專題19 二次函數(shù)中周長與面積的最值問題(含答案)-2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習重難點與壓軸題型專項突圍訓(xùn)練（全國版）

備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習重難點與壓軸題型專項突圍訓(xùn)練（全國通用版）

專題19二次函數(shù)中周長與面積的最值問題

【典型例題】

1.（2022?全國?九年級專題練習）在平面直角坐標系中，Rt^ABC,0ACB=9O°,48%軸,如圖1,C(l,0),

⑴人點坐標為.,4點坐標為

⑵求過A、B、C三點的拋物線表達式;

⑶如圖2,拋物線對稱軸與AB交于點D,現(xiàn)有一點戶從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度在A8上向點B

運動，另一點。從點。與點。同時出發(fā),以每秒5個單位在拋物線對稱軸上運動.當點P到達8點時，點

P、。同時停止運動，問點P、。運動到何處時，13PQ8面積最大，試求出最大面積.

【專題訓(xùn)練】

一、解答題

1.（2022?山東槐蔭?九年級期末）二次函數(shù)），=。r+笈+4（30）的圖象經(jīng)過點&-4,0）,6（1,0），與），軸交于點

C，點夕為第二象限內(nèi)拋物線上一點，連接BP、AC,過點2作尸如軸于點。.

⑴求二次函數(shù)的表達式；

⑵連接小,PC,求S“AC的最大值；

（3）連接BC,當團。尸8=238CO時，求直線8P的表達式.

2.（2022?廣東韶關(guān)?九年級期末）如圖，已知拋物線），=3寸+版+c經(jīng)過｛＜（））,8（0,-4）,

C(2,0)三點.

⑴求拋物線的解析式；

⑵苦點"為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點M的橫坐標為機，AAMB的面積為S.求S關(guān)于川的函數(shù)關(guān)系

式，并求出S的最大值.

3.（2022?全國?九年級專題練習）綜合與探究：

17

如圖，已知拋物線），=/-1犬-3與x軸相交于A,兩點（點4在點A的右側(cè)），且與），軸交于點C.

圖2

⑴求A,B,C三點的坐標;

(2)如圖1,若M(m,yi),Ng均是第四象限內(nèi)拋物線上的兩個動點，且加＜〃，〃任〃=4.分別過點M,N

作上軸的垂線，分別交線段8c于點。，E.判斷四邊形MQEN的形狀，并求其周長的最大值;

（3）如圖2,在⑵的條件下,當四邊形MDEN的周長有最大值時,若x軸上有一點”（2加，0）,拋物線的對稱

軸與x軸相交于點F,試探究在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使得射P8=2回OC”?若存在，請求出

點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

4.（2022?全國?九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線了=加+6+c的圖象與軸交于人（-1,0）,

仇4,0）,與），軸交于點C（（）,-3）,連接AC、BC.

⑴求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)如圖1,點。是拋物線上位于第四象限內(nèi)的一點，連接A。，點E是A。的中點，連接BE、CE,求△BCE

面積的最小值；

(3)如圖2,點尸是拋物線上位于第四象限內(nèi)的一點，點Q在y軸上，(3P8Q=(3O8C,是否存在這樣的點P、

Q使BP=BQ,若存在，求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

5.(2022?全國?九年級專題練習)如圖,拋物線產(chǎn)底+瓜'+4交x軸于點A(-1,0)、5(4,0),交y軸于點C,

點P是直線BC上方拋物線上的一點.

備用圖

⑴求拋物線的解析式；

(2)求團的面積的最大值以及此時點尸的坐標:

⑶在⑵的條件下，將直線8C向右平移1個單位得到直線/,直線/交對稱軸右側(cè)的拋物線于點連接PQ,

點R為直線BC上的一動點，請向在在平面直角坐標系內(nèi)是否存在一點。使得四邊形PQ7R為菱形，若存

在，請直接寫出點7的坐標；若不存在，請說明理由.

6.(2022?全國?九年級專題練習淀義：平面直角坐標系x0y中，過二次函數(shù)圖象與坐標軸交點的圓，稱為該

二次函數(shù)的坐標圓.

(1)已知點P(2,2),以P為圓心，的為半徑作圓.請判斷13P是不是二次函數(shù)y=F-4x+3的坐標圓，并說

明理由；

⑵已知二次函數(shù)y=f-4x+4圖象的頂點為A,坐標圓的圓心為P,如圖1,求APOA周長的最小值；

⑶已知二次函數(shù).尸加?4仆4(0<〃<1)圖象交x軸于點A,B,交)，軸于點C,與坐標圓的第四個交點為D,

連結(jié)PC,PD,如圖2.若12cpz)=120。,求。的值.

