2024-2025學(xué)年河南省安陽(yáng)市高三下冊(cè)調(diào)研考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附答案）

2024-2025學(xué)年河南省安陽(yáng)市高三下學(xué)期調(diào)研考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1.若是純虛數(shù)，其中，則（）A.或 B.C. D.且【正確答案】C【分析】根據(jù)純虛數(shù)定義，列出方程組，求解即可.【詳解】因?yàn)槭羌兲摂?shù)，其中，所以，解得.故選：C.2.某校高三學(xué)生的?？紨?shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，按照，，，的比例將考試成績(jī)劃分為優(yōu)秀、良好、合格和基本合格四個(gè)等級(jí).若小張的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)榉郑瑒t他的等級(jí)是（）附：，，.A.優(yōu)秀 B.良好 C.合格 D.基本合格【正確答案】B【分析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題得，，所以，，，，因?yàn)?，，所以，根?jù)比例成績(jī)大于分為優(yōu)秀，因?yàn)?，根?jù)比例成績(jī)?cè)诘街g的為良好，，根據(jù)比例成績(jī)?cè)诘街g的為合格，，根據(jù)比例成績(jī)小于分為基本合格，因?yàn)樾埖臄?shù)學(xué)成績(jī)?yōu)榉?，則他的等級(jí)是良好.故選：B3.近年來(lái)，家用冰箱使用的氟化物的釋放等破壞了臭氧層，已知臭氧含量與時(shí)間（單位：年）的關(guān)系為，其中是臭氧的初始含量，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．按照此關(guān)系推算，當(dāng)臭氧含量為初始含量的時(shí)，的值約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.305 B.483 C.717 D.879【正確答案】C【分析】根據(jù)題意列出方程，再應(yīng)用指對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)槌粞鹾颗c時(shí)間（單位：年）的關(guān)系為，所以當(dāng)臭氧含量為初始含量的時(shí)，得，計(jì)算得，化簡(jiǎn)得，所以.故選：C.4.若函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性來(lái)求解不等式即可.【詳解】因，所以，又因?yàn)槎x域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是奇函數(shù)，由于，可知函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，所以即，即，則，該不等式組無(wú)解，所以解集為.故選：D.5.已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由數(shù)列單調(diào)遞增得到分段函數(shù)單調(diào)遞增，然后建立不等式組，解得的取值范圍.【詳解】由，數(shù)列是遞增數(shù)列，得，解得，所以a的取值范圍是.故選：C6.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，平面截正方體所得的圖形為六邊形，設(shè)該六邊形的周長(zhǎng)為，且，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)正方體幾何性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定可得平面，進(jìn)而可得平面平面，即可求解.【詳解】連接,由于平面，平面，故，又平面，故平面，又平面，故，,則，同理可得,平面，故平面，由于平面，故平面平面，平面與平面的交線為,平面與平面的交線為，故，同理可得故平面如圖陰影部分，，同理可得,故六邊形周長(zhǎng)為定值，所以B正確.故選：B7.已知函數(shù)在時(shí)滿足恒成立，且在區(qū)間內(nèi)，僅存在三個(gè)數(shù)，，，使得，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先求出，根據(jù)恒成立，得到，不妨取，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合，利用對(duì)稱性得到，求出答案.【詳解】時(shí)，，令，則當(dāng)時(shí)，，故要想在時(shí)滿足恒成立，需滿足，不妨取，，，畫出在上的圖象，如下：由圖象可知，，，則，故，兩式相加得，所以.故選：C8.已知拋物線，過(guò)點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】設(shè)出切線方程，利用判別式為求出切線斜率，進(jìn)而得到切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，，最后利用兩點(diǎn)間距離公式求解即可.【詳解】由題意得切線斜率存在，設(shè)過(guò)點(diǎn)的的切線方程為，即，與聯(lián)立，消去得，故，即，設(shè)，為的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得，，設(shè)直線，的斜率分別為，，，，因?yàn)?，所以，則，故，，則，，得到，，，由兩點(diǎn)間距離公式得，，，，，故B正確.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知向量，，則（）A.若，則B.若，則C.若取得最小值，則D.若，則在上的投影向量為【正確答案】ACD【分析】根據(jù)向量垂直得到數(shù)量積為0，可求，判斷A的真假；根據(jù)向量共線可求，判斷B的真假；問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩向量方向相反，可求判斷C的真假；根據(jù)投影向量的求法求投影向量，判斷D的真假.