中考數(shù)學(xué)高頻壓軸題突破-二次函數(shù)與面積

中考高頻壓軸題突破一二次函數(shù)與面積

1.在平面直角坐標(biāo)系X0V中(如圖)，已知拋物線)，=?；/+A+c?(其中氏C是常數(shù))經(jīng)

過點A(-2,-2)與點6(0,4),頂點為M.

(1)求該拋物線的表達(dá)式與點M的坐標(biāo)；

(2)平移這條拋物線，得到的新拋物線與)，軸交于點。(點C在點8的下方)，且△BCM

的面積為3.新拋物線的對稱軸/經(jīng)過點A,直線/與工軸交于點

①求點A隨拋物線平移后的對應(yīng)點坐標(biāo)；

②點從G在新拋物線上，且關(guān)于直線/對稱，如果正方形DEFG的頂點/在第二象限

內(nèi),求點尸的坐標(biāo).

Ox

2.在平面直角坐標(biāo)系W中，規(guī)定:拋物線)，="X-/?)2+A的伴隨直線為y="x-/?)-&.

例如：拋物線y=2(x+l)2—3的伴隨直線為)，=2(%+1)—3,即y=2x—l.

(1)在上面規(guī)定下，拋物線y=(x+l)、4的頂點為.伴隨直線為；

拋物線)="+/尸一4與其伴隨直線的交點坐標(biāo)為和；

(2)如圖，頂點在第一象限的拋物線y=1)?-4〃?與其伴隨直線相交于點(點A

在點3的右側(cè))與x軸交于點CD

①若/C48=90：求/〃的值；

②如果點是直線8。上方拋物線的一個動點，AP5C的面積記為S,當(dāng)S取得最

大值一27時，求小的值.

4

3.在平面直角坐標(biāo)系中(如圖)，已知經(jīng)過點A(-3,0)的拋物線、=加+2依-

3與〉，軸交于點C,點3與點A關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱，。為該拋物線的頂點.

(1)直接寫出該拋物線的對稱軸以及點3的坐標(biāo)、點C的坐標(biāo)、點。的坐標(biāo)；

(2)聯(lián)結(jié)A。、DC、CB,求四邊形4BCZ)的面積；

(3)聯(lián)結(jié)AC.如果點E在該拋物線上，過點E作x軸的垂線，垂足為“，線段EH交

線段AC于點F.當(dāng)EF=2F”時，求點E的坐標(biāo).

1-

A

-3-2-1O-

-1-

-2

-3

4.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-ax?+2ax+c與x軸相交于A(-I,0)、B兩點

(A點在B點左側(cè))，與y軸相交于點C(0,3點),點D是拋物線的頂點.

(1)如圖1,求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點F(0,b)在y軸上，連接AF,點Q是線段AF上的一個動點，P是

第一象限拋物線上的一個動點，當(dāng)b=-加時，求四邊形CQBP面積的最大值與點P

的坐標(biāo)；

(3)如圖2,點Ci與點C關(guān)于拋物線對稱軸對稱.將拋物線y沿直線AD平移，平移

后的拋物線記為yi,W的頂點為Di,將拋物線yI沿x軸翻折，翻折后的拋物線記為”，

y2的頂點為D2.在(2)的條件下，點P平移后的對應(yīng)點為Pi,在平移過程中，是否存

在以PQ2為腰的等腰△GPQ2,若存在請直接寫出點D?的橫坐標(biāo)，若不存在請說明理

由.

試卷第2頁，共10頁

圖1圖2

5.如圖1,矩形OBCD的邊OD,0B分別在x軸和y軸上，且B(0,8),D(10,0).點

E是DC邊上?點，將矩形OBCD沿過點。的射線OE折直，使點D恰好落在BC邊上

的點A處.

(1)若拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點A,D,求此拋物線的解析式；

(2)若點M是(2)中拋物線對稱軸上的一點，是否存在點M,使aAME為等腰三角

形？若存在，直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

(3)如圖2,動點P從點O出發(fā)沿x軸正方向以每秒I個單位的速度向終點D運(yùn)動，

動點Q從點D出發(fā)沿井線D-C-A以同樣的速度運(yùn)動，兩點同時出發(fā)，當(dāng)一點運(yùn)動到

終點時，另一點也隨之停止，過動點P作直線lJ_x軸，依次交射線OA,OE于點F,

G,設(shè)運(yùn)動時間為t(秒)，aQFG的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t

的取值范圍.(t的取值應(yīng)保證aQFG的存在)

圖I圖2備用圖

6.已知拋物線y=ax2+bx+3的對稱軸為直線x=；,交x軸于點A、B,交y軸于點C,

且點A坐標(biāo)為A（-2,0）.直線y=-mx-n（m>0）與拋物線交于點P、Q（點P

在點Q的右邊），交y軸于點H.