7.(2022?全國?九年級專題練習)如圖7拋物線產(chǎn)0?+加+3過點4(-1,0),點8(3,0),與)，軸交于點C.M

是拋物線任意一點，過點M作直線雙丫軸，交x軸于點E,設(shè)M的橫坐標為〃?(0V〃?V3).

圖2

⑴求拋物線的解析式及s廊08C的值;

(2)當〃?=1時，尸是直線/上的點且在第一象限內(nèi)，若MCP是直角三角形時，求點尸的坐標;

(3)如圖2,連接BC,連接AM交y軸于點N,交BC于點。，連接設(shè)回8OM的面枳為Si,團CON的面

積為求5i-Sz的最大值.

8.(2022?全國?九年級專題練習)如圖，拋物線)，=如+飯+c與x軸交于A、B兩點(點A在B左邊)，與)，軸交

⑴若A(-l,0),8(3,0)兩點,求該拋物線的解析式；

(2)在⑴中位于第四象限內(nèi)的拋物線上是否存在點P,使得閉尸的面積最大？若存在，求出點P的坐標及

團P8C的面積最大值；若沒有，請說明理由；

(3)直線)，=1與拋物線y=/+〃x+c交于拋物線對稱軸右側(cè)的點為點。，點E與點。關(guān)于x軸對稱.試判斷

直線。B與直線AE的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

2

9.(2022?全國?九年級專題練習)如圖，直線產(chǎn)-鏟+4與"由交7點C,與y軸交于點B,拋物線y=av24

⑴求拋物線的解析式；

⑵如圖，點E是直線8c上方拋物線上的一動點，當I38EC面積最大時，請求出點E的坐標；

(3)在(2)的結(jié)論F，過點E作)，軸的平行線交直線8C于點M,連接AM,點。是拋物線對稱軸上的動點，在

拋物線上是否存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點P

的坐標；如果不存在，請說明理由.

10.(2022?全國?九年級專題練習)如圖,拋物線產(chǎn)全+b%+c與k軸交于點4-1,0),與〉軸交于點C(0,

-3).

⑴求該拋物線的解析式及頂點坐標；

⑵若尸是線段08上一動點，過P作），軸的平行線交拋物線于點兒交8C于點N,設(shè)。戶=，時，團8C”的

面積為S.求S關(guān)于，的函數(shù)關(guān)系式；若S有最大值，請求出S的最大值，若沒有，請說明理由.

⑶若尸是x軸上一個動點，過P作射線Pga4c交拋物線于點Q,在拋物線上是否存在這樣的點Q,使以A,

P，Q，。為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由.

11.（2022?全國?九年級專題練習）已知拋物線），=aF+尻+3與x軸交于4、B兩點（點A在點8的左側(cè)）.與），

軸交于點C.其中OC=O&心疝CAO=3

⑴求拋物線的解析式；

（2）P是第一象限內(nèi)的拋物線上一匈點，。為線段PA的中點，求（3CPQ面積的最大值時P點坐標:

(3)將拋物線沿射線CB方向平移2夜個單位得新拋物線y.M為新拋物線y的頂點.。為新拋物線y上任意

一點，N為x軸上一點.當以M、N、C、。為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出所有符合條件的點N

的坐標.并選擇一個你喜歡的N點.寫出求解過程.

12.(2022?全國?九年級專題練習)如圖，在平面直角坐標系中,拋物線)，="2+法-3交x軸于點A(-1,0)

和點8(3,0),與y軸交于點C,頂點是O.

⑴求拋物線頂點。的坐標；

(2)若尸是拋物線在第四象限內(nèi)的一點，設(shè)點尸的橫坐標是〃?，連接AC、CP、BP,當四邊形ACP8面積最

大時，求點P的坐標和最大面枳；

⑶若N是拋物線對稱軸上一點，在拋物線上是否存在點M,使得以B、C、M、N為頂點的四邊形是平行四

邊修？若存在，請直接寫出線段CN的長度；若不存在，請說明理由.

