四川省瀘州市市合江縣合江天立學(xué)校2025屆高三4月質(zhì)量檢測試題（四）數(shù)學(xué)試題

四川省瀘州市市合江縣合江天立學(xué)校2025屆高三4月質(zhì)量檢測試題（四）數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．劉徽(約公元225年-295年)，魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家，中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一他在割圓術(shù)中提出的，“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限觀念的佳作，割圓術(shù)的核心思想是將一個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形等分成n個(gè)等腰三角形(如圖所示)，當(dāng)n變得很大時(shí)，這n個(gè)等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，運(yùn)用割圓術(shù)的思想，得到的近似值為（）A． B． C． D．2．已知是邊長為的正三角形，若，則A． B．C． D．3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（）A． B．4 C． D．4．若單位向量，夾角為，，且，則實(shí)數(shù)（）A．－1 B．2 C．0或－1 D．2或－15．在原點(diǎn)附近的部分圖象大概是（）A． B．C． D．6．已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為()A．3 B．2 C．1 D．07．已知、，，則下列是等式成立的必要不充分條件的是（）A． B．C． D．8．若的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-12，則實(shí)數(shù)的值為（）A．-2 B．-3 C．2 D．39．復(fù)數(shù)（）A． B． C．0 D．10．《周易》歷來被人們視作儒家群經(jīng)之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對萬事萬物的深刻而又樸素的認(rèn)識，是中華人文文化的基礎(chǔ)，它反映出中國古代的二進(jìn)制計(jì)數(shù)的思想方法．我們用近代術(shù)語解釋為：把陽爻“-”當(dāng)作數(shù)字“1”，把陰爻“--”當(dāng)作數(shù)字“0”，則八卦所代表的數(shù)表示如下：卦名符號表示的二進(jìn)制數(shù)表示的十進(jìn)制數(shù)坤0000震0011坎0102兌0113依此類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號“”表示的十進(jìn)制數(shù)是（）A．18 B．17 C．16 D．1511．設(shè)集合，則()A． B．C． D．12．已知，則“m⊥n”是“m⊥l”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．不等式對于定義域內(nèi)的任意恒成立，則的取值范圍為__________.14．設(shè)實(shí)數(shù)，若函數(shù)的最大值為，則實(shí)數(shù)的最大值為______.15．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若，則______________.16．在中，為定長，，若的面積的最大值為，則邊的長為____________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱柱中，平面ABC.（1）證明：平面平面（2）求二面角的余弦值.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且與直角坐標(biāo)系長度單位相同的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程是.（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C相交于兩點(diǎn)A，B，求線段的長.19．（12分）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線在y軸上的截距為.（1）求a；（2）討論函數(shù)和的單調(diào)性；（3）設(shè)，求證：.20．（12分）車工劉師傅利用數(shù)控車床為某公司加工一種高科技易損零件，對之前加工的100個(gè)零件的加工時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：加工1個(gè)零件用時(shí)（分鐘）20253035頻數(shù)（個(gè)）15304015以加工這100個(gè)零件用時(shí)的頻率代替概率.（1）求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）劉師傅準(zhǔn)備給幾個(gè)徒弟做一個(gè)加工該零件的講座，用時(shí)40分鐘，另外他打算在講座前、講座后各加工1個(gè)該零件作示范.求劉師傅講座及加工2個(gè)零件作示范的總時(shí)間不超過100分鐘的概率.21．（12分）已知曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程與直線的普通方程；（2）已知點(diǎn)，直線與曲線交于、兩點(diǎn)，求.22．（10分）如圖所示，四棱柱中，底面為梯形，，，，，，.（1）求證：；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

設(shè)圓的半徑為,每個(gè)等腰三角形的頂角為,則每個(gè)等腰三角形的面積為,由割圓術(shù)可得圓的面積為,整理可得,當(dāng)時(shí)即可為所求.【詳解】由割圓術(shù)可知當(dāng)n變得很大時(shí),這n個(gè)等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積,設(shè)圓的半徑為,每個(gè)等腰三角形的頂角為,所以每個(gè)等腰三角形的面積為,所以圓的面積為,即,所以當(dāng)時(shí),可得,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積公式的應(yīng)用,考查閱讀分析能力.2．A【解析】

