浙江省金華十校2024屆高三4月模擬考試數(shù)學(xué)試卷

浙江省金華十校2024屆高三4月模擬考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

2

1.已知集合人={0,1,2,3},B={x\x-2x<0}t則4nB=()

A.{0}B.{1}

C.{1,2}D.{1,2,3)

3.設(shè)二￡(0,兀)，條件〃:sina=g條件q:cosa=今,則〃是q的(

)

A,充分不要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.設(shè)直線/:x—2)，—/=(),圓c：(x-l)2+(y-2)2=1,則/與圓C()

A.相交B.相切C.相離D.以上都有可能

5.等差數(shù)列｛《,｝的首項(xiàng)為正數(shù)，公差為"，S”為｛q｝的前〃項(xiàng)和，若出=3,且邑，S.+S.,

Ss成等比數(shù)列，則d=()

99

A.1B.2C.-D.2或一

22

6.在△ABC中，inB=—,C=I2O°,6C=2,則△/：€?的面積為()

s7

A.6>/3B.45/3

C.373D.2G

7.金華市選拔2個(gè)管理型教師和4個(gè)教學(xué)型教師去新疆支教，把這6個(gè)老師分配到3個(gè)學(xué)

校，要求每個(gè)學(xué)校安排2名教師，且管理型教師不安排在同一個(gè)學(xué)校，則不同的分配方案有

()

A.72種B.48種C.36種D.24種

8.已知cos(a-尸)=一，sinasin/7=一--,則cos%-sinT=()

312

A1

A,2IcID-i

二、多選題

9.從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在50~350KW.h

之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，記直方圖

中六個(gè)小矩形的面積從左到右依次為罵（i=l,2,L,6）,則（）

A.k的值為0.0044

B.這100戶居民該月用電量的中位數(shù)為175

C.用電量落在區(qū)間［150,350）內(nèi)的戶數(shù)為75

D.這100戶居民該月的平均用電量為次（501+25應(yīng)

r=l

10.已知m>>1,則（）

ahn

A.h>aB.m>fr

C.log聲>log,/D.bg“〃>log“"

11.在矩形A8CD中，AB=2AD,E為線段AB的中點(diǎn)，將△4OE沿直線DE翻折成

△AOE.若M為線段AC的中點(diǎn)，則在△AQE從起始到結(jié)束的翻折過程中，（）

A.存在某位置，使得力

B.存在某位置，使得C￡_LA。

C.MB的長為定值

D.M8與CD所成角￡勺正切值的最小值為g

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

12.已知單位向量4,滿足|4-26|=6，則。與〃的夾角為.

13.已知函數(shù)/(1)=\必；：；,若/(“在點(diǎn)(IJ⑴)處的切線與點(diǎn)(,%,/(%))處的切線互相

垂直，則.％=

22

=1(4>4>0)與雙曲線C?:2-今=13>0也>0)有相同的焦距,

14.設(shè)橢圓G：\+

它們的離心率分別為，，%橢圓G的焦點(diǎn)為「，尸2,c,,G在第一象限的交點(diǎn)為P,若

點(diǎn)。在直線y=x上，且/626二90。，則f+f的值為

%q

四、解答題

15.為鼓勵(lì)消費(fèi)，某商場開展積分獎(jiǎng)勵(lì)活動(dòng)，消費(fèi)滿100元的顧客可拋擲骰子兩次，若兩次

點(diǎn)數(shù)之和等于7,則獲得5個(gè)積分：若點(diǎn)數(shù)之和不等于？，則獲得2個(gè)積分.

(1)記兩次點(diǎn)數(shù)之和等于7為事件A,第一次點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)為事件8,證明：事件A,B是獨(dú)立

事件；

(2)現(xiàn)有3位顧客參與了這個(gè)活動(dòng)，求他們獲得的積分之和X的分布列和期望.

16.設(shè)/(X)=SillVCOSX十?COSt￥,AG0,-J.

(1)若。=1,求/(x)的值域；

⑵若/(X)存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

17.如圖，在三楂柱48小A4G中，△48C是邊長為2的正三角形，側(cè)面84GC是矩形，

AA=A8.

(I)求證：三棱錐A-ABC是正三棱錐;

(2)若三棱柱ABC-44G的體積為2&，求直線AG與平面AA8避所成角的正弦值.

18.設(shè)拋物線U.y2=2〃M〃>0),直線4-1是拋物線C的準(zhǔn)線，且與x軸交于點(diǎn)B,過點(diǎn)

B的宣線/與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M,N,是不在直線/上的一點(diǎn)，直線人加，AN

分別與準(zhǔn)線交于P，Q兩點(diǎn).