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專題19二次函數(shù)中周長與面積的最值問題

【典型例題】

1.(2022?全國?九年級專題練習)在平面直角坐標系中,Rt^ABC,a4cB=90°,A8加軸,如圖1,C(l,0),

⑴人點坐標為,3點坐標為；

(2)求過A、B、C三點的拋物線表達式；

⑶如圖2,拋物線對稱軸與A8交于點Q,現(xiàn)有一點戶從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度在AB上向點B

運動，另一點。從點。與點。同時出發(fā)，以每秒5個單位在拋物線對稱軸上運動.當點P到達8點時，點

P、。同時停止運動，問點P、。運動到何處時，13PQ8面積最大，試求出最大面積.

【答案】(1)(0,2),(5,2)

(2)過A、8、。三點的拋物線表達式為：)，=；/-|盧2

ss29521125

(3)當點尸的坐標為弓，2),點。的坐標為一)或(彳，-?)時，附Q8面積最大，最大面積為一.

222_2o

【解析】

【分析】

⑴由點C的坐標可得。。=1,進而可得04=2,因為A在)，軸上，可得A的坐標，然后根據(jù)勾股定理計算AC、

4B的長，即可確定點8的坐標：

⑵直接利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式即可：

⑶用動點的時間和速度的關(guān)系表示出P8和。Q的長，然后再根據(jù)三角形面積公式表示AQQA面積，最后根

據(jù)二次函數(shù)的最值即可.

(1)

解：0C(1,0),

團OC=1,

(3OC：04=1：2,

回。八=2,

財(0,2),

財c=#7F=8

a4C：BC=\i2,

團BC=2逐，

回朋CB=90°,

團A8=JAC2+BC2=J(右)2+(2石)2=5

軸,

勖(5,2),

故答案為：(0,2),(5,2).

⑵

解：設(shè)過4、氏。三點的拋物線表達式為：)，=32+以+C,

1

c=22

貝『25〃+58+c=2解得：/?=--

a+b+c=();

c=2

團過A、B、C三點的拋物線表達式為：)，=gr-gx+2.

⑶

解：如圖2,設(shè)運動I秒時，團PQ8面積最大，且0小5,則3P=5-1,DQ=5I,

回S“Q8=^xBPxDQ=^(5-t)-5t=-^r,

0t?=—<0

2

25

2

團當廣―――時，面積最大值是：S4P(2B=-|X(()+^X|=115,

2xl-|j222/28

此時點P的坐標為（g，2）,

529

當點。向上運動時，點Q的坐標為（旌5），

5?1

當點。向下運動時，點。的坐標為石，-萬）,

29521_125

—)S?(~?——?(3PQ8面積最大，最大面積為7-.

222o

本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了直角三角形、幾何動點問題、勾股定理、三角形面積、運用二次函

數(shù)求最值等知識點，確定點。的坐標以及靈活運用學(xué)會分類討論成為解答本題的關(guān)鍵.

【專題訓(xùn)練】

二、解答題

1.（2022?山東槐蔭?九年級期末）二次函數(shù)），="+6+4（"0）的圖象經(jīng)過點人-4,0）,B（l,0）,與），軸交于點

C,點。為第二象限內(nèi)拋物線上一點，連接8P、AC,過點。作PQSr軸于點Q.

⑴求二次函數(shù)的表達式;

⑵連接見，PC,求Sjac的最大值;

⑶連接8C，當團時，求直線8P的表達式.

【答案】⑴尸??3x+4

(2)8

⑶產(chǎn)號+9

【解析】

【分析】

⑴先將點A和點B代入二次函數(shù)的解析式，然后求得。和b的值，最后得到二次函數(shù)的表達式;

⑵先求出點C的坐標，然后求得直線AC的解析式，將P。與AC的交點記為點N,過點。作。硼P。于點

H,然后求得團網(wǎng)C的面積，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得團心C的面積最大值;

⑶記BP與)，軸的交點為點E,由PD吩軸得到回QPBWOEB,然后由呢PB=2回BCO得到團ECBWE8C,從而

得到CE=8巴然后設(shè)0代小通過直角三角形中的勾股定理列出方程求得〃的值得到點E的坐標，最

后求得直線以3的解析式.

⑴

解：回二次函數(shù)y="2+版+450)的圖象經(jīng)過點A(-4,0),6(1,0),

16?-4/7+4=0

a+b+4=0

解得：

回該二次函數(shù)的表達式為尸?/?3葉4；

⑵

解：將X=0代入產(chǎn)/?3戶4得，產(chǎn)4,

回點C(0,4),

設(shè)直線AC所在直線的表達式為廣hr+/力，則

0=-4xk+力4二1

/］，解得：

4=44=4

因直線AC的表達式為y=v+4,

如圖，設(shè)尸Z)與線段AC交于點N,

團N(/，什4),

^PN=yP-yN=-t2-4t,

過點C作CH0P。，則CH=-i,AD=t-4,

^SAAPC=S^APN+SAPCN=IPNMD+；PN?CH

=；PN?(AD+CH)

=；(-r2-4r)*(-/+r+4)

=2P?8/

=-2(/+2)2+8,

0?=-2<O,

回當u-2時，SM尸C有最大值，回用。面積的最大值為8.

