初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-9年級(jí)專題12三角函數(shù)

專題12三角函數(shù)

閱讀與思考

三角函數(shù)揭示了直角三角形中邊與銳角之間的關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合的重要體現(xiàn)，解三角函數(shù)相關(guān)問(wèn)題

時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：

1．理解同角三角函數(shù)間的關(guān)系．

（1）平方關(guān)系：sin2cos21；

sincos

（2）商數(shù)關(guān)系：tan，cot；

cossin

（3）倒數(shù)關(guān)系：tancot1．

2．善于解直角三角形．

從直角三角形中的已知元素推求其未知的一些元素的過(guò)程叫作解直角三角形．解直角三角形，

關(guān)鍵是合理選用邊角關(guān)系，它包括勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)的概念．許

多幾何計(jì)算問(wèn)題都可歸結(jié)為解直角三角形，常見(jiàn)的基本圖形有：

例題與求解

【例1】在△ABC中，BC＝1992，AC＝1993，AB＝19921993，則sinAcosC．

（河北省競(jìng)賽試題）

解題思路：通過(guò)計(jì)算，尋找BC2，AC2，AB2之間的關(guān)系，判斷三角形形狀，看能否直接用三角函

數(shù)的定義解題．

【例2】某片綠地形狀如圖所示，其中∠A＝600，AB⊥BC，AD⊥CD，AB＝200m，CD＝100m．

求AD，BC的長(zhǎng)．（精確到1m，31.732）

解題思路：本題的解題關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，構(gòu)造的原則是不能破壞∠A，所以連結(jié)AC不

行．延長(zhǎng)AD和BC交于一點(diǎn)E（如圖1），這樣既構(gòu)造出了直角三角形，又保全了特殊角∠A；

或過(guò)點(diǎn)D作矩形ABEF（如圖2）來(lái)求解．

【例3】如圖，已知正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)．將正方形折疊起來(lái)，使點(diǎn)A和點(diǎn)E重

1

合，折痕為MN．若tanAEN，DC＋CE＝10．

3

（1）求△ANE的面積；

（2）求sinENB的值．

1

解題思路：將tanAEN與DC＋CE＝10結(jié)合起來(lái)，可求出相關(guān)線段的長(zhǎng)，為解題鋪平

3

道路．

【例4】如圖，客輪沿折線A—B—C從A出發(fā)經(jīng)B再到C勻速航行，貨輪從AC的中點(diǎn)D出

發(fā)沿某一方向勻速直線航行，將一批物品送達(dá)客輪．兩船同時(shí)起航，并同時(shí)到達(dá)折線A—B—C上

的某點(diǎn)E處．已知AB＝BC＝200海里，∠ABC＝900，客輪速度是貨輪速度的2倍．

（1）選擇：兩船相遇之處E點(diǎn)（）

A．在線段AB上

B．在線段BC上

C．可以在線段AB上，也可以在線段BC上

（2）求貨輪從出發(fā)到兩船相遇共航行了多少海里？（結(jié)果保留根號(hào)）

（南京市中考試題）

解題思路：對(duì)于（2），過(guò)D作DF⊥CB于F，設(shè)DE=x，建立關(guān)于x的方程．

【例5】若直角三角形的兩個(gè)銳角A，B的正弦是方程x2pxq0的兩個(gè)根．

（1）那么，實(shí)數(shù)p，q應(yīng)滿足哪些條件？

（2）如果p，q滿足這些條件，方程x2pxq0的兩個(gè)根是否等于直角三角形的兩個(gè)銳角

A，B的正弦？

（江蘇省競(jìng)賽試題）

解題思路：解本例的關(guān)鍵是建立嚴(yán)密約束條件下的含不等式、等式的混合組，需綜合運(yùn)用一

元二次方程，三角函數(shù)的知識(shí)與方法．

【例6】設(shè)a，b，c是直角三角形的三邊，c為斜邊，整數(shù)n≥3．求證：anbncn．

（福建省競(jìng)賽試題）

解題思路：由直角三角形的邊可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)正余弦來(lái)解．其不等關(guān)系可以利用正弦、