（1）求該拋物線的解析式：

（2）若n=-5,且aCPQ的面積為3,求m的值；

（3）當(dāng)時，若n=-3m,直線AQ交y軸于點K.設(shè)aPQK的面積為S,求S與

備用圖

7.已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系*?），中，以點夕（2,右）為圓心的圓與y軸相切

于點4,與x軸相交于B、C兩點（點8在點C的左邊）.

（1）求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式；

（2）在（1）中的拋物線.上是否存在點M,使△M8P的面積是菱形ABC尸面積的;.如

果存在，請直接寫出所有滿足條件的M點的坐標(biāo)；如果若不存在，請說明理由；

（3）如果一個動點。自點。出發(fā)，先到達(dá)y軸上的某點，再到達(dá)x軸上某點，最后運(yùn)

動到（I）中拋物線的頂點Q處，求使點D運(yùn)動的總路徑最短的路徑的長.

試卷第4頁，共10頁

2

8.拋物線y=-§x2+bx+c與x軸交于A(?1,0),B(5,0)兩點，頂點為C,對稱軸交x

軸于點D,點P為拋物線對稱軸CD上的一動點(點P不與C,D重合).過點C作直

線PB的垂線交PB于點E,交x軸于點F.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)aPCF的面積為5時，求點P的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)APCF為等腰三角形時，請直接寫出點P的坐標(biāo).

備用圖

9.如圖，拋物線y=gx?+bx+c與y軸交于點C,與x軸相交于A,B兩點，點A的坐

標(biāo)為(2,0),點C的坐標(biāo)為(0,-4).

(1)求該拋物線的解析式；

(2)點Q是線段BA上的一動點，點E為線段AC上一動點，若始終保持NAQE=ZABC,

連接CQ,求ACQE的面積S關(guān)于點Q的橫坐標(biāo)m的函數(shù)關(guān)系式；

(3)若點D為OB的中點，點M是線段BC上一點，當(dāng)AOMD為等腰三角形時，直接

寫出點M的坐標(biāo).

10.定義：由兩條與X軸有著相同的交點，并且開II方向相同的拋物線所圍成的封閉曲

線稱為“月牙線”.如圖，拋物線G與拋物線G姐成一個開口向上的“月牙級”，拋物線

。與拋物線C2與工軸有相同的交點M,N（點M在點N的左側(cè)），與），軸的交點分別為

A,8且點A的坐標(biāo)為10,-3）,拋物線G的解析式為丁=加產(chǎn)+4〃。-12〃?，（機(jī)＞0）.

（1）請你根據(jù)“月牙線”的定義，設(shè)計一個開口向下.“月牙線”，直接寫出兩條拋物線

的解析式：

（2）求M,N兩點的坐標(biāo)；

（3）在第三象限內(nèi)的拋物線。上是否存在一點P,使得△以M的面積最大？若存在，

求出△%M的面積的最大值；若不存在，說明理由.

11.如圖，拋物線y=ax?+bx+c與x軸相交于A（3,0）、B兩點,與y軸交于點C（0,

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若P是拋物線上且位于直線AC上方的一動點，求aACP的面積的最大值及此時

試卷第6頁，共10頁

點P的坐標(biāo)；

（3）在線段0C上是否存在一點M,使BM+立CM的值最??？若存在，請求出這個

2

最小值及對應(yīng)的M點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

12.如圖，拋物線），=-工2+加T+C交X軸于A,B兩點,交y軸于點C.直線），=+2

經(jīng)過點B,C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是直線8C上方拋物線上一動點，設(shè)點尸的橫坐標(biāo)為

①求AP3C面積最大值和此時”的值；

②。是直線上一動點，是否存在點尸，使以A、B、P、。為頂點的四邊形是平行

四邊形，若存在，直接寫出點P的坐標(biāo).

13.定義：對于拋物線），=012+灰+。（〃、氏c是常數(shù).。和），若按=ac,則稱該拋物

線為黃金拋物線.例如：y=/-x+l是黃金拋物線

（1）請再寫出一個與上例不同的黃金拋物線的解析式；

（2）將黃金拋物線y="-x+i沿對稱軸向下平移3個單位

①直接寫出平移后的新效物線的解析式；

②新拋物線如圖所示，與x軸交于人、8（人在4的左側(cè)），與y軸交于C,點P是直線

下方的拋物線上一動點，連結(jié)PO.PC,并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP'C,

那么是否存在點P，使四邊形POP'C為菱形？若存在.請求出此時點P的坐標(biāo)：若不

存在，請說明理由.

③當(dāng)直線8c下方的拋物線上動點P運(yùn)動到什么位置時，四邊形OBPC的面積最大并求

出此時尸點的坐標(biāo)和四邊形O8PC的最大面積.