(1)求拋物線。的方程；

(2)證明：忸“=忸

⑶記△人MN,△APQ的面積分別為邑，若號(hào)=2星，求直線/的方程.

19.設(shè)〃為素?cái)?shù)，對(duì)任意的非負(fù)整數(shù)〃，記〃=%p°+q/+…+4P*,

%(")=%+4+/+…+%其中q￡{0,1,2,…,p-l}(OqWA),如果非負(fù)整數(shù)〃滿足叫(〃)

能被〃整除，則稱〃對(duì)p“協(xié)調(diào)

(1)分別判斷194,195,196這三個(gè)數(shù)是否對(duì)3“協(xié)調(diào)”，并說明理由;

⑵判斷并證明在P),/人+1,p%+2,…，〃2〃+(〃2-1)這p2個(gè)數(shù)中，有多少個(gè)數(shù)對(duì)"，協(xié)

調(diào)”；

⑶計(jì)算前p2個(gè)對(duì)p“協(xié)調(diào)”的非負(fù)整數(shù)之和.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.B

【分析】根據(jù)一元二次不等式求解8={x|0<x<2},即可由交集求解.

【詳解】fi={x|x2-2x<0}={x|O<x<2},故4「8={1},

故選：B

2.A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可求解.

【詳解】_L=e)3

解,2+i(2+i)(2-i)5，

故選：A

3.B

【分析】根據(jù)必要不充分條件的定義，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系，即可求解.

【詳解】由于aw(O,兀)，

若sina=L則cosa=±Jl-sin%=±且,充分性不成立，

22

若cosa=立，則sina=Jl-cos%二,必要性成立，

22

故〃是q的必要不充分條件.

故選：B.

4.C

【分析】求出圓心和半徑，求出圓心到直線/的距離，與半徑比較即可判斷求解.

【詳解】圓C:(X-1)2+()，-2)2=1的圓心為C(L2),半徑r=l,

則圓心(到直線/的距離d="一，&=%3?1>1=『,

故直線/與圓。相離.

故選：C.

5.B

【分析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到邑S5=(S1+S3『，結(jié)合求和公式得到d=-3q或d=2q,再

由%=3,q>0計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)?,S+S3，S5成等比數(shù)列,

答案第I頁，共13頁

所以S2s5=(S1+S3『，即(2q+4)(56+1(W)=(4%+,

即(3《+州2q-d)=0,

所以4=-3q或d=2q,

又%=3,at>0,

3

當(dāng)〃二-3卬，則4+d=4-3q=3,解得4=一耳（舍去）,

當(dāng)d=2q,則4+d=4+2q=3,解得q=1,則d=2.

故選：B

6.D

【分析】根據(jù)兩角差的正弦公式求出sinA,再由正弦定理求出〃，代入面積公式即可得解.

【詳解】由潁竟,

sinA=sin(60°-5)=sin60°cosB-cos60°sinB—xJl----x,

V72V492714

2x叵

q=上，即匹竺2=—_=4,

由正弦定理,

sinAsinBsinAyj2\

所以S△板=—abs\nC=-x2x4x

22

故選：D

7.A

【分析】首先取2名教學(xué)型老師分配給一個(gè)學(xué)校，再把剩余老師分成A；組，然后分給剩余

2個(gè)不同學(xué)校有A；種不同分法，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理得解.

【詳解】選取一個(gè)學(xué)校安排2名教學(xué)型老師有C；C；種不同的方法，

剩余2名教學(xué)型老師與2名管理型教師，各取I名，分成兩組共有A；種，

這2組分配到2個(gè)不同學(xué)校有A；種不同分法，

所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有=3x6x2x2=72種不同的分法.

故選：A

8.C

答案笫2頁，共13頁

【分析】由已知結(jié)合兩角差的余弦公式可先求出cosacos/,然后結(jié)合二倍角公式及和差化

積公式進(jìn)行化簡即可求解.

【詳解】由cos(a—/?)=：得cosacos/?+sinasin/?=；,

又sinasin4=---,所以cosacos/?=2，

1212

所以

,_.,1+cos2a_l-cos2夕_cos2a+cos26_cos[(a+1)+(a—4)]+cos[(a+6)一(a—6)]

cosaip-22-22

=cos(a+/7)cos(nr-/?)

=(cosacos/y-sin?sin/7)(cos?cos/y+sinasin0)

,51、，5rill

=(-------1-------)X(----------------)=-X-=一.

