初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-8年級(jí)專題22關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想

專題22關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想

閱讀與思考

線段的中點(diǎn)把線段分成相等的兩部分，圖形中出現(xiàn)中點(diǎn)，可以引起我們豐富的聯(lián)想：首先它和三角形

的中線緊密聯(lián)系；若中點(diǎn)是在直角三角形的斜邊上，又可以引用“斜邊上的中線等于斜邊的一半”結(jié)論；

其次，中點(diǎn)又與中位線息息相關(guān)；另外，中點(diǎn)還可以與中心對稱相連．

解答中點(diǎn)問題的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)靥砑虞o助線，如作中線倍長、作直角三角形的斜邊上的中線、構(gòu)造三角

形、梯形中位線、構(gòu)造中心對稱圖形等，如圖所示：

例題與求解

【例1】如圖，△ABC邊長分別為AB＝14，BC＝16，AC＝26，P為∠A的平分線AD上一點(diǎn)，且BP

⊥AD，M為BC的中點(diǎn)，則PM的值為___________．(安徽省競賽試題)

解題思路：∠A的平分線與BP邊上的垂線互相重合，通過作輔助線，點(diǎn)P可變?yōu)槟尘€段的中點(diǎn)，利

用三角形中位線定理解題．

【例2】如圖，邊長為1的正方形EFGH在邊長為3的正方形ABCD所在的平面上移動(dòng)，始終保持EF

∥AB，線段CF，DH的中點(diǎn)分別為M，N，則線段MN的長度為()(北京市競賽試題)

101717210

A．B．C．D．

2233

解題思路：連接CG，取CG的中點(diǎn)T，構(gòu)造三角形中位線、梯形中位線．

【例3】如圖，在△ABC中，AB＝AC，延長AB到D，使BD＝AB，E為AB中點(diǎn)，連接CE，CD，

求證：CD＝2EC．(寧波市競賽試題)

解題思路：圖形中有兩個(gè)中點(diǎn)E，B，聯(lián)想到與中點(diǎn)相關(guān)的豐富知識(shí)，將線段倍分關(guān)系的證明轉(zhuǎn)化為

線段相等關(guān)系的證明，關(guān)鍵是恰當(dāng)添加輔助線．

例3圖

【例4】如圖1，P是線段AB上一點(diǎn)，在AB的同側(cè)作△APC和△BPD，使∠APC＝∠BPD，PC＝PA，

PD＝PB，連接CD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AC，AB，BD，CD的中點(diǎn)，順次連接E，F(xiàn)，G，H．

(1)猜想四邊形EFGH的形狀，直接回答，不必說明理由；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的上方時(shí)，如圖2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他條件不變，(1)中

的結(jié)論還成立嗎？說明理由；

(3)如果(2)中，∠APC＝∠BPD＝90°，其他條件不變，先補(bǔ)全圖3，再判斷四邊形EFGH的形狀，

并說明理由．（營口市中考試題）

圖①圖②圖③

解題思路：結(jié)論隨著條件的改變也許發(fā)生變化，但解決問題的方法是一致的，即通過連線，為三角形

中位線定理的應(yīng)用創(chuàng)造條件．

【例5】如圖，以△ABC的AB，AC邊為斜邊向形外作直角三角形ABD和ACE，且使∠ABD＝∠ACE，

M是BC的中點(diǎn)，求證：DM＝EM．（“祖沖之杯”邀請賽試題）

解題思路：顯然△DBM不全等于△ECM，必須通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形證明DM＝EM．

例5圖

【例6】如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB邊上的高CH與△ABC的兩條內(nèi)角平分線AM，BN

分別交于P，Q兩點(diǎn)，PM，QN的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，求證：EF∥AB．（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）

解題思路：從圖形的形成過程，逐步探索相應(yīng)結(jié)論．將原問題分解為多個(gè)小問題．

例6圖

○能○力○訓(xùn)○練

A級(jí)

1．如圖，若E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，則四邊形EFGH是____________．

(1)如果把條件中的四邊形ABCD依次改為矩形、菱形、正方形或等腰梯形，其他條件不變，那么所

得的四邊形EFGH分別為_______________________；

(2)如果把結(jié)論中的平行四邊形EFGH依次改為矩形、菱形、正方形，那么原四邊形ABCD應(yīng)具備的

條件是_______________________．（湖北省黃岡市中考試題）

第1題圖第2題圖

2．如圖，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD，CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，若BF＝2，ED＝3，

GC＝4，則△ABC的周長為_______________．(重慶市競賽試題)

3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，E是AC的中點(diǎn)，若BC＝16，DE＝5，則AD＝