14.在平面直角坐標(biāo)系中，點A是），軸上一點，其坐標(biāo)為（0,6）,點4在工軸的正半

軸上.點P,Q均在線段人B上，點P的橫坐標(biāo)為〃?，點Q的橫坐標(biāo)大于/〃，在△PQM

中，若PM〃x軸，QM1），軸，則稱△PQM為點P,。的“肩三角形.

（1）若點8坐標(biāo)為（4,0）,且陽=2,則點尸，B的“肩三角形”的面積為_____；

（2）當(dāng)點P,。的“肩三角形''是等腰三角形時，求點8的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，作過O,P,8三點的拋物線尸渡+灰+c

①若M點必為拋物線上一點，求點P,Q的“肩三角形”面積S與〃?之間的函數(shù)關(guān)系式，

并寫出自變量m的取值范圍.

②當(dāng)點P,Q的“肩三角形”面積為3,且拋物線丁=江+"+c與點P,。的“肩三角形''■恰

有兩個交點時，直接寫出機(jī)的取值范圍.

15.如圖，矩形A0C8的頂點A、。分別位于工軸和＞軸的正半軸上，線段。4、OC的

長度滿足|。4一15|+10。-13=0,（OA＞OC）t直線MN分別與x軸、軸交于M、N

兩點，點C關(guān)于直線aV的對稱點。恰好落在直線上，fitanZCBD=4.

（1）求點8的坐標(biāo)；

（2）求直線助V的解析式；

（3）將直線用V以每秒I個單位長度的速度沿y軸方向向下平移，求直線AN掃過矩形

AOC8的面積S關(guān)于運(yùn)動的時間［。＜fW13）的函數(shù)關(guān)系式.

16.如圖，已知拋物線丫=奴2+區(qū)+。經(jīng)過點4-3,0）、4（9,0）和。（0,4）,C。垂直于丁

軸，交拋物線于點。，DE垂直于x軸，垂足為E,直線/是該拋物線的對稱軸，點尸是

試卷第8頁，共10頁

(1)求出該二次函數(shù)的表達(dá)式及點。的坐標(biāo);

(2)若心AAOC沿x軸位右平移，使其直角邊0C與對稱軸/重合，再沿對稱軸/向上平

移到點C與點尸重合，得到RrZXAa尸，求此時即△4。尸與矩形OCDE重疊部分圖形

的面積；

⑶若R/ZXAOC沿“軸向右平移，個單位長度(0<Y6)得到四△&QG，放△&OC與

心△(龍。重疊部分圖形的面積記為S,求S與1之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量，的取

值范圍.

17.已知拋物線)，=/-21+。(〃<0)與y軸相交于點A,頂點為"直線。分

別與x軸、y軸相交于8、C兩點，并且與直線AM相交于點N.

⑴試用含。的代數(shù)式分別表示點M與N的坐標(biāo).

(2)如圖，設(shè)AAMC與A7以C關(guān)于.V軸對稱，且點N的對應(yīng)點*,恰好落在拋物線上，AN'

與x軸交于點。，連結(jié)C7X求：

①。的值；

②四邊形AOCN的面積.

⑶若尸為拋物線)，二乂-21+。包<0)上的一點，當(dāng)以/>、A、C、N為頂點的四邊形

是平行四邊形時.，求出P點的坐標(biāo).

18.如圖，已知拋物線。：y=-，(x+2)(,r-〃z)(〃7>0)與x軸相交于點3、C,與>軸

相交于點E,且點力在點C的左側(cè).

(1)若拋物線a過點MQ2),求實數(shù)，〃的值.

(2)在(1)的條件下，解答下列問題：

①求出MCE的面積；

②在拋物線的對稱軸上找一點〃，使BH+EH最小,并求出點〃的坐標(biāo).

(3)在第四象限內(nèi)，拋物線C】上是否存在點尸，使得以點8、C、/為頂點的三角形

與ABCE相似？若存在，求〃?的值；若不存在，請說明理由.

試卷第10頁，共10頁

參考答案：

1.(1)y=-^x2+2x+4-頂點M的坐標(biāo)是：(2,6)；(2)①點4對應(yīng)點的坐標(biāo)為(-6,-

5)；②尸(-2,2V7-2).

【分析】(1)根據(jù)拋物線)，=-g.，+/u-+c(其中仇c是常數(shù))經(jīng)過點4(-2,-2)與點8(0,

4),從而可以求得拋物線的解析式，然后將解析式化為頂點式，即可得到頂點M的坐標(biāo)；

(2)①根據(jù)新拋物線的對稱軸/經(jīng)過點A,可得新拋物線的頂點為(-2,&),設(shè)平移后新勉物

線的解析式為＞=-g(x+2)2+%,可得。點坐標(biāo)，由面積列方程求出鼠從而可以得到點A

隨拋物線平移后的對應(yīng)點坐標(biāo)；

②根據(jù)題意和正方形的性質(zhì)，設(shè)尸(-2,2辦E(-2+a,辦將E代入(2)的解析式中即可

求出。，繼而解題.可以求得點尸的坐標(biāo).

