職教高考數(shù)學(xué)余弦定理講練結(jié)合

中職數(shù)學(xué)余弦定理[知識(shí)整合]基礎(chǔ)知識(shí)余弦定理：三角形任意一邊長(zhǎng)的平方等于其它兩邊長(zhǎng)的平方和減去這兩邊長(zhǎng)與它們的夾角的余弦乘積的2倍，即：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC.還可以變形為：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).基礎(chǔ)訓(xùn)練1．在△ABC中，已知a＝eq\r(3)，b＝eq\r(3)，c＝3，則C＝()A．120°B．60°C．45°D．30°2．在△ABC中，若a＝1，b＝2，cosC＝eq\f(1,4)，則c＝____________．3．在△ABC中，a＝5，b＝6，c＝9，則△ABC為____________三角形．4．在△ABC中，a2＋b2－c2＋ab＝0，則C＝____________．5．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a＝2，cosC＝－eq\f(1,4)，3sinA＝2sinB，則c＝____________．[重難點(diǎn)突破]考點(diǎn)1余弦定理在三角形中的運(yùn)用例1在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c.已知a＝3，c＝1，cosB＝eq\f(1,3)，則b＝________．【解析】由余弦定理可得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,3)，將a＝3，c＝1代入可得b＝2eq\r(2).【變式訓(xùn)練】在△ABC中，a＝2，b＝2eq\r(2)，c＝2，求cosC的值．例2在△ABC中，a＝5，b＝3，c＝7，則△ABC為()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不能確定三角形ABC的形狀【解析】因?yàn)槿切沃写筮厡?duì)大角，因此c邊所對(duì)的角C最大．由余弦定理，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(25＋9－49,2×5×3)＝－eq\f(1,2)＜0，∴C為鈍角(C＝120°)．∴三角形為鈍角三角形．故選C.反思提煉：此類題目，只要判斷最大角是銳角、直角或鈍角，即可確定三角形的形狀．本題由求cosC的過程可知，只要判斷a2＋b2－c2的符號(hào)，就可確定△ABC的形狀．當(dāng)a2＋b2－c2＞0時(shí)，C為銳角，因而△ABC為銳角三角形；當(dāng)a2＋b2－c2＝0時(shí)，角C為直角，因而△ABC為直角三角形；當(dāng)a2＋b2－c2＜0時(shí)，角C為鈍角，因而△ABC為鈍角三角形．【變式訓(xùn)練】在△ABC中，已知三角形三邊之比為eq\r(3)∶3∶2eq\r(3)，求三角形中的最小角．例3在△ABC中，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且A＋B＝eq\f(π,3).(1)求sinAcosB＋cosAsinB的值；(2)若a＝1，b＝2，求c的值．【解】(1)sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2).(2)由于A＋B＝eq\f(π,3)，所以C＝π－eq\f(π,3)＝eq\f(2π,3).根據(jù)余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2×1×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))＝5＋2＝7，所以c＝±eq\r(7)，根據(jù)題意舍去負(fù)值，故c＝eq\r(7).【變式訓(xùn)練】在△ABC中，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且a＝2，b＝3，cosB＝eq\f(1,3).(1)求邊c的值；(2)求cos(A＋C)的值．例4在△ABC中，若a、b、c成等比數(shù)列，且a2－c2＝ac－bc，求A.【解】∵a、b、c成等比數(shù)列．∴b2＝ac.又∵a2－c2＝ac－bc，∴a2－c2＝b2－bc.即b2＋c2－a2＝bc，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2).∴A＝60°.【變式訓(xùn)練】在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且(a＋c)(a－c)＝b2＋eq\r(2)bc，則角A＝________．考點(diǎn)2余弦定理的實(shí)際應(yīng)用例5如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待獲救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，命乙船到達(dá)B處實(shí)施營(yíng)救工作．(1)求B、C兩處間的距離．(2)如果乙船的速度是15eq\r(7)海里/小時(shí)，試問經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間乙船能到達(dá)營(yíng)救處？【解】(1)由題意得AC＝20海里，AB＝40海里，A＝120°.由余弦定理BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cosA＝202＋402－2×20×40×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))＝2800.故BC＝20eq\r(7)海里．(2)由題意得乙船的速度V＝15eq\r(7)海里/小時(shí)，BC的距離S＝20eq\r(7)海里．∴時(shí)間t＝eq\f(S,V)＝eq\f(20\r(7),15\r(7))＝eq\f(4,3)(小時(shí))＝80(分鐘)答：BC之間的距離為20eq\r(7)海里；經(jīng)過80分鐘乙船能到達(dá)營(yíng)救處．反思提煉：余弦定理適合的是已知兩邊及其夾角的三角形，或者是已知三邊的三角形，在解題時(shí)要理解好已知條件的關(guān)系．【變式訓(xùn)練】海軍某快艇在A處測(cè)得一走私艇在北偏東45°，距離為10海里的B處．正沿著東偏南15°的方向以每小時(shí)9海里的速度逃跑，該快艇立即以每小時(shí)21海里的速度沿直線前去追捕，快艇需用多久才能追上走私艇？[課堂訓(xùn)練]1．