第03講 因式分解及分式（含詳解答案）-全國重點高中自主招生大揭秘

因式分解及分式

一、單選題

1．（2021·全國·九年級競賽）若m20062200622007220072，則m（）.

A．是完全平方數(shù)，還是奇數(shù)B．是完全平方數(shù)，還是偶數(shù)

C．不是完全平方數(shù)，但是奇數(shù)D．不是完全平方數(shù)，但是偶數(shù)

2．（2021·全國·九年級競賽）已知7241可被40至50之間的兩個整數(shù)整除，則這兩個整數(shù)是（）

A．41，48B．45，47C．43，48D．41，47

26x3y3x2y2

3．（2022·福建·九年級統(tǒng)考競賽）已知實數(shù)x，y滿足1且x2y2，則的值為（）

x627y6x2y2

541

A．B．C．D．2

452

2355xy

4．（2021·全國·九年級競賽）已知x，y，z滿足，則值為（）.

xyzzxy2z

111

A．1B．C．D．

332

ab

5．（2021·全國·九年級競賽）設(shè)a＞b＞0，a2+b2=4ab，則的值為()

ab

A．3B．6C．2D．3

6．（2021·全國·九年級競賽）使代數(shù)式y(tǒng)=的值為整數(shù)的全體自然數(shù)的和是()．

A．5B．6C．12D．22

7．（2022·浙江·九年級自主招生）若a，b，c均為非零實數(shù)，且abcabca3，則abbcca的最小

值為（）

A．6B．8C．9D．13

8．（2023春·重慶江北·八年級重慶十八中?？计谥校┮阎麛?shù)a，b，c，d滿足abcd，且

abcdd2c2b2a2，關(guān)于這個四元方程下列說法正確的個數(shù)是（）

①a1，b2，c3，d4是該四元方程的一組解；

②連續(xù)的四個正整數(shù)一定是該四元方程的解；

③若abcd10，則該四元方程有21組解；

④若abcd2022，則該四元方程有504組解．

A．1B．2C．3D．4

9．（2023·重慶·模擬預(yù)測）按順序排列的若干個數(shù)：x1,x2,x3...,xn，（n是正整數(shù)），從第二個數(shù)x2開始，

11

每一個數(shù)都等于1與它前面的那個數(shù)的差的倒數(shù)，即：x2，x3，……，下列說法正確的個數(shù)

1x11x2

有（）

4

①若x5，則x

275

2021

②若x2，則xxxx

112320222

③若x11x21x91，則x12

x1x10

④當(dāng)1m3時，代數(shù)式x1x9m1x1的值恒為負(fù)

x2x19

A．1個B．2個C．3個D．4個

二、填空題

10．（2021·全國·九年級競賽）已知多項式x27xyay25x43y24可分解為兩個一次因式的積，則

a______________．

11．（2021·全國·九年級競賽）滿足19982m219972n20mn1998的整數(shù)對m,n，共有______

對.

11

12．（2023春·浙江寧波·九年級校聯(lián)考競賽）對于任意兩個非零實數(shù)a、b，定義新運算“*”如下：a*b，

ba

1112022xy

例如：3*4．若x*y＝2，則的值為______．

4312xy

111

13．（2022·福建·九年級統(tǒng)考競賽）若正數(shù)a，b，c滿足abc1，a3,b17，則c______．

bca

x2

14．（2022春·湖南長沙·八年級校聯(lián)考競賽）已知x2x11，則x_______．

1117

15．（2021·全國·九年級競賽）已知x、y、z滿足x4，y1，z，則xyz=__________.

yzx3

x23ab

16．（2018春·四川自貢·八年級競賽）a、b為常數(shù)，且對任何實數(shù)x都有22成

x21x22x1x2

立，則ba=

_________.

11aabb

17．（2018春·四川自貢·八年級競賽）已知-

=1，則的值等于__________

aba2abb

18．（2022秋·湖南長沙·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零實數(shù)，

a2b2b2c2c2d2abcda2b2c2d2

且，則的值為______．

a2y2b2x2b2z2c2y2c2w2d2z2xyzwx2y2z2w2

三、解答題

19．（2021·全國·九年級競賽）分解因式：xy(x2y2)yz(y2z2)zx(z2x2)

