浙教版七年級下冊數(shù)學(xué)舉一反三系列 專題41 因式分解【九大題型】

專題4.1因式分解【九大題型】

【浙教版】

【逑型?囚式分解的意義】......................................................................1

【題型2利用因式分解求系數(shù)的值】.............................................................3

【題型3利用公式法進(jìn)行因式分解求代數(shù)式的值】.................................................4

【題型4利用平方差公式進(jìn)行因式分解確定整除問題】.............................................6

【題型5因式分解】............................................................................7

【題型6利用添項進(jìn)行因式分解】...............................................................10

【題型7利用拆項進(jìn)行因式分解】...............................................................10

【題型8利用因式分解確定三角形的形狀】......................................................12

【題型9因式分解在閱讀理解中的運用】.........................................................13

【知識點1因式分解】

定義：把一個多項式化成了幾個整式的積的形式，這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把

這個多項式分解因式。

以上公式都可以用來對多項式進(jìn)行因式分解，因式分解的常用方法：

①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+h+c)；

②公式法：a2~b2=(a+b)(a-b)；a2+2ah+b2=(a+b)2；a2-2ab+h2=(a-h\2<>

③分組分解法：ac+ad+bc+cd=a(c^d)+h(c+d)=(a+b)(c+d)

④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a^p)(a+q)

因式分解的一般步驟：

(1)如果多項式的各項有公因式，那么先提取公因式。

(2)在各項提出公因式以后或各項沒有公因式的情況下，觀察多項式的項數(shù)：2項式可以嘗試運用公式法

分解因式；3項式可以嘗試運用公式法、十字相乘法分解因式；4項式及4項式以上的可以嘗試分組分解法

分解因式

(3)分解因式必須分解到每一個因式都不能再分解為止。

【題型1因式分解的意義】

【例1】(2022?濟(jì)寧)下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是()

A.x2-x-1=x(x-1)-1B.x2-1=(x-1)2

C.x2-x-6=(x-3)(x+2)D.x(x-1)=x2-x

【分析】根據(jù)因式分解的定義判斷即可.

【解答】解：A選項不是因式分解，故不符合題意；

B選項計算錯誤，故不符合題意；

C選項是因式分解，故符合題意；

D選項不是因式分解，故不符合題意；

故選：C.

【變式1-1](2022秋?僧州校級期末)下列各式不能因式分解的是()

A.cr-b2B.a2-2a+1C.ab-aD.a2+h2

【分析】利用平方差公式，完全平方公式，以及提取公因式方法判斷即可.

【解答】解：同、原式=Ca+b)Ca-b),不符合題意；

B、原式=(4-1)2,不符合題意；

C、原式=〃(〃-1),不符合題意；

D、原式不能分解，符合題意，

故選：D.

【變式1-2](2022春?青川縣期末)下列各式因式分解正確的是()

1

A."cr+a-a2+2a+1=(。+1)2

B.cr+ab-6b2=a(。+〃)-6h2

C.cr-b2-a-b=(a+b)CG-b)-a-b

D.a-2a2+a3=a(1-2a+a2)=a(1-a)2

【分析】直接利用因式分解定理判斷即可.

【解答】解：A選項的系數(shù)不正確；

B、C選項不是因式乘積形式，不正確；

D,a-2a2+a3=a(1-2a+a2)=a(1-〃)？是正確的.

故選：D.

【變式1-3](2022秋?德惠市期末)給出六個多項式：①f+y2；②③片+火+尸；⑤x(x+l)

-2(x+1)；?m2-nm\2.其中，能夠分解因式的是一②③④⑤⑥(填上序號).

【分析】根據(jù)因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，可得答案.

【解答】解：①/+y2不能因式分解，故①錯誤；

②-『+產(chǎn)利用平方差公式，故②正確；

③f+Zyy+.y完全平方公式，故③正確；

④產(chǎn)-|平方差公式，故④正確；

⑤x(x+l)-2(x+1)提公因式，故⑤正確；

+；…、

@nr-nm/完全平方公式，故⑥正確；

故答案為：②③?⑤⑥.