余弦的有界性來(lái)證明．

能力訓(xùn)練

A級(jí)

3

1．如圖，D是△ABC的邊AC上一點(diǎn)，CD＝2AD，AE⊥BC于E．若BD＝8，sinCBD，則AE

4

＝．

2．已知00900，則y54sinsin的最大值是，最小值是．

（上海市理科實(shí)驗(yàn)班招生考試試題）

3．如圖，在△ABC中，∠C＝900，∠BAC＝300，BC＝1，D為BC邊上的一點(diǎn)，tanADC是方

11

程3(x2)5(x)2的一個(gè)較大的根，則CD＝．

x2x

4．已知△ABC的兩邊長(zhǎng)a＝3，c＝5，且第三邊長(zhǎng)b為關(guān)于x的一元二次方程x24xm0的兩

個(gè)正整數(shù)根之一，則sinA的值為．（哈爾濱中考試題）

5．如圖，小雅家（圖中點(diǎn)O處）門(mén)前有一條東西走向的公路，經(jīng)測(cè)得有一水塔（圖中點(diǎn)A處）在

她家北偏東600距離500m處，那么水塔所在的位置到公路的距離AB是（）

500

A．250mB．2503mC．3mD．2502m

3

6．如圖，在△ABC中，∠C＝900，∠ABC＝300，D是AC的中點(diǎn)，則cotDBC的值是（）

33

A．3B．23C．D．

24

（大連市中考試題）

7．一漁船上的漁民在A處看見(jiàn)燈塔M在北偏東600方向，這艘漁船以28海里/時(shí)的速度向正東航

行．半小時(shí)后到B處，在B處看見(jiàn)燈塔M在北偏東150方向，此時(shí)燈塔M與漁船的距離是

（）（黃岡市中考試題）

A．72海里B．142海里C．7海里D．14海里

8．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝600，∠B＝∠D＝900，AD＝8，AB＝7，則BC＋CD等于（）

A．63B．53C．43D．33

9．如圖是某品牌太陽(yáng)能熱水器的實(shí)物圖和橫斷面示意圖．已知真空集熱管AB與支架CD所在直線

相交于水箱橫斷面⊙O的圓心，支架CD與水平面AE垂直，AB＝150厘米，∠BAC＝300，另一

根輔助支架DE＝76厘米，∠CED＝600．

（1）求垂直支架CD的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）；

（2）求水箱半徑OD的長(zhǎng)度（結(jié)果保留三位有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)：21.41,31.73）．

（揚(yáng)州市中考試題）

111

10．若為銳角，求證：4．

sincossincos

（寧波市競(jìng)賽試題）

11．如圖，已知AB＝CD＝1，∠ABC＝900,∠CBD＝300，求AC的長(zhǎng)．

（加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題）

12．如圖，在△ABC中，∠ACB＝900，CD⊥AB于點(diǎn)D，CD＝1．若AD，BD的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程

x2pxq0的兩根，且tanAtanB2，求p，q的值并解此二次方程．

B級(jí)

1

1．若00300，且sinkm（k為常數(shù)，k＜0），則m的取值范圍是．

3

37

2．設(shè)00450，sincos，則sin．（武漢市選拔賽試題）

16

5

3．已知在△ABC中，∠A，∠B是銳角，且sinA,tanB2，AB＝29cm，則△ABC的面積

13

等于．（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）

4．如圖，在正方形ABCD中，N是DC的中點(diǎn)，M是AD上異于D的點(diǎn)，且NMBMBC，

則有tanABM．（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

ABAC

5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝900,∠CAB＝300，AD平分∠CAB，則的值為（）

CDCD

3

A．3B．C．33D．623

3

（湖北省選拔賽試題）

6．如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥CD，BC＝CD＝2AD，E是CD上一點(diǎn)，∠ABE＝450，