由可得，因?yàn)槭沁呴L為的正三角形，所以，故選A．3．A【解析】

模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的的值，當(dāng)，，退出循環(huán)，輸出結(jié)果.【詳解】程序運(yùn)行過程如下：，；，；，；，；，；，；，，退出循環(huán)，輸出結(jié)果為，故選：A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)程序框圖的問題，涉及到的知識點(diǎn)有判斷程序框圖輸出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題目.4．D【解析】

利用向量模的運(yùn)算列方程，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算，求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由于，所以，即，，即，解得或.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量模的運(yùn)算，考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.5．A【解析】

分析函數(shù)的奇偶性，以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號，結(jié)合排除法可得出正確選項(xiàng).【詳解】令，可得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，，則函數(shù)為奇函數(shù)，排除C、D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，，則，排除B選項(xiàng).故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，一般要分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)以及函數(shù)值符號，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.6．C【解析】

集合表示半圓上的點(diǎn)，集合表示直線上的點(diǎn)，聯(lián)立方程組求得方程組解的個(gè)數(shù)，即為交集中元素的個(gè)數(shù).【詳解】由題可知：集合表示半圓上的點(diǎn)，集合表示直線上的點(diǎn)，聯(lián)立與，可得，整理得，即，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；故方程組有唯一的解.故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查集合交集的求解，涉及圓和直線的位置關(guān)系的判斷，屬基礎(chǔ)題.7．D【解析】

構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)分析出這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間上均為減函數(shù)，由得出，分、、三種情況討論，利用放縮法結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出或，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，則，，所以，函數(shù)、在區(qū)間上均為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則，；當(dāng)時(shí)，，.由得.①若，則，即，不合乎題意；②若，則，則，此時(shí)，，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，；③若，則，則，此時(shí)，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，.綜上所述，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，構(gòu)造新函數(shù)是解本題的關(guān)鍵，解題時(shí)要注意對的取值范圍進(jìn)行分類討論，考查推理能力，屬于中等題.8．C【解析】

先研究的展開式的通項(xiàng)，再分中，取和兩種情況求解.【詳解】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)為，所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：，解得，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.9．C【解析】略10．B【解析】

由題意可知“屯”卦符號“”表示二進(jìn)制數(shù)字010001，將其轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)即可.【詳解】由題意類推，可知六十四卦中的“屯”卦符號“”表示二進(jìn)制數(shù)字010001，轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的計(jì)算為1×20+1×24=1．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)制是轉(zhuǎn)化，新定義知識的應(yīng)用等，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.11．B【解析】

直接進(jìn)行集合的并集、交集的運(yùn)算即可．【詳解】解：；∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查集合描述法、列舉法的定義，以及交集、并集的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.12．B【解析】

構(gòu)造長方體ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α為面ADD1A1，底面ABCD為β，然后再在這兩個(gè)面中根據(jù)題意恰當(dāng)?shù)倪x取直線為m，n即可進(jìn)行判斷．【詳解】如圖，取長方體ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α為面ADD1A1，底面ABCD為β，直線=直線。若令A(yù)D1＝m，AB＝n，則m⊥n，但m不垂直于若m⊥，由平面平面可知，直線m垂直于平面β，所以m垂直于平面β內(nèi)的任意一條直線∴m⊥n是m⊥的必要不充分條件．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)有兩個(gè)：①考查了充分必要條件的判斷，在確定好大前提的條件下，從m⊥n?m⊥？和m⊥?m⊥n？兩方面進(jìn)行判斷；②是空間的垂直關(guān)系，一般利用長方體為載體進(jìn)行分析．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)題意，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為只對于內(nèi)的任意恒成立，令，則只需在定義域內(nèi)即可，利用放縮法，得出，化簡后得出，即可得出的取值范圍.【詳解】解：已知對于定義域內(nèi)的任意恒成立，即對于內(nèi)的任意恒成立，令，則只需在定義域內(nèi)即可，，，當(dāng)時(shí)取等號，由可知，，當(dāng)時(shí)取等號，，當(dāng)有解時(shí)，令，則，在上單調(diào)遞增，又，，使得，，則，所以的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和最值，解決恒成立問題求參數(shù)值，涉及分離參數(shù)法和放縮法，考查轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.14．【解析】

根據(jù)，則當(dāng)時(shí)，，即.當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，由，轉(zhuǎn)化為，令，用導(dǎo)數(shù)法求其最大值即可.【詳解】因?yàn)?，又?dāng)時(shí)，，即.當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，由等價(jià)于，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，則，又，得，因此的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.15．9【解析】