【題型2利用因式分解求系數(shù)的值】

【例2】(2022?攀枝花模擬)若關(guān)于x的多項式f-px-6含有因式x-2,則實數(shù)〃的值為()

A.-5B.5C.-1D.I

【分析】設(shè)f-px-6=(x-2)(A-?),右邊利用多項式乘多項式法則計算，合并后根據(jù)多項式相等

的條件即可求出〃的值.

【解答】解：根據(jù)題意設(shè)x2-p.r-6=(x-2)(x-a)=f-(a+2)x+2a,

-p=-a-2,2ci=-6,

解得：a=-3,p=-\.

故選：C.

【變式2-1](2022春?聊城期末)如果100『+5，+49尸能分解為(10x-7y)2,那么k=?140.

【分析】根據(jù)完全平方公式展開，再根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等即可求解.

【解答】解：???(lOx-7)，)2,

=100『-140切，+49)2,

=100*+云”49產(chǎn)，

:.k=-140.

故應(yīng)填-140.

【變式2-2](2022春?南山區(qū)校級期中如果/+加+辰+4有兩個因式J+1)和(X+2),則a+b的值為13.

【分析】根據(jù)題意，可得V+af+ZuHTn(A+1)(x+2)(x+2)(%為任意實數(shù))，再根據(jù)多項式乘多項

=(a-/>)2+(〃-c)2+(Z?-c)2

=(1999x+2000-1999x-2001)2+(1999x+2000-1999x-2D02)2+(1999x+2001-1999x-2002)2

=1+4+1

=6.

Xj=

/.cP+lr+c2-ab-be-ca=(>-3.

故選：

【變式3-1](2022春?新吳區(qū)校級期中)(1)已知x+y=4,專，=2,求^力沖力/9+與，的值；

=1\

(2)已知x?,化簡并計算：(1-2v)2(2r+I)2-(3+2x)2(3-2r)2.

【分析】(1)原式提取公因式后，利用完全平方公式分解，將x+y與孫的值代入計算即正求出值；

(2)原式利用積的乘方變形，利用平?方差公式分解得到結(jié)果，將x的值代入沖算即可求出值.

【解答】解：(1)Vx+y=4,xy=2,

工原式=2x.y(x+y)2=64；

(2)原式=(1-4*)2-(9-4/)2

=-8(1()-8^)

=-80+64/,

1

當(dāng)x=l2時，原式=-8O+1M=64.

【變式3-2](2022春?洪澤區(qū)期中)一個長、寬分別為m、〃的長方形的周長為16,面積為6,則評川+加彥

為值為48.

【分析】根據(jù)長方形周長與面積公式求出〃?〃與，〃+〃的值，原式提取公因式后，代入計算即可求出值.

【解答】解：???一個長、寬分別為，〃、〃的長方形的周長為16,面積為6,

.*.2(m+n)=16?/〃〃=6,

即〃?+〃=8,〃"?=6,

則原式=〃?〃(〃?+〃)=48,

故答案為：48

【變式3-3](2022?安順模擬)已知〃尸=4〃+。，〃2=4/〃+a,〃2￥〃，則〃尸+2〃?〃+〃2的值為()

A.16B.12C.10D.無法確定

【分析】將〃「=4〃+。與/=4〃?+”相減可得(〃？-〃)(/2/+/H-4)=0?根據(jù)〃?#〃，可得/〃+〃+4=0,即

m+n=-4,再將加2+2〃?〃+〃2變形為(〃?+〃)2,整體代入即可求解.

【解答】解：將m2=4n+a與ir=4m+a相減得nr-n2=4n-Xm,

(〃?+〃)Cm-n)=-4(m-n)?

(m-n)(〃?+〃+4)=0?

“：m豐n,

.??〃?+〃+4=0,即m+n=-4,

^.nr+2mn+n2=(〃?+〃)2=(-4)2=16.

故選：A.

【題型4利用平方差公式進(jìn)行因式分解確定整除問題】

【例4】(2022秋?新泰市月考)兩個連續(xù)的奇數(shù)的平方差總可以被人整除，則攵等于()

A.6B.8C.6的倍數(shù)D.8的倍數(shù)

【分析】首先設(shè)兩個奇數(shù)分別是2〃-1和2〃+1,把兩個數(shù)的平方差進(jìn)行分解因式，即可求得.

