2024-2025學年上學期高一數(shù)學蘇教版期中必刷?？碱}之向量基本定理及坐標表示

第20頁（共20頁）2024-2025學年上學期高一數(shù)學蘇教版（2019）期中必刷?？碱}之向量基本定理及坐標表示一．選擇題（共5小題）1．（2025?聊城一模）已知角α∈（0，π），向量a→=（1，3），b→=（cosα，sinα），若a→A．2π3 B．π3 C．π42．（2025?臨沂一模）在△ABC中，點D是AB的中點，點P在CD上，若AP→=λA．16 B．13 C．23 3．（2025?四川開學）已知向量a→=（0，2），b→=（m，2），＜a→，A．0 B．1 C．2 D．44．（2025?延慶區(qū)模擬）已知向量a→=(1，2)，b→=(λA．﹣2 B．﹣1 C．0 D．15．（2025?山東模擬）如圖所示，在正方形ABCD中，E為AB的中點，F(xiàn)為CE的中點，則AF→A．34AB→+14AD→ B．1二．多選題（共3小題）（多選）6．（2025?昭陽區(qū)校級開學）已知向量a→，b→，c→滿足a→=（1，1），b→=（﹣1，2），c→A．|aB．當b→∥c→時，4m+C．當(2a→+b→)⊥cD．b→在a→（多選）7．（2024秋?威海期末）設向量a→=（x+4，x），b→=（A．x＝0是a→⊥b→B．x＝﹣6是a→⊥b→C．a(chǎn)→∥b→是x＝4D．a(chǎn)→∥b→是x＝﹣（多選）8．（2024秋?錦州期末）已知|OM→|=2，|ON→|=2，OM→與ON→夾角為π3，若|OP→|=2且OP→A．2 B．32 C．52 D三．填空題（共4小題）9．（2025?新余一模）已知向量a→=(1，-2)，b→=(-1，1)10．（2024秋?丹東期末）在△ABC中，D是BC上一點，且BD＝3DC，用基底{AD→，AC→}表示向量AB→11．（2025?薊州區(qū)校級模擬）D為△ABC的邊AB一點，滿足AD→=2DB→．記a→=CA→，b→=CB→，用a→，b→表示CD→=12．（2025?百色校級開學）已知向量a→=(5，2)，b→=(1，四．解答題（共3小題）13．（2024秋?中山區(qū)校級期末）在△ABC中，點D為邊AC上靠近A的三等分點，點M為形內(nèi)一點．（1）如圖，若點M滿足5AM→=2AC→-BC（2）若點O為△ABC的外心，點M滿足3OM→=OA→+OB→+OC→14．（2024秋?大連校級期末）已知e1→，e2→是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，AB→（1）求實數(shù)λ的值；（2）若e1→=(2（3）已知D（3，5），在（2）的條件下，若A，B，C，D四點按順時針順序構成平行四邊形，求點A的坐標．15．（2025?沈陽開學）設e1→，e2→是不共線的非零向量，且a→（1）證明：{a→，b→（2）若向量c→=e1→+3e2→，試用基底

2024-2025學年上學期高一數(shù)學蘇教版（2019）期中必刷?？碱}之向量基本定理及坐標表示參考答案與試題解析題號12345答案BBDBD一．選擇題（共5小題）1．（2025?聊城一模）已知角α∈（0，π），向量a→=（1，3），b→=（cosα，sinα），若a→A．2π3 B．π3 C．π4【考點】平面向量共線（平行）的坐標表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應用；運算求解．【答案】B【分析】結合向量共線的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：向量a→=（1，3），b→=（cosα，sinα），則sinα=故tanα=α∈（0，π），則α=故選：B．【點評】本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎題．2．（2025?臨沂一模）在△ABC中，點D是AB的中點，點P在CD上，若AP→=λA．16 B．13 C．23 【考點】平面向量的基本定理；平面向量的數(shù)乘與線性運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應用；運算求解．【答案】B【分析】由題意運用平面向量的線性運算法則，推導出CP→=(23-λ)CA→+λCB【解答】解：根據(jù)點D是AB的中點，可得CD→因為AP→=λAB→+13AC→解得CP→=（λ-23）AC→因為P、C、D三點共線，所以23-λ故選：B．【點評】本題主要考查平面向量的線性運算法則、向量共線的條件等知識，考查了概念的理解能力，屬于基礎題．3．（2025?四川開學）已知向量a→=（0，2），b→=（m，2），＜a→，A．0 B．1 C．2 D．