初中數(shù)學自主招生難度講義-7年級專題05數(shù)與形的第一次聯(lián)姻（解析版）

專題5數(shù)與形的第一次聯(lián)姻

閱讀與思考

數(shù)學是研究數(shù)和形的學科，在數(shù)學里數(shù)和形是有密切聯(lián)系的，我們常用代數(shù)的方法來處理幾何問題；

反過來，也借助與幾何圖形來處理代數(shù)問題，尋找解題思路，這種數(shù)與形之間的相互作用叫數(shù)形結(jié)合，

是一種重要的數(shù)學思想．

運用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，現(xiàn)階段數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的有力工具，主要

體現(xiàn)在一下幾個方面：

1．利用數(shù)軸能形象地表示有理數(shù)；

2．利用數(shù)軸能直觀地解釋相反數(shù)；

3．利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大??；

4．利用數(shù)軸解決與絕對值相關(guān)的問題．

例題與求解

【例1】已知數(shù)軸上有A，B兩點，A，B之間的距離為1，點A與原點O的距離為3，那么所有滿足

條件的點B與原點O的距離之和等于_____________．

（北京市“迎春杯”競賽試題）

解題思路：確定A，B在數(shù)軸上的位置，求出A，B兩點所表示的有理數(shù)．

【例2】在數(shù)軸上和有理數(shù)a,b,c對應的點的位置如圖所示．有下面四個結(jié)論：

①abc0，②abbcac，③(ab)(bc)(ca)0，④a1bc，其中，正確的結(jié)論

有（）個．

A．4B．3C．2D．1

（“希望杯”邀請賽試題）

解題思路：從數(shù)軸上得到a10bc1，再對代數(shù)式進行逐以一判斷．

【例3】如圖所示，已知數(shù)軸上點A,B,C所對應的數(shù)a,b,c都不為0，且C是AB的中點．如

果aba2cb2cab2c0，試確定原點O的大致位置．

ab

解題思路：從化簡等式入手，而c是解題的關(guān)鍵．

2

【例4】（1）閱讀下面材料：

點A,B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a,b,A,B兩點之間的距離表示為AB．當A,B兩點中有一點在原點

時，

當A、B兩點都不在原點時，

①如圖2，點A、B都在原點的右邊|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；

②如圖3，點A、B都在原點的左邊，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；③如圖4，點A、

B在原點的兩邊，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；

綜上，數(shù)軸上A、B兩點之間的距離|AB|＝|a－b|．

（2）回答下列問題：

①數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是_________，數(shù)軸上表示－2和－5的兩點之間的距離是