【解答】解：設(shè)兩個奇數(shù)分別是2〃-1和2〃+1.

則(2/1+1)2-(2n-1)2

=4〃X2=8〃

則兩個連續(xù)的奇數(shù)的平方差總可以被8整除.

故選：B.

【變式4-1](2022秋?河北區(qū)期末)對于任意整數(shù)〃，多項式5+7)2?/都能被()

A.2整除B.〃整除C.7整除D.〃+7整除

【分析】逆用平方差公式進(jìn)行運算后即可判斷.

【解答】解：(n+7)2

=(〃+7+〃)(n+1-n),

=7⑵+7).

???〃為整數(shù)，

：.7(2/2+7)是7的倍數(shù)，能被7整除.

故選：C,

【變式4-2](2022秋?荔城區(qū)校級期中)對于任意的正整數(shù)〃，能整除代數(shù)式(3〃+1)(3n-1)-(3-〃)

(3+〃)的整數(shù)是()

A.3B.6C.10D.9

【分析】根據(jù)平方差公式，可化簡整式，根據(jù)提取公因式，可得因數(shù).

【解答】解：(3n+1)(3〃-1)-(3-n)(3+n)=9/r-1-(9-n2)

=10n2-10

=10(7-1),

10能整除(3〃+l)(3M-1)-(3-n)(3+〃)，

故選：C.

【變式4-3)(2022春?招遠(yuǎn)市期末)已知424-1可以被60.70之間的某兩個整數(shù)整除，則這兩個數(shù)是()

A.61,63B.63,65C.65,67D.63,64

【分析】先利用平方差公式分解因式，再找出范圍內(nèi)的解即可.

【解答】解：424-1=248-1=(224+1)(224-1),

=(224+1)(2,2+1)(212-1),

=(224+1)(2,2+1)(26+1)(26-1)；

V26=64,

/.26-1=63,26+1=65,

???這兩個數(shù)是65、63.

故選:B.

【題型5因式分解】

【例5】(2022秋?梅里斯區(qū)期末)因式分解

(1)-3xy+6xy?3孫％

(2)3x(a-b)-6y(b-a).

【分析】(1)先提取公因式，再利用完全平方公式；

(2)先利用相反數(shù)把(b-a)轉(zhuǎn)化為Ca-b),再提取公因式.

【解答】解：(1)原式=-31尸(A2-Zry+y2)

=-3療(x-y)2；

(2)原式=3x(a-b)+6y(a-〃)

=3(a-b)(x+2y).

【變式5-1](2022春?聊城期末)把下列各式分解因式：

(1)9孫2-15/,：

(2)-9?)葉3町，-6xyz；

(3)3m%-6〃〃1+3加；

(4)-24a2b-Sab2+2Sab3.

【分析】(1)提取公因式3盯進(jìn)行因式分解.

(2)提取公因式-3町進(jìn)行因式分解.

(3)提取公因式3〃?進(jìn)行因式分解.

(4)提取公因式-4時進(jìn)行因式分解.

【解答】解：(1)9x)2-15/『=3町，(3廠5/).

2f

(2)-9?)計311y-6xyz=-3x)(3x-y+2z).

(3)3nrn-6inn+3m=3rn(mn-2n+1).

(4)?24/〃-8。〃+28。護(hù)=-4ab(6a+2b-7Z?2).

【變式5-2](2022?碑林區(qū)校級開學(xué))把下列各式分解因式：

(1)4.yyz-4.ryx-Mxyzx

(2)20*i戶12i+叱2；

(3)-20c(?-b)2-25Cb-a)3；

(4)x(x-2)-x+2.

【分析】(1)利用提公因式分解即可解答：

(2)利用提公因式分解即可解答：

(3)利用提公因式分解即可解答：

(4)利用提公因式分解即可解答.

【解答】解：(1)4xyz--12xy2z=4xyz(1-x-)；

(2)20a“向廬葉4_“戶計9〃+2=4"/%/2(5/,^2,3^).