【解析】解：(1)將4-2,-2)、僅0,4)代入)，=-；/+力x+c中，

--x(-2)2-2b+c=-2

0+0+。=4

伍=2

解得彳

c=4

???該拋物線的表達(dá)式為：y=-lx2+2x4-4；

???頂點M的坐標(biāo)是：(2,6)；

(2)①???平移后拋物線的對稱軸經(jīng)過點A(?2,-2),

???可設(shè)平移后的拋物線表達(dá)式為：y=-g(x+2)2+&,

AC(0,-2+k).

???SVBC“=；AC2=；[4-(-2+&)]?2=3,

解得，k=3.

Ay=-l(A+2)2+3,

即原拋物線向左平移4個單位，向下平移3個單位可以得到新的拋物線.

???點A對應(yīng)點的坐標(biāo)為(?6,-5)；

②設(shè)EG與。尸的交點為，.在正方形。EFG中，EG1DF,EG=DF=2EH=2DH.

???點E、G是這條拋物線上的一對對稱點，

答案第H頁，共40頁

軸.

???/)尸JLx軸，

設(shè)F(-2,2a).

???點尸在第二象限內(nèi),

/.EG=DF=2EH=2DH=2a.

不妨設(shè)點石在點G的右側(cè)，那么E[-2+ma).

將點E代入y=-g(x+2)2+3,得一g/+3=a,

解得，4=,%=—77-1(不合題意，舍去).

AF(-2,2V7-2).

【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及待定系數(shù)法求解析式、函數(shù)圖象的平移、二次函

數(shù)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

2.(1)(-1,-4),y=x-3,(0,-3),(-1,-4)；(2)①〃？的值為一"；②〃?二一2.

2

【分析】(1)根據(jù)題干中的定義即可找出其伴隨直線為產(chǎn)(x+1)-4,即產(chǎn)[3,再聯(lián)立拋

物線求解即可

(2)①先與其伴隨直線聯(lián)立求得交點A4,再求出拋物線與x軸的交點C,D,根據(jù)NCAB=90。

由勾股定理求出in；

②設(shè)直線4C的解析式為嚴(yán)爪+〃.將以2,-3m),C(—1,0)代入求出產(chǎn)一過戶

作x軸的垂線交2c于點Q,將三角形面積用含m的表達(dá)式表示出來即可

【解析】(1)由伴隨直線的定義可得其伴隨直線為產(chǎn)(x-1)-4,即產(chǎn)r-3,

聯(lián)立拋物線與伴隨直線的解析式可得卜=。+h一4,解得｛"?；???其交點坐

y=x-3[y=-3[y=-4

標(biāo)為(0，-3)和(-I,-4).

故答案為：(?1,?4)；產(chǎn)[3；(0,-3)；(-1,-4)；

(2)①;拋物線解析式為尸〃?(X—1)2—4加，其伴隨直線為產(chǎn)機(jī)(X—1)—4〃?，即y=nLX—5m.

聯(lián)立拋物線與伴隨直線的解析式可得卜’二風(fēng)1)一.解得[*或[X=J，."(1,

y=nix-5m[y=-4/〃(y=-3/n

—4/77),B(2,—3/n).

在y=m(x-I)2—4/n中，

令),=0可得下一1或x=3,.\C(-1,0),D(3,0),，4。2=4+16謁，A52=l+/n2,BCM+

9m2.

答案第12頁，共40頁

???NCAB=90°,???AC2+AB2=BC2'即4+16評+1+加2=9+9m2,解得：〃?二走(拋物線開口

2

向下，舍去)或〃?二一正，.??當(dāng)NC4B=90。時，加的值為一立.

22

②設(shè)直線BC的解析式為尸公+〃.

2k+b=-3m[k=-in

???8(2,—3〃?)，C(-l,0),/J,，八，解得匕，，直線BC的解析式為廣一

-k+b=0[b=-m

nix-in.

過P作x軸的垂線交BC干點Q.

2

丁點尸的橫坐標(biāo)為x,:.P(xtm(x—I)—4m),Q(x,—mx—ni).

*.*P是直線BC上方拋物線上的一個動點，PQ=m(x—1)2—4m+nix+m=m(x2—x—2)=m[(x

Cl，G*7

一抨一小??芯/此號乂q一㈠力夕?彳加一杯一萬機(jī).;當(dāng)后寺時，"BC的面積

有最大值一?2〃7?，???S取最大2￡7■時，即一27尸27多，解得：片一2.

