湖南省長沙市望城區(qū)第一中學高三一模數(shù)學試題（原卷版）

2025屆高三一模數(shù)學注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上一、單選題1.如圖，在中，點是線段上靠近點的三等分點，過點的直線分別交直線、于點、.設(shè)，，則的值為（）A. B. C. D.2.設(shè)表示不大于的最大整數(shù)，如，，若正數(shù)a滿足，則（）A.10 B.11 C.12 D.133.設(shè)集合，則集合與集合的關(guān)系是（）A. B.C. D.4.已知數(shù)列滿足，則下列說法正確的是（）A.若，則所有項恒大于等于 B.若，則是單調(diào)遞增數(shù)列C.若是常數(shù)列，則 D.若，則是單調(diào)遞增數(shù)列5.已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個面積為的半圓，則該圓錐的高為（）A. B. C. D.6.如圖，在一個有蓋的圓錐容器內(nèi)放入兩個球體，已知該圓錐容器的底面圓直徑和母線長都是，則（）A.這兩個球體的半徑之和的最大值為B.這兩個球體半徑之和的最大值為C.這兩個球體的表面積之和的最大值為D.這兩個球體的表面積之和的最大值為7.如圖，某簡單組合體由圓柱與一個半球黏合而成，已知圓柱底面半徑為2，高為4，A是圓柱下底面圓周上的一個定點，P是半球面上的一個動點，且，則點P的軌跡的長度為（）A. B. C. D.8.已知集合，則（）A B. C. D.二、多選題9.英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，，某數(shù)學興趣小組在研究該公式時，提出了如下猜想，其中正確的有（）A. B.（精確到小數(shù)點后兩位）C. D.當時，10.已知函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)，則（）A.“”是“為奇函數(shù)”的充要條件B.“”是“為增函數(shù)”的充要條件C.若不等式的解集為且，則的極小值為D.若是方程的兩個不同的根，且，則或11.已知點在線段上，是的角平分線，為上一點，且滿足，設(shè)，下列說法正確的是（）A.點的軌跡是雙曲線B.是三角形的內(nèi)心C.D.在上的投影向量為12.過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，若，則下列說法正確的是（）A.為定值B.拋物線的準線方程為C.過兩點作拋物線的切線，兩切線交于點，則點在以為直徑的圓上D.若過點且與直線垂直的直線交拋物線于兩點，則三、填空題13.的展開式中的系數(shù)為__________.14.將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則的值為__________.15設(shè)向量．若，則實數(shù)________.16.某高中學校為了響應(yīng)上級的號召，促進學生的全面發(fā)展，決定每天減少一節(jié)學科類課程，增加一節(jié)活動課，為此學校開設(shè)了傳統(tǒng)武術(shù)、舞蹈、書法、小提琴4門選修課程，要求每位同學每學年至多選2門，從高一到高三3個學年將4門選修課程學完，則每位同學的不同選修方式有__________種，若已知某同學高一學年只選修了舞蹈與書法兩門課程，則這位同學高二學年結(jié)束后就修完所有選修課程的概率為__________．四、解答題17.已知雙曲線的漸近線方程為，右頂點為，點在上.（1）求的方程；（2）過點的直線與C相交于F，G兩點，點E與點F關(guān)于軸對稱，問直線EG是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由；（3）將圓心在軸上，且與C的兩支各恰有一個公共點的圓稱為“子圓”，若兩個“子圓”外切于點，圓心距為，求.18.已知，其中，.（1）若與相切，求實數(shù)的值；（2）當時，證明：；（3）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19.對于一組向量、、、…、（且），令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“長向量”．（1）設(shè)，且，若是向量組、、的“長向量”，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，且，向量組、、、…、是否存在“長向量”？給出你的結(jié)論并說明理由；（3）已知、、均是向量組、、的“長向量”，其中，．設(shè)在平面直角坐標系中有一點列、、、…、，滿足為坐標原點，為的位置向量的終點，且與關(guān)于點對稱，與（且）關(guān)于點對稱，求的最小值．20.已知函數(shù)，.（1）當時，求的極值；（2）若函數(shù)有2個不同的零點，.（i）求的取值范圍；（ii）證明：.21已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線方程；（2）若，討論曲線與曲線交點個數(shù)．2