20．（2021·全國·九年級競賽）k為何值時，多項式x22xyky23x5y2能分解成兩個一次因式的乘積？

2ac

21．（2018春·四川自貢·八年級競賽）已知實數(shù)a、b、c滿足abc0且ac4bcab0，求

b

的值.

x1

22．（2017春·江蘇鎮(zhèn)江·九年級競賽）先化簡：()(x1)，然后從1x2中選擇一個合適的

x1x2x

數(shù)代入求值．

23．（2023春·重慶九龍坡·八年級重慶實驗外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）若一個四位數(shù)M的百位數(shù)字與千位

數(shù)字的差恰好是個位數(shù)字與十位數(shù)字的差的2倍，則將這個四位數(shù)M稱作“星耀重外數(shù)”．例如：M2456，

∵42265，∴2456是“星耀重外數(shù)”；又如M4325，∵34252，∴4325不是“星耀重外

數(shù)”．

(1)判斷2023，5522是否是“星耀重外數(shù)”，并說明理由；

(2)一個“星耀重外數(shù)”M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個位數(shù)字為d，且滿足

49ac2a2d23b6

2abcd9，記GM，當(dāng)GM是整數(shù)時，求出所有滿足條件的M．

24

2

24．（2022秋·上海青浦·七年級校考期中）證明：a2b2c2x2y2z2axbycz

參考答案：

1．A

【分析】根據(jù)已知得出2007=2006+1，將原式整理為關(guān)于2006的平方形式得出答案.

【詳解】設(shè)x=2006，則m=x2+x2(x+1)2+(x+1)2=(x-1-x)2+2x(x+1)+[x(x+1)]2=[x(x+1)+1]2

=(x2+x+1)2,則m=（20162+2016+1）2，所有m為奇數(shù).

【點睛】掌握因式分解法：完全平方法（a±b）2=a2±2ab+b2.

2．C

【詳解】試題分析：因為7241(7121)(7121)(7121)(761)(761)(7121)(761)(731)(731)

=（712+1）（76+1）（7+1）（72-7+1）（7-1）（72+7+1）=（712+1）（76+1）×8×43×6×57

=（712+1）（76+1）×48×43×57，所以可被40至50之間的兩個整數(shù)整除的數(shù)是48，43．

故選C．

考點：因式分解

3．A

63

26x3y3xx

【分析】由可得6336，進而可得xx，解得1或3，

661x26xy27y026270

x27yyyyy

x2y2

然后再對進行變形即可解答．

x2y2

26x3y3

【詳解】解：∵1，得x626x3y327y60，

x627y6

63

xx

即26270．

yy

33

xx

∴1或27．

yy

xx

即1或3．

yy

2

x

1

xx2y2y915

22

∴xy，所以3，222．

yxyx914

1

y

故選：A．

【點睛】本題主要考查了分式的化簡求值、立方根、解一元二次方程等知識點，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用相

關(guān)定義和運算法則以及整體法來求解．

4．B

2351

【分析】設(shè)，則x=2k，y=6k，z=3k．代入

xyzzxk

5xy

求值即可

y2z

2351

【詳解】設(shè)，

xyzzxk

則x2k，zx5k，

∴z3k，yz3k，

∴y6k，

5xy52k6k1

則.

y2z6k23k3

【點睛】此題考查分式的化簡求值，掌握運算法則是解題關(guān)鍵

5．D

【分析】由a2+b2=4ab可得(a+b)2=6ab，∴(a-b)2=2ab，然后根據(jù)a＞b＞0得ab6ab，ab2ab，代入

ab

即可．

ab

【詳解】解：∵a2+b2=4ab，

∴(a+b)2=6ab，∴(a-b)2=2ab，

∵a＞b＞0，

∴ab6ab，ab2ab，

ab6ab

∴3.