8484

【點評】此題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，其中包含面積的計算，難度較大.

3.(1)對稱軸為x=?1,點B、C、D的坐標(biāo)依次為(1,0),(0,-3),(-1,-4)；(2)

9；(3)(-2,-3).

【分析】⑴由題意可知該拋物線的對稱軸為直線、二卷=7,而點A(30),求出

點B的坐標(biāo)，進(jìn)而求解;

答案第13頁，共40頁

(2)根據(jù)題意將四邊形ABCD的面積分解為ADAM、用形DMOC、△BOC的面積在，即

可求解：

(3)根據(jù)題意設(shè)點E(x,x2+2x-3),則點F(x,-x-1),求出EF、FH長度的表達(dá)式，即可

求解.

—

【解析】解：(1)???該拋物線的對稱軸為直線x=k=-1,而點A(-3,0),

2a

工點B的坐標(biāo)為(1,0),

???c=-3,故點C的坐標(biāo)為(0,-3),

???函數(shù)的對稱軸為x=-1,故點D的坐標(biāo)為(-1,-4)；

(2)過點D作DM1AB,垂足為M,

117

???S梯形一5(OC+DM]?OM—5(3+4)K1一5，

113

S,=—OBOC=—xlx3=—,

AUOHBV.r-222

.73_

,?S四邊形MCA)=S：+S梯形+=4+—+—=9；

f/?=-3(k

(3)設(shè)直線AC的表達(dá)式為：y=kx+b,則｛/，解得：

-3k+h=0n[/?

故直線AC的表達(dá)式為：y=-x-3,

將點A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：9a-6a-3=0,解得：a=l,

故拋物線的表達(dá)式為：y=x2+2x-3,

設(shè)點E(x,x2+2x-3),則點F(x,-x-1),

貝ljEF=(-x-1)-(x2+2x-3)=-x2-3x,FH=x+3,

VEF=2FH,

-x2-3x=2(x+3),解得：x=-2或-3(舍去-3),

故m=-2.

答案第14頁，共40頁

故點E的坐標(biāo)為：（-2,-3）.

【點評】本題主要考杳二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要會

利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從

而求出線段之間的關(guān)系.

4.（1）y=-y[2x2+2>/2x+35/2;（2）當(dāng)m=^■時，S網(wǎng)邊彬CQBP取得最大值堂也■，此時P

28

點坐標(biāo)為匕&）；（3）存在，滿足要求的a的橫位標(biāo)有：々3+3月7,-73-3歷'，

244646

-48+J1I734-48-J11734

"92'92'

【分析】（1）將A、C兩點坐標(biāo)代入拋物線解析式當(dāng)中求出a與c的值即可；

（2）先求出B、F坐標(biāo)，然后可以證明AF與BC平行，于是△QBC的面積就等于△ABC

的面積，問題就轉(zhuǎn)化為求APBC的面積的最大值，作PE〃y軸交直線BC于E,設(shè)P點的

橫坐標(biāo)為未知數(shù)m,將E點坐標(biāo)也用m表示,PE的長度用P、E縱坐標(biāo)之差表示，于是△PBC

的面積就可以表示成關(guān)于m的二次函數(shù)，通過配方法即可求出最值及P點坐標(biāo).

（3）由于限定了以RD?為腰，因此分兩大類分別列方程計算即可.

【解析】⑴將A（-1,0）、C（0,3&）代入拋物線解析式得:

一。一2。+。=0

c=3&

CI=>/2

解得：

c=3x/2

，拋物線的解析式為y=-x/2x?+2&x+3應(yīng).

（2）如圖1,連接BC,AC,作PE〃y軸交BC于E.

?「y=-0x2+275x+3￡=-0(x+1)(x-3).

答案第15頁，共40頁

AB(3,0),

Vb=-V2，

AF(0,-五),

.OFOCf-

OAOB7

???AF〃BC,

SAQBC=SAABC=AB*OC=672，

由B、C兩點坐標(biāo)可得直線BC的解析式為：y=?&x+3a,

設(shè)P(m,m2+275m+3>/5),則E(m,-也m+3&),

PE=yp-yE=->/2m2+4V2m,

YE)=.亞幅+6近m=.亞(mA…旭,

/?SAPBC=(XB

22-8

，當(dāng)m=:時，S四邊杉CQBP取得最大值叁旦，此時P點坐標(biāo)為(;，身也).