______________，數(shù)軸上表示1和－3的兩點之間的距離是________________；

②數(shù)軸上表示x和－1的兩點A和B之間的距離是______________，如果|AB|＝2，那么x為_________；

③當代數(shù)式|x＋1|十|x－2|取最小值時________，相應的x的取值范圍是___________．

④求x1x2x3...x1997的最小值．

（江蘇省南京市中考試題）

解題思路：通過觀察圖形，閱讀理解代數(shù)式ab所表示的意義，來回答所提出的具體問題．

【例5】某城市沿環(huán)形路有五所小學，依次為一小、二小、三小、四小、五小，它們分別有電腦

15，7，11，3，14臺，現(xiàn)在為使各校電腦臺數(shù)相等，各調(diào)幾臺給鄰校，現(xiàn)規(guī)定一小給二小，二小給三小，

三小給四小，四小給五小，五小給一小，要使電腦調(diào)動臺數(shù)最小，應該做怎樣的安排？

（湖北省荊州市競賽試題）

解題思路：通過設未知數(shù)，把調(diào)動的電腦臺數(shù)用相關(guān)代數(shù)式表示出來．解題的關(guān)鍵是怎樣將實際問

題轉(zhuǎn)化為求的最小值．

yxa1xa2xan

【例6】如圖，A是數(shù)軸上表示－30的點，B是數(shù)軸上表示10的點，C是數(shù)軸上表示18的點，

點A,B,C在數(shù)軸上同時向正方向運動．點A運動的速度是6個單位長度/秒，點B和點C運動的速度是

3個單位長度/秒．設三個點運動的時間為t（秒）．

（1）當t為何值時，線段AC＝6（單位長度）？

（2）t≠5時，設線段OA的中點為P，線段OB的中點為M，線段OC的中點為N，求2PM－PN＝2時

t的值．

（湖北省荊州市競賽試題）

解題思路：（1）A,B,C三點在數(shù)軸上同時向正方向運動，分別當A點運動到C點左側(cè)和右側(cè)兩

種情況來分析求解．

（2）先將P,M,N三個點在數(shù)軸上表示的數(shù)分別寫出來，因點M始終在點N左側(cè)，則分為“點P

在M,N左邊”，“點P在M,N之間”，“點P在M,N右邊”三種情況來求解．

能力訓練

A級

1．已知數(shù)軸上表示負數(shù)有理數(shù)m的點是點M，那么在數(shù)軸上與點M相距m個單位的點中，與原點距

離較遠的點對應的數(shù)是______________．

（江蘇省競賽試題）

2．如果數(shù)軸上點A到原點的距離為3，點B到原點的距離為5，那么A,B兩點的距離為______________．

1

3．點A,B分別是數(shù)3，在數(shù)軸上對應的點，使線段AB沿數(shù)軸向右移動到A'B'的中點對應數(shù)3，

2

則點A'對應的數(shù)是________________，點A移動的距離是____________．

（“希望杯”邀請賽試題）

4．已知a0，b0且ab0，那么有理數(shù)a,b,a,b的大小關(guān)系是_________________________．（用

“＜”號連接）

（北京市“迎春杯”競賽試題）

1

5．在數(shù)軸上任取一條長度為1999的線段，則此線段在數(shù)軸上最多能蓋住的整數(shù)點的個數(shù)是（）．

9

A．1998B．1999C．2000D．2001

（重慶市競賽試題）

6．如圖，a,b為數(shù)軸上的兩點表示的有理數(shù)，在ab,b2a,ab,ba中，負數(shù)的個數(shù)有（）

A．1B．2C．3D．4

（“祖沖之”邀請賽試題）

7．有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示，式子ababbc化簡結(jié)果為（）．

A．2a3bcB．3bcC．bcD．cb

8．如圖所示，在數(shù)軸上有六個，且ABBCCDDEEF，則與點C所表示的數(shù)最接近的整數(shù)

是（）．

A．－1B．0C．1D．2

（“希望杯”邀請賽試題）

9．已知a,b,c,d為有理數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示：

且6a6b3c4d6，求3a2d3b2a2bc的值．

．電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點，第一步從向左挑一個單位到，第二步由向右跳個單位

10KoKoK1K12

到，第三步由向左跳個單位到，第四步由向右跳個單位到，…，按以上規(guī)律跳了

K2K23K3K34K4

步時，電子跳蚤落在數(shù)軸上的點所表示的數(shù)恰是.．則電子跳蚤的初始位置點所表示的

100K1001994Ko

數(shù)是_________________．

11．如圖，已知A,B分別為數(shù)軸上兩點，A點對應的數(shù)為－20，B點對應的數(shù)為100．

（1）求過A,B中點M對應的數(shù)．

（2）現(xiàn)有一只電子螞蟻P從B點出發(fā)，以6個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從

A點出發(fā)，以4個單位/秒的速度向右運動，設兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的C點相遇，求C點對應的數(shù)．

（3）若當電子螞蟻P從B點出發(fā)時，以6個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從A

點出發(fā)，以4單位/秒的速度也向左運動，設兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的D點相遇，求D點對應的數(shù)．

B級

1．有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示：

則化簡abb1ac1c的結(jié)果為_____________________．

3

2．電影＜＜哈利·波特＞＞中小哈利·波特穿墻進入“9站臺”的鏡頭（如示意圖中M站臺），構(gòu)

