng)公式可以寫成an＝(－1)n＋1或an＝(－1)n－1，還可寫成an＝cos(n＋1)π.3．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an.數(shù)列通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系：an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(S1（n＝1），,Sn－Sn－1（n≥2，n∈N*）.)))注：在求通項(xiàng)公式形如eq\f(1,n（n＋1）)的數(shù)列的前n項(xiàng)和的時(shí)候，可把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差：eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和．4．?dāng)?shù)列的遞推公式用含有數(shù)列前面若干項(xiàng)的表達(dá)式來表示后面的某一項(xiàng)的公式，稱為數(shù)列的遞推公式，如an＋1＝2an＋1.已知首項(xiàng)和遞推公式，實(shí)際上也確定了數(shù)列．5．?dāng)?shù)列的分類按項(xiàng)數(shù)分：有窮數(shù)列(項(xiàng)數(shù)有限)、無窮數(shù)列(項(xiàng)數(shù)無限)．按項(xiàng)與項(xiàng)的大小分：遞增數(shù)列(an<an＋1)、遞減數(shù)列(an>an＋1)、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列．常數(shù)列：數(shù)列的所有項(xiàng)都是同一個(gè)常數(shù)．基礎(chǔ)訓(xùn)練1．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝3n－1，則a7＝()A．20B．21C．23D．242．已知數(shù)列{an}的前4項(xiàng)分別為：4，7，10，13，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝()A．2nB．2n＋1C．3nD．3n＋13．已知數(shù)列eq\r(2)，eq\r(5)，2eq\r(2)，eq\r(11)，…，eq\r(3n－1)，則4eq\r(2)是這個(gè)數(shù)列的()A．第10項(xiàng)B．第11項(xiàng)C．第12項(xiàng)D．第13項(xiàng)4．若數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝n(n＋1)，則72是這個(gè)數(shù)列的()A．第8項(xiàng)B．第9項(xiàng)C．第10項(xiàng)D．第11項(xiàng)5．觀察下列數(shù)列，填空．(1)0，1，4，9，()，…；(2)－1，－1，－1，()，…；(3)0，3，0，3，()，…；(4)2，4，()，16，….[重難點(diǎn)突破]考點(diǎn)1數(shù)列的通項(xiàng)公式例1已知一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是an＝n(n－1)，那么前4項(xiàng)分別是____________．【解析】把n＝1，2，3，4代入通項(xiàng)得0，2，6，12.【變式訓(xùn)練】數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋1))，則380在這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)為()A．20B．19C．18D．21例2在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(1,an－1)＋1，則a3等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,2)C．1D．2【解析】a2＝eq\f(1,a1)＋1＝1＋1＝2，a3＝eq\f(1,a2)＋1＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2)，故選B.【變式訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1＋an，求a4.例3根據(jù)下面數(shù)列前4項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．(1)9，99，999，9999…；(2)1，11，111，1111，…；(3)1，－1，1，－1，…；(4)1，－2，3，－4，…；(5)－eq\f(1,1·2)，eq\f(1,2·3)，－eq\f(1,3·4)，eq\f(1,4·5)，….【解】(1)由觀察可得：an＝10n－1；(2)聯(lián)想到數(shù)列9，99，999，…的通項(xiàng)公式，an＝10n－1，所以1，11，111，1111，…的通項(xiàng)公式an＝eq\f(1,9)(10n－1)；(3)是擺動(dòng)數(shù)列，an＝(－1)n＋1或an＝(－1)n－1；(4)觀察得第n項(xiàng)絕對值為n，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，奇數(shù)項(xiàng)為正，所以用(－1)n＋1來調(diào)整，即an＝(－1)n＋1n或an＝(－1)n－1n；(5)數(shù)列是分式項(xiàng)，分別觀察其分子分母不難發(fā)現(xiàn)an＝eq\f(（－1）n,n（n＋1）).反思提煉：在觀察數(shù)列前幾項(xiàng)的值寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，一般會(huì)綜合考查我們之前學(xué)過的基礎(chǔ)知識(shí)，如偶數(shù)項(xiàng)為正，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)等等．【變式訓(xùn)練】根據(jù)下面數(shù)列前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．(1)－1，1，－1，1…；(2)eq\f(2,1)，eq\f(3,2)，eq\f(4,3)，eq\f(5,4)，….考點(diǎn)2數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系例4已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋n－2，求它的通項(xiàng)公式．