安徽省皖北縣中聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（A卷）（原卷版+解析版）

2024~2025學(xué)年度第二學(xué)期高二3月聯(lián)考數(shù)學(xué)（A卷）考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè)，選擇性必修第三冊(cè)第六章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在全球高鐵技術(shù)競(jìng)爭(zhēng)中，中國(guó)站到了前沿.全國(guó)政協(xié)委員、中國(guó)鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司首席研究員趙紅衛(wèi)近日透露，全球最快的高鐵列車CR450正在加緊試驗(yàn)，預(yù)計(jì)將在一年后投入商業(yè)運(yùn)營(yíng).小張需要乘坐G302次高鐵從合肥到北京，已知此次高鐵列車車票還剩下二等座4張，一等座10張，商務(wù)座5張，則小張的購(gòu)票方案種數(shù)為（）A.19 B.20 C.90 D.2002.已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，若，則（）A. B.10 C.19 D.383.有3名男生和3名女生去影院觀影，他們買了同一排相連的6個(gè)座位，若3名女生必須相鄰，則不同的坐法有（）A.24種 B.48種 C.96種 D.144種4.已知，則（）A.364 B.365 C.728 D.7305.已知點(diǎn)是拋物線：上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，到直線：的距離為，則的最小值是（）A. B. C. D.6.在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足，則面積的最大值是（）A2 B. C. D.7.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且，則不等式的解集是（）A. B. C. D.8.如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在用7種顏色給5個(gè)小區(qū)域（，，，，）涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法有（）A.2520種 B.3360種 C.3570種 D.4410種二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列關(guān)于二項(xiàng)展開(kāi)式，說(shuō)法正確的是（）A.展開(kāi)式共有10項(xiàng) B.展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為1024C.展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為8064 D.展開(kāi)式的第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大10.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的圖象在的切線的斜率為0B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.是函數(shù)的極小值點(diǎn)D.是函數(shù)的極大值11.將個(gè)數(shù)排成行列的一個(gè)數(shù)陣，如：該數(shù)陣第一列的個(gè)數(shù)從上到下構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列，每一行的個(gè)數(shù)從左到右構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列（其中）.已知，，記這個(gè)數(shù)的和為，則下列說(shuō)法正確的有（）A. B.C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)圖象在處的切線方程是______.13.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則______.14.已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支和左支分別交于點(diǎn)，，若的面積為，且的面積是面積的2倍，則雙曲線的離心率為_(kāi)_____.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.高二（3）班的3個(gè)男生，2個(gè)女生（含學(xué)生甲、乙）在寒假期間參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng).（用數(shù)字作答下列問(wèn)題）（1）社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)有5項(xiàng)不同的工作，要求每個(gè)人只能做一項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作都有人去做，求不同的分配方案的種數(shù)；（2）活動(dòng)后5人排成一排拍照，求甲不在中間，乙不在排頭的排法種數(shù).16.已知數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列前項(xiàng)和.17.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：對(duì)且，都有.18.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸與軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是的右焦點(diǎn)，過(guò)作兩條互相垂直的直線，，直線與交于兩點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn).求四邊形面積的取值范圍.19.在平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都可以用（其中，）表示，給定一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向，我們可以確定一條直線，例如：已知點(diǎn)在直線上，是直線的一個(gè)方向向量，則直線上任意一點(diǎn)滿足，化簡(jiǎn)得直線的方程為.而在空間直角坐標(biāo)系中，任何一個(gè)平面的方程都可以表示成（其中，且），類似的，在空間中，給定一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)平面的法向量也可以確定一個(gè)平面.（1）若點(diǎn)，，，求平面的方程；（2）求證：是平面的一個(gè)法向量；（3）已知某平行六面體，平面的方程為，平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，平面的方程為，求平面與平面夾角的余弦值.

