初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-8年級(jí)專題27 面積法

專題27面積法

閱讀與思考

平面幾何學(xué)的產(chǎn)生源于人們測(cè)量土地面積的需要，面積關(guān)聯(lián)著幾何圖形的重要元素邊與角．

所謂面積法是指借助面積有關(guān)的知識(shí)來解決一些直接或間接與面積問題有關(guān)的數(shù)學(xué)問題的一種方

法．有許多數(shù)學(xué)問題，雖然題目中沒有直接涉及面積，但由于面積聯(lián)系著幾何圖形的重要元素，所以借

助于有關(guān)面積的知識(shí)求解，常常簡(jiǎn)捷明快．

用面積法解題的基本思路是：對(duì)某一平面圖形面積，采用不同方法或從不同角度去計(jì)算，就可得到

一個(gè)含邊或角的關(guān)系式，化簡(jiǎn)這個(gè)面積關(guān)系式就可得到求解或求證的結(jié)果．

下列情況可以考慮用面積法：

（1）涉及三角形的高、垂線等問題；

（2）涉及角平分線的問題．

例題與求解

【例1】如圖，從等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)向三邊作垂線，已知這三條垂線段的長(zhǎng)分別為1，3，5，則這

個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為______________．

(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

解題思路：從尋求三條垂線段與等邊三角形的高的關(guān)系入手．

等腰三角形底邊上任一點(diǎn)到兩腰距離之和等于一腰上的高，那么等邊三角形呢？等腰梯形呢？

【例2】如圖，△AOB中，∠O＝900，OA＝OB，正方形CDEF的頂點(diǎn)C在DA上，點(diǎn)D在OB

2

上，點(diǎn)F在AB上，如果正方形CDEF的面積是△AOB的面積的，則OC：OD等于()

5

A．3：1B．2：1

C．3：2D．5：3

解題思路：由面積關(guān)系，可能想到邊、角之間的關(guān)系，這時(shí)通過設(shè)元，即可把幾何問題代數(shù)化來解

決．

【例3】如圖，在□ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且BE＝DF，BE與DF交于G，

求證：∠BGC＝∠DGC.

（長(zhǎng)春市競(jìng)賽試題）

解題思路：要證∠BGC＝∠DGC，即證CG為∠BGD的平分線，不妨用面積法尋找證題的突破口．

【例4】如圖，設(shè)P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，直線AP，BP，CP交BC，CA，AB于點(diǎn)D、E、F.

PDPEPF

求證：（1）1；

ADBECF

PAPBPC

（2）2.（南京市競(jìng)賽試題）

ADBECF

解題思路：過P點(diǎn)作平行線，產(chǎn)生比例線段.

【例5】如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)，P分別在BC，CA，AB上，已知AE，BF，CP相交于一點(diǎn)D，

ADBDCDADBDCD

且1994，求的值.

DEDFDPDEDFDP

解題思路：利用上例的結(jié)論，通過代數(shù)恒等變形求值.

（黃岡市競(jìng)賽試題）

【例6】如圖，設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在面積為1的四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上，且

AEBFCGDH

k（k是正數(shù)），求四邊形EFGH的面積．

EBFCGDHA

（河北省競(jìng)賽試題）

解題思路：連對(duì)角線，把四邊形分割成三角形，將線段的比轉(zhuǎn)化為三角形的面積比．

線段比與面積比的相互轉(zhuǎn)化，是解面積問題的常用技巧．轉(zhuǎn)化的基本知識(shí)有：

(1)等高三角形面積比，等于它們的底之比；

(2)等底三角形面積比，等于它們的高之比；

(3)相似三角形面積比，等于它們相似比的平方．

能力訓(xùn)練

1．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm，E是AD的中點(diǎn)，BM⊥EC，垂足為M，則BM＝______.

（福建省中考試題）

2．如圖，矩形ABCD中，P為AB上一點(diǎn)，AP＝2BP，CE⊥DP于E，AD＝a，AB＝b，則

CE＝__________.

（南寧市中考試題）

第1題圖第2題圖第3題圖

3．如圖，已知八邊形ABCDEFGH中四個(gè)正方形的面積分別為25，48，121，114，PR＝13，則該

八邊形的面積為____________.

（江蘇省競(jìng)賽試題）

在△中，三邊長(zhǎng)為，，，表示邊上的高的長(zhǎng)，，的意義類似，

4.ABCa3b4c6haahbhc

111

則＋＋的值為（上海市競(jìng)賽試題）

(hahbhc)____________.

hahbhc

5．如圖，△ABC的邊AB＝2，AC＝3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ分別表示以AB，BC，CA為邊的正方形，則圖

中三個(gè)陰影部分的面積之和的最大值是__________.

（全國(guó)競(jìng)賽試題）

6．如圖，過等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)P向三邊作垂線，PQ＝6，PR＝8，PS＝10，則△ABC的面積是()．

A.1923B.1903C.1943D.1963

（湖北省黃岡市競(jìng)賽試題）

第5題圖第6題圖第7題圖

7．如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊BC上一點(diǎn)，若∠CAD＝∠DAB＝600，AC＝3，AB＝6，則AD的長(zhǎng)

是()．

11

A．2B.2C.3D.3

22

8．如圖，在四邊形ABCD中，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，AN，BN，DM，CM劃分四邊形所

成的個(gè)區(qū)域的面積分別為，，，，，，，那么恒成立的關(guān)系式是．

7S1S2S3S4S5S6S7()

A.S2+S6=S4B.S1+S7=S4

．

C.S2+S3=S4DS1+S6=S4

．已知等邊△和點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到△三邊，，的距離分別為，，，△

9ABCPPABCABACBCh1h2h3ABC

的高為．若點(diǎn)在一邊上（如圖），此時(shí)，可得結(jié)論：＋＋＝

hPBC1h30h1h2h3h.

請(qǐng)直接用上述信息解決下列問題：

當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)（如圖2）、點(diǎn)P在△ABC外（如圖3）這兩種情況時(shí)，上述結(jié)論是否還成立？

若成立．請(qǐng)給予證明；若不成立，，，與之間又有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明．

h1h2h3h

（黑龍江省中考試題）

10.如圖，已知D，E，F(xiàn)分別是銳角△ABC的三邊BC，CA，AB上的點(diǎn)，且AD、BE、CF相交于P

點(diǎn)，AP＝BP＝CP＝6，設(shè)PD＝x，PE＝y(tǒng)，PF＝z，若xyyzzx28，求xyz的值．

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

11.如圖，在凸五邊形ABCDE中，已知AB∥CE，BC∥AD，BE∥CD，DE∥AC，求證：AE∥BD.

（加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克試題）

12.如圖，在銳角△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA邊上的三等分點(diǎn).P，Q，R分別是△ADF，

△BDE，△CEF的三條中線的交點(diǎn).

(1)求△DEF與△ABC的面積比；

(2)求△PDF與△ADF的面積比；

(3)求多邊形PDQERF與△ABC的面積比.

BECFDGAH

13．如圖，依次延長(zhǎng)四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA至E，F(xiàn)，G，H，使m，

ABBCCDDA

若