【詳解】對(duì)于A，若，則，則，所以A正確；對(duì)于B，若，則，所以，所以B錯(cuò)誤：對(duì)于C，取得最小值時(shí)，，共線反向，則，解得，則，所以C正確；對(duì)于D，若，則，所以在上的投影向量為，所以D正確.故選：ACD10.已知隨機(jī)事件、滿足：，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.若，則與相互獨(dú)立 B.若與相互獨(dú)立，則C.若與互斥，則 D.若，則【正確答案】ACD【分析】由獨(dú)立事件的乘法公式可得A正確，B錯(cuò)誤；由互斥事件的加法公式可得C正確；由全概率公式可得D正確.【詳解】對(duì)于A，，故與相互獨(dú)立，即A正確；對(duì)于B，若與相互獨(dú)立，則與也相互獨(dú)立，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若與互斥，則，，故C正確；對(duì)于D，由全概率公式可得，所以，故D正確；故選：ACD.11.如圖所示，中，，，，在邊上，在邊上，且為的角平分線，，則（）A.B.的面積為C.D.若點(diǎn)在外接圓上，則的最大值為【正確答案】BCD【分析】利用余弦定理計(jì)算，由直角三角形計(jì)算判斷A，根據(jù)面積公式計(jì)算三角形的面積判斷B，利用正弦定理計(jì)算判斷C；設(shè)，用表示出，，得出關(guān)于的三角函數(shù)，從而得到的最大值判斷D.【詳解】在三角形中，由余弦定理，，故，故正確；在中，，故錯(cuò)誤；由余弦定理可知：，，平分，，，在三角形中，由正弦定理可得：，故，故正確；，，為的外接圓的直徑，故的外接圓的半徑為1，顯然當(dāng)取得最大值時(shí)，在弧上，故，設(shè)，則，，，，，，其中，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，故正確．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.某區(qū)教育局在全市的小學(xué)生、初中生和高中生中做了一項(xiàng)“感恩父母”的網(wǎng)絡(luò)問(wèn)卷調(diào)查，分別回收到的有效問(wèn)卷數(shù)如下：小學(xué)10000份，初中12000份，高中8000份.現(xiàn)從中運(yùn)用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取900份樣卷作進(jìn)一步的統(tǒng)計(jì)，則抽取的高中生問(wèn)卷份數(shù)為__________.【正確答案】240【分析】根據(jù)分層抽樣計(jì)算.【詳解】抽取的高中生問(wèn)卷份數(shù)為.故240.13.已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為d的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，若直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為__．【正確答案】【分析】根據(jù)圓的對(duì)稱性得到經(jīng)過(guò)，與垂直，得到，，得到，裂項(xiàng)相消求和，得到答案.【詳解】由對(duì)稱性可知經(jīng)過(guò)，故，解得，且與垂直，其中的斜率為，故，所以，，所以，則.故14.已知，則的大小關(guān)系為__________.【正確答案】【分析】由，根據(jù)數(shù)值的特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)和，再利用函數(shù)的單調(diào)性，賦值后比較函數(shù)值的大小.【詳解】由，即，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，則有，即，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，則有，即，故.故利用導(dǎo)數(shù)比較大小問(wèn)題方法點(diǎn)睛：根據(jù)已知中式子的外形結(jié)構(gòu)特征與導(dǎo)數(shù)結(jié)合起來(lái)，合理構(gòu)造出相關(guān)的可導(dǎo)函數(shù)，然后利用該函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，.（1）若，求，；（2）求的取值范圍.注.【正確答案】（1），（2）【分析】（1）先利用余弦定理求出三角形的邊、的值，再通過(guò)正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，（2）利用三角函數(shù)的和角公式化簡(jiǎn)式子，最后根據(jù)角的范圍，借助三角函數(shù)求出式子的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，，由余弦定理得，所以，解得，所?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，即的取值范圍?6.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求的值；（2）求函數(shù)在的最大值和最小值；（3）若方程恰有兩個(gè)不等的實(shí)根，求的取值范圍．【正確答案】（1）（2）最大值為最小值為（3）【分析】(1)由函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為可得，再進(jìn)行求導(dǎo)，令解方程可得.（2）令導(dǎo)函數(shù)求解分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，可知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再比較極值和區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的大小可得最值.（3）方程恰有兩個(gè)不等實(shí)根，轉(zhuǎn)化為圖像和有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)的單調(diào)性和變化情況，可求得.