⑶

解：設(shè)與)，軸交于點E,

軸，

00DP/?=0O￡Z?,

團團OP3=203c0,

回回0E8=2圓8C0,

回回EC8WEBC,

?BE=CE,

0C(0,4),B(I,0),

0OC=4,08=1,

設(shè)0E~a,貝ijCE=RE=4-a,

在R周BOE中，8尸=0必+0￥,

0(4-?)2=?2+12,

解得：。邛，

O

團仇。,

O

設(shè)BP所在直線表達式為產(chǎn)區(qū)+〃伙工0),

>+/?=0

山15，

b=—

8

^=_15

解新，3

b=一

8

回直線BP的表達式為

88

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、三角形的面積、二次函數(shù)的性質(zhì)、解題的

關(guān)鍵會用切割法求得MPC的面積最大值.

2.(2022?廣東韶關(guān)?九年級期末)如圖，已知拋物線)，=；/+法+c經(jīng)過A(-4,0),3(0,-4),C(2,0)三點.

⑴求拋物線的解析式；

⑵若點'為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點M的橫坐標為小，AAMB的面積為S.求S關(guān)于川的函數(shù)關(guān)系

式，并求出S的最大值.

【答案】(i).y=；/+x-4

(2)5與m的函數(shù)關(guān)系式為S=-m2-4m,S的最大值為4.

【解析】

【分析】

⑴將440),C(2,0)兩點坐標代入尸+法可求出氏c的值即可確定關(guān)系式;

(2)根據(jù)面積法得出S關(guān)于〃，的函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的性質(zhì)得出最大值.

(1)

解：把A(40),C(2,0)代入產(chǎn)；/+加+。得，

—xl6-4/?+c=0

b=\

■2:，解得，

c=-4

-x4+2/?+c=0

2

團拋物線的解析式為產(chǎn)gw+04；

(2)

又EM(〃?，—m2+m-4),

(3ON=-〃?，MN=-^m2-m+4,AN=4+〃?)=4+〃?，

⑦S)BM=SAANM+S梯即MNOB-SAAOB

=；(4+〃?)(-ym2-m+4)+y(-yw2-/??+4+4)(-7??)-；x4x4

=-n^-4m

=3+2產(chǎn)+4,

但當m=-2時，S您人=4,

答:S與m的函數(shù)關(guān)系式為S=-m2-4m,S的最大值為4.

【點睛】

本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值，用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的關(guān)系式是解

決問題的關(guān)鍵.

3.(2022?全國?九年級專題練習)綜合與探究：

17

如圖，已知拋物線)，=/-3與X軸相交于A,8兩點(點8在點A的右側(cè))，且與)，軸交于點C

⑴求A,B,C三點的坐標；

(2)如圖1,若M(m,戶)，”)是第四象限內(nèi)拋物線上的兩個動點,且加V〃,〃?+〃=4.分別過點M,N

作工軸的垂線，分別交線段點。，E.判斷四邊形MOEN的形狀，并求其周長的最大值；

(3)如圖2,在⑵的條件下，當四邊形MDEN的周長有最大值時，若x軸上有一點，(2加，0),拋物線的對稱

軸與x軸相交于點F,試探究在拋物線的對稱軸上是否存在??點尸，使得財尸8=2團。C”？若存在，請求出

點P的坐標；若不存在，請說明理由.

3

【答案】—0),6(4,0),C(0,-3)

4

(2)四邊形MQEN為平行四邊形，四邊形MDEN的周長有最大值8?9

O

⑶存在，點尸的坐標13為19或(113,1;9)

84X4

【解析】

【分析】

⑴令I(lǐng)=0得出y的值，則點C坐標可得：令戶0,解方程可得48的橫坐標，縱坐標為0,結(jié)論可得；

(2)求出直線BC的解析式，分別用m,〃表示。，E的坐標，用坐標表示線段MD,NE的長度，利用/〃+〃=%

將MD,NE都用機表示后可得MD=NE,四邊形MQEN的形狀可得；過。作用勾股定理求得線段

BC,利用△O9C313F石￡>,求得線段力石的長，利川四邊形MDEN為平行四邊形的結(jié)論可求它政周長，將周

長的式子用配方法變形后，周長的最大值可得；

⑶依據(jù)題意畫出圖形，分點P在二軸的上方和尸在X軸的下方兩種情形討論解答，設(shè)出點P的坐標，用坐

標表示相應(yīng)的線段的長度；由己知胡PB=2團。C”，和拋物線的史稱性可得回P8F=(3OC”，利用三角函數(shù)得出

比例式，解由比例式得到的方程，結(jié)論可求.