則tanAEB的值等于（）（天津市競(jìng)賽試題）

35

A．B．2C．D．3

22

AD

7．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C＝900,∠CBD＝300，則＝（）

DC

32

A．B．C．21D．31

32

（山東省競(jìng)賽試題）

8．如圖是一座人行天橋的引橋部分的示意圖，上橋通道是由兩段互相平行并且與地面成370角的樓

梯AD，BE和一段水平天臺(tái)DE構(gòu)成．已知天橋高度BC＝4.8米，引橋水平跨度AC＝8米．

（1）求水平天臺(tái)DE的長(zhǎng)度；

（2）若與地面垂直的平臺(tái)立柱MN的高度為3米，求兩段樓梯AD與BE的長(zhǎng)度之比．（參考數(shù)據(jù)：

取sin3700.60,cos3700.80,tan3700.75）（長(zhǎng)沙市中考試題）

9．在△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，且c＝53．若關(guān)于x的方程

(53b)x22ax(53b)0有兩個(gè)相等的實(shí)根，又方程2x2(10sinA)x5sinA0

的兩實(shí)數(shù)根的平方和為6，求△ABC的面積．

（武漢市中考試題）

10．如圖，EFGH是正方形ABCD的內(nèi)接四邊形，兩條對(duì)角線EG和FH所夾的銳角為，且BEG

與CFH都是銳角．已知EGk,FHl,四邊形EFGH的面積為S．

2S

（1）求證：sin；

kl

（2）試用k,l,S來(lái)表示正方形ABCD的面積．

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

4

11．如圖，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A＝900，BC＝CD＝10，sinC．

5

(1)求梯形ABCD的面積；

（2）點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)向點(diǎn)D

運(yùn)動(dòng)．若兩點(diǎn)均以每秒1個(gè)單位的速度同時(shí)出發(fā)，連接EF，求△EFC面積的最大值，并說(shuō)明此

時(shí)E，F(xiàn)的位置．

（濟(jì)寧市中考試題）

12．如圖，甲樓樓高16米，乙樓坐落在甲樓的正北面．已知當(dāng)冬至中午12時(shí)太陽(yáng)光線與水平面的

夾角為300，此時(shí)，求：

（1）如果兩樓相距20米，那么甲樓的影子落在乙樓上有多高？

（2）如果甲樓的影子剛好落在乙樓上，那么兩樓的距離應(yīng)當(dāng)是多少？

（山東省競(jìng)賽試題）

專題12三角函數(shù)

例1AC2－BC2＝(1993＋1992)(1993－1992)＝1993＋1992＝AB2，∴AC2＝AB2＋BC2，得∠B＝90°，故

1992

原式＝()2.

1993

例2AD＝227m，BC＝146m.解法一:延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)E，如圖1.在Rt△ABE

AB200

中，AB＝200m，∠A＝60°，∴BE＝AB·tanA＝2003(m)，AE＝＝＝

cos60°0.5

400(m).在Rt△CDE中，CD＝100m.∠E＝90°－∠A＝30°，∴CE＝2CD＝

DE

200(m.∵cot∠E＝，DE＝CD·cot30°＝1003(m)，∴AD

CD

＝AE－DE＝400－1003≈227(m)，BC＝BE－CE＝2003－200≈146(m).解法二:如圖

2，過(guò)點(diǎn)D作矩形ABEF.設(shè)AD＝x.在Rt△AFD中，∠DAF＝90°－60°＝30°，∴DF＝

1131

AD＝x，AF＝x，在Rt△CED中，∠CDE＝30°，∴CE＝CD＝50(m)，DE＝

2222

31

CD＝503(m)，∵DE＋DF＝AB.∴503＋x＝200，解得x＝400－1003.∴AD＝400－

22

3

1003≈227(m).∵BC＋CE＝AF，∴BC＝AF－CE＝(400－1003)－50＝2003－200≈146(m).

2

103EB

例3⑴⑵提示：tan∠AEN＝tan∠EAB＝.