4

思奇妙，給觀眾留下深刻的印象．若A,B站臺分別位于－2，－1處，AN2NB，則N站臺用類似電

影里的方法稱為“_________________站臺”

（《時代學習報》數(shù)學文化節(jié)試題）

3．在數(shù)軸上，若N點與原點O的距離是N點與三〇若對應的點之間的距離的4倍，則N點表示的數(shù)

是_________________．

（河南省競賽試題）

4．若a0,b0，則使xaxbab成立的x的取值范圍是__________________．

（武漢市選拔賽試題）

5．如圖，直線上有三個不同的點A,B,C，且ABBC，那么，到A,B,C三點距離的和最小的點為

（）．

A．B點外B．線段AC的中點C．線段AC外一點D．無窮多個

（“希望杯”邀請賽試題）

．點都在數(shù)軸上，點在原點的左邊，且，點在點的右

6A1,A2,A3,,An(n為正整數(shù))OA1O1A2A1

邊，且，點在點的左邊，且，點在點的右邊，且，，依

A2A12A3A2A3A23A4A3A4A34

照上述規(guī)律，點所表示的數(shù)分別為（）．

A2008,A2009

A．2008，－2009B．－2008，2009C．1004，－1005D．1004，－1004

（福建省泉州市中考試題）

7．設yx1x1，則下列四個結(jié)論中正確的是（）．

A．y沒有最小值B．只有一個x使y去最小值

C．有限個x（不止一個）使y去最小值D．有無窮多個x使y取最小值

（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）

8．如圖，數(shù)軸上標出若干個點，每相鄰兩個點相距1個單位，點A,B,C,D對應的數(shù)分別是整數(shù)a,b,c,d，

且b2a9，那么數(shù)軸的原點對應點是（）．

A．A點B．B點C．C點D．D點

（“新世紀杯”廣西初中數(shù)學競賽試題）

9．已知x21x9y51y，求xy的最大值和最小值．

（江蘇省競賽試題）

10．如圖，在環(huán)形運輸線路上有A,B,C,D,E,F六個倉庫，現(xiàn)有某種貨物的庫存量分別是50噸、84噸、

80噸、70噸、55噸和45噸．要對各倉庫的存貨進行調(diào)整，使得每個倉庫的存貨量相等，但每個倉庫只

能相相鄰的倉庫調(diào)運，并使調(diào)運的總量最?。蟾鱾}庫向其他倉庫的調(diào)運量．

11．如圖，數(shù)軸上標有2n1個點，它們對應的整數(shù)是n,(n1),,2,1,0,1,2,,n2,n1,n．為

了確保從這些點中可以取出2006個，使任何兩個點之間的距離都不等于4．求n的最小值．

（“華羅庚金杯”少年邀請賽試題）

專題05數(shù)與形的第一次聯(lián)姻

例112提示：點A表示數(shù)為3或－3，滿足條件的點B共有4個．

例2B提示：由數(shù)軸知a＜－1＜0＜b＜c＜1．

∴abc＜0，故①正確；由絕對值的幾何意義知②正確；a－b＜0，b－c＜0，c－a＞0，故（a－b）（b－

c）(c－a）＞0，③正確；|a|＞1，1－bc＜1，|a|＞1－bc，④不正確．

例3原點O在線段AC上．

例4①3，3，4②|x＋1|1或－3③－1≤x≤2④997002

例如圖，用，，，，點順時針排列依次表示一至五所小學，且順次向鄰校調(diào)給，，，

5ABCDEx1x2x3

，臺電腦．依題意得：＋－＝＋－＝＋－＝＋－＝＋－＝

x4x57x1x211x2x33x3x414x4x515x5x1

．得＝－，＝－，＝－，＝－．本題要求＝||＋||＋||＋||

10x2x13x3x12x4x19x5x15yx1x2x3x4

＋||的最小值，依次代入，可得＝||＋|－|＋|－|＋|－|＋|－|．

x5yx1x13x12x19x15

由絕對值幾何意義可知，當＝時，有最小值．此時有＝，＝，＝－，＝－．

x13y12x20x31x46x52