(3)-20c(?-b)2-25(b-a)3

=-20c(b-a)2-25(b-a)3

=-5(b-a)2[4C+5(b-a)]

=-5Ch-a)2(4c+5b-5a)；

(4)xG-2)-x+2

=x(x-2)-(x-2)

=(x-2)(x-I).

【變式5-3](2022?尋烏縣模擬)把下列各式分解因式：

(1)6(?-/?)2+3(a-b)；

(2)x(x-1)-3x+4；

(3)/(y2-1)+2x(y2-1)+(y2-1)；

a5-+^-ab4

(4)-U.

【分析】(1)利用提公因式法分解；

(2)先利用乘法法則化簡整式，再利用完全平方公式因式分解;

(3)先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解；

(4)先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解.

【解答】解：(1)6(a?b)2+3(a-b)

=3(a-Z?)[2(a-b)+1]

=3(a-b)(2a-28+1)；

(2)x(x-I)-3x+4

=f-x-3x+4

-4x+4

=(x-2)2；

(3).F(r-1)+2A-(/-1)+(/-1)

=()，27)(x2+2r+l)

=(y+1)(y-1)(x+1)2；

—?■+—?

=a(/%2b2'%4)

1

=a(a14b2)2

+2

=a(a*1/?)2(a7?)

【題型6利用添項進(jìn)行因式分解】

(ft6](2022春?市中區(qū)期末)因式分解：x4+4y4

【分析】運用添項法因式分解.

【解答】解：乂+4)，4=_?+4『)，2-4尸-4小產(chǎn)，

=(f+Zy2)，底廣

=(A2+2.V2+2X.V)(W+2.V2-2xy)

【變式6-1](2022秋?魚臺縣期末)因式分解：-2ar-b2-2ab.

【分析】運用添項法因式分解.

22

【解答】解：x-lax-b-2abr

=f-2ax+cr-cr-Ir-lab,

=(x?a)2-(fl+Z?)2,

=(x-a+a+b)(.x-a-a-b)?

=(x+。)(x-2a~b).

【變式6-2](2022春?永定區(qū)期中)把多項式f+324因式分解.

【分析】原式變形后，利用平方差公式分解即可.

【解答】解:丁+324=f+36?+324-36，

=(f+18)2-36A2

=(f+18)2-(6x)2

=(JT+18+6A)(X2+18-6.r).

【變式6-3](2022?柳南區(qū)二模)分解多項式。-1的結(jié)果是—

【分析】補上比第一項的指數(shù)小1的項逐次分解因式即可.

【解答】解：原式=/-/+/_.3+/_/+序_-1

=/(?-I)+/(a-1)+a2(a-1)+a(a-1)+(a-1)

=(?-I)(a4+ay+a2+a+1).

故答案為：(t/-1)(/+/+/+〃+]).

【題型7利用拆項進(jìn)行因式分解】

[ft7](2022秋?江油市期末)分解因式：加2+6〃計8.

【分析】把8變?yōu)?-1,利用拆項法分解.

【解答】解："『+6/"+8

=nr+6m+9-1

=(m+3)2-1

=(〃?+3+1)(in+3-1)

=(〃?+4)(m+2)

【變式7-1](2022春?市中區(qū)期末)分解因式：a2-6?+8.

【分析】加1再減h可以組成完全平方式；

【解答】解：。2-64+8,

=a2-6。+9-1,

=(a-3)2-1,

=(fl-3-1)(a-3+1),

=(a?2)(a?4)

【變式7-2](2022?尋烏縣模擬)把『-4,計3因式分解.

【分析】常數(shù)項先加上1再減1,前三項構(gòu)成完全平方式，再利用平方差公式因式分解，亦可把-4%寫

出-3x-K的形式，分組后提取公因式.

【解答】解：法一、?-4x+3+l-1

-4x+4-1

=(x-2)2-1

=(jr-2+1)(x-2-1)

=(x-1)(x?3).

法二、x2?4x+3

=F-x-3%+3

=x(x-i)-3(x-1)

—(x-1)(x-3).

【變式7-3](2022秋?微山縣月考)分解因式：/+]042+際.

【分析】把9/變?yōu)?5尸76以利用拆項法分解.