______________．（南京市中考試題）

4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，D，E為BC上的點(diǎn)，連接DN，

EM，若AB＝13cm，BC＝10cm，DE＝5cm，則圖中陰影部分的面積為________________．

（北京市中考試題）

第3題圖第4題圖第7題圖

5．A′，B′，C′，D′順次為四邊形ABCD的各邊的中點(diǎn)，下面條件中使四邊形A′B′C′D′為正方形的條件

是（）

A．四邊形ABCD是矩形B．四邊形ABCD是菱形

C．四邊形ABCD是等腰梯形D．四邊形ABCD中，AC⊥BD且AC＝BD

6．若等腰梯形的兩條對角線互相垂直，中位線長為8cm，則該等腰梯形的面積為（）

A．16cm2B．32cm2C．64cm2D．112cm2

7．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)分別是BD，AC的中點(diǎn)，若AD＝6cm，BC＝18cm，則EF

的長為（）

A．8cmB．7cmC．6cmD．5cm

8．如圖，在梯形ABCD中，AD∥EF∥GH∥BC，AE＝EG＝GB，AD＝18，BC＝32，則EF＋GH＝

（）

A．40B．48C．50D．56（泰州市中考試題）

第8題圖第9題圖

1

9．如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于點(diǎn)D，M是BC的中點(diǎn)，求證：DM＝AB．

2

10．如圖，在△ABC中，BD＝CE，BE，CD的中點(diǎn)分別是M，N，直線MN分別交AB，AC于點(diǎn)P，

Q，求證：AP＝AQ．

第10題圖

11．在圖1至圖3中，點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段CE的中點(diǎn)．四邊形BCGF和CDHN都是

正方形．AE的中點(diǎn)是M．

（1）如圖1，點(diǎn)E在AC的延長線上，點(diǎn)N與點(diǎn)G重合時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，求證：FM=MH，F(xiàn)M⊥MH；

（2）將圖1中的CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖2，求證：△FMH是等腰直角三角形；

（3）將圖2中的CE縮短到圖3的情況，△FMH還是等腰直角三角形嗎？（不必說明理由）

(2009年河北省中考試題)

G(N)FG

FHNFG

N

H

H

BC

ABC(M)DEACAB

圖D

1MDM

E

圖2E圖3

12．在六邊形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA，AB＋DE＝BC＋EF，A1，B1，D1，E1分別

是邊AB，BC，DE，EF的中點(diǎn)，A1D1＝B1E1．求證：∠CDE＝∠AFE．

第12題圖

B級(jí)

1．如圖，正方形ABCD兩條對角線相交于點(diǎn)E，∠CAD的平分線AF交DE于點(diǎn)G，交DC于點(diǎn)F，

若GE＝24，則FC＝_________________．

2．如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)F，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，MN分別交

BD，AC于點(diǎn)P，Q，且∠FPQ＝∠FQP，BD＝10，則AC＝_________．（重慶市競賽試題）

第1題圖第2題圖第3題圖

3．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，以AB，AC為邊分別向形外作正三角形ABD和正三角形ACE，

M為AD的中點(diǎn)，N為AE的中點(diǎn)，P為BC的中點(diǎn)，則∠MPN＝_________．（北京市競賽試題）

4．如圖，已知A為DE的中點(diǎn)，設(shè)△DBC，△ABC，△EBC的面積分別為S1，S2，S3，則S1，S2，S3

之間的關(guān)系是（）

3113

A．S2＝(S1＋S3)B．S2＝(S3―S1)C．S2＝(S1＋S3)D．S2＝(S3―S1)

2222

5．如圖，在圖形ABCD中，AB∥DC，M為DC的中點(diǎn)，N為AB的中點(diǎn)，則()

11

A．MN＞(AD＋BC)B．MN＜(AD＋BC)

22

11

C．MN＝(AD＋BC)D．無法確定MN與(AD＋BC)的關(guān)系

22

第4題圖第5題圖第6題圖第7題圖

6．如圖，凸四邊形ABCD的面積是a，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，那么圖中的

陰影部分的面積為()

1111

A．a(chǎn)B．a(chǎn)C．a(chǎn)D．a(chǎn)

8642

（江蘇省競賽試題）

7．如圖，在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，分別延長CA，CB到點(diǎn)E，F(xiàn)，使DE＝DF，過E，F(xiàn)分別

作CA，CB的垂線，相交于點(diǎn)P．求證：∠PAE＝∠PBF．（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

8．如圖，銳角△ABC中，作高BD和CE，過頂點(diǎn)B，C分別作DE的垂線BF和CG，求證：EF＝

DG．

（全俄奧林匹克數(shù)學(xué)競賽試題）

第8題圖

9．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)M在AB邊上，點(diǎn)N在AC邊上，并且∠MDN＝

1

90°，如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2．求證：AD2＝(AB2＋AC2)．（北京市競賽試題）

4

第9題圖

10．已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD＝∠ACE＝90°．如圖1，連接DE，設(shè)M為

DE的中點(diǎn)．

(1)求證：MB＝MC；

(2)設(shè)∠BAD＝∠CAE，固定△ABD，讓Rt△ACE繞頂點(diǎn)A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，試問：MB＝