ab2ab

故選D．

【點睛】本題考查了分式的運算，正確運用完全平方公式是解題的關(guān)鍵．

6．D

x211212

【詳解】試題分析：解，原式=x1，所以：

x1x1

使得代數(shù)式的值為整數(shù)的全體自然數(shù)x分別為0,1,2,3,5,11．

所以全體自然數(shù)x的和為0+1+2+3+5+11=22．

考點：分式

點評：本題難度較低，主要考查了分式的化簡與變形的知識，解決本題的關(guān)鍵是對原分式進行正確的分解

與變形．

7．C

【分析】根據(jù)abcabca3，得到bca3a，bca2，將abbcca轉(zhuǎn)化為用a表示的式子，構(gòu)造

一個以b,c為兩個根的一元二次方程，再轉(zhuǎn)化為含字母a的一元二次方程，根據(jù)方程有兩個根，得到0，

求出a的取值范圍，即可得解．

【詳解】解：∵a，b，c均為非零實數(shù)，且abcabca3，

∴bca3a，bca2，

∴abbccabcabca2a(a3a)a4，

∵b，c是方程x2(bc)xbc0的兩根，

方程x2a3axa20有兩個實數(shù)根，

則(a3a)24a20，即a62a43a20

∵a20，

∴a42a230，即(a23)(a21)0，

∵(a21)0，

∴a230，即a23，

∴abbccaa4329，

即abbcca的最小值為9；

故選：C．

【點睛】本題考查因式分解和一元二次方程的判別式．解題的關(guān)鍵是將待求代數(shù)式，用一個字母進行表示，

構(gòu)造出一元二次方程．

8．D

【分析】將a1，b2，c3，d4代入到四元方程中看等式兩邊是否相等即可判斷①；設(shè)

ak，bk1，ck2，dk3，然后代入四元方程即可判斷②；先證明d2c2dc0，同理得到

b2a2ab0，即可推出dc10，ba10得到ba1，dc1，據(jù)此即可判斷③；根據(jù)③

所求可以推出ac1010，由此即可判斷④．

【詳解】解：當(dāng)a1，b2，c3，d4時，方程左邊=1234=10，方程右邊=42322212=10，

∴方程左右兩邊相等，

∴a1，b2，c3，d4是四元方程的一組解，故①正確；

設(shè)ak，bk1，ck2，dk3，

∴abcdkk1k2k34k6，

222

d2c2b2a2k3k2k1k2

k26k9k24k4k22k1k2

4k6，

∴當(dāng)ak，bk1，ck2，dk3，四元方程左右兩邊相等，

∴連續(xù)的四個正整數(shù)一定是該四元方程的解，故②正確；

∵d2c2dcdcdcdcdcdc1，dc，且c、d均為正整數(shù)，

∴dc10，dc0，

∴d2c2dc0，

同理b2a2ab0，

∴d2c2b2a2abcd，

又∵abcdd2c2b2a2，

∴dc10，ba10，

∴ba1，dc1，

∴a1，b2時，c3，d4或c4，d5或c5，d6或c6，d7或c7，d8或c8，d9，

同理a2，b3時，c4，d5或c5，d6或c6，d7或c7，d8或c8，d9，

a3，b4時，c5，d6或c6，d7或c7，d8或c8，d9，

L，

a6，b7時，c8，d9，

∴當(dāng)abcd10，該四元方程一共有654321=21組解，故③正確；

由③得ba1，dc1，

∵abcd2022，

∴aa1cc12022，

∴ac1010，

∵a，c都是正整數(shù)，且ac，

∴當(dāng)a1時，c1009，

當(dāng)a2時，c1008，

L，

當(dāng)a504時，c506，

∴滿足題意的a、b、c、d的值有504組，

∴若abcd2022，則該四元方程有504組解，故④正確；

故選D．

【點睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，二元一次方程的解，解題的關(guān)鍵在于能夠正確理解題意，以及