(1)

令廠0,貝1卜2_4_3=0.

3

解這個方程得：內(nèi)=4,玉=-^.

團點8在點A的右側(cè)，

3

(M(-0),8(4,0).

4

令1=0,則y=-3.

13c(0,-3).

⑵

四邊形MOEN為平行四邊形.理由：

回若M(〃?，川，Ng刈是第四象限內(nèi)拋物線上的兩個動點，

m->13?>13,

0yt-nr--—AH-3,y2-n"--—n-3.

設(shè)直線8C的解析式為y=履+從由題意：

4k+b=0

'b=-3，

解得：,4.

b=-3

團直線BC的解析式為y=1x-3.

4

國過點M,N作x釉的垂線，分別交線段3c于點。，E,

33

回。("?，-m-3),E(n,—n-3).

44

133

(WD=-(m2---m-3)-(3—in)=-m2+4/n,

44

133

EN=-(n2---n-3)-(3—〃)=-n2+4n.

44

fflm+n=4,

□n=4-tn.

國EN=-(4-/??)2+4(4-m)=-m2+4m.

?MD=EN.

田過點M,N作工軸的垂線，分別交線段BC于點。，E,

^MD^EN.

團四邊形MQ￡N為平行四邊形.

過D作。箱NE于R則。?=〃-〃?，如圖，

團08=4,OC=3.

22

^BC=y］oc+OB=5-

團。/詞03.

^EDF=^0BC.

00COB=13DF￡=9O°,

回團DF硼［汕0C.

DFDE

自---=---.

OBBC

n-mDE

0-------=——.

45

555

(3OE=-(〃?〃?)=-(4-m-m)=y(2-m).

團平行四邊形MOEN的周長=2M/)+2OE=2(-〃戶+4"力+2X；(2-m)=-2w2+3w+IO.

3)89

0-2ni2+3m+\0=-2(in—)2+——,

48

又-2V0,

團當/"=［3時，四邊形MOEN的周長有最大值89

4o

⑶

在拋物線的對稱軸上存在一點P,使得MPB=2I3OC”.

由⑵可知〃的坐標為弓，（））.

3

團0/7=".

2

團拋物線的解析式為>>=x2-x-3,

4

團拋物線的對稱軸為直線%=菖13.

O

團0尸=—.

8

1319

自BF=0B-0F=4-----=——.

88

分兩種情況解答：

①當〃在入?軸的下方時，SAPZ?=20（?C//.如圖，

團由拋物線的對稱性可知MPB=2I38P凡

^0CH=^BPF.

^taMCH=taiWPF.

3

-,BF

酊，〃加0C”=OH21，tar^BPF=——

=—=—FP

OC32

BF1

回——=-

PF2

1919

^PF=2BF=2x——=—

84

1319

回點P的坐標為3

i□in

②當點P在X軸的上方時，由對稱性可知，點P的坐標為（木,7）.

o4

綜上所述，在拋物線的對稱軸上存在一點P,使得財PB=2團。CH,此時點P的坐標13為1域9(19311)9.

8484

【點睛】

本題主要考查了拋物線與坐標軸的交點坐標，待定系數(shù)法確定直線的解析式，平行四邊形的判定與性質(zhì)，

列代數(shù)式，求代數(shù)式的最大值，圖象上點的坐標的特征，拋物線的對稱性，直角三角形的邊角關(guān)系，勾股

定理，滲透了分類討論的思想.利用點的坐標的特征表示相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵.

4.(2022?全國?九年級專題練習)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線)=潑+云+。的圖象與釉交于4-1,0),

8(4,0),與)，軸交于點。(0,-3),連接AC、BC.

⑴求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)如圖1,點。是拋物線上位于第四象限內(nèi)的一點，連接AD,點E是A。的中點，連接BE、CE,求ABCE

面積的最小值；

(3)如圖2,點尸是拋物線上位于第四象限內(nèi)的?點，點。在〉軸上，0PBQFO8C,是否存在這樣的點P、

Q使BP=B。，若存在，求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)該拋物線的函數(shù)表達式為)，=5工2一1工一3

44

(2)當f=2時，S/CE取得最小值?

