第1課時(shí) 正方形的性質(zhì)

18.2.3正方形第十八章平行四邊形第1課時(shí)正方形的性質(zhì)講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)新課導(dǎo)入目錄新課導(dǎo)入教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點(diǎn)1.理解正方形的概念.2.探索并證明正方形的性質(zhì)，并了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別.(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.會(huì)應(yīng)用正方形的性質(zhì)解決相關(guān)證明及計(jì)算問題.（難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)觀察下面圖形,正方形是我們熟悉的幾何圖形，在生活中無處不在.情景引入你還能舉出其他的例子嗎？新課導(dǎo)入講授新課典例精講歸納總結(jié)

矩形〃〃問題1：矩形怎樣變化后就成了正方形呢?你有什么發(fā)現(xiàn)？問題引入正方形的性質(zhì)正方形講授新課問題2

菱形怎樣變化后就成了正方形呢?你有什么發(fā)現(xiàn)？正方形鄰邊相等矩形〃〃正方形〃〃

菱形一個(gè)角是直角正方形∟正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫正方形.要點(diǎn)歸納已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.求證：正方形ABCD四邊相等,四個(gè)角都是直角.ABCD證明：∵四邊形ABCD是正方形. ∴∠A=90°,AB=AC

（正方形的定義）. 又∵正方形是平行四邊形. ∴正方形是矩形（矩形的定義）,

正方形是菱形(菱形的定義). ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,

AB=BC=CD=AD.證一證已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.對角線AC、BD相交于點(diǎn)O.求證：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.ABCDO證明：∵正方形ABCD是矩形,

∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD.思考請同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的正方形紙片,折一折,觀察并思考.

正方形是不是軸對稱圖形?如果是,那么對稱軸有幾條?對稱性：

.對稱軸：

.軸對稱圖形4條ABCD矩形菱形正方形平行四邊形正方形是特殊的平行四邊形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性質(zhì),正方形都有.平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間關(guān)系：性質(zhì)：1.正方形的四個(gè)角都是直角,四條邊相等.2.正方形的對角線相等且互相垂直平分.要點(diǎn)歸納

例1

求證:正方形的兩條對角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.ADCBO已知:如圖,四邊形ABCD是正方形,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O.

求證:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.典例精析例2

如圖，在正方形ABCD中，ΔBEC是等邊三角形，求證：∠EAD＝∠EDA＝15°

.證明：∵

ΔBEC是等邊三角形，∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，∴AB=BE=CE=CD,∠ABE=∠DCE=30°，∴△ABE，△DCE是等腰三角形，∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°，∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°.變式1四邊形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一邊作等邊△ADE，求∠BEC的大小．解：當(dāng)?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD外部時(shí)，如圖①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；當(dāng)?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD內(nèi)部時(shí)，如圖②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.綜上所述，∠BEC的大小為30°或150°.易錯(cuò)提醒：因?yàn)榈冗叀鰽DE與正方形ABCD有一條公共邊，所以邊相等．本題分兩種情況：等邊△ADE在正方形的外部或在正方形的內(nèi)部．變式2

如圖，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P滿足AP=AB，PB=PC，連接AC、PD．（1）求證：△APB≌△DPC；解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠DCB=90°．∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB，即∠ABP=∠DCP．又∵AB=DC，PB=PC，∴△APB≌△DPC．證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°．∵△APB≌△DPC，∴AP=DP．又∵AP=AB=AD，∴DP=AP=AD．∴△APD是等邊三角形．∴∠DAP=60°．∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°．∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°．∴∠BAP=2∠PAC．（2）求證：∠BAP=2∠PAC．例3

如圖，在正方形ABCD中，P為BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于E，

PF⊥DC于F.試說明：AP=EF.ABCDPEF解:連接PC，AC.又∵PE⊥BC，PF⊥DC,∵四邊形ABCD是正方形,∴∠FCE=90°,AC垂直平分BD,∴四邊形PECF是矩形,∴PC=EF.∴AP=PC.∴AP=EF.

在正方形的條件下證明兩條線段相等：通常連接對角線構(gòu)造垂直平分的模型，利用垂直平分線性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，等腰三角形等來說明.歸納1.正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是()A.四個(gè)角相等B.對角線互相垂直平分

C.對角互補(bǔ)D.對角線相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)（）

A.四條邊相等B.對角線互相垂直平分C.對角線平分一組對角D.對角線相等BD練一練3.如圖，四邊形ABCD是正方形，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AO＝2，求正方形的周長與面積．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.在Rt△AOD中，由勾股定理，得∴正方形的周長為4AD＝，面積為AD2＝8.當(dāng)堂練習(xí)當(dāng)堂反饋即學(xué)即用1.平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A．對角線互相平分B．對角線互相垂直C．對角線相等D．對角線互相垂直且相等2．正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是()A．對角線互相平分B．對角線相等C．對角線互相垂直D．對角線平分一組對角A當(dāng)堂練習(xí)B3．如圖，四邊形OBCD是正方形，O，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0，0)，(0，6)，點(diǎn)C在第一象限，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是()A．(6，3)B．(3，6)C．(0，6)D．(6，6)4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)O，B的坐標(biāo)分別是(0，0)，(2，0)，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是()

A．(1，1)B．(－1，－1)

C．(1，－1)D．(－1，1)DC5.如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，則圖中的等腰直角三角形有()

A．4個(gè)B．6個(gè)

C．8個(gè)D．10個(gè)6.在正方形ABCD中，E是對角線AC上一點(diǎn)，且AE=AB，則∠EBC的度數(shù)是

.ADBCOE22.5°C7．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，BF與AC交于點(diǎn)E，若∠CBF＝20°，則∠AED等于____度．8.如圖，正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是對角線AC上的兩點(diǎn)，EG⊥AB.EI⊥AD，F(xiàn)H⊥AB，F(xiàn)J⊥AD，垂足分別為G，I，H，J.則圖中陰影部分的面積等于____.65第7題圖第8題圖9.如圖，正方形ABCD的邊長為1cm，AC為對角線，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的長．解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE，∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.∴FC＝BE.在Rt△ABC中，∴FC＝AC－AF＝(－1)cm，∴BE＝(－1)cm．10.如圖，在正方形ABCD中,E為CD上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊延長線上一點(diǎn),且CE=CF.BE與DF之間有怎樣的關(guān)系？請說明理由.解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：∵四邊形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE=90°.∴∠DCF=180°-∠BCE=90°.∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.ABDCFE延長B