用換中的n，得，作差可得，從而數(shù)列是等比數(shù)列，再由即可得到答案.【詳解】由，得，兩式相減，得，即；又，解得，所以數(shù)列為首項(xiàng)為-3、公比為3的等比數(shù)列，所以.故答案為：9.【點(diǎn)睛】本題考查已知與的關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)的問題，要注意n的范圍，考查學(xué)生運(yùn)算求解能力，是一道中檔題.16．【解析】

設(shè)，以為原點(diǎn)，為軸建系，則，，設(shè)，，，利用求向量模的公式，可得，根據(jù)三角形面積公式進(jìn)一步求出的值即為所求.【詳解】解：設(shè)，以為原點(diǎn)，為軸建系，則，，設(shè)，，則，即，由，可得.則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查向量模的計(jì)算，建系是關(guān)鍵，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）證明平面即平面平面得證；（2）分別以所在直線為x軸，y軸.軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，再利用向量方法求二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫鍭BC，所以因?yàn)?所以.即又.所以平面因?yàn)槠矫?所以平面平面（2）解：由題可得兩兩垂直，所以分別以所在直線為x軸，y軸.軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，則，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由.得令，得又平面，所以平面的一個(gè)法向量為.所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何位置關(guān)系的證明，考查二面角的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.18．（1）l：，C：；（2）【解析】

（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；

（2）由（1）可得曲線是圓，求出圓心坐標(biāo)及半徑，再求得圓心到直線的距離，即可求得的長.【詳解】（1）由題意可得直線：，由，得，即，所以曲線C：.（2）由（1）知，圓，半徑.∴圓心到直線的距離為：.∴【點(diǎn)睛】本題考查直線的普通坐標(biāo)方程、曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查弦長的求法、運(yùn)算求解能力，是中檔題．19．（1）（2）為減函數(shù)，為增函數(shù).（3）證明見解析【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，求出切線方程，令得切線的縱截距，可得（必須利用函數(shù)的單調(diào)性求解）；（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)性；（3）不等式變形為，由遞減，得()，即，即，依次放縮，．不等式，遞增得()，,,,先證，然后同樣放縮得出結(jié)論．【詳解】解：（1）對求導(dǎo)，得.因此.又因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.由題意，.顯然，適合上式.令，求導(dǎo)得，因此為增函數(shù)：故是唯一解.（2）由（1）可知，，因?yàn)椋詾闇p函數(shù).因?yàn)?，所以為增函?shù).（3）證明：由，易得.由（2）可知，在上為減函數(shù).因此，當(dāng)時(shí)，，即.令，得，即.因此，當(dāng)時(shí)，.所以成立.下面證明：.由（2）可知，在上為增函數(shù).因此，當(dāng)時(shí)，，即.因此，即.令，得，即.當(dāng)時(shí)，.因?yàn)椋?，所?所以，當(dāng)時(shí)，.所以，當(dāng)時(shí)，成立.綜上所述，當(dāng)時(shí)，成立.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查用導(dǎo)數(shù)證明不等式．本題中不等式的證明，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的能力，把不等式變形后利用第（2）小題函數(shù)的單調(diào)性得出數(shù)列的不等關(guān)系：，．這是最關(guān)鍵的一步．然后一步一步放縮即可證明．本題屬于困難題．20．（1）分布列見解析，；（2）0.8575【解析】

（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)求得分布列，并計(jì)算出數(shù)學(xué)期望.（2）根據(jù)對立事件概率計(jì)算公式、相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式，計(jì)算出劉師傅講座及加工個(gè)零件作示范的總時(shí)間不超過分鐘的概率.【詳解】（1）的分布列如下：202530350.150.300.400.15.（2）設(shè)，分別表示講座前、講座后加工該零件所需時(shí)間，事件表示“留師傅講座及加工兩個(gè)零件示范的總時(shí)間不超過100分鐘”，則.【點(diǎn)睛】本小題主要考查隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查對立事件概率計(jì)算，考查相互獨(dú)立事件概率計(jì)算，屬于中檔題.21．(1).(2)【解析】

（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式，以及消去參數(shù)，即可求解；（2）設(shè)兩點(diǎn)對應(yīng)的參