等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和教學(xué)設(shè)計(jì)

等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和教學(xué)設(shè)計(jì)?一、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能目標(biāo)理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式。能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題。體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系。2.過(guò)程與方法目標(biāo)通過(guò)對(duì)日常生活中實(shí)際問(wèn)題的分析，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、歸納、猜想等方法，探索等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和抽象概括能力。在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的過(guò)程中，體會(huì)倒序相加法的原理，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新意識(shí)。通過(guò)對(duì)等差數(shù)列性質(zhì)的探究，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的類比思想和化歸思想。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)通過(guò)對(duì)等差數(shù)列的研究，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索、勇于創(chuàng)新的精神。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。通過(guò)小組合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神和交流能力。

二、教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式。等差數(shù)列性質(zhì)的理解與應(yīng)用。2.教學(xué)難點(diǎn)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)。靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題。

三、教學(xué)方法1.講授法：講解等差數(shù)列的基本概念、公式和性質(zhì)，使學(xué)生系統(tǒng)地掌握知識(shí)。2.討論法：組織學(xué)生討論問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生之間的交流與合作，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)精神和創(chuàng)新能力。3.探究法：引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自主探究、合作探究等方式，探索等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新精神。4.練習(xí)法：通過(guò)適量的練習(xí)題，讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。

四、教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課1.展示問(wèn)題情境問(wèn)題1：在過(guò)去的三百多年里，人們分別在下列時(shí)間里觀測(cè)到了哈雷彗星：1682，1758，1834，1910，1986，（）你能預(yù)測(cè)出下一次觀測(cè)到哈雷彗星的大致時(shí)間嗎？問(wèn)題2：通常情況下，從地面到10公里的高空，氣溫隨高度的變化而變化符合一定的規(guī)律，請(qǐng)你根據(jù)下表估計(jì)一下珠穆朗瑪峰峰頂?shù)臏囟?。|高度（km）|0|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|||||||||||||||溫度（℃）|28|21.5|15|8.5|2|4.5|11|17.5|24|30.5|37|

2.引導(dǎo)學(xué)生觀察引導(dǎo)學(xué)生觀察以上兩個(gè)問(wèn)題中的數(shù)據(jù)，思考它們有什么共同的特征。讓學(xué)生分組討論，然后派代表發(fā)言。

3.引出課題根據(jù)學(xué)生的回答，教師總結(jié)歸納出這些數(shù)據(jù)的共同特征：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)。引出本節(jié)課的課題等差數(shù)列。

（二）探究新知，講授新課1.等差數(shù)列的定義給出等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。強(qiáng)調(diào)定義中的關(guān)鍵詞："從第二項(xiàng)起""每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差""同一個(gè)常數(shù)"。讓學(xué)生根據(jù)定義判斷前面兩個(gè)問(wèn)題中的數(shù)列是否為等差數(shù)列，并求出公差d。

2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的首項(xiàng)為\(a_{1}\)，公差為d，那么\(a_{2}=a_{1}+d\)，\(a_{3}=a_{2}+d=(a_{1}+d)+d=a_{1}+2d\)，\(a_{4}=a_{3}+d=(a_{1}+2d)+d=a_{1}+3d\)，......由此可以歸納出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：\(a_{n}=a_{1}+(n1)d\)。講解通項(xiàng)公式的變形\(a_{n}=a_{m}+(nm)d\)\(d=\frac{a_{n}a_{m}}{nm}\)應(yīng)用通項(xiàng)公式解決問(wèn)題例1：已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=2\)，\(d=3\)，求\(a_{n}\)。解：根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式\(a_{n}=a_{1}+(n1)d\)，可得\(a_{n}=2+3(n1)=3n1\)。例2：已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{5}=10\)，\(a_{12}=31\)，求\(a_{n}\)。解：由\(a_{n}=a_{m}+(nm)d\)可得\(a_{12}=a_{5}+(125)d\)，即\(31=10+7d\)，解得\(d=3\)。再由\(a_{n}=a_{5}+(n5)d\)，可得\(a_{n}=10+3(n5)=3n5\)。

