初中數(shù)學自主招生難度講義-7年級專題16不等式（解析版）

專題16不等式（組）

閱讀與思考

客觀世界與實際生活既存在許多相等關(guān)系，又包含大量的不等關(guān)系，方程（組）是研究相等關(guān)系

的重要手段，不等式（組）是探求不等關(guān)系的基本工具，方程與不等式既有相似點，又有不同之處，主

要體現(xiàn)在：

1.解一元一次不等式與解一元一次方程類似，但解題時要注意兩者之間的重要區(qū)別；等式兩邊都乘

（或除）以同一個數(shù)時，只要考慮這個數(shù)是否為零，而不等式兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)時，不但

要考慮這個數(shù)是否為零，而且還要考慮這個數(shù)的正負性.

2.解不等式組與解方程組的主要區(qū)別是：解方程組時，我們可以對幾個方程進行“代入”或“加減”

式的加工，但在解不等組時，我們只能對某個不等式進行變形，分別求出每個不等式的解集，然后再求

公共部分.通俗地說，解方程組時，可以“統(tǒng)一思想”，而解不等式組時只能“分而治之”.

例題與求解

2x5

x5

【例1】已知關(guān)于x的不等式組3恰好有5個整數(shù)解，則t的取值范圍是（）

x3

tx

2

11111111

A、6tB、6tC、6tD、6t

2222

(2013年全國初中數(shù)學競賽廣東省試題）

解題思路：把x的解集用含t的式子表示，根據(jù)題意，結(jié)合數(shù)軸分析t的取值范圍.

10

【例2】如果關(guān)于x的不等式(2mn)xm5n0的解集為x那么關(guān)于x的不等式

7

mxn(m0)的解集為.

（黑龍江省哈爾濱市競賽試題）

解題思路：從已知條件出發(fā)，解關(guān)于x的不等式，求出m，n的值或m，n的關(guān)系.

xy2

【例3】已知方程組若方程組有非負整數(shù)解，求正整數(shù)m的值.

mxy6

（天津市競賽試題）

解題思路：解關(guān)于x，y的方程組，建立關(guān)于m的不等式組，求出m的取值范圍.

【例4】已知三個非負數(shù)a，b，c滿足3a＋2b＋c＝5和2a＋b－3c＝1，若m＝3a＋b－7c，求m的最大

值和最小值.

（江蘇省競賽試題）

解題思路：本例綜合了方程組、不等式（組）的知識，解題的關(guān)鍵是用含一個字母的代數(shù)式表示m，通

過解不等式組，確定這個字母的取值范圍，在約束條件下，求m的最大值與最小值.

【例】設(shè)是自然數(shù)，，

6x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7x1x2x3x4x5x6x7

，

x1x2x3,x2x3x4,x3x4x5,x4x5x6

，求的最大值

x5x6x7,又x1x2x3x4x5x6x72010x1x2x3.

（“希望杯”邀請賽試題）

解題思路：代入消元，利用不等式和取整的作用，尋找解題突破口.

【例6】已知實數(shù)a，b滿足1ab4,0ab1,且a－2b有最大值，求8a＋2003b的值.

解題思路：解法一：已知a－b的范圍，需知－b的范圍，即可知a－2b的最大值得情形.

解法二：設(shè)a－2b＝m（a＋b）＋n（a－b)＝（m＋n)a＋（m－n)b

能力訓練

A級

2mx4mx13

1、已知關(guān)于x的不等式的解集是x那么m的值是

324

（“希望杯”邀請賽試題）

x2a4

2、不等式組的解集是0x2，那么a＋b的值為

2xb5

（湖北省武漢市競賽試題）

3、若a＋b＜0，ab＜0，a＜b，則a,a,b,b的大小關(guān)系用不等式表示為

（湖北省武漢市競賽試題）

xym2

4、若方程組的解x，y都是正數(shù)，則m的取值范圍是

4x5y6m3

（河南省中考試題）

5、關(guān)于x的不等式ax3a3x的解集為x3，則a應滿足（）

A、a＞1B、a＜1C、a1D、a1

(2013年全國初中數(shù)學競賽預賽試題）

6、適合不等式2x13x144x21的x的取值的范圍是（）

7、已知不等式(mx1)(x2)0的解集3x2那么m等于（）

11

A、B、C、3D、－3

33

11

8、已知a0，下面給出4個結(jié)論：①a210；②1a20；③11④11，其中，一

a2a2

定成立的結(jié)論有（）

A、1個B、2個C、3個D、4個

（江蘇省競賽試題）

x2y6

9、當k為何整數(shù)值時，方程組有正整數(shù)解？

xy93k

（天津市競賽試題）

x12

10、如果是關(guān)于x，y的方程(axby12)axby80的解，求不等式組

y2

13x14

xa

b的解集

ax3x3

3xa0

11、已知關(guān)于x的不等式組b的整數(shù)解有且僅有4個：－1，0，1，2那么，適合這個不等式

x

2

組的所有可能的整數(shù)對（a，b）共有多少個？

（江蘇省競賽試題）

B級

1、如果關(guān)于x的不等式ax30的正整數(shù)解為1，2，3那么a的取值范圍是

（北京市”迎春杯“競賽試題）

xa0

2、若不等式組有解，則a的取值范圍是___________.

