2024-2025學(xué)年廣東省廣州市高二下冊(cè)3月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年廣東省廣州市高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題一、單選題1．某物體做直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律是，則它在第4秒末的瞬時(shí)速度為（

）A．米/秒 B．米/秒 C．8米/秒 D．米/秒2．已知等差數(shù)列滿足：公差，，，則（

）A．17 B．18 C．19 D．203．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，以下命題正確的是（

）A．是函數(shù)的最小值B．是函數(shù)的極值C．在區(qū)間上不單調(diào)D．在處的切線的斜率大于04．甲?乙?丙?丁四名同學(xué)和一名老師站成一排合影留念.若老師站在正中間,甲同學(xué)不與老師相鄰,乙同學(xué)與老師相鄰,則不同站法種數(shù)為A．24 B．12 C．8 D．65．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是（

）A．-4 B．-2 C．0 D．26．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若＝3，則＝（

）A．9 B．7 C．5 D．47．設(shè)直線與曲線的三個(gè)交點(diǎn)分別為、、，且.現(xiàn)給出如下結(jié)論：①的取值范圍是；②為定值；③有最小值無(wú)最大值.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為A． B． C． D．8．已知橢圓的右焦點(diǎn)為經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線的傾斜角為且直線交該橢圓于兩點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題9．函數(shù)過(guò)點(diǎn)的切線方程是（