35AB

例4⑴設(shè)DE＝x(海里)，則客輪從A點(diǎn)出發(fā)到相遇之處E點(diǎn)的距離為2x海里.若2x<200，則x<100，

1

即DE<AB，而從D點(diǎn)出發(fā)，貨輪到相遇點(diǎn)E處的最短距離是100海里，所以x≥100，

2

即2x≥200，故相遇處E點(diǎn)應(yīng)在CB上，選B.⑵設(shè)貨輪從出發(fā)點(diǎn)D到兩船相遇處E共

航行了x海里，如圖，過(guò)D作DF⊥CB于F，連DE，則DE＝x，AB＋BE＝2x，DF＝

1006

100，EF＝300－2x，由x2＝1002＋(300－2x)2，得x＝200－(海里).

3

例5⑴p，q應(yīng)滿足以下條件：

2

△＝p－4q≥0

sinA＋sinB＝－pp<0

sinA·sinB＝q1

.由此推得0<q≤,⑵先設(shè)方程x2＋px＋q＝0的兩個(gè)根為α，β，若α，β滿足

0＜sinA＜12

2－＝

0＜sinB＜1p2q1

sin2A＋cos2A＝1

p2－4q≥0①

0＜α＜1，0＜β＜1②，則α，β必定是直角三角形的兩個(gè)銳角的正弦;若α，β不滿足條件①②③式中任何

22

α＋β＝1③

一個(gè)，則結(jié)論是否定的.

ab

例6設(shè)α為直角三角形一銳角，則sinα＝，cosα＝.∵0<sinα<1，0<cosα<1∴當(dāng)n≥3時(shí)，sinnα<sin2α，

cc

ab

cosnα<cos2α，于是sinnα＋cosnα<sin2α＋cos2α＝1，即()n＋()n<1，故an＋bn<cn.

cc

43－2111

A級(jí)1.92.51提示：用換元法.3.4.5.A6.B7.A8.B9.⑴在

36

DC

Rt△DCE中，∠CED＝60°，DE＝76.∵sin∠CED＝，∴DC＝DE·sin∠CED＝383(厘米).故垂直支架

DE

CD的長(zhǎng)度為383厘米.

⑵設(shè)水箱半徑OD＝x厘米，則OC＝(383＋x)厘米，AO＝(150＋x)厘米.∵Rt△OAC中，∠BAC＝30°，

∴AO＝2OC，即150＋x＝2(383＋x），解得x＝150－763≈18.52≈18.5(厘米).故水箱半徑OD的長(zhǎng)度為

18.5厘米.

1111－sinα1－cosα1－2sinαcosα

10.(－1)＋(－1)＋(－2)＝＋＋，∵0<sinα<1，0<cosα<1，于

sinαcosαsinαcosαsinαcosαsinαcosα

1－sinα1－cosα(sinα－cosα)2111

是有1－sinα>0,1－cosα>0,∴＋＋>0，即＋＋>4.

sinαcosαsinαcosαsinαcosαsinαcosα

x21

11.過(guò)C作CE∥AB交BD于E，設(shè)AC＝x，則CB＝x21，CE＝BC·tan∠CBE＝.由△DCE

3

CDCE1x21

∽△DAB，得，即，化簡(jiǎn)得（x＋2）（x3－2）＝0，解得x＝32，即AC＝32.

ADABx13

CDCDCD

12.P＝－22，q＝1，x1,2＝21.提示：tanA－tanB＝(BDAD).

ADBDADBD

B級(jí)

1171

1.m2.3.145cm24.提示：延長(zhǎng)MN交BC的延長(zhǎng)線于T，設(shè)MB的

6k3k43

中點(diǎn)為O，連接TO，則△BAM∽△TOB.5.B6.D7.D

8.（1）如圖，延長(zhǎng)線段BE，與AC相交于點(diǎn)F，∴DE＝AF，∠BFC＝∠A＝37°.在Rt△BCF中，tan

BFBC4.8

∠BFC＝，∴CF＝6.4（米），∴DE＝AF＝AC－CF＝8－6.4＝1.6（米）.故水平

CFtan370.75

平臺(tái)DE的長(zhǎng)度為1.6米.（2）延長(zhǎng)線段DE，交BC于點(diǎn)G.∵DG∥AC，∴∠BGM＝∠C＝90°，∴

四