2824

(3)Vy=-75x2+272K+35/2=-\/2(x-l)2+4>/2,

AD(I,40),拋物線對稱軸為x=l,

???G與C關(guān)于直線x=l對稱，

ACi(2,3V2)，

由A、D兩點坐標(biāo)可求得直線AD的解析式為y=272x4-272，

設(shè)Di(m,2&m+2—),

則Pi(m+g,2&m+述)，D2(m,-2及m-2及),

227

I]D；=32m2+60m+—,CR=9/n2+36，〃+54,

8

,,43

P.C；=9nr-13m+—,

''8

當(dāng)PICI=PID2時，9/zr-13/n+=32m2+60m+,解得叫=一‘？+3/351,

88146

-73-3>/357

m,=----------------.

當(dāng)CID2=PID2時，9m2+36m+54=32m2+60m+^^,解得m=—8+11734

8392

-48-Jl1734

m,=------------------

92

答案第16頁，共40頁

綜上所述，滿足要求的D?的橫坐標(biāo)有：即3歷,33師,-48+VH病,

464692

-48-J11734

92,

【點評】本題為二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式、

二次函數(shù)圖象的基本性質(zhì)、鉛垂高法求三角形面積、配方法求二次函數(shù)最值、等腰三角形的

存在性問題，解一元二次方程等重要知識點，綜合性強(qiáng)，難度較大，特別是第二問，有一定

計算量，解答時容易出錯,同時注意分類討論思想在本題中的應(yīng)用.

5.(1))，=一；/+￥一(2)存在，滿足要求的點M的坐標(biāo)為(5,8-2#),(5,8+26)，(5,

---/2+—/(0</<8)

126

5),(5,2.5),理由見解析；(3)S=，-52+M?&,/<9)

62

-r10)

[62

【分析】(1)先利用矩形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)求出點A的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求

得拋物線的解析式；

(2)易求得拋物線的對稱軸x=5,過點E作ETJ_AH,垂足為T,設(shè)點M的坐標(biāo)為(m,

n),運(yùn)用勾股定理用含n的代數(shù)式表示出AM?、EM2,然后分三種情況進(jìn)行討論：AM=AE,

EM=EA,MA=ME分別列出等式，求出n,就可求出點M的坐標(biāo)；

(3)根據(jù)點Q的位置不同，分以下四種情況進(jìn)行討論：①點Q在線段DC上；②點Q在

ACI?.且在直線【的右邊;③點Q在AC上且在直線I上:④點Q在AC上且在直線/的左邊，

分情況討論即可.

【解析】(1)解：：四邊形OBCD是矩形，B(0,8),D(10,0),

.\BC=OD=10,DC=OB=8,ZOBC=ZC=90°.

由折疊可得：OA=OD=10,AE=DE.

VZOBC=90°,OB=8,OA=10,

???AB=’。摩-的=6,

???AC=4.

設(shè)AE=DE=x,則CE=8-x,

VZC=90°,

.*.x2=42+(8-x)2,

解得：x=5,

，AE=DE=5,

???點A的坐標(biāo)為(6,8),點E的坐標(biāo)為(10,5).

答案第17頁，共40頁

???拋物線丫=2*2+6乂經(jīng)過點A(6,8),D(10,0),

I

a=—

36。+68=8,,3

100a+10b=0解得

,10

b=一

3

此拋物線的解析式為y=-1x2+yx；

（2）存在M,使4AME為等腰三角形.

設(shè)拋物線的對稱軸與BC交于點H,過點E作ET_LAH,垂足為T,連接AM、ME,如圖1,

圖1

10

設(shè)點M的坐標(biāo)為(m,n),則m=---2--x-廠h不)空，

AAH=6-5=1,HM=8-n,ET=10-5=5,TM=5-n

VAH1HM,

/.AM2=AH2+MH2=1+(8-n)2

VET1MH

AME2=ET2+MT2=25+(5-n)2

①若AM=AE,MAM2=AE21

A1+(8-n)2=25,

???(8-n)2=24,

解得：n,=8-2x/6,n,=8+276,

此時點M的坐標(biāo)為(5,8-26)或(5.8+2公)：

②若EM=EA,貝ljEM』EA2

A25+(5-n)2=25

J(5-n)2=0

，113=5

此時點M的坐標(biāo)為(5,5)；

答案第18頁，共40頁

③若MA=ME,則MA2=ME2

A1+(8-n)2=25+(5-n)2

解得：ru=2.5

此時點M的坐標(biāo)為(5,2.5)；

綜上所述：滿足要求的點M的坐標(biāo)為(5,8-2n),(5,8+2#),(5,5),(5,2.5)；

(3)設(shè)直線0A的解析式y(tǒng)=kix,

丁點A的坐標(biāo)為(6,8),

.*.6ki=8,

??.k,=p

4

???直線0A的解析式為)，=§x,

同理可得：直線OE的表達(dá)式為y=g%,

VOP=lxt=t

，P(t,0)