【小問(wèn)1詳解】,因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線方程為所以有所以解得【小問(wèn)2詳解】由(1)可得當(dāng)或單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以在和上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，又因?yàn)橛?jì)算可得，所以在的最大值為，最小值為【小問(wèn)3詳解】由（2）可知，的極大值為，極小值為當(dāng)所以當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程恰有兩個(gè)不等實(shí)根.17.如圖1，在平行四邊形中，,,,將沿折起到位置，使得平面平面，如圖2．圖1圖2（1）證明：平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)M，使得二面角的大小為45°？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．【正確答案】（1）證明見解析（2）存在，【分析】（1）利用勾股定理證明線線垂直，再利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直即可得；（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的運(yùn)算，即可求面面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】在中，因?yàn)椋?，，由余弦定理，得，所以，所以，所以，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面；【小?wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，即，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則，假設(shè)點(diǎn)存在，設(shè)，則，，,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，可得，又平面的一個(gè)法向量為，假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得二面角的大小為，則，解得，所以點(diǎn)存在，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，即.18.已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，短軸長(zhǎng)為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）直線與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，A，B是橢圓C上位于直線PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，且直線AB的斜率為①求四邊形APBQ的面積的最大值②設(shè)直線PA的斜率為，直線PB的斜率為，判斷的值是否為常數(shù)，并說(shuō)明理由.【正確答案】（1）；（2）①，②是常數(shù)，理由見解析．【分析】（1）設(shè)橢圓的方程為，由題可得，再結(jié)合，即可求得,從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，整理得：，四邊形的面，而易求，代入韋達(dá)定理即可求得的表達(dá)式，從而求得的最大值；②直線的斜率，直線的斜率，代入韋達(dá)定理化簡(jiǎn)整理可得的值為常數(shù)．【詳解】（1）設(shè)橢圓的方程為．由題意可得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①由（1）可求得點(diǎn)、的坐標(biāo)為，，則，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，整理得：，由，可得.由韋達(dá)定理知：，，四邊形面積，故當(dāng)時(shí)，；②由題意知，直線的斜率，直線的斜率，則.所以的值為常數(shù)．方法點(diǎn)睛：本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，及橢圓中最值，定值問(wèn)題,圓錐曲線中的定值問(wèn)題的常見類型及解題策略：(1)求代數(shù)式為定值．依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡(jiǎn)即可得出定值；(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值．利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡(jiǎn)、變形求得；(3)求某線段長(zhǎng)度為定值．利用長(zhǎng)度公式求得解析式，再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形即可求得．19.甲、乙兩名同學(xué)玩擲骰子積分游戲，規(guī)則如下：每人的初始積分均為0分，擲1枚骰子1次為一輪，在每輪游戲中，從甲、乙兩人中隨機(jī)選一人擲骰子，且兩人被選中的概率均為當(dāng)骰子朝上的點(diǎn)數(shù)小于3時(shí)，擲骰子的人積2分，否則此人積1分，未擲骰子的人本輪積0分，然后進(jìn)行下一輪游戲．已知每輪擲骰子的結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求經(jīng)過(guò)4輪游戲，甲的累計(jì)積分為4分的概率；（2）經(jīng)商議，甲、乙決定修改游戲規(guī)則，具體如下：甲、乙輪流擲骰子，誰(shuí)擲誰(shuí)積分，當(dāng)骰子朝上的點(diǎn)數(shù)不小于3時(shí)，積2分，否則積1分，規(guī)定第一次由甲擲．記兩人累計(jì)積分之和為的概率為（i）證明：為等比數(shù)列；（ⅱ）求的通項(xiàng)公式.【正確答案】（1）；（2）（i）證明見解析；（ⅱ）.【分析】（1）求出甲每輪積分為0，1，2分的概率，再將所求概率的事件分拆成彼此互斥事件的和，利用概率的加法、乘法公式列式計(jì)算即得；（2）（i）根據(jù)給定條件，利用條件概率、全概率公式列式，再利用等比數(shù)列定義推理即得；（ⅱ）利用累加法求出.【小問(wèn)1詳解】甲每輪游戲的積分可能為0分、1分、2分，記其每輪積分為0分、1分、2分的概率分別為，則