方程的解得含義．

9．C

【分析】①將x25代入式子依次計算即可；②從x12開始依次計算出x2,x3,x4,x5，即可找到周期性規(guī)律；

然后利用規(guī)律計算x1x2x3x2022即可；③利用規(guī)律找到x1,x2,x9之間的規(guī)律，將x2,x9分別用x1表示，

x1x10

解方程即可；④利用規(guī)律將x1x9m1x1化簡得二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值即可．

x2x19

1

1

【詳解】解：①將x25代入x3得：x3，

1x24

414

然后依次求得：x,x5,x,x

4556475

故①正確

1

②由①可歸納得出規(guī)律：周期性為3；將x12可以求得：x1,x，

232

13

則：每個周期的和為xxx21，

12322

x1x2x3x2022中共2022個數(shù)據(jù)，

2022

周期個數(shù)為：674個

3

3

則：xxxx6741011

12320222

故②錯誤

1

③由規(guī)律得：x2，x9x1，

1x1

22

當(dāng)x12代入可得：x212，xx

932

將三個數(shù)值代入x11x21x9中得1

故③正確

1x1

1

④將x2,x3分別用x1表示得：x2，x3，

1x1x1

x1

1

則x9x3，x10x1，x19x1

x1

x1x10

x1x9m1x1

x2x19

x11x1x1

x1m1x1

x11

x1

1x1

2

化簡得：上式x11mx11

2

21m4

yx11mx11開口向下，最大值為，

4

2

1m4

w的對稱軸為m1，

4

1m3，所以m3或1時，w有最大值0（取不到）

2

1m4

0

4

2

x11mx110

x1x10

x1x9m1x1的值恒為負(fù)

x2x19

故④正確

故選C

【點睛】本題考查了歸納概括能力，相關(guān)知識點有：分式的化簡、二次根式的化簡、二次函數(shù)求最值、有

理數(shù)的運算等，歸納得出周期性規(guī)律是解題關(guān)鍵．

10．-18

【分析】設(shè)原式可分解為(x+ky+c)(x+ly+d)，展開后得出x2+(k+l)xy+kly2+(c+d)x+(cl+dk)y+cd,推出

cd=-24,c+d=-5,cl+dk=43,k+l=7,a=kl求出即可.

【詳解】解：∵多項式的第一項是x2，因此原式可分解為：(x+ky+c)(x+ly+d)

∵(x+ky+c)(x+ly+d)=x2+(k+l)xy+kly2+(c+d)x+(cl+dk)y+cd，

∴cd=-24,c+d=-5,

∴c=3,d=-8,

∵cl+dk=43,

∴3l-8k=43,

∵k+l=7,

∴k=-2,l=9,

∴a=kl=-18

故答案為-18.

【點睛】此題考查因式分解的概念，根據(jù)題意得出cd=-24,c+d=-5,cl+dk=43,k+l=7,a=kl是解決問題的關(guān)鍵．

11．3

【分析】把含字母的式子整理到等式的左邊，常數(shù)項整理到等式的右邊，把等式的左邊進行因式分解，判

斷相應(yīng)的整數(shù)即可.

【詳解】∵n2-m2=19982-19972=3995=5×17×47

∴(n-m)(n+m)=5×17×47

對于3995的任意整數(shù)分解均可得到(m，n)，故滿足條件的整數(shù)對(m，n)共有3對.

【點睛】熟練掌握因式分解的運用，本題考查平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）.