在△ABC中，已知a＝1，b＝1，c＝eq\r(3)，則C＝()A．120°B．30°C．45°D．60°2．在△ABC中，如果a2－b2＝c(b＋c)，則A＝()A．60°B．30°C．120°D．150°3．三邊邊長(zhǎng)分別為eq\r(3)、eq\r(5)、eq\r(7)的三角形是()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形4．在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，BC＝1，則AC＝()A.eq\r(3)B．2C．3D．3eq\r(3)5．在△ABC中，已知b2＋c2－a2＝eq\r(3)bc，則A＝____________．6．在△ABC中，如果b＝6，c＝7，A＝60°，則cosB＝____________．7．在△ABC中，已知a＝8，b＝5，c＝7，求cos(A－B)．8．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，cosC＝－eq\f(1,4).(1)求△ABC的周長(zhǎng)；(2)sin(A＋C)的值．9．有兩艘船同時(shí)從一個(gè)港口出發(fā)，甲船以每小時(shí)24海里的速度向北偏東60°方向航行，乙船以每小時(shí)20海里的速度向南偏西30°方向航行，求2小時(shí)后，兩船相距多少海里？中職數(shù)學(xué)余弦定理知識(shí)整合基礎(chǔ)訓(xùn)練1．A【解析】在△ABC中，由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(3＋3－9,2×\r(3)×\r(3))＝－eq\f(1,2)，∴C＝120°，故答案選A.2．2【解析】根據(jù)余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝12＋22－2×1×2×eq\f(1,4)＝4，解得c＝2.3．鈍角【解析】cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(25＋36－81,2×5×6)＝－eq\f(20,60)＝－eq\f(1,3)，∴C為鈍角，△ABC為鈍角三角形．4．120°【解析】∵c2＝a2＋b2＋ab，∴－2cosC＝1，∴cosC＝－eq\f(1,2)，又C∈(0，π)，∴C＝120°.5．4【解析】在△ABC中，因?yàn)?sinA＝2sinB，由正弦定理可知3a＝2b，a＝2，所以b＝3.由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋9－2×2×3×(－eq\f(1,4))＝16.所以c＝4.重難點(diǎn)突破【例1】【變式訓(xùn)練】cosC＝eq\f(\r(2),2)【例2】【變式訓(xùn)練】【解】若a∶b∶c＝eq\r(3)∶3∶2eq\r(3)，設(shè)a＝eq\r(3)t，b＝3t，c＝2eq\r(3)t，則最小邊是a，故最小角是A，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(9t2＋12t2－3t2,2×3t×2\r(3)t)＝eq\f(\r(3),2)，A＝30°.【例3】【變式訓(xùn)練】【解】(1)在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得，3c2－4c－15＝0，∵c>0，∴c＝3.(2)在△ABC中，cos(A＋C)＝cos(π－B)＝－cosB＝－eq\f(1,3).【例4】【變式訓(xùn)練】135°【解析】∵(a＋c)(a－c)＝b2＋eq\r(2)bc，即a2＝b2＋c2＋eq\r(2)bc，即eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(\r(2),2)，∵0°<A<180°，∴A＝135°.【例5】【變式訓(xùn)練】【解】如圖所示，設(shè)快艇x小時(shí)后才能追上走私艇．在三角形ABC中，∠ABC＝180°－45°－15°＝120°，由余弦定理得(21x)2＝102＋(9x)2－2·10·9x·cos120°，整理得36x2－9x－10＝0得x＝eq\f(2,3)或x＝－eq\f(5,12)(舍去)，eq\f(2,3)×60＝40(分鐘)，即快艇需用40分鐘才能追上走私艇．課堂訓(xùn)練1．A【解析】cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1＋1－3,2)＝－eq\f(1,2)，∴C＝120°.2．C【解析】∵a2－b2＝bc＋c2，∴b2＋c2－a2＝－bc∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(－bc,2bc)＝－eq\f(1,2)，∴A＝120°.3．A4．A【解析】AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝4＋1－2×2×1×cos60°＝3，AC＝eq\r(3).5．30°【解析】由余弦定理可得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\r(3),2)，∴A＝30°.6.eq\f(4\r(43),43)【解析】a2＝b2＋c2－2bccosA＝36＋49－2×6×7×eq\f(1,2)＝43，∴cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(4\r(43),43).7．【解】∵a＝8，b＝5，c＝7，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,7)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(11,14)，∵0<B<A<π，∴sinA＝eq\f(4\r(3),7)，sinB＝eq\f(5\r(3),14)，∴cos(A－B)＝cosAcosB＋sinAsinB＝eq\f(1,7)×eq\f(11,14)＋eq\f(4\r(3),7)×eq\f(5\r(3),14)＝eq\f(71,98).8．【解】(1)c2＝a2＋b2－2abcosC＝12＋22－2×1×2×(－eq\f(1,4))＝6，∴c＝eq\r(6)，∴C△ABC＝1＋2＋eq\r(6)＝3＋eq\r(6).(2)∵cosC＝－eq\f(1,4)，0°<C<180°，∴sinC＝eq\f(\r(15),4)，∵eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)，∴eq\f(\r(6),\f(\r(15),4))＝eq\f(2,sinB)，∴sinB＝eq\f(\r(10),4).∵A＋B＋C＝1