）A． B．C． D．10．已知圓O：和圓C.現(xiàn)給出如下結(jié)論，其中正確的是A．圓O與圓C有四條公切線B．過(guò)C且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為或C．過(guò)C且與圓O相切的直線方程為D．P?Q分別為圓O和圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為，最小值為11．已知數(shù)列中，，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．是等比數(shù)列 D．三、填空題12．已知函數(shù)，則.13．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的前2019項(xiàng)和為．14．某工藝品如圖所示分成五個(gè)區(qū)域.現(xiàn)對(duì)此工藝品進(jìn)行著色，要求相鄰區(qū)域不能使用同一種顏色.現(xiàn)有5種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種（用數(shù)學(xué)作答）.四、解答題15．設(shè)(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)的極大值為，求函數(shù)在上的最小值．16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．17．如圖，在四棱錐中，底面，，平面平面，，四棱錐的體積為4.(1)求證：；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.18．已知數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為9的等比數(shù)列，數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．已知函數(shù)，(1)當(dāng)時(shí)，求在上的最大值；(2)求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．答案題號(hào)12345678910答案BCDCCBCCADAD題號(hào)11答案AC1．B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)實(shí)際意義求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，令，則，即在第4秒末的瞬時(shí)速度為米/秒.故選：B2．C【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式基本量計(jì)算得到，求出的值.【詳解】，即，解得，即，故.故選：C3．D【分析】借助導(dǎo)函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性、最值、極值的定義與導(dǎo)數(shù)的意義即可判斷.【詳解】由圖可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是函數(shù)的最小值，也是函數(shù)的極小值，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在處的切線的斜率大于0，即A、B、C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.4．C根據(jù)特殊元素優(yōu)先考慮原則，先排乙，再排甲，結(jié)合左右對(duì)稱原則求解.【詳解】由題：老師站中間，第一步：排乙，乙與老師相鄰，2種排法；第二步：排甲，此時(shí)甲有兩個(gè)位置可以站，2種排法；第三步：排剩下兩位同學(xué)，2種排法，所以共8種.故選：C此題考查計(jì)數(shù)原理，關(guān)鍵在于弄清計(jì)數(shù)方法，根據(jù)分步和分類計(jì)數(shù)原理解決實(shí)際問(wèn)題.5．C【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，利用列表法求出最值.【詳解】因?yàn)?所以，由,得x=0或x=2.在上列表得：x-101+0--4單增0單減-2所以最大值是0.故選：C6．B【分析】根據(jù)分式性質(zhì)可得，由等比數(shù)列的性質(zhì)得到，進(jìn)一步化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】∵，根據(jù)分式的性質(zhì)可得，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知成等比數(shù)列，得到∴，∴∴.故選：B.本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查分析解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.7．C【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)，作出曲線，再作直線，由的變化率分析的最值，構(gòu)造方程，由三次方程根與系數(shù)的關(guān)系得的關(guān)系．【詳解】由，，可知或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，是極大值，是極小值，因此的圖像如圖所示，其中，在上的變化率逐漸減小，在上的變化率逐漸增大，因此的值先增大后減小，故存在最大值不存在最小值，故③錯(cuò)誤；又由題意知是方程即的三個(gè)根，所以由韋達(dá)定理得，，，所以，故①②正確；故選：C8．C【分析】寫出直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，結(jié)合條件，求得A，B的橫坐標(biāo)，代入到韋達(dá)定理中的中，化簡(jiǎn)求得a與c的關(guān)系，從而求得離心率.【詳解】由題知，直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立，整理得，則，又，則，則，結(jié)合韋達(dá)定理知，，，則，整理得，則離心率故選：C9．AD【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，得切線方程，代入點(diǎn)可得切點(diǎn)和切線方程.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，∴在處的切線斜率為，切線方程為，由切線過(guò)，，解得或，時(shí)切線方程，選D；時(shí)切線方程，選A.故選：AD10．AD【分析】對(duì)于A，先由已知判斷兩圓的位置關(guān)系，從而可判斷兩圓的公切線的條數(shù)；對(duì)于B，截距相等可以過(guò)原點(diǎn)或斜率只能為，從而可得直線方程；對(duì)于C，由于點(diǎn)C在圓O外，所以過(guò)點(diǎn)C與圓O相切的直線有兩條；對(duì)于D，的最大值為圓心距與兩圓半徑的和，最小值為圓心距與兩圓半徑的差，【詳解】解：由題意可得，圓O：的圓心為，半徑，圓C：的圓心，半徑,因?yàn)閮蓤A圓心距，所以兩圓相離，有四條公切線，A正確；截距相等可以過(guò)原點(diǎn)或斜率只能為，B不正確；過(guò)圓外一點(diǎn)與圓相切的直線有兩條，C不正確；的最大值等于，最小值為，D正確.故選：AD此題考查兩圓的位置關(guān)系的有關(guān)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題11．AC【分析】根據(jù)遞推關(guān)系求得，由此判斷ABD選項(xiàng)的正確性，結(jié)合等比數(shù)列的定義判斷C選項(xiàng)的正確性.【詳解】，即，則，，，所以A正確；顯然有，所以B不正確；亦有，所以D不正確；又，相除得，因此數(shù)列，分別是以1，2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故C正確.故選：AC12．2【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法則計(jì)算即可.【詳解】∵，∴，∴∴.故2.13．；【分析】先根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式可列出關(guān)于和的方程組，解出和的值，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，即求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求出前2019項(xiàng)和．【詳解】解：由題意可設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得：．∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為，∴，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，.故．14．420【分析】根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，分D與B同色和D與B不同色兩種情況求解即可.【詳解】第一類：先涂A，有5種情況，涂B，有4種情況，涂C，有3種情況，D與B同色，涂E，有3種情況，共有種.第二類：先涂A，有5種情況，涂B，有4種情況，涂C，有3種情況，D與B不同色，有2種情況，涂E，有2種情況，共有種.綜上共有420種.故42015．(1)單調(diào)遞增區(qū)間為和；(2).【分析】（1）求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性；（2）由（1）知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，找到在處取得極大值，可求出，求得最小值.【詳解】（1），由得或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和；（2）由Ⅰ知函數(shù)在處取得極大值，即，得，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，所以在上的最小值為．16．(1)(2)【分析】（1）利用公式，即可求解；（2）首先根據(jù)（1）的結(jié)果，得，再利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，以及分組轉(zhuǎn)化法求和.【詳解】（1），兩式相減得，又當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以；（2）由（1）得，.17．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）設(shè)，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，從而得到，再說(shuō)明，即可得到平面，從而得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【詳解】（1）設(shè)，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所?（2）在中，由，，可得，，由（1）知，則，解得，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，以為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，所以，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，又，則，取，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為.18．(1)；(2)【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，利用數(shù)列的遞推式作差可得，從而得解；（2）由（1）求得，再利用錯(cuò)位相減法即可得解.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為3，公比為9的等比數(shù)列，所以，所以，由，得當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得，即，又當(dāng)時(shí)，也符合，所以.（2）設(shè)，則，故，兩式作差得，即，所以.19．(1)1