12121212236

故選：C.

9.AD

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中頻率之和為1即可判斷A,根據(jù)中位數(shù)的計(jì)算即可求解B,

根據(jù)頻率即可求解C,根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,由頻率分布直方圖的性質(zhì)可知，

(0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012)x50=1,

解得x=0.0044,故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)?0.0024+0.0036)x50=0.3<0.5,(O.(X)24+0.0036+O.(X)6())x50=0.6>0.5,

所以中位數(shù)落在區(qū)間[150,200)內(nèi)，設(shè)其為機(jī)，

則0.3+?！ā?50)x0.006=0.5,解得〃?川83,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,用電量落在區(qū)間[150,350)內(nèi)的戶數(shù)為

(O.(X)6()+0.0044+0.0024+0.0012)x50x10()=70,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,這100戶居民該月的平均用電量為

6

(50+25)山+(50x2+25應(yīng)++(50x6+25)穌=^(50/+25)再，故D正確.

r=l

故選：AD.

10.ACD

【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)樗灾笖?shù)函數(shù))，="在R上單調(diào)遞減，且。<匕，所以夕>人

答案第3頁，共13頁

因?yàn)楦绾瘮?shù)y=/在(。，+8)上單調(diào)遞增，且所以〃</九

所以人">犬，故A正確，

對(duì)于B,取加=5,n=2,Wij52<25,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y=logbX在3+8)上單調(diào)遞減，y=log”d在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以log/,a>log//=1,log"?<log,?w=l,

所以log”a>log”,"，故C正確;

對(duì)于D,因?yàn)槎?Inx在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

所以Ina<InZ?<0,Inm>0,則log(,m=詈^>黑;=log/(m,

inaIn/;

因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)J=log,X在(0,+oo)上單調(diào)遞減，

所以所/>10gont>lo&_m,故D正確.

故選：ACD.

11.BCD

【分析】當(dāng)AC，?！陼r(shí)，可得出平面A。。，得出。c_LOE推出矛盾判斷A,當(dāng)。4

平面ACOE時(shí)可判斷B,艱據(jù)等角定理及余弦定理判斷C,建系利用向量法判斷D.

【詳解】如圖，

設(shè)OE的中點(diǎn)0,連接0C0A,則。4，。￡,若AC_LD￡,由A0,4Cu

平面AOC,可得。石/平面4。。，OCu平面AOC，則可證出OCJLOE，顯然矛盾

(CD^CE),故A錯(cuò)誤：

因?yàn)镃E_LO￡,所以當(dāng)04J.平面8a)石，由CEu平面ACD石可得Q4_LCE,由

OXADE-O,Q4,力Eu平面即可得CE_L平面ADE,再由A^u平面4力后，則

答案第4頁，共13頁

有CE_LA。，故B正確;

取CD中點(diǎn)N,MN〃AD,MN=gAQ,BN//ED,且NMN氏NAQE方向相同，

所以=七為定值，所以8W=4MN?+BN?-2MN,BMcos/MNB為定值，故C

正確；

不妨設(shè)A8=2&，以O(shè)SQV分別為X），軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)幺。入=夕,則《（（J,cos。,sin。）,8（2,1,0）,C（l,2,+蜉）,。（-1,0,0）,

DC=（2,2,0）,1|BM|=^,設(shè)MB與8所成角為巴

I222y2

\DCBM

則8s展辰而7￥玲嘰專二平,即M"與所成最小角的余弦值為半，此

時(shí)lan8=g,故D正確.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：處理折疊問題，注意折前折后可變量與不變量，充分利用折前折后不

變的量，其次靈活運(yùn)用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理是研究垂直問題的關(guān)鍵所在，最后不

容易直接處理的最值問題可考慮向顯法計(jì)算后得解.

12.y（或?qū)懗?0。）

【分析】將等式la-2切=6兩邊平方即可.

【詳解】因?yàn)閨。-2以2=/-4〃./7+4/=3,

所以

所以COS〈Z,/＞〉=L,??,/??€[0,7t],??,/??=—.

23

故答案為：—

J

13.—/—0.5

2

【分析】分別求出函數(shù)在兩段上的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，再由切線垂直

得解.

【詳解】當(dāng)x>0時(shí)，/'（1）=■!■>（）,所以r⑴=1,且點(diǎn)（$J（Xo））不在y=1nx上,

X

答案笫5頁，共13頁

否則切線不垂直，故與40,

當(dāng)xvO時(shí),f\x)=2x,所以尸"0)=2與,

由切線垂直可知，2xoxl=-l,解得

故答案為：-g

14.2

【分析】設(shè)橢圓與雙曲線相同的焦距為2c,先根據(jù)題意得出點(diǎn)尸的坐標(biāo)(c>0),再將點(diǎn)P分

別代入橢圓和雙曲線的方程中，求離心率，即可得解.