12xx2

（海南省競賽試題）

3、已知不等式3xa0只有三個正整數(shù)解，那么這時正數(shù)a的取值范圍為.

（”希望杯“邀請賽試題）

2

4、已知12x11則1的取值范圍為.

x

(“新知杯”上海市競賽試題）

11

cab2c

6

35

5、若正數(shù)a，b，c滿足不等式組abca，則a，b，c的大小關(guān)系是（）

23

511

bacb

24

A、a＜b＜cB、b＜c＜aC、c＜a＜bD、不確定

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

6、一共（）個整數(shù)x適合不等式x2000x9999

A、10000B、20000C、9999D、80000

（五羊杯“競賽試題）

7、已知m，n是整數(shù)，3m＋2＝5n＋3，且3m＋2＞30，5n＋3＜40，則mn的值是（）

A、70B、72C、77D、84

8、不等式xx5的解集為（）

5555

A、xB、xC、xD、x

2222

（山東省競賽試題）

2x153x

9、已知1x,求x1x3的最大值和最小值.

32

（北京市”迎春杯”競賽試題）

10、已知x，y，z是三個非負有理數(shù)，且滿足3x＋2y＋z＝5，x＋y－z＝2，若s＝2x＋y－z，求s的取值

范圍.

（天津市競賽試題）

8n7

11、求滿足下列條件的最小正整數(shù)n，對于n存在正整數(shù)k使成立.

15nk13

111

12、已知正整數(shù)a，b，c滿足a＜b＜c，且1，試求a，b，c的值.

abc

專題16不等式（組）

例1C提示：解不等式組得32tx20，則5個整數(shù)解為x＝19，18，17，16，15.結(jié)合數(shù)軸分

11

析，應滿足14≤3－2t＜15，故－6＜t≤6t.

2

13m5n10

例2x提示：(2mn)xm5n，2mn0，，m0，13m45n.

452mn7

8

x

m1

例3m1或m3提示：解方程組得，由

62m

y

m1

x0

,得－1≤m≤0

y0

a0

3a2b5ca7c3

例4提示：由已知條件得,解得,m=3c－2.由b0

2ab13cb711c

c0

7c30

3715

得711c0,解得c,故m的最大值為,最小值為

711117

c0

x3x1x2

x4x2x3x12x2

例5先用x1和x2表示x3,x4，…，x7,得x5x3x42x13x2,因此x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=2010.

xxx3x5x

64512

x7x5x65x18x2

201013x1113113

于是得x100(x).因為x2是自然數(shù),所以(x)是整數(shù)，所以x1

22022012201

是10的奇數(shù)倍.又因為x1＜x2，故有三組解:x1=10,x2=94,或x1=30,x2=81,或x1=50,x2=68.

因此x1+x2的最大值為50+68=118,所以x1+x2+x3的最大值為2(x1+x2)=2×118=236.

例6解法一：∵0≤a－b≤1①，1≤a+b≤4②，由②知－4≤－a－b≤－1③，

①+③得－4≤－2b≤0，即－2≤－b≤0④，①+④得－2≤a－2b≤1

要使a—2b最大，只有a－b=1且－b=0.∴a=1且b=0，此時8a+2003b=8.

1

m

mn12

解法二：設(shè)a－2b=m(a+b)+n(a－b)=(m+n)a+(m－n)b,知,解得.

mn23

n

2

113313

而2ab,0ab,∴a－2b=ab+ab

222222

∴－2≤a－2b≤1

當a—2b最大時，a+b=1，a－b=1∴b=0，a=1，此時8a+2003b=8.

A級

9

1.

10

x42a4a0

a2

2.11.1提示:原不等式組變形為b5由解集是0＜x＜2知b5,解得

x0b1

22

故a+b=2+(－1)=1

5

3.a＜－b＜b＜－a4.＜m＜7

2

5.B提示：由ax+3a＞3+x,得(a－1)(x+3)＞0,.由不等式的解集為x＜－3知x+3＜0,

所以a－1＜0,得a＜1.

6.C7.B8.C9.k=2或3.

10.提示：由非負數(shù)性質(zhì)求得a=2,b=5,原不等式組的解集為x＜－3.

a

x

3

11.原不等式組等價于,因為該不等式組的整數(shù)解一1，0，1，2不是對稱地出現(xiàn)，

bb

x

22

bbabab

所以其解不可能是x必有x，由整數(shù)解的情況可知21,23

223232

得a=－5,－4,－3;b=5,6.故整數(shù)對(a,b)共有2×3=6對.

B級

3333

1.1a提示:由題意可知:x.由正整數(shù)解為1,2,3知34,解得1a

4aa4

xa

2.a≥－1提示:原不等式組變形為由不等式組有解知－a≤1,故a≥－1

x1

2

3.9≤a＜124.11

x

1758715

5.B提示:原不等式組變形為cabc3c,aabca,babcb.