MC是否還成立?請說明理由．（江蘇省競賽試題）

11．已知△OAB，△OCD都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．

(1)如圖1，點(diǎn)C在OA邊上，點(diǎn)D在OB邊上，連接AD，BC，M為線段AD的中點(diǎn)，求證：OM⊥BC．

(2)如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，將△OCD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(α為銳角)，M為線段AD的中點(diǎn)．

1

①求證：OM＝BC；

2

②OM⊥BC是否還成立?若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

12．如圖1，在△ABC中，點(diǎn)P為BC邊的中點(diǎn)，直線a繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，若點(diǎn)B，P在直線a的異側(cè)，

BM⊥直線a于點(diǎn)M，CN⊥直線a于點(diǎn)N，連接PM，PN．

(1)延長MP交CN于點(diǎn)E(如圖2)．

①求證：△BPM≌△CPE；

②求證：PM＝PN．

(2)若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，點(diǎn)B，P在直線a的同側(cè)，其他條件不變，此時(shí)PM＝PN

還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

(3))若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到與BC邊平行的位置時(shí)，其他條件不變．請直接判斷四邊形MBCN的形狀

及此時(shí)PM＝PN是否成立．不必說明理由．（沈陽市中考試題）

專題22關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想

例1、6

1

例2B提示：取CG的中點(diǎn)T，連MT，NT，則MT=，NT=2，MTN=90°

2

例3提示：取AC中點(diǎn)F，連BF，證明BF=CE

例4（1）四邊形EFGH為菱形；

1

（2）成立，連AD，BC，由DAPD≌DCPB，得AD=BC，又EF=BC，

2

111

FG=AD，HG=BC，EH=AD，則EF=FG=GH=HE，故四邊

222

形EFGH為菱形；

（3）四邊形EFGH是正方形

例5證明：延長BD至P，使DP=DB，延長CE至Q，使EQ=EC，連AP，AQ，PC

AB=AP，AC=AQ，PAC=BAQ，\DABQ≌DAPC，有PC=BQ，又

11

MD，ME分別是DBPC與DBQC的中位線，\MD=PC，ME=BQ，故

22

MD=ME

例6（1）如圖a，b，DCPM，DCNQ皆為等腰三角形，連CE，CF，則CEPM，

CFNQ

1

（2）如圖c，分別延長CE，CF交AB于S，R，則EF∥RS

2

A級(jí)

1.平行四邊形（1）菱形、矩形、正方形、菱形；（2）對角線互相垂直、對角線相等、對

角線互相垂直且相等

2.303.64.3030cm25.D6.C7.C8.C

1

9.提示：取AC中點(diǎn)N，連結(jié)MN，DN，則MN=AB，證明DM=MN

2

10.提示：取BC中點(diǎn)R，連結(jié)MR，NR，則MR=NR

11.（1）略

（2）連MB，MD，則四邊形BCDM為平行四邊形，可證明DFBM≌DMDH，則

FM=MH，BFM=DMH，延長AC交MH于S，則DMH=CSM

BFM，則FBC=FMH=90°，故FMH是等腰直角三角形

（3）是

如圖，作□，連接，取的中點(diǎn)，則四邊形是梯形，連接，

12.ABPFDPDPMBCDPB1M

，由梯形中位線定理知，∥∥∥，∥∥∥，

E1MB1MCDBPAFME1DEFPAB

BP+CDAF+CDPF+DEAB+DE

且BM==，EM==，同理作□BCDO，

122122

取的中點(diǎn)，連接，，由梯形中位線定理知，∥∥∥，

OFNA1ND1NA1NAFBOCD

∥∥∥

ND1EFODBC

AF+BOAF+CDEF+ODEF+BCAB+DE

且AN==，DN===，

1221222

在D與D中，=，=。又=，

B1ME1A1ND1B1MA1NE1MD1NA1D1B1E1

\D≌D，\=，\=

B1ME1A1ND1B1ME1A1ND1CDEAFE

B級(jí)

1.48提示：取AF中點(diǎn)H，連接HE，則HE=GE，F(xiàn)C=2HE．

2．10提示：取AD中點(diǎn)E，連接ME，NE，則ME=NE．

3．60°提示：分別取AB、AC中點(diǎn)F、G，連接FP、GP，F(xiàn)M，GN．

4．C

5．B提示：連接AC，取AC中點(diǎn)P，連接PM，PN．

6．D提示：連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，AC．

7．分別取AP，BP的中點(diǎn)M，N，連接EM，DM，F(xiàn)N，DN．

∵DM//BN,DN//AM,

∴∠AMD=∠BND．

∵M(jìn)，N分別是Rt△AEP，Rt△BFP斜邊的中點(diǎn)，

∴EM=AM=DN，F(xiàn)N=BN=DM，

又DE=DF，∴△DEM≌△DFN，得∠EMD=∠FND，∠AME=∠BNF，

而△AME，△BNF