4【考點】平面向量數(shù)量積的坐標運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應用；運算求解．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結合平面向量的夾角公式，即可求解．【解答】解：向量a→=（0，2），b→=（則a→?b＜a→，則cos＜a→，b→故|b→|=故選：D．【點評】本題主要考查平面向量的夾角公式，屬于基礎題．4．（2025?延慶區(qū)模擬）已知向量a→=(1，2)，b→=(λA．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考點】平面向量共線（平行）的坐標表示．【專題】方程思想；綜合法；平面向量及應用；運算求解．【答案】B【分析】由向量平行的坐標表示即可求解．【解答】解：因為a→所以a因為(a→+所以﹣（1+μ）＝λ，所以λ+μ＝﹣1．故選：B．【點評】本題考查平面向量的坐標運算，屬于基礎題．5．（2025?山東模擬）如圖所示，在正方形ABCD中，E為AB的中點，F(xiàn)為CE的中點，則AF→A．34AB→+14AD→ B．1【考點】平面向量的基本定理．【專題】計算題；平面向量及應用．【答案】D【分析】根據(jù)題意得：AF→【解答】解：根據(jù)題意得：AF→又AC→=AB所以AF→故選：D．【點評】本題主要考查了平面向量的基本定理的簡單應用，屬于基礎試題二．多選題（共3小題）（多選）6．（2025?昭陽區(qū)校級開學）已知向量a→，b→，c→滿足a→=（1，1），b→=（﹣1，2），c→A．|aB．當b→∥c→時，4m+C．當(2a→+b→)⊥cD．b→在a→【考點】平面向量數(shù)量積的坐標運算；平面向量共線（平行）的坐標表示；平面向量的投影向量．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應用；運算求解．【答案】BC【分析】由向量坐標的線性運算，利用向量模長公式，可判定A；由平行向量的坐標表示，建立方程，可判定B；由向量坐標的線性運算，利用垂直向量坐標，可判定C；利用投影向量的計算方法，可判定D．【解答】解：對于A，由a→=(1，可得a→-b→=(2對于B，b→=(-1，當b→∥c→時，可得﹣n+1＝4m，即4m+n＝對于C，2a→+可得m+2n＝2，故C正確；對于D，b→在a→上的投影向量為a→故選：BC．【點評】本題考查平面向量的線性運算及數(shù)量積運算，考查投影向量的概念，屬中檔題．（多選）7．（2024秋?威海期末）設向量a→=（x+4，x），b→=（A．x＝0是a→⊥b→B．x＝﹣6是a→⊥b→C．a(chǎn)→∥b→是x＝4D．a(chǎn)→∥b→是x＝﹣【考點】平面向量數(shù)量積的坐標運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應用；運算求解．【答案】AC【分析】根據(jù)已知條件，結合向量平行、垂直的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：向量a→=（x+4，x），b→=（若a→⊥b則（x+4）x+2x＝0，解得x＝0或x＝﹣6，故x＝0是a→⊥b→的充分條件，故A正確；x＝﹣6是a→⊥b若a→則2（x+4）＝x2，解得x＝4或x＝﹣2，故a→∥b→是x＝4的必要條件，故C正確；a→∥b故選：AC．【點評】本題主要考查向量垂直、平行的性質(zhì)，屬于基礎題．（多選）8．（2024秋?錦州期末）已知|OM→|=2，|ON→|=2，OM→與ON→夾角為π3，若|OP→|=2且OP→A．2 B．32 C．52 D【考點】平面向量的基本定理；數(shù)量積表示兩個平面向量的夾角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應用；運算求解．【答案】CD【分析】由題意將OP→=xOM→+yON→平方可得x2+y2【解答】解：由|OM→|=2，|ON→|=2，所以OM→因為|OP→|=2且OP→=xOM→+所以4=x2OM→2+y2ON即x2+y2+xy＝1，所以(x所以34(x+y)2≤1結合選項可得C，D符合題意．故選：CD．【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）9．（2025?新余一模）已知向量a→=(1，-2)，b→=(-1，1)【考點】平面向量共線（平行）的坐標表示．【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】12【分析】由向量線性關系的坐標運算及共線的坐標表示列方程求參數(shù)即可．【解答】解：由題設b→a→∴-2-3故答案為：12【點評】本題考查向量線性關系的坐標運算及共線的坐標表示等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．