【詳解】設(shè)橢圓與雙曲線相同的焦距為2c,則。；+”=已狀-照=/,

又/￡/瑪=90。,所以|“卜自耳〉|=c,

乂點(diǎn)P在第一象限，且在直線)'=不上，

所以。與C,與C,又點(diǎn)〃在橢圓上，

解得1=但?必=安區(qū),因?yàn)椤?lt;弓<1,所以1=今但，

e；42<2

fviv(42y22

同理可得點(diǎn)尸在雙曲線上，所以TcTc,即三一"^二2,

1-------__1-------z_=la;c-a；

解得臺(tái)2-應(yīng)

~2~

「二”112+02-0r

所以/+/=，-+—=2.

C|c-2J~

故答案為：2.

答案笫6頁，共13頁

15.(1)證明見解析

(2)分布列見解析；y

【分析】(1)根據(jù)古典概型分別計(jì)算P(A),P(B),P(AB),曰P(A8),P(A)P(B)的關(guān)系證明;

(2)根據(jù)〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ颓蟪龈怕?，列出分布列，得出期?

【詳解】⑴因?yàn)閮纱吸c(diǎn)數(shù)之和等于7有以下基本事件:(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)

共6個(gè)，

611

Z

又/

=一=--

所以P(A)6V2

36

而第一次點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)且兩次點(diǎn)數(shù)之和等于7的基本事件是(L6),(3,4),(5,2)共3個(gè),

3I

所以玖八8)=忑="，

3o12

故P(A5)=P(A)P(B),所以事件A,5是獨(dú)立事件.

(2)設(shè)三位參與這個(gè)活動(dòng)的顧客共獲得的積分為X,則X可取6,9,12,15,

P(X=6)=C；(l-1j=戰(zhàn)，^(X=9)=C'/ip-lJ=^,

\o)Zin\o)\o)210

P(X=12)=呢丁(1峭=裝,P(X=15)=H=*

koy\O/210\oy210

所以分布列為:

X691215

12575151

P

216216216216

15

所以E(X)=空*6+21x9+xl2+—x!5=—

2162162162

答案第7頁，共13頁

<35/3

16.(1)0—

(2)(-1,+oo)

【分析】⑴求導(dǎo)，得ra)=-(sinx+l)(2sinx-l),即可根據(jù)川0高和工喂用判斷

導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，求解極值點(diǎn)以及端點(diǎn)處的函數(shù)值即可求解，

(2)將問題轉(zhuǎn)化為了'(x)=0在x/O,"上有解，即可分離參數(shù)得，=」--2sinx,利用

I2/sinx

換元法，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可求解.

【詳解】(1)若。=1,/(A)=sinxcosx+cosx,0,g,

)"(DMCOS2x-si/x-sinxu-Zsi/x-sinx+lu-lsinx+lXZsinjv-l)

當(dāng)xc0,看)時(shí)，sinx>0,2sinx-l<0,則/'(x)>0,/(力單調(diào)遞增；

當(dāng)xw看國時(shí)，sinx>0,2sinx-l>0,則/(x)單調(diào)遞減

I。乙)

乂尼卜哈〃。)=1,佃=。

所以/(x)e,即/(X)的值域?yàn)镠]

(2)/"(X)=cos?x-sin2x-?sinx=l-2sin2x-asinx.

/(x)存在極值點(diǎn)，則f'(x)=O在x/o，"上有解，即〃=」--2sinx有解.

I21sinx

令r=sinx,則a=1-2i在fw(0,1)上有,解.

因?yàn)楹瘮?shù)y=；-2f在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，所以。?-1,+8),經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

17.(1)證明見解析

⑵坐

3

【分析】(1)根據(jù)線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，證明A。，平面A8C即可;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面角正弦即可.

答案第8頁，共13頁

【詳解】（1）分別取入從BC中點(diǎn)。，E,連接CO,AE交于點(diǎn)O,則點(diǎn)。為正三角形/WC

的中心.

