直角三角形第2課時直角三角形全等的判定

第一章三角形的證明2直角三角形第2課時直角三角形全等的判定目錄CONTENTSA知識分點練B能力綜合練C拓展探究練知識點1

用“HL”判定直角三角形全等1.如圖，O是∠BAC內(nèi)一點，點O到AB，AC的距離分別為OE，

OF，且OE＝OF，則△AEO≌△AFO的依據(jù)是（

A

）

A.HLB.AASC.SASD.ASAA1234567891011122.如圖，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD.

若∠1＝30°，則∠2＝（

C

）A.40°B.50°C.60°D.75°C1234567891011123.（2024·西安校級月考）如圖，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝

90°，AC＝DE.

若要用“HL”直接證明Rt△ABC≌Rt△DFE，則還需

補充的條件是

?.BC＝EF（或BE＝FC）

1234567891011124.（2024·榆林校級月考）如圖，點E，F(xiàn)在線段BD上，AF⊥BD，

CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF.

求證：AF＝CE.

123456789101112知識點2

用其他方法證明直角三角形全等5.如圖，用紙板擋住直角三角形的一部分后，能畫出與此直角三角

形全等的三角形，其全等的依據(jù)是（

C

）A.SSSB.SASC.ASAD.HLC1234567891011126.（教材P35復(fù)習(xí)題T13變式）如圖，∠BAC＝90°，∠CDB＝90°，

AC，BD相交于點O.

（1）已知AB＝DC，AC＝DB，利用

?可以判定

△ABC≌△DCB；（2）已知AB＝DC，OA＝OD，利用

?可以判定

△ABO≌△DCO；SSS

SAS

123456789101112（3）已知AC＝BD，利用

可以判定△ABC≌△DCB；（4）已知AO＝DO，利用

可以判定△ABO≌△DCO；（5）已知AB＝DC，利用

可以判定△ABO≌△DCO.

（答案不唯一，合理即可）HL

ASA

AAS

123456789101112知識點3

“HL”在實際問題中的應(yīng)用7.（教材P20例題變式）如圖，有兩個長度相等的滑梯（即BC＝

EF），左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等.有下列

結(jié)論：①AB＝DE；②∠ABC＋∠DFE＝90°；③∠ABC＝∠DEF.

其中正確的有（

C

）A.1個B.2個C.3個D.0個C123456789101112

8.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，則下列直

角三角形與Rt△ABC全等的是（

A

）

AA B

C

D1234567891011129.（教材P21習(xí)題T3變式）用三角尺按下面的方法畫角平分線：如圖，

在∠AOB的兩邊上分別取點M，N，使OM＝ON，再分別過點M，N

作OA，OB的垂線，交點為P，畫射線OP，則OP平分∠AOB.

作法

中證明△OMP與△ONP全等的依據(jù)是（

D

）A.SASB.SSSC.ASAD.HLD12345678910111210.如圖，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，點P和點Q分別

在線段AC和射線AX上運動，且AB＝PQ，當(dāng)點P運動到AP＝

?

時，△ABC與△APQ全等.5或

10

12345678910111211.如圖，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F(xiàn)為AB延長線上

一點，點E在邊BC上，且AE＝CF.

（1）求證：BE＝BF；解：（1）證明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵AB＝CB，AE＝CF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），∴BE＝BF.

123456789101112（2）若∠CAE＝22°，求∠ACF的度數(shù).

（2）∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠CAB＝∠ACB＝45°，∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－22°＝23°.由（1），知Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝23°，

∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝23°＋45°＝68°.123456789101112變式題

12.

如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點

C，過A，B兩點分別作

AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分別為D，E.

（1）如圖1，當(dāng)直線MN在△ABC外部時，求證：DE＝AD＋BE；123456789101112解：（1）證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝90°.又∠ACB＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝∠DCA＋∠ECB＝90°，∴∠DAC＝∠ECB.

在△ADC和△CEB中，∵∠ADC＝∠CEB，∠DAC＝∠ECB，AC＝CB，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE.

∵DE＝CD＋CE，∴DE＝AD＋BE.

123456789101112（2）如圖2，當(dāng)直線MN經(jīng)過△ABC內(nèi)部時，請寫出線段AD，DE，

BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.（2）DE＝AD－BE.

證明：同理可證得△ADC≌△CEB，∴CD＝BE，AD＝CE.

∵DE＝CE－CD，∴DE＝AD－BE.

123456789101112謝謝觀看第11題變式變式1如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，E為AC上一點，且BF

＝AC，DF＝DC.

（1）求證：△BDF≌△ADC；

（2）已知AC＝5，DF＝3，求AF的長.（2）∵BF＝AC，AC＝5，∴BF＝5.∵DF＝3，∴DC＝3.

變式2如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，E是AC上一點，連接

BE交AD于點F，BF＝AC，DF＝DC.

（1）求證：△BDF≌△ADC；解：（1）證明：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠BDF＝90°.∵BF＝AC，DF＝DC，∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）.（2）求證：BE⊥AC；（2）證明：∵Rt△BDF≌Rt△ADC，∴∠BFD＝∠C.

∵∠DBF＋∠BFD＝90°，∴∠C＋∠DBF＝90°，∴BE⊥AC.

（3）若BD＝4，CD＝3，求BE的長.（