【解答】解：?+]解2/+9小

="+10/〃+25〃-16〃

=("+5屬)2_(4〃)2

222

=(。2+5/+4〃)(a+5b-4b)

=(a2+9b2)(a2+h2).

【題型8利用因式分解確定三角形的形狀】

【例8】(2022秋?魚臺縣期末)已知：a,b,c為△A8C的三邊長，J.2a2+2b2+2c1=2ab+2ac+2bc,試判

析8c的形狀，并證明你的結(jié)論.

【分析】先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形，求出。=0=c,即可得出答案.

【解答】△48C是等邊三角形.

證明如下：

,/2?2+2/?2+2?=2ab^-2ac+2bc,

???2〃+2/+2(?2-2ab-2ac-2從=0,

a2-2ab+b2+a2-2ac+(r+b2-2bc+c2=0,

2

(67-h)2+(a-c)+(f)-c)2=0,

(a-b)2=o,Ca-c)2=0,(Z?-c)2=0>得a=〃且a=c且〃=c,

2Pa=b=c,所以△ABC是等邊三角形.

【變式8-1](2022秋?魚臺縣期末)△A8C三邊〃，6c滿足2/+序+/=2a(〃+c),判斷△ABC的形狀,

并說明理由.

【分析】通過分組分解法把2M+護(hù)+/=2a3c)化為(a-b)2+(QC)2=0,然后利用平方的非負(fù)性,

得出a=〃=c,判斷出△ABC是等邊三角形.

【解答】解：△/13c是等邊三角形.理由如下：

V2a1+b1+c1=2a(b+c),

/.。耳片+/+廿=2ab+2ac,

a2+a2+b2+(r-lab-2ac=0,

(a2-2ab+b2)+(a2-2ac+(r)=0,

Ca-b)2+(a-c)2=0>

'：(?-/?)220,(fl-(?)220,

/.(a-b)2=0,且(a-(?)2=(),

:.a=b=c,

???△ABC是等邊三角形.

【變式8-2](2022春?樂平市期末)△A8C三邊a,b,c滿足標(biāo)?出?-ac+兒=0,判斷△A8C的形狀.

【分析】先把/-〈山-ac+》c=0因式分解，得出(“?〃)(t?-c)=0,由此得出4=5，或。=的或a

=b=c,從而判斷出△ABC是等腰三角形或等邊三角形.

【解答】解：???/?4力?。(?+慶=0,

(a2-ab)+(-ac+bc)=0,

a(a-b)-c(?-/?)=0,

(a-b)(ci-c)=0,

-。=0或a-c=0,。=8且。=，，

即a=〃，或a=c,或a=/?=c,

???/XABC是等腰三角形或等邊三角形.

【變式8-3](2022秋?臨沂期末)已知a,b,。為△A4C的三邊，且序+2時=/+2心試判斷△46C的

形狀并說明理由.

【分析】把序+2aA=c2+2ac進(jìn)行整理可得：(2a+b+c)(Z?-c)=0,而24+〃+cW0,只能是〃-c=0,

則有〃=c,即可判斷△AZ?C是等腰二角形.

【解答】解：△ABC是等腰三角形，

理由：??"2+2a/?=c2+2ac,

:?吩-W+2ab-2ac=0,

Cb-c)(b+c)+2a(b-c)=0?

(2a+b+c)(/?-c)=0,

,：2a+b+c^0,

*.b-c=0,即〃=c,

???△ABC是等腰三角形.

【題型9因式分解在閱讀理解中的運用】

【例9】(2022春?市中區(qū)期末)閱讀下列因式分解的過程，再|(zhì)可答所提出的問題：

1+x+x(x+l)+x(A+1)2

=(1+x)[\+x+x(x+l)]

=(1+x)2(1+x)

=(\+x)3

(l)上述分解因式的方法是提公因式法，共用了2次.

(2)若分解l+x+x(x+l)+X(X+1)2+…+%Q+1)2021,則結(jié)果是(1+')2022.

(3)依照上述方法分解因式：l+x+x(x+l)+x(x+l)2+???+x(x+1)"(〃為正整數(shù)).

【分析】(1)利用提公因式法，進(jìn)行分解即可解答；

(2)仿照已知的計算過程，即可解答；

(3)仿照已知的計算過程，即可解答.