4

⑶存在，P管,-蜉)

【解析】

【分析】

⑴先設(shè)交點式拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求即可；

339

⑵先利用待定系數(shù)法求直線4c的解析式為y=：x-3,過點E作EM%，軸，交8C于設(shè)0(/,-r2--Z

4”44

/_I3Q3/-13/-27

-3),利用中點坐標公式求出E(J-,9f2-x-3),M(J-,一:)，利用三角形面積得出函數(shù)關(guān)系式

2o522o

SABCE=WEM?OB=2("--x+—)=-(/-2)2+-；

282844

f20116641_________?_____

(3)存在，P--,----，---C-(0,—).如圖2,先利用勾股定理求出4C=Jo幺+OC?=x/^手=5,可

1927

FGRG4412

證團BCO,得出==—,求出￡(一,--),再證△￡(?脫團OC3,

34555得喏嗤

444

"0，??),利用待定系數(shù)法直線E/的解析式為y=-：x-g,聯(lián)立方程組,得：,解方

JzJO

……(201吟64

程組求出Pj?再證AP匹釀QO8(4S4),求出Q(0,■方)即可.

乙7

(1)

解：團拋物線)，=五+隊+c的圖象與軸交于A(-1,0),8(4,0),

團設(shè)該拋物線的函數(shù)表達式為y=6'(x+1)(x-4),將C(0,?3)代入,

得：-4a=-3,

解得："=［3，

4

339

0v=-(x+l)(.r-4)=—x2-----x-3,

444

39

團該拋物線的函數(shù)表達式為jL3；

44

⑵

(2)設(shè)直線BC的解析式為y=kx^n.

0B(4,0),C(0,-3),

女+〃=0

0

n=-3

解得：4,

〃=一3

睢線“的解析式為尸》T

過點E作EM0y軸，交BC于M,

39

設(shè)％,1卞-3),

13點E是A力的中點,

/-I393

0E(--,-

2882

…I3r-27

-1―)x，

2o

-3,933r-27_3,315

回￡74=-t2~~x--------=-r--x+一，

8828828

^SLBCE=EM?OB=2{^t2-1-A+y)=1(z-2)2+1,

3

0->O,

4

3

團當，=2時，SZkBCE取得最小值：；

⑶

2011664

解：存在，P--，

9--27，Q（。，-萬）

如圖2,在BC上截取8E=8O=4,過點E作EGO。。交x軸于G,作￡/詞BC交），軸于F,交拋物線于尸,

05(4.0).C(0,-3).

(3OB=4,0C=3,CE=BC-BE=\,

團團80c=90°,

魴C=yj0B2+0C~="+3?=5，

0EG0OC,

回財EG畫6c。,

閉”=變=經(jīng)

OCOBBC

團型=也，

345

^EG=—,BG=—,

55

164

^OG=OB-BG=4——=-

55

4

吶M'

0EM3SC,

00CEF=0COB=9O0,

00ECF=0OCB,

^ECI^OCB,

0e-C-E=-O-C,

CFBC咱4

0CF=|,

3

54

OF=OC-CF=3--=

33

4

研0,-

設(shè)直線EF的解析式為y=hx+〃i,

4124

團E（《'~—）*"（O’-

4,12

1年+勺T

4

4

3

解得：

4

n\

3

團直線EF的解析式為y=--x

聯(lián)立方程組，得：

20

x,=-lx?=w

解得：（舍去），｛,

y.=0116

iy=---

I2727

^PBQ=^OBC,

團［3P3E+0c8Q=回C8Q+(3Q8。,

^PBE=^QBO,

&SLPEB和團Q08中,

"BE=NQBO

BE=BO

NPEB=ZQOB

^PEB^QOB(ASA)f

64

團BP=BQ,OQ=PE=—,

算

圖2

【點睛】

本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式，直線解析式，利用三角形面積列二次函數(shù)，其函數(shù)最值，勾股定理,

三角形相似判定與性質(zhì)，聯(lián)立方程組求交點坐標，三角形全等判定與性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求拋物線解析

式，直線解析式，利用三角形面積列二次函數(shù)，其函數(shù)最值，勾股定理，三角形相似判定與性質(zhì)，聯(lián)立方

程組求交點坐標，三角形全等判定與性質(zhì)，是解題關(guān)鍵.