【解】當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝12＋1－2＝0；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－2)－[(n－1)2＋(n－1)－]2＝2n.而將n＝1代入得a1＝2×1＝2≠0，∴an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(0（n＝1）,2n（n≥2）.)))反思提煉：用數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系式求解通項(xiàng)公式an時(shí)，特別要注意首項(xiàng)是否適合從第二項(xiàng)起才成立的關(guān)系式an＝Sn－Sn－1，若不適合，則應(yīng)分段表示an.【變式訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2＋n＋2，求它的通項(xiàng)公式．[課堂訓(xùn)練]1．設(shè)數(shù)列eq\r(2)，eq\r(5)，2eq\r(2)，eq\r(11)，…，則2eq\r(5)是這個(gè)數(shù)列的()A．第6項(xiàng)B．第7項(xiàng)C．第8項(xiàng)D．第9項(xiàng)2．已知數(shù)列{an}滿足an＝eq\f(2n＋3,2n2)，則a5＝()A.eq\f(50,13)B.eq\f(51,11)C.eq\f(11,51)D.eq\f(13,50)3．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝3n＋1，則它的第3項(xiàng)為()A．12B．27C．28D．2434．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(n,2n＋1)，則a5＝()A.eq\f(1,42)B.eq\f(1,99)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,6)5．已知數(shù)列an＝n(n＋1)，則S5＝()A．40B．70C．112D．306．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(（－1）n＋1,n)，則a5＝____________，a8＝____________．7．?dāng)?shù)列an＝n2的第________項(xiàng)是121.8．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝eq\f(1,n（n＋1）)，則S6＝____________．9．根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)的規(guī)律寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．(1)eq\f(3,2)，eq\f(6,3)，eq\f(9,4)，eq\f(12,5)，…；(2)－eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，eq\f(1,16)，…；(3)1，0，1，0，….10．已知a1＝2，an＋1＝2an＋3，求a4.中職數(shù)學(xué)數(shù)列的概念答案知識(shí)整合基礎(chǔ)訓(xùn)練1．A【解析】由題意，令n＝7，即a7＝3×7－1＝20.2．D【解析】4＝3×1＋1，7＝3×2＋1，10＝3×3＋1，13＝3×4＋1.∴an＝3n＋1.3．B【解析】令eq\r(3n－1)＝4eq\r(2)，平方得3n－1＝32，所以n＝11，4eq\r(2)是數(shù)列的第11項(xiàng)，故選B.4．A【解析】設(shè)72是這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)，則n(n＋1)＝72，解得n＝8或n＝－9(舍去)，∴n＝8，即72是這個(gè)數(shù)列的第8項(xiàng)，故選A.5．(1)16；(2)－1；(3)0；(4)8【解析】通過觀察相鄰間數(shù)的關(guān)系可得．重難點(diǎn)突破【例1】【變式訓(xùn)練】B【解析】顯然，將B選項(xiàng)代入符合題意．【例2】【變式訓(xùn)練】【解】顯然a3＝a2＋a1＝9，a4＝a3＋a2＝15，即a4＝15.【例3】【變式訓(xùn)練】【解】(1)觀察數(shù)列可知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為－1，偶數(shù)項(xiàng)為1，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝(－1)n.(2)觀察數(shù)列可知分子依次為2，3，4，5，…，后一項(xiàng)比前一項(xiàng)多1，第一項(xiàng)為2，所以分子通項(xiàng)公式為n＋1，分母依次為1，2，3，4，…，后一項(xiàng)比前一項(xiàng)多1，第一項(xiàng)為1，所以分母通項(xiàng)公式為n，故數(shù)列通項(xiàng)公式為an＝eq\f(n＋1,n).【例4】【變式訓(xùn)練】【解】當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝5；n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n＋2－2(n－1)2－(n－1)－2＝4n－1，所以an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(5，n＝1,4n－1，n≥2))).課堂訓(xùn)練1．B【解析】該數(shù)列可以看成eq\r(2)，eq\r(5)，eq\r(8)，eq\r(11)，…，eq\r(20)，觀察各項(xiàng)間被開方數(shù)間關(guān)系可得，被開方數(shù)滿足an＝3n－1，將20代入得n＝7，∴eq\r(20)為數(shù)列的第7項(xiàng)，故答案選B.2．D【解析】直接代入即可．3．C【解析】a3＝33＋1＝28.4．B【解析】S5＝eq\f(5,10＋1)＝eq\f(5,11)，S4＝eq\f(4,8＋1)＝eq\f(4,9)，a5＝S5－S4＝eq\f(5,11)－eq\f(4,9)＝eq\f(1,99).5．B【解析】S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋5×6＝70.6.eq\f(1,5)，－eq\f(1,8)【解析】令n＝5，則a5＝eq\f(（－1）5＋1,5)＝eq\f(1,5)，令n＝8，則a8＝eq\f(（－1）8＋1,8)＝－eq\f(1,8).7．11【解析】由n2＝121解得n＝11.8.eq\f(6,7)【解析】∵an