10．（2024秋?丹東期末）在△ABC中，D是BC上一點，且BD＝3DC，用基底{AD→，AC→}表示向量AB→【考點】用平面向量的基底表示平面向量．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應用；運算求解．【答案】4AD【分析】由題意可得出BD→=3DC→，利用平面向量的減法可得出AB→【解答】解：由題知，BD→所以AD→-AB故答案為：4AD【點評】本題考查平面向量的線性運算，屬于基礎題．11．（2025?薊州區(qū)校級模擬）D為△ABC的邊AB一點，滿足AD→=2DB→．記a→=CA→，b→=CB→，用a→，b→表示CD→=【考點】用平面向量的基底表示平面向量．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應用；邏輯思維；運算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)平面向量的線性運算計算即可，設∠ACB＝2θ∈（0，π），根據(jù)三角形的面積公式可得ab=【解答】解：因為AD→所以CD→設∠ACB＝2θ∈（0，π），則θ∈設A，B的對邊分別為a，b，由△ABC的面積為98，得1所以ab=因為CD→即1==4所以1+cos又因為θ∈(0，π2)，所以tan當且僅當19b2=49所以∠ACB的最小值為π2故答案為：13a→【點評】本題考查平面向量的線性運算和余弦定理，屬于中檔題．12．（2025?百色校級開學）已知向量a→=(5，2)，b→=(1，【考點】平面向量共線（平行）的坐標表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應用；運算求解．【答案】25【分析】先求出2a【解答】解：由a→=(5，又(2a所以9λ﹣（4﹣λ）＝0，解得λ=故答案為：25【點評】本題主要考查平面向量共線的性質(zhì)，屬于基礎題．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?中山區(qū)校級期末）在△ABC中，點D為邊AC上靠近A的三等分點，點M為形內(nèi)一點．（1）如圖，若點M滿足5AM→=2AC→-BC（2）若點O為△ABC的外心，點M滿足3OM→=OA→+OB→+OC→【考點】平面向量的基本定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應用；運算求解．【答案】（1）35（2）k=【分析】（1）延長AM至E使AE＝5AM，可以得到四邊形ABEC是平行四邊形，然后根據(jù)AC→=3AD→，所以S△（2）設MN→=λDN→，由BN→=【解答】解：（1）M是△ABC所在平面內(nèi)一點，延長AM至E使AE＝5AM，因為5AM所以AB→連接BE，因為向量AB→和向量CE→則四邊形ABEC是平行四邊形，由于AC→=3AD又AE→=5AM在平行四邊形中，S△ABC＝S△ABE，所以△ABM與△ABD的面積之比為S△（2）因為3OM→=設MN→=λDN→因為BN→=k所以BN=λ=λ=(2又BN→則有23λ+(1+所以k=【點評】本題考查平面向量的基本定理的應用，屬中檔題．14．（2024秋?大連校級期末）已知e1→，e2→是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，AB→（1）求實數(shù)λ的值；（2）若e1→=(2（3）已知D（3，5），在（2）的條件下，若A，B，C，D四點按順時針順序構成平行四邊形，求點A的坐標．【考點】平面向量加減法的坐標運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應用；運算求解．【答案】（1）λ=（2）（﹣7，﹣2）（3）（10，7）．【分析】（1）首先表示出AE→，根據(jù)AE（2）直接由向量線性運算的坐標表示即可求解；（3）根據(jù)AD→【解答】解：（1）AE→因為A，E，C三點共線，所以存在實數(shù)k，使得AE→即e1→+(1+因為e1→，e2→是平面內(nèi)兩個（2）BE→（3）因為A，B，C，D四點按順時針順序構成平行四邊形，所以AD→設A（x，y），則AD→因為BC→=(-7，-2)即點A的坐標為（10，7）．【點評】本題主要考查平面向量的線性運算、坐標運算，屬于基礎題．15．（2025?沈陽開學）設e1→，e2→是不共線的非零向量，且a→（1）證明：{a→，b→（2）若向量c→=e1→+3e2→，試用基底【考點】用平面向量的基底表示平面向量．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應用；邏輯思維．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）假設a→，b→共線，則存在實數(shù)λ，使得a→=λb→，推出e1→，e（2）設c→=e1→+3e2→=xa→+yb→=x（e1【解答】解：（1）證明：假設a→，b所以存在實數(shù)λ，使得a→=λ即e1→+2e2整理得（1﹣λ）e1→=-（λ+2則e1→，e2→共線，這與e1所以假設不成立，即a→與b→所以{a→，b→（2）設c→=e1→+3e2→=xa→+yb＝（x+y）e1→+（2x﹣y因為e1→，e2所以x+解得x=所以c→【點評】本題考查向量的共線，基底，屬于中檔題．