2024~2025學(xué)年度第二學(xué)期高二3月聯(lián)考數(shù)學(xué)（A卷）考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè)，選擇性必修第三冊(cè)第六章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在全球高鐵技術(shù)競(jìng)爭(zhēng)中，中國(guó)站到了前沿.全國(guó)政協(xié)委員、中國(guó)鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司首席研究員趙紅衛(wèi)近日透露，全球最快的高鐵列車CR450正在加緊試驗(yàn)，預(yù)計(jì)將在一年后投入商業(yè)運(yùn)營(yíng).小張需要乘坐G302次高鐵從合肥到北京，已知此次高鐵列車車票還剩下二等座4張，一等座10張，商務(wù)座5張，則小張的購(gòu)票方案種數(shù)為（）A.19 B.20 C.90 D.200【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意用分類加法計(jì)數(shù)原理相加即可.【詳解】因此次高鐵列車車票還剩下二等座4張，一等座10張，商務(wù)座5張，按照分類加法計(jì)數(shù)原理可得小張的購(gòu)票方案種數(shù)為.故選：A.2.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B.10 C.19 D.38【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式即可求解【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以.故選：C.3.有3名男生和3名女生去影院觀影，他們買了同一排相連的6個(gè)座位，若3名女生必須相鄰，則不同的坐法有（）A.24種 B.48種 C.96種 D.144種【答案】D【解析】【分析】先利用捆綁法將3名女生看成一個(gè)整體，再將女生整體和3名男生一起排列.【詳解】先把3名女生看成一個(gè)整體，有種排法，再把這個(gè)整體與另外3名男生排列，有種排法，則不同的坐法有種坐法.故選：D.4.已知，則（）A.364 B.365 C.728 D.730【答案】B【解析】【分析】利用賦值法計(jì)算.【詳解】令，得①，令，得②，①+②，得，所以.故選：B.5.已知點(diǎn)是拋物線：上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，到直線：的距離為，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由拋物線的定義可知，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，當(dāng)在線段上時(shí)，取得最小值.【詳解】拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，由拋物線的定義可知，，所以當(dāng)在線段上時(shí)，取得最小值，.故選：B.6.在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足，則面積的最大值是（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用兩點(diǎn)距離公式求得點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，易得到直線的最大距離，最后應(yīng)用三角形面積公式求面積最大值.【詳解】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，所以，整理得，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，又直線的方程為軸，所以點(diǎn)到直線的最大距離為圓的半徑，即，所以面積的最大值為.故選：C7.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，目標(biāo)即可轉(zhuǎn)化為解不等式，再結(jié)合可得在上單調(diào)遞減的性質(zhì)即可.【詳解】令，則，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以不等式可變?yōu)椋?，所以，即，所以不等式的解集?故選：D.8.如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在用7種顏色給5個(gè)小區(qū)域（，，，，）涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法有（）A.2520種 B.3360種 C.3570種 D.4410種【答案】D【解析】【分析】利用分類加法計(jì)數(shù)原理，分步乘法計(jì)數(shù)原理解決.【詳解】分4步進(jìn)行分析：①對(duì)于區(qū)域，有7種顏色可選；②對(duì)于區(qū)域，與區(qū)域相鄰，有6種顏色可選；③對(duì)于區(qū)域，與、區(qū)域相鄰，有5種顏色可選；④對(duì)于區(qū)域、若與顏色相同，區(qū)域有5種顏色可選，若與顏色不相同，區(qū)域有4種顏色可選，區(qū)域有4種顏色可選，則區(qū)域、有種選擇.綜上所述，不同的涂色方案有種.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列關(guān)于的二項(xiàng)展開(kāi)式，說(shuō)法正確的是（）A.展開(kāi)式共有10項(xiàng) B.展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為1024C.展開(kāi)式常數(shù)項(xiàng)為8064 D.展開(kāi)式的第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大【答案】BD【解析】【分析】由二項(xiàng)展開(kāi)式及性質(zhì)可知A錯(cuò)誤，B正確.利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng)和第6項(xiàng)可知C錯(cuò)誤，D正確.【詳解】由題意可知，展開(kāi)式共有11項(xiàng)，故A錯(cuò)誤；展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故B正確；展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以展開(kāi)式的第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故D正確.故選：BD.10.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的圖象在的切線的斜率為0B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.是函數(shù)的極小值點(diǎn)D.是函數(shù)的極大值【答案】AD【解析】【分析】結(jié)合圖象可得出和的區(qū)間即可得出的單調(diào)性和極值.【詳解】由圖可知，所以函數(shù)圖象在的切線的斜率為0，故A正確；由圖可知時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；由圖可知時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此不是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；由C選項(xiàng)可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，由圖可知時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極大值，故D正確.故選：AD.11.