所以，一小向二小調(diào)出3臺，三小向四小調(diào)出1臺，五小向四小調(diào)出6臺，一小向五小調(diào)出2臺，這樣

調(diào)動的電腦總臺數(shù)最小為12臺．

例6（1）A，B，C三點在數(shù)軸上同時向正方向運動．

當點A運動到點C左側(cè)時，

∵線段AC＝6，∴6＋6t＝30＋18＋3t，解得t＝14．

當點A運動到點C右側(cè)時，

∵線段AC－6，∴6t－6＝30＋18＋3t，解得t＝18．

綜上可知，t為14或18時，線段AC＝6．

（2）當點A，B，C三個點在數(shù)軸上同時向正方向運動t秒后，點A，B，C在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為：

6t－30，10＋3t，18＋3t．

（3）∵P，M，N分別為OA，OB，OC的中點．

6t30103t183t

∴P，M，N三個點在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為：，，．且點M始終在點N左側(cè)．

222

103t6t30183t6t30

①若點P在M，N左邊，則PM＝－＝20－1．5t，PN＝－＝24－1．5t．

2222

∵2PM－PN＝2，∴2（20－1．5t）－（24－1．5t）＝2，

28

∴t＝．

3

6t30103t

②若點P在M，N之間，則PM＝－＝－20＋1．5t，

22

183t6t30

PN＝－＝24－1．5t．

22

∵2PM－PN＝2，∴2（－20＋1．5t）－（24－1．5t）＝2，

44

∴t＝．

3

6t30103t6t30183t

③若點P在M，N右邊，則PM＝－＝－20＋1．5t，PN＝－＝－24＋1．5t．

2222

∵2PM－PN＝2，∴2（－20＋1．5t）－（－24＋1．5t）＝2，

∴t＝12．

但此時PM＝－20＋1．5t＜0，所以此情況不成立．

2844

綜上可知，t＝或時符合題意．

33

A級

1．2m2．2或8

719151577

3.，提示：AB的長為2＝，A對應的數(shù)為3－＝，點A移動的距離為

44222244

19

－（－3）＝．

4

4．b＜－a＜a＜|b|5．C6．B7．C8．C9．5

．－．提示：設點表示的有理數(shù)為，則，，…，點所表示的有理數(shù)分別為

103006K0xK1K2K100x

－1，x－1＋2，x－1＋2－3，…，x－1＋2－3＋4－…－99＋100．由題意得x－1＋2－3＋4－…－

99＋100＝19．94．

20100120

11．（1）M點對應的數(shù)為＝40．（2）相遇時間為＝12秒，C點對應的數(shù)為100－12

264

×6＝28．（3）追擊時間為60秒，D點對應的數(shù)為－260．

B級

1

1．－22．1

3

3．24或40．提示：設N點對應的數(shù)為x．根據(jù)絕對值的幾何意義可知|x|＝4|x－30|．對x分情況討論

得出x＝24或x＝40．

4.b≤x≤a5．A6．C7．D8．C

9．原式化為|x＋2|＋|1－x|＋|y－5|＋|1＋y|＝9．

∵|x＋2|＋|1－x|≥3，當－2≤x≤1時等號成立；

|y－5|＋|1＋y|≥6，當－1≤y≤5時等號成立．

∴x＋y的最大值＝1＋5＝6；x＋y的最小值＝－2－1＝－3．

1

10．調(diào)運后各倉庫的存貨量都相等，應為×（50＋84＋80＋70＋55＋45）＝64噸．

6

設庫運往庫噸，庫運往庫噸，庫運往庫噸，庫運往庫噸，庫運往庫

ABxBBCxCCDxDDExEEF

噸，庫運往庫噸，故有＋－＝＋－＝＋－＝＋－＝

xFFAxA:50xAxB84xBxC80xCxD70xDxE

＋－＝＋－＝．

55xExF45xFxA64

所以，＝－，＝＋＝＋，＝＋＝＋，＝＋＝＋，＝

xBxA14xCxB20xA6xDxC1