5.12022?全國?九年級專題練習)如圖，拋物線產(chǎn)”+云+4交x軸于點4-1,())、5(4,0),交y軸于點C,

點P是直線8C上方拋物線上的一點.

y

備用圖

⑴求拋物線的解析式；

⑵求團PBC的面枳的最大值以及此時點P的坐標：

(3)在⑵的條件下,將直線6c向右平:移!個單位得到直線/,育線/交對稱軸右側(cè)的拋物線干點0,連接PQ,

4

點R為直線上的一動點，請叵在在平面直角坐標系內(nèi)是否存在一點7,使得四邊形PQ7K為菱形，若存

在，請直接寫出點r的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴y=-N+3X+4

(2)8；P(2,6)

(3)存在,T(-0.5387,2.2887)WH—,—)

5656

【解析】

【分析】

⑴將A(-l,0)、8(4,0)代入拋物線公式即可求得a,b.

⑵過P點做平行于直線8C的直線K,當K與拋物線恰有一個交點時，△〃/?€1面積最大，求得此時的P點坐

標.再過P做垂直于直線3C的直線求得北與直線4c的交點，求得交點后發(fā)現(xiàn)，此時恰巧交點時C,

18cl即為△P3C的高，再利用三角形面積公式即可求解.

(3)考查菱形的性質(zhì).菱形是一個極具對稱性的圖形，在進行求解時，對角線互相垂直平分.因此，兩個相

對點的坐標中點也是另外兩個相對點的坐標中點.同時，利用菱形的四條邊長相等進行求解.

(1)

解.：將4(?1,0)、B(4,0)代入拋物線公式，如下：

0=。-/?+4

0=16。+48+4'

求得。=3

拋物線解析式為：y=-x2+3x+4.

(2)

解：設(shè)夕到直線4C的距離為d,夕點坐標為(x,-x2+3x+4)(0<X<4),

0v=-J2+3A+4交y軸于點C,

令i=0,

0v=4,

團CO,4),

rhB(4,0),C(0,4)兩點求得直線8c的解析式為：y+x?4=0.

做直線8C的平行線K：y=-X+/M,因為K與BC平行，我們將K平移，根據(jù)題意，點P是直線BC上方拋

物線上的一點，

團隨著K平行移動，以為底的E1PBC的高d在逐漸增大，當K與拋物線)=-W+3.r+4恰有一個交點時，

此時以4c為底的團。4c的高d最大，即此時(EP8C面積最大.

團此時K：y=-x+/n與拋物線y=-.F+3x+4相交，且僅有一個交點，

團-x+m=-x2+3x+4,m=8.

目直線K：y=-x+8.

此時求K和拋物線的交點為：

-A+8=-/+3x+4,解得x=2,

將X=2代入直線K：y=-x+8,

解得)，=6.

因此。(2,6).

現(xiàn)在我們來求P到直線6C的距離，即田/生。的高d：

過P作垂直于BC的直線k：y=x+〃?.

團尸在直線4上，

團6=2+〃?，

期?=4,直線k=x+4.

y=-x+4

直線K與直線出的交點為：f“，

解得交點坐標(0,4),即交點為。點.

因此的回尸8c的高d即為B點和C點兩點之間的距離，

酎=\BC\=7(2-0)2+(6-4)2=275.

在RP8C中，

團仍。|=4&,回P8C的面積的最大值50PHe=；18cl?d=gx4及x2&=8.

⑶

7

解：存在.直線BC向右平移三個單位得到直線/,

4

723

(3/：y=-(x—)+4=-x+——.

44

2”3x=—7

y=—xH12

.?,4,解得j.

2

y=-x4-3.r+4x2=—

3

二次函數(shù)y=-X“3X+4對稱軸為x=j,

團直線/交對稱軸右側(cè)的拋物線于點Q,

7人、239

取=5，代入)，=-%+彳=^.

79

叫才.

設(shè)7(。，b).

回R為直線8C上的一動點，

團設(shè)R(x,-x+4).

(團)假設(shè)7在。點左側(cè)：

7

回〃〈一.

2

79

此時〃(2,6),T(a,")為菱形對稱頂點，Q(g，，R(x,-/4)為菱形對稱定點.

24

在菱形中產(chǎn)了QA中，|PR|=IQr|,

即5/(2—x)24-(6+x—4)2='(a-gf+(4一*2①

又?對角線互相垂直平分，且對稱頂點橫縱坐標的中點相等，即：

7

2+?_2+X

2

②

9.

