初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-8年級(jí)專題23 面積的計(jì)算

專題23面積的計(jì)算

閱○讀○與○思○考○

計(jì)算圖形的面積是幾何問(wèn)題中一種重要題型，計(jì)算圖形的面積必須掌握如下與面積有關(guān)的重要知識(shí)：

1.常見圖形的面積公式；

2．等積定理：等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；

3.等比定理：

(1)同底（或等底）的兩個(gè)三角形面積之比等于等于對(duì)應(yīng)高之比；同高（或等高）的兩個(gè)三角形面積

之比等于等于對(duì)應(yīng)底之比.

(2)相似三角形的面積之比等于對(duì)應(yīng)線段之比的平方.

熟悉下列基本圖形、基本結(jié)論：

例題與求解

【例1】如圖，△ABC內(nèi)三個(gè)三角形的面積分別為5，8，10，四邊形AEFD的面積為x，則x＝________.

（黃岡市競(jìng)賽試題）

解題思路：圖中有多對(duì)小三角形共高，所以可將面積比轉(zhuǎn)化為線段之比作為解題突破口.

例1圖

【例2】如圖，在△ABC中，已知BD和CE分別是兩邊上的中線，并且BD⊥CE，BD＝4，CE＝6，

那么△ABC的面積等于()(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)

A．12B．14C．16D．18

解題思路：由中點(diǎn)想到三角形中位線，這樣△ABC與四邊形BCDE面積存在一定的關(guān)系.

例2圖

BECFDGAH

【例3】如圖，依次延長(zhǎng)四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA至E，F(xiàn)，G，H，使＝＝＝

ABBCCDDA

＝m，若S四邊形EFGH＝2S四邊形ABCD，求m的值.

解題思路：添加輔助線將四邊形分割成三角形，充分找出圖形面積比與線段比之間的關(guān)系，建立關(guān)于

m的方程.

例3圖

【例4】如圖，P，Q是矩形ABCD的邊BC和CD延長(zhǎng)線上的兩點(diǎn)，PA與CQ相交于點(diǎn)E，且∠PAD

＝∠QAD，求證：S矩形ABCD＝S△APQ.

解題思路：圖形含全等三角形、相似三角形，能得到相等的線段、等積式，將它們與相應(yīng)圖形聯(lián)系起

來(lái)，促使問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.

例4圖

【例5】如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，若動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BA運(yùn)動(dòng)

到點(diǎn)A為止，移動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度.過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E，設(shè)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x

秒，AE的長(zhǎng)為y.

(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，△BDE的面積S有最大值，最大值為多少？(江西省中考試題)

解題思路：對(duì)于(1)利用△ADE∽△ABC可得y與x的關(guān)系式；對(duì)于(2)先寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，

再求最大值.

例5圖

【例6】如圖，設(shè)P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，直線AP，BP，CP交BC，CA，AB于點(diǎn)D，E，F(xiàn).

PDPEPF

求證：(1)＋＋＝1；

ADBECF

PAPBPC

(2)＋＋＝2

ADBECF

解題思路：過(guò)點(diǎn)A，P分別作BC的垂線，這樣既可得到平行線，產(chǎn)生比例線段，又可以與面積聯(lián)系

PA

起來(lái)，把轉(zhuǎn)化為面積比，利用面積法證明.

AD

例6圖

能○力○訓(xùn)○練○

A級(jí)

2

1．如圖，ABCD中，AE∶BE＝1∶2，S△AEF＝6cm，則S△CDF的值為________.(濟(jì)南市中考試題)

2．如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為23cm，P為正六邊形內(nèi)任一點(diǎn)，則點(diǎn)P到各邊距離之和為_______.

第1題圖第2題圖第3題圖

3．如圖，P是邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD外一點(diǎn)，PB＝PC，△PBD的面積等于48，則△PBC的面積

為_____________.(北京市競(jìng)賽試題)

4．如圖，已知△BOF，△AOF，△BOD，△COE的面積分別為30，40，35，84，則△ABC的面積為________.

(浙江省競(jìng)賽試題)

5．如圖，已知AD是Rt△ABC斜邊BC上的高，DE是Rt△ADC斜邊上的高，如果DC∶AD＝1∶2，S△DCE

＝a，那么S△ABC等于()(金華市中考試題)

A．4aB．9aC．16aD．25a

第4題圖第5題圖第6題圖

6．如圖，已知M是ABCD邊AB的中點(diǎn)，CM交BD于點(diǎn)E，則圖中陰影部分面積與ABCD的面

積之比為（）（山西省中考試題）

1115

A．B．C．D．

64312

S△ADE

7．如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，若S△ADE＝2S△DCE，則等于()

S△ABC

(浙江省寧波市中考試題)

1124

A．B．C．D．

4239

8．如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，則

圖中陰影部分面積面積為（）cm2.(廣東省競(jìng)賽試題)

A．4B．23C．33D．43

第7題圖第8題圖第9題圖

9．如圖，平面上有兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形ABCD和A′B′C′D′，且正方形A′B′C′D′的頂點(diǎn)A′在正方形

ABCD的中心，當(dāng)正方形A′B′C′D′繞A′轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩個(gè)正方形重合部分的面積必然是一個(gè)定值.這個(gè)結(jié)論

對(duì)嗎？證明你的判斷.（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

10．如圖，設(shè)凸四邊形ABCD的一組對(duì)邊AB，CD的中點(diǎn)分別為K，M.求證：S四邊形ABCD＝S△ABM＋S△DCK..