12．1011

11

【分析】根據(jù)新運算法則可得2，即xy2xy，代入原式化簡即可求解．

yx

【詳解】解：由題意得：

11

x*y＝2，即2，則：xy2xy，

yx

2022xy2022xy

則1011，

xy2xy

故答案為：1011．

【點睛】本題考查了分式的化簡求值，理解新運算法則，將已知化為未知的形式進行化簡是解題的關(guān)鍵．

11

13．

25

111

【分析】計算abc，然后整體代入求解即可；或者把已知條件組成方程組，解方程組求出

bca

252

a，c，代入計算即可．

925

111

【詳解】解：解法一：因為abc

bca

a11

ab1c

cbca

1111

abcacb

bcaabc

1111

abcabc

bcaabc

11

所以317c317c2，

aa

111

解得c．

a25

故答案為：11．

25

abc1

1

1ab17b

解法二：由a3，得c，

b

ab3b1

1

b17

c

9

因此17b3b1，b．

2

252

由此可得a，c．

925

12911

所以c

a252525

故答案為：11．

25

【點睛】本題考查了分式的運算，解題關(guān)鍵是熟練運用分式運算法則進行計算，注意運用整體思想求解．

14．-2或0或-1或2

x2x10

【分析】根據(jù)零指數(shù)冪的性質(zhì)，得出或底數(shù)是-1指數(shù)是偶數(shù)或x2x1=1，解方程求出x，驗

x20

證底數(shù)不為0即可．

x2

【詳解】解：∵x2x11，

分三種情況討論：

x2x10

∴或x2-x-1=-1且指數(shù)為偶數(shù)或x2x1=1，

x20

x2x10

（1）當(dāng)時，

x20

∴x2，

當(dāng)x2時x2x142150，

∴x2，

（2）x2-x-1=-1且指數(shù)為偶數(shù)時，

x=0;

(3)當(dāng)x2x1=1時，

因式分解得x1x20

解得x1，x2

故答案為-2或0或-1或2．

【點睛】本題考查零指數(shù)冪性質(zhì)，一元一次方程，一元二次方程解法，掌握任何不等于0的0次冪為1，底

數(shù)為-1的偶次方為1，底數(shù)為1的任何次方為1是解題關(guān)鍵．

15．1

【分析】分別將三個等式相乘、相加，聯(lián)立可得到一個只含有xyz的等式，求解即可.

1117

【詳解】x4,y1,z

yzx3

11122

三個等式相加得：xyz①

yzx3

11128

三個等式相乘得：(x)(y)(z)

yzx3

111128

整理得：xyzxyz②

xyzyzx3

122281

將①代入②得：xyz，即xyz2

xyz33xyz

令xyza

1

則a2

a

解得：a1a21

1

經(jīng)檢驗，a1是方程a2的解

a

則xyz1

故答案為：1.

【點睛】本題考查了分式的化簡求值，觀察已知等式，將它們分別相加、相乘，再代入求解是一種常用的

解題思路，需熟練掌握.