【解答】解：(1)上述分解因式的方法是提公因式法，共用了2次，

故答案為：提公因式法，2：

(2)1+x+x(x+1)+x(x+1)4…+x(x+l)2021,

則需要用上述方法2021次，結(jié)果是(l+x)2022,

故答案為：(1+工)2。22；

(3)1+x+x(x+l)+x(x+l)耳…+xJ+1)”(〃為正整數(shù))

=(1+x)[1+x+x(x+1)+...+X(x+1)n]]

=(1+x)2((1+x+x(x+1)+...+X(x+1)n'2]

???

=(1+x)叫

【變式9-1](2022秋?徐聞縣期末)閱讀下列材料：

材料I、將一個形如｝r+px+q的二次三項式因式分解時，如果能滿足q=mn且〃=〃?+〃，則可以把.d+px+q

困式分解成(x+〃z)(x+〃)

(1)f+4.r+3=(x+1)(x+3)(2)x2-4x-12=(x-6)(x+2)

材料2、因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1

解：將“x+y”看成一個整體，令x+y=A,則原式=A?+2A+1=(A+l)2

再將“A”還原，得：原式=(x+v+1)2

上述解題川到“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見的一種思想方法，請你解答下列問題：

(1)根據(jù)材料1，把『-6x+8分解因式.

(2)結(jié)合材料1和材料2,完成下面小題：

①分解因式：(x-j)2+4(x-y)+3；

②分解因式："7(m+2)(m2+2m-2)-3.

【分析】(1)利用十字相乘法變形即可得；

(2)①根據(jù)材料2的整體思想可以對(x-y)2+4(x-y)+3分解因式；

②根據(jù)材料1和材料2可以對m(w+2)(〃尸+2〃?-2)-3分解因式.

【解答】解：(1)f?6x+8=(x-2)(x-4)；

(2)①令A(yù)=x-y,

則原式=*+4A+3=(A+l)G4+3),

所以(x-y)2+4(x-y)+3=(x?.y+l)(x-)H-3)；

②令B=ffr+2m,

則原式=8(8-2)-3

=B2-2B-3

=(8+1)(B-3),

所以原式=(m2+2m+1)(m2^2m-3)

=(m+1)2(//z-1)(m+3).

【變式9-2](2022春?吁胎縣期末)(1)學(xué)習(xí)“完全平方公式”時，小明遇到課本上一道題目“計算(a+b+c)

2”，他聯(lián)系所學(xué)過的知識和方法，想到兩種解決思路；

①可以用“整體思想”把二項式轉(zhuǎn)化為兩部分：[(。+〃)也產(chǎn)或(〃+c)F，然后可以利用完全平方公

式解決，請你選擇一種變形方法寫出計算過程；

②可以用“數(shù)形結(jié)合”的方法，畫出表示(a+〃+c)2的圖形，根據(jù)面積關(guān)系得到結(jié)果.請你在下面方框

中畫出圖形，并作適當(dāng)標(biāo)注.

(2)利用(1)的結(jié)論分解因式：^+/+4-2xy+4x-4y=(x-y-2)2；

(3)小明根據(jù)“任意一個數(shù)的平方不小于()”，利用配方法求出了一些二次多項式的最大值或最小值，

方法如下：

①VJ2-6A+7②-x2-2.V+3

=.F-6x+9-2=-(f+Zr+l)+4

=(3-3)2-2=-(x+1)2+4

,/G-3)22o?；-(x+1)2W0

A(x-3)2-2>-2.:.(X+1)2+4W4

故當(dāng)x=3時代數(shù)式1-6x+7的最小值為-2故當(dāng)x=-1時代數(shù)式?1?2x+3的最大值為4

請你參考小明的方法，求當(dāng)x,y取何值時代數(shù)式"+產(chǎn)-2V-2什20有最小值，并確定它的最小值.

【分析】(1)①將前兩項看作一個整體后用完全平方公式求解.

②利用面積關(guān)系畫圖.

(2)分組后用完全平方公式分解.

(3)配方后求最值.

【解答】解：(1)@Ca+b+c)2=[Ca+b)+c]2

=Ca