考點卡片1．平面向量的數(shù)乘與線性運算【知識點的認識】（1）實數(shù)與向量a→的積是一個向量，記作λa→，它的大小為|λa→|＝|λ||a→|，其方向與λ的正負有關．若|λa→|≠0，當λ＞0時，λa→的方向與a→的方向相同，當λ＜當λ＝0時，λa→與a對于非零向量a、b，當λ≠0時，有a→∥b→?a（2）向量數(shù)乘運算的法則①1a→=a→；（﹣②（λμ）a→=λ（μ）a→=μ③（λ+μ）a→=λa→④λ（a→+b→）＝λ一般地，λa→+μb→叫做a→，b→的一個線性組合（其中，λ、μ均為系數(shù)）．如果l→=λa→+2．平面向量的投影向量【知識點的認識】投影向量是指一個向量在另一個向量上的投影．投影向量可以用來求兩個向量之間的夾角，也可以用來求一個向量在另一個向量上的分解．設a→，b→是兩個非零向量，AB=a→，CD=b→，考慮如下的變換：過AB的起點A和終點B分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到A1B1，稱上述變換為向量a→向向量b→向量a→在向量b→上的投影向量是【解題方法點撥】投影，是一個動作．投影向量，是一個向量．我們把|a→|cosθ叫作向量（1）向量a→在向量b→上的投影向量為|a→|e→cosθ（其中e→為與b（2）注意：a→在b→方向上的投影向量與b→在a→方向上的投影向量不同，b→【命題方向】（1）向量分解：將一個向量分解成與另一個向量垂直和平行的兩個部分．（2）向量夾角計算：通過求兩個向量之間的夾角，則可以判斷它們之間的關系（如垂直、平行或成銳角或成鈍角）．（3）空間幾何問題：求點到平面的距離．3．平面向量的基本定理【知識點的認識】1、平面向量基本定理內(nèi)容：如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對這一平面內(nèi)任一a→，有且僅有一對實數(shù)λ1、λ2，使a2、基底：不共線的e1、e2叫做平面內(nèi)表示所有向量的一組基底．3、說明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行．（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．4．用平面向量的基底表示平面向量【知識點的認識】1、平面向量基本定理內(nèi)容：如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對這一平面內(nèi)任一a→，有且僅有一對實數(shù)λ1、λ2，使a2、基底：不共線的e1、e2叫做平面內(nèi)表示所有向量的一組基底．3、說明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行．（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．【解題方法點撥】﹣表示轉(zhuǎn)換：將向量v→寫成基底向量的線性組合．例如，v→用基底e→1和﹣基底選擇：在特定的基底下表示向量時，選擇適當?shù)幕撞⑦M行線性組合．【命題方向】﹣向量基底表示：考查如何使用基底向量表示任意平面向量．﹣基底下的計算：如何在給定的基底下進行向量運算．在△ABC中，若D，E，F(xiàn)分別是AB的3個四等分點，且CB→=e1→，CA→=e2→，試用基底解：在△ABC中，若D，E，F(xiàn)分別是AB的3個四等分點，且CB→=e由題意得BD→=14BA故CD→-CB→=同理，CE→-CB→=12所以CE→=12（因為CB→=e整理得，CE→=15．平面向量加減法的坐標運算【知識點的認識】﹣向量加法：如果a→=(a1，﹣向量減法：如果a→=(a1，【解題方法點撥】﹣坐標運算：直接對向量的坐標分量進行加減操作，得出結果．﹣實際應用：用于解決如點的移動、向量差等問題．【命題方向】﹣向量運算的實際應用：考查向量加減法在實際問題中的應用，如幾何問題中的位置計算．﹣坐標運算技巧：如何高效進行向量的坐標運算．向量a→，b→滿足a解：由a→+b→=（﹣1，5），a得2b→=（﹣1，5）﹣（5，﹣3）＝（﹣6，所以