第10題圖

11．如圖1，AB，CD是兩條線段，M是AB的中點(diǎn)，S△DMC，S△DAC，S△DBC分別表示△DMC，△DAC，

S△DAC＋S△DBC

△DBC的面積，當(dāng)AB∥CD時(shí)，有S△DMC＝………..①.

2

(1)如圖2，若圖1中AB與CD不平行時(shí)，①式是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)如圖3，若圖1中AB與CD相交于點(diǎn)O時(shí)，問(wèn)S△DMC與S△DAC和S△DBC有何相等關(guān)系？試證明你

的結(jié)論.（安徽省中考試題）

12．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為θ（0°

＜θ＜180°），得到△A′B′C′.

(1)如圖1，當(dāng)AB∥CB′時(shí)，設(shè)A′B′與CB相交于點(diǎn)D，證明：△A′CD是等邊三角形；

(2)如圖2，連接A′A，B′B，設(shè)△ACA′和△BCB′的面積分別為S△ACA′和S△BCB′.求證：S△ACA′∶S△BCB′＝1∶3.

(3)如圖3，設(shè)AC的中點(diǎn)為E，A′B′的中點(diǎn)為P，AC＝a，連接EP，當(dāng)θ＝_____時(shí)，EP長(zhǎng)度最大，最

大值是____________.（安徽省中考試題）

B級(jí)

1．如圖，A在線段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面積分別為7cm2和11cm2，則△CDE的面

積等于___________cm2.（武漢市競(jìng)賽試題）

2．如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA＝PB＝10，并且P到CD邊的距離也等于10，那么正方形

ABCD的面積是_______________.(北京市競(jìng)賽試題)

DFCE

3．如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，DC上，＝1，＝2，若△ADF的面積為m，四

FCBE

邊形AECF的面積為n(n＞m)，則四邊形ABCD的面積為___________.(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

第1題圖第2題圖第3題圖第4題圖

13

4．如圖，圖形ABCD中，AB∥CD，AC和BD相交于點(diǎn)O，若AC＝5，BD＝12，中位線長(zhǎng)為，

2

△AOB的面積為S1，△OCD的面積為S2，則S1＋S2＝_________.(山東省競(jìng)賽試題)

5．如圖，分別延長(zhǎng)△ABC的三邊AB，BC，CA至A′，B′，C′，使得AA′＝3AB，BB′＝3BC，CC′＝3AC，

若S△ABC＝1，則S△A′B′C′等于().

A．18B．19C．24D．27

(山東省競(jìng)賽試題)

6．如圖，若ABCD是2×2的正方形，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，AF與DE相交于點(diǎn)I，BD和AF

相交于點(diǎn)H，那么四邊形BEIH的面積是()

1278

A．B．C．D．

351515

(江蘇省競(jìng)賽試題)

第5題圖第6題圖第7題圖

1S△AEF

7．如圖，矩形ABCD中，E是BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)是CD上的點(diǎn)，已知S△ABE＝S△ADF＝SABCD，則的

3S△CEF

值等于()(北京市競(jìng)賽試題)

A．2B．3C．4D．5

8．(1)探究：如圖1，在ABCD的形外分別作等腰直角三角形ABF和等腰直角三角形ADE，∠FAB

＝∠EAD＝90°，連接AC，EF.在圖中找一個(gè)與△FAE全等的三角形，并加以證明.

(2)應(yīng)用：以ABCD的四條邊為邊，在其形外分別作正方形，如圖2，連接EF，GH，IJ，KL，若

ABCD的面積為5，則圖中陰影部分四個(gè)三角形的面積之和為____________.（長(zhǎng)春市中考試題）

9．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝2cm，BC＝4cm，在等腰△PQR中，∠QPR＝

120°，底邊QR＝6cm，點(diǎn)B，C，Q，R在同一條直線l上，且C，Q兩點(diǎn)重合，如果等腰△PQR以1cm/s

的速度沿直線l箭頭所示方向勻速運(yùn)動(dòng)，t秒時(shí)梯形ABCD與等腰△PQR重合部分的面積記為Scm2.

(1)當(dāng)t＝4時(shí)，求S的值；

(2)當(dāng)4≤t≤10時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值.(廣州市中考試題)

第9題圖

10．有一根直尺的短邊長(zhǎng)為2cm，長(zhǎng)邊長(zhǎng)為10cm，還有一塊銳角為45°的直角三角紙板，它的斜邊

長(zhǎng)為12cm，如圖1將直尺的短邊DE放置與直角三角紙板的斜邊AB重合，且點(diǎn)D與點(diǎn)A重合將直尺沿

AB方向平移，如圖2，設(shè)平移的長(zhǎng)為xcm(0≤x≤10)，直尺與三角形紙板重疊部分（圖中陰影部分）的

面積Scm2.

(1)當(dāng)x＝0時(shí)，S＝________，當(dāng)x10時(shí)，S＝________；

(2)當(dāng)0＜x≤4時(shí)，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)4＜x＜10時(shí)，求S關(guān)