16．1；

x23ab

22222

【詳解】解：∵22，∴x3a(x2)b(x1)，∴x3(ab)x(2ab)，

x21x22x1x2

ab1a2

∴，解得：，∴ba(1)2=1．故答案為1．

2ab3b1

17．0；

11aabbabab

【詳解】解：∵=1，∴b﹣a=ab，∴a﹣b=﹣ab，∴==0．故答案為0．

aba2abbab2ab

18．2

a2b2b2c2c2d2abcd1

【分析】設(shè)，即有：

a2y2b2x2b2z2c2y2c2w2d2z2xyzwk

a2y2b2x2b2z2c2y2c2w2d2z2xyzwy2x2z2y2w2z2xyzw

k，化簡：k，則有：

a2b2a2b2b2c2b2c2c2d2c2d2abcdb2a2c2b2d2c2abcd

x2z2y2w2xyzwx2z2y2w2a2c21b2d21z2w2

，，k，設(shè)m，n，即，，mnk，

a2c2b2d2abcda2c2b2d2x2z2my2w2nc2d2

xyzw

kmn，則問題即可得解．

abcd

【詳解】結(jié)合a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零實數(shù)進行下述運算，

a2b2b2c2c2d2abcd1

設(shè)，

a2y2b2x2b2z2c2y2c2w2d2z2xyzwk

a2y2b2x2b2z2c2y2c2w2d2z2xyzw

則有：k，

a2b2b2c2c2d2abcd

a2y2b2x2b2z2c2y2c2w2d2z2xyzw

即有：k，

a2b2a2b2b2c2b2c2c2d2c2d2abcd

y2x2z2y2w2z2xyzw

化簡：k，

b2a2c2b2d2c2abcd

x2z2y2w2xyzw

則有：，，k，

a2c2b2d2abcd

x2z2y2w2

設(shè)m，n，

a2c2b2d2

a2c21b2d21z2w2

即，，mnk，

x2z2my2w2nc2d2

x2z2y2w2

則有：m2，n2，

a2c2b2d2

xyzw

即有：kmn，

abcd

a2b2c2d2222mn2k

則有：2，

x2y2z2w2mnmnk

故答案為：2．

【點睛】本題主要考查分式的化簡求值，熟練掌握分式的混合運算法則和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

19．(x-z)(y-z)(x-y)(x+y+z)

【分析】去括號整理后可得x3(y-z)+y3(z-x)+z3(x-y)，由x-y=(x-z)+(z-y)，原式可變?yōu)?/p>

x3(y-z)+y3(z-x)+z3[(x-z)+(z-y)]，將中括號去掉，把小括號作為整體，重新分組分解即可.

【詳解】xy(x2-y2)+yz(y2-z2)+zx(z2-x2)

=x3y-xy3+y3z-yz3+z3x-zx3

=x3(y-z)+y3(z-x)+z3(x-y)

∵x-y=(x-z)+(z-y),

∴原式=x3(y-z)+y3(z-x)+z3[(x-z)+(z-y)]

=(x3-z3)(y-z)+(y3-z3)(z-x)

=(x-z)(x2+xz+z2)(y-z)+(y-z)(y2+yz+z2)(z-x)

=(x-z)(y-z)(x2+zx+z2-y2-yz-z2)

=(x-z)(y-z)(x-y)(x+y+z).

【點睛】本題考查了因式分解，把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解.因式分解常用的

方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法.因式分解必須分解到每個因式都不能再

分解為止.

20．k=-3

【分析】首先由x2+3x+2=(x+1)(x+2)，可設(shè)多項式=(x+my+1)×(x+ny+2)，然后根據(jù)多項式乘以多項式的運算

法則求(x+my+1)×(x+ny+2)的值，又由多項式相等時對應(yīng)項的系數(shù)相等，可得方程組m+n=-2、mn=k、2m+n=-5，

解得m和n的值，并求出k值.

【詳解】因為x2+3x+2=(x+1)(x+2)，所以令原式=(x+my+1)×(x+ny+2)，即

x2+(m+n)xy+mny2+3x+(2m+n)y+2=x2-2xy+ky2+3x-5y+2,所以m+n=-2、mn=k、2m+n=-5,求得m=-3，n=1，所

以k=mn=-3，所以當(dāng)k=-3時，多項式x2-2xy+ky2+3x-5y+2能分解成兩個一次因式的積.

【點睛】熟練掌握因式分解提公因式法、公式法．

21．2

【詳解】試題分析：展開已知條件可得（ac2b）20，得到a+c=2b，即可得到結(jié)論．

試題解析：解：∵（ac）2（4bc）（ab）0，

∴a2c22ac4ab4b24ac4bc0，

a2c24b22ac4ab4bc0，

（ac2b）20，

∴ac2b．

∵abc0，

ac

∴=2．

b

點睛：本題考查了分式化簡求值．解題的關(guān)鍵是把已知進行變形，得到（ac2b）20．

111

22．化簡結(jié)果為：；將x=2代入得：；

xx2

【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡

結(jié)果，將x的值代入計算即可求出值

x11

【詳解】

x1xx1x1

x211

解：原式

xx1xx1x1

x211

xx1x1

x1x11

xx1x1

1

，

x

∵1x2，

∴可以取x=2，

1

∴原式=．

2

【點睛】本題考查分式的混合運算，因式分解，能夠熟練進行分式的混合運算是解決本題的關(guān)鍵．

23．(1)2023不是“星耀重外數(shù)”，5522是“星耀重外數(shù)”；理由見解析

(2)22