2025屆高考數(shù)學(xué)專題四恒成立問(wèn)題精準(zhǔn)培優(yōu)專練文

PAGEPAGE2培優(yōu)點(diǎn)四恒