因?yàn)锳A=A8,。4=。8得。。_1月&AD,1AB,

又4。1。。=。，4。,。。（=平面4。。，

所以A42平面A。。，又AOu平面A。。，

則A8J.4。；

取MG中點(diǎn)片,連接A4,EE,則四邊形是平行四邊形，

因?yàn)閭?cè)面BBCC是矩形，所以8C_LE且，乂8c_LAE,

又七月仆/^二旦￡鳥,從后匚平面/14內(nèi)￡：,

所以8C上平面AAEE,又AOu平面4A￡E,則8C_LA。；

又ABcBC=B,A3,BCu平面ABC,所以A。，平面ABC,

所以三棱錐A-ABC是正三棱錐.

（2）因?yàn)槿庵鵄BC-AHG的體積為2枝，底面積為石，所以高4。=半，

以R為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為x軸正方向.行〃為y軸正方向，過點(diǎn)忖旦與0A平行的方向?yàn)閦軸

的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（G,O,O"（OJO）,C（O,TO）,A隹0,平），

設(shè)平面A”用的法向量小，因?yàn)锳8=b61,0）,AA=（-￥，0,^）.

答案笫9頁，共13頁

AB-〃1=-y/3x+y=0

WJ例.「一苧x+半Z=。'取z=l可得4=(&,跖i),

又AC|=A4,+AC=

設(shè)直線AC,與平面A448所成角為仇

所以sine=kos〃|,Ac]=^^=^^=^.

11

n^AC{\683

18.(l)y2=4x

⑵證明見解析

(3)x±Gy+1=0

【分析】（I）根據(jù)準(zhǔn)線方程可得〃，即可求解；

（2）設(shè)，:x=（y-l,”a，yJ,N（七,M）,聯(lián)立直線與拋物線,得出根與系數(shù)的關(guān)系,再

由直線的相交求出f,Q坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為求?+%=。即可得證；

（3）由⑵可得色=悶，再由5=加N|d,根據(jù)S1=2S?可得f,即可得解.

【詳解】（1）因?yàn)楫a(chǎn)-1為拋物線的準(zhǔn)線，

所以|二1,即2〃=4,

故拋物線C的方程為）？=4,r

（2）如圖，

設(shè)/：x=ty-\,),N(%,%)，

答案第10頁，共13頁

聯(lián)立），=4x,消去x得），一4）+4=。,

則A=16（/一1）>0,且4+外”，

'）加=4

又AM：令l[得P，],〃―2（'L〃）],

王-1Ix,-l]

同理可得QT〃-"2J,

1"1）

2（y.-n]2（必一〃）[2（y.-n）2（y,-/?）

所以①+）'O=/L〈—〃一I尢J=2〃_J/+JJ

X—1—1Di—2ty2-2

=2n_2（y-2（》-2）+2（乃一〃）（曬一2）

〃6-2）.-2）'

4%必一（2加一4）（凹+%）+8〃8〃一8疝

Z〃/〃,

廠）\）’2-2/（y+力）+44-4廠

故忸”=忸°|.

（3）由（2）可得：S?二年2（1—2（%；）,

*-2。2-2V/2-1

S.=-\MN\d=-xVf?+1-4>/^+1=2ylit-12|,

21127^7111

由S1=2s2,得：r—1=2,解得t=±5/3>

所以直線/的方程為x±#y+l=O.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問中直線較多，解題的關(guān)鍵在于理清主從關(guān)系，據(jù)此求出RQ

點(diǎn)的坐標(biāo)（含參數(shù)），第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)在于將忸R=|伙2|轉(zhuǎn)化為只。關(guān)于工對(duì)稱，即升+4=°.

19.（1）194,196對(duì)3“協(xié)調(diào)”，195對(duì)3不“協(xié)調(diào)”

（2）有且僅有一個(gè)數(shù)對(duì)〃“協(xié)調(diào)”，證明見解析

2

【分析】（1）根據(jù)〃對(duì)協(xié)調(diào)”的定義，即可計(jì)算?。?94）,嗎（195）,嗎（196）,即可求解,

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(2)根據(jù)〃對(duì)p“協(xié)調(diào)”的定義以及整除原理可證明引理.，證明每一列里有且僅有一個(gè)數(shù)對(duì)

p“協(xié)調(diào)”，即可根據(jù)引理求證.

(3)將〃％〃2〃+1,〃2〃+2,.,〃2〃+(〃2?1)這〃2個(gè)數(shù)分成〃組，每組〃個(gè)數(shù)，根據(jù)引理證

明每一列里有且僅有一個(gè)數(shù)對(duì)P"協(xié)調(diào)''，即可求解.

【詳解】(1)因?yàn)?94=2x3°+lx3i+0x32+lxT+2x34,所以嗎(194)=2+1+0+1+2=6