???直線LLx軸于點P,點F,G是直線/與OA,OE的交點

(4)(1

F,Gty—tI,

IJ/\/

故FG=《t-《t=汽，

326

①當(dāng)0<tV8時.點Q在線段DC上，

過點Q作QS_L直線/,垂足為S,

答案第19頁，共40頁

B

0PD\

1圖2

貝ijQS=PD=10-t

：.S=^FGQS=^FGPD

=-x-tx(10-t)

26

5225

=-----1H-----1;

126

②當(dāng)80V9時，點Q在線段CA上,且在直線1的右側(cè)，

設(shè)FG交AC于點N,如圖3,

注

圖3

則QN=CN-CQ=PD-CQ=(10-t)-(t-8)=18-2t

:?S=：FGQN

=—x—rx(18-2z)

26

5215

=-r+—t:

62

答案第20頁，共40頁

③當(dāng)t=9時，QN=18-21=0,點Q與點N重合，此時AQFG不存在，故舍去；

④當(dāng)9V610時，點Q在線段CA上，且在直線I的左側(cè)，設(shè)FG交AC于點N,如圖4.

則QN=CQ-CN=CQ-PD=(t-8)-(10-1)=21-18

:?S=；FGQN

=1x5fx⑵-18)

26

5215

=-r---

s、”

-----1"H---/(()</<8)

126

+與t<9)

綜上所述：5=

62

-z2--/(9<r?10)

162

【點評】本題主要考查二次函數(shù)與幾何綜合，掌握待定系數(shù)法，等腰三角形的定義及性質(zhì),

勾股定理是基礎(chǔ)，利用方程的思想并分情況討論是解題的關(guān)鍵.

5m2一日"1+^(0<m<})

U、3525(

6.(1)y=--+―x+3；(2)〃?=2；(3)S=<-5m~+—m-----\<m<—

22222J

°,15/、5

3〃廠---m\/?>—

212,)

【分析】⑴將點仆2,。）代入解析式，對稱軸為廣?《小聯(lián)立即可求〃與。的值,

（2）設(shè)點Q橫坐標(biāo)X/,點。的橫坐標(biāo)M則有4/Vx2,聯(lián)立），=■心+5,y=-

22

根據(jù)韋達(dá)定理可得X/+X2=2〃?+1,內(nèi)%2=4,由面積之間的關(guān)系：S^CPQ=S^CHP-S^CHQ,

可求〃?的值；

答案第21頁，共40頁

(3)當(dāng)〃=-3〃?時，PQ解析式為)=-聯(lián)立布-//tr+3w=--x2+-x+3,解得x

=3或x=2〃？-2；由條件可得P(3,0),Q(2w-2,-2w2+5/n),K(0,5-2m),所以

有HK=\5m-5|=5|m-1|；

①當(dāng)0＜小＜1時，HK=5-5nhSbPQK=S&PHK$QHK=gxHK(x-x)=1x(5-5/〃)

359S

(5-2m)=5m2-----in+—,

22

_53595

②當(dāng)時，HK=5m-5,S&PQK=-5m2+—m-----,

222

③當(dāng)2勿?2＞3時，，如圖③，有心S/QK=gxKQ|y|二T(2w2-5m)=3m2-m,

【解析】(1)將點A(-2,0)代入解析式，得4〃?2^^支，

..=.A=1

,2a2,

..?a=—?,,b=1—；

22

工產(chǎn)-g/+gx+3；

(2)設(shè)點Q橫坐標(biāo)X/,點P的橫坐標(biāo)X2,則有X/VX2,

把n=-5代入y=-〃Lt-〃，

.*.y=-m.x+5,

】佚立y=-"ti+5,y=-g/2+gx+3得：

「1,1.

-Z/LV+5=—xZ+—x+3,

22

Ax2-(2/n+l)x+4=0,

Xl+X2=2"l+1,X/X2=4,

:△CP。的面積為3：

:$CPQ=S&CHP-S4HQ,

即{X2-XI)=3,

??X2-x/=3,

2

/.(X]+x2)-4X/X2=9,

:.(2m+l)2=25,

=2或〃z=-3,

，6=2；

答案第22頁，共40頁

(3)當(dāng)〃=-3〃?時，PQ解析式為y=-mx+3m,

:?H(0,3w),

*.*y=-nix+3m與y=~^x2+^x+3相交于點P與Q,

.c1,1,

??-mx+3m=—K+—x+」,

22

，x=3或x=2〃?-2,

當(dāng)2/〃-2V3時，有0＜切〈2,

2

???點尸在點Q的右邊,

:.P(3,0),Q(2〃？-2,-2m2+5m),

???AQ的直線解析式為)，=士寧x+5-2m,

：.K(0,5-2〃?)，

：.HK=\5m-5\=5\m-1|,

①當(dāng)OV〃?V1時，如圖①，

113525

：?S&PQK=S&PHK$QHK=jxHK(x?x)=-x(5-5w)(5-2m)=5m2一一w+—,

NNZ.