6+b「+4

-2~

4=3.5387%=-0.5387

由①，②解得＜

"=-1.78876,=2.2887

?一

又函V：,

團此時7點坐標為：T(-0.5387,2.2887).

(眇假設(shè)7在。點右側(cè)：

0?＞-.

2

79

此時尸(2,6),Q(gg)為菱形對稱頂點,Tia,b),R(x,-x+4)為菱形對稱定點.

24

在菱形PT0R中，|PR|=|P",

即、/(a-2)2+(〃-6》=J(2—x)2+[6+x-4)2,③

乂僅對角線互相垂直平分，且對稱頂點橫縱坐標的中點相等,

6+2

-A=/-4-

即：2,A+，④

r7

2+—=a+x

2

由③，④解得。=婆＞:，符號題意.此時人=經(jīng).

56256

此時r點坐標為：丁(?愛69，姜977).

5656

綜上所述：丁存在兩點，分別為:

7(-0.5387,2.2887)和丁(絲，—).

5656

【點睛】

此題主要考查二次函數(shù)性質(zhì)，同時還考查了三角形的面積，要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)

合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度.同時對于菱形的求解，注意利用對稱性求解.

6.(2022?全國?九年級專題練習)定義：平面直角坐標系X。)，中，過二次函數(shù)圖象與坐標軸交點的圓，稱為該

二次函數(shù)的坐標圓.

(1)已知點P(2,2),以P為圓心，石為半徑作圓.請判斷團P是不是二次函數(shù)y=x2-4x+3的坐標圓，并說

明理由；

⑵已知二次函數(shù)y=f-41+4圖象的頂點為A,坐標圓的圓心為P,如圖1,求△尸0A周長的最小值；

(3)已知二次函數(shù)y=a『-4x+4(0VaVl)圖象交x軸于點A,B,交>軸于點C,與坐標圓的第四個交點為D,

連結(jié)PC,PD,如圖2.若團CP力=120。，求。的值.

【答案】⑴團。是二次函數(shù))，=必-4.計3的坐標圓，理由見解析

⑵即OA周長的最小值為6

46+3

⑶人-^

【解析】

【分析】

⑴先求出二次函數(shù)產(chǎn)/_以+3圖象與x軸、)，軸的交點，再計算這三個交點是否在以P(2,2)為圓心，曲為

半徑的圓上，即可作出判斷.

⑵由題意可得，二次函數(shù)戶.己4六4圖象的頂點4(2,0),與y軸的交點”(0,4),所以APOA周長

=P()+PA+OA=PO+PH+2>()H+2,即可得出最小值.

(3)連接CO,以，設(shè)二次函數(shù)戶ar24V+4圖象的對稱軸/與C。交于點E,與x軸交于點F,由對稱性知，

對稱軸/經(jīng)過點P,且他CO,設(shè)PE=/〃，tt|0CPD=12O-,可得必=PC=2〃?，CE=yf3m,PF=4-m,表示出A3、

AF=BF,在R尼以尸中，利用勾股定理建立方程，求得〃?的值，進而得出。的值.

(1)

對于二次函數(shù)-4x+3,

當工=0時，y=3；當y=0時，解得x=l或x=3,

團二次函數(shù)圖象與X軸交點為&I,0),用3,0),與y軸交點為C(0,3),

團點P(2,2),

回玄=P8=PC=6，

釀P是二次函數(shù)y=r-4x+3的坐標圓.

(2)

團二次函數(shù))，=9-4x+4圖象的頂點為A,坐標圓的圓心為P,

財(2,0),與丁軸的交點”(0,4),

回回POA周長=PO+PA-^OA=PO+PH+2>OH+2=6,

能1POA周長的最小值為6.

⑶

如圖2,連接CQ,PA,

設(shè)二次函數(shù))二分2-4x+4圖象的對稱軸/與CD交于點E,與x軸交于點F,

由對稱性知，對稱軸/經(jīng)過點P,且/0CQ,

財8=J1676G:4后，

^AF=BF=

Q

00CPD=12O°,PC=PD,C(0,4j,

盟PC7)=[3POC=30°,

設(shè)PE=mt則PA=PC=2m,CE=6m,PF=4-m,

2

團二次函數(shù)y=a>?-4A+4圖象的對稱軸/為X=-,

a

0+m=—,BP-3,

a\/3，〃

在取△見/中，以2=。尸必尸,

04〃/=(4-m)2+——)2,