將個(gè)數(shù)排成行列的一個(gè)數(shù)陣，如：該數(shù)陣第一列的個(gè)數(shù)從上到下構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列，每一行的個(gè)數(shù)從左到右構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列（其中）.已知，，記這個(gè)數(shù)的和為，則下列說(shuō)法正確的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】綜合運(yùn)用等差數(shù)列，等比數(shù)列的性質(zhì)和求和公式計(jì)算可以判定各個(gè)選項(xiàng).【詳解】由題意，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得,根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得.因?yàn)椋?，所以，解得（，舍去），故A正確；所以.，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，故D正確.故選:ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的圖象在處的切線方程是______.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率，進(jìn)而寫(xiě)出方程.【詳解】由已知，得，，所以，所以所求切線方程為，即.故答案為：.13.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)先求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再求數(shù)列的前50項(xiàng)和即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以?shù)列是常數(shù)列，因?yàn)椋?，所?故答案為：2500.14.已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支和左支分別交于點(diǎn)，，若的面積為，且的面積是面積的2倍，則雙曲線的離心率為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】由雙曲線的定義及余弦定理可求得，結(jié)合三角形面積公式可得，得，設(shè)，，根據(jù)條件可表達(dá)出，，，根據(jù)勾股定理逆定理即可得，最后由可得關(guān)系式，從而求出離心率.【詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，即，設(shè)，，由的面積是面積的2倍，得，則，，在中，，所以，解得，所以，，因?yàn)?，所以，得，即，所以雙曲線的離心率為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.高二（3）班的3個(gè)男生，2個(gè)女生（含學(xué)生甲、乙）在寒假期間參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng).（用數(shù)字作答下列問(wèn)題）（1）社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)有5項(xiàng)不同的工作，要求每個(gè)人只能做一項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作都有人去做，求不同的分配方案的種數(shù)；（2）活動(dòng)后5人排成一排拍照，求甲不在中間，乙不在排頭的排法種數(shù).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通過(guò)排列的方法求分配方案的種數(shù)；（2）用分類法或排除法求排法種數(shù).【詳解】（1）5個(gè)人做5項(xiàng)不同的工作，要求每個(gè)人只能做一項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作都有人去做，不同的分配方案總數(shù)為種.（2）方法一：甲不在中間，乙不在排頭的排法可以分兩類：①甲在排頭，其他4人隨機(jī)排，則有種排法；②甲不在排頭也不在中間，甲有3個(gè)位置可以選擇，乙不在排頭，有3個(gè)位置可以選擇，其他3人隨機(jī)排，則有種排法.綜上所述，甲不在中間，乙不在排頭的排法種數(shù)共有種.方法二：5人隨機(jī)排有種排法，其中甲在中間，其他4人隨機(jī)排，有種排法，乙在排頭，其他4人隨機(jī)排，有種排法，甲在中間，乙在排頭，其他3人隨機(jī)排，有種排法.綜上所述，甲不在中間，乙不在排頭的排法種數(shù)共有種.16.已知數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見(jiàn)解析，（2）【解析】【分析】（1）利用題中條件整理可得即可得等比數(shù)列，再用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；（2）運(yùn)用分組求和法與錯(cuò)位相減法求和.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所以，，所?因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所?其中.令，，兩式相減，得.所以，所以.17.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：對(duì)且，都有.【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)與1的大小關(guān)系分類討論，用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）構(gòu)造新函數(shù)，并證明函數(shù)的單調(diào)性.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，令，得或，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，令，得或，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】證明：不妨設(shè)，要證對(duì)，都有，只需證，即需證.構(gòu)造函數(shù)，則需證函數(shù)在上為增函數(shù)，結(jié)合，因?yàn)?，所以函?shù)在上為增函數(shù)成立，所以當(dāng)時(shí)，對(duì)且，都有.18.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸與軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是的右焦點(diǎn)，過(guò)作兩條互相垂直的直線，，直線與交于兩點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn).求四邊形面積的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）運(yùn)用點(diǎn)在橢圓上求橢圓的方程；（2）通過(guò)直線與橢圓方程的聯(lián)立，用設(shè)而不求法求弦長(zhǎng)，通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)求四邊形面積的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)的方程為，將點(diǎn)，代入，得解得所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)直線的斜率為0，直線的斜率不存在時(shí)，，，當(dāng)直線的斜率不存在，直線的斜率為0時(shí)，，，所