②當(dāng)iv〃?v|時，如圖②，

答案第23頁，共40頁

,SAPQK=SAPHK-SAQHK=；XHK(x?x)=gx(5〃7-5)(5-2m)=-5m2+^-m-,

2

:?P(.2m-2,-2m+5m)fQ(3,0),K(0,0),

13is

SAPQK=—xKQ\y\=—(2rn2-5m)=3m2一■—m,

5m2-ym+y(0</n<l)

綜上所述,

3m2--m

22J

【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題；熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，分類討論

是解題的主要思想.

7.（1）>'=^x2-^x+x/3.（2）存在，點M的坐標(biāo)為（0,后），（3,0）,（4,右）,

答案笫24頁，共40頁

(7,8G).(3)—.

3

【分析】(1)連接以，P8,PC,過點尸作PG_L8C于點G,求出P點的坐標(biāo)，然后求得點

A、B、C的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式即可；

(2)因為“8尸和zkCB尸的面積是菱形A8CP面積的梟故過點A、C作8P的平行線，與

拋物線的交點即是滿足條件的點M.

(3)將原方程配方后得到拋物線的頂點Q(2,一號,然后作點P關(guān)于)，軸的對稱點E

則P'(-2,6).連接〃Q,則。。是最短總路徑，根據(jù)勾股定理，可得利。=半.

【解析】解：(1)如圖1,連接以，PB,PC,過點。作PG_L8C于點G,

???。?與)，軸相切于點A,

???%_Ly軸，

VP(2,石)，

AOG=AP=2,PG=OA=g,

:.PB=PC=2,

：,BG=\,

ACG=1,BC=2.

/.0B=\,0C=3.

???A(0,G),B(1,0),C(3,0),

根據(jù)題意設(shè)二次函數(shù)解析式為：(x-1)(x-3),

則(0-1)(0-3”=石,

解得:“邛.

故二次函數(shù)的解析式為：=x+x/3.

33

(2)???點B(1,0),點尸(2,6),

???8P的解析式為：y=V3x->/3；

則過點A平行于8P的直線解析式為:過點C平行于8P的宜線解析式為：)，=6

X-3石，

從而可得①：—史X心

33

解得：x/=0,k=7,

從而可得滿足題意的點M的坐標(biāo)為(0,6)、(7,873)；

答案第25頁，共40頁

②房?3百=22一拽x+G，

33

解得：xi=3,4=4,

從而可得滿足題意的點M的坐標(biāo)為：(3,0)、(4,73)

綜上可得點M的坐標(biāo)為(0,后)，(3,0),(4,G),(7,86).

(3)*.*y=_4f/0=~~(x2-4x+3j=^-(x-2)2，

???拋物線的頂點。(2,-立).

3

如圖2,作點。關(guān)于)，軸的對稱點E則產(chǎn)(-2,6).

連接P'Q，則。。是最短總路徑，根據(jù)勾股定理，可得?’。=空.

3

【點評】此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、切線的性質(zhì)、一次

函數(shù)解析式、解一元二次方程、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)等多個知識點，解題的關(guān)鍵是要會利

用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來.

8.(i)y=_Q+]x+?⑵P(2,-3)或(2,5)；⑶P(2,當(dāng)或(2,-2)或(2,土土叵)

99952

或(2,-9+3電

2

答案第26頁，共40頁

2

【分析】(1)函數(shù)的表達(dá)式為：y=](x+l)(x-5),即可求解；

(2)確定PB、CE的表達(dá)式，聯(lián)立求得點F(2-督，0),SAPCF=|XPCXDF=1(2-m)

(2-^-2)=5,即可求解；

(3)分當(dāng)CP=CF、CP=PF、CP=PF三種情況，分別求解即可.

n921()

【解析】解：(1)函數(shù)的表達(dá)式為：y=](x+1)(x-5)=-1x2+1x+y；

(2)拋物線的對稱軸為x=2,則點C(2,2),

設(shè)點P(2,ni),

將點P、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y=sx+t并解得：

函數(shù)PB的表達(dá)式為：y=-：mx+日，

JJ

VCE1PE,故直線CE表達(dá)式中的k值為之，

m

將點C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式，

同理可得直線CE的表達(dá)式為：y=--x+2--,

mmJ

故點F(2——,0),

SAPCF=|XPCXDF=^(|2-m|)(|2-半-2|)=5,

解得：m=5或-3,

故點P(2,-3)或(2,5)；

(3)由(2)確定的點F的坐標(biāo)得：

CP2=(2-m)2,CF2=(—)2+4,PF2=(—)2+m2,

33

①當(dāng)CP=CF口、J,即：(2-m)2=(―)2+4,解得：m