3.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前n項(xiàng)和為\(S_{n}\)，即\(S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\)。又\(S_{n}=a_{n}+a_{n1}+\cdots+a_{1}\)。將兩式相加得：\(2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n1})+\cdots+(a_{n}+a_{1})\)。因?yàn)閈(a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n1}=\cdots=a_{n}+a_{1}\)，所以\(2S_{n}=n(a_{1}+a_{n})\)，則\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}\)。又因?yàn)閈(a_{n}=a_{1}+(n1)d\)，所以\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n1)}{2}d\)。講解前n項(xiàng)和公式的變形\(S_{n}=n\cdota_{\frac{n+1}{2}}\)（當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)）\(S_{n}=\frac{n}{2}(a_{\frac{n}{2}}+a_{\frac{n}{2}+1})\)（當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)）應(yīng)用前n項(xiàng)和公式解決問(wèn)題例3：已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{n}=19\)，\(n=10\)，求\(S_{n}\)。解：根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}\)，可得\(S_{10}=\frac{10\times(1+19)}{2}=100\)。例4：已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=3\)，\(d=2\)，求\(S_{20}\)。解：根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n1)}{2}d\)，可得\(S_{20}=20\times3+\frac{20\times19}{2}\times2=440\)。

4.等差數(shù)列的性質(zhì)引導(dǎo)學(xué)生探究等差數(shù)列的性質(zhì)若\(m,n,p,q\inN^{*}\)，且\(m+n=p+q\)，則\(a_{m}+a_{n}=a_{p}+a_{q}\)。若數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)是等差數(shù)列，\(S_{n}\)是其前n項(xiàng)和，則\(S_{n}\)，\(S_{2n}S_{n}\)，\(S_{3n}S_{2n}\)，......也成等差數(shù)列。應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解決問(wèn)題例5：在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，若\(a_{3}+a_{5}+a_{7}+a_{9}+a_{11}=100\)，求\(a_{6}+a_{8}\)的值。解：因?yàn)閈(3+11=5+9=6+8=2\times7\)，所以\(a_{3}+a_{11}=a_{5}+a_{9}=a_{6}+a_{8}=2a_{7}\)。則\(a_{3}+a_{5}+a_{7}+a_{9}+a_{11}=5a_{7}=100\)，解得\(a_{7}=20\)。所以\(a_{6}+a_{8}=2a_{7}=40\)。例6：已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前n項(xiàng)和為\(S_{n}\)，若\(S_{3}=9\)，\(S_{6}=36\)，求\(S_{9}\)。解：因?yàn)閈(S_{3}\)，\(S_{6}S_{3}\)，\(S_{9}S_{6}\)成等差數(shù)列，所以\(2(S_{6}S_{3})=S_{3}+(S_{9}S_{6})\)。已知\(S_{3}=9\)，\(S_{6}=36\)，則\(2\times(369)=9+(S_{9}36)\)，解得\(S_{9}=81\)。

（三）課堂練習(xí)，鞏固提高1.基礎(chǔ)練習(xí)已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=5\)，\(d=3\)，則\(a_{n}=\)______。已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{3}=7\)，\(a_{5}=13\)，則\(a_{7}=\)______。已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前n項(xiàng)和為\(S_{n}\)，若\(a_{1}=2\)，\(d=1\)，則\(S_{10}=\)______。2.提高練習(xí)在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，若\(a_{1}+a_{2}+a_{3}=3\)，\(a_{4}+a_{5}+a_{6}=6\)，則\(a_{7}+a_{8}+a_{9}=\)______。已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前n項(xiàng)和為\(S_{n}\)，若\(S_{n}=n^{2}2n\)，則\(a_{n}=\)______。

（四）課堂小結(jié)，布置作業(yè)1.課堂小結(jié)引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，包括等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式以及性質(zhì)。讓學(xué)生談?wù)勛约涸诒竟?jié)課中的收獲和體會(huì)，教師進(jìn)行總結(jié)和補(bǔ)充。2.布置作業(yè)必做題：教材第45頁(yè)練習(xí)第1、2、3、4題。選做題：教材第46頁(yè)習(xí)題2.2A組第3、4、5題。

五、教學(xué)反思通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生對(duì)等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式以及性質(zhì)有了較為系統(tǒng)的理解和掌握。在教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境引入新課，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生自主探究、合作探究，培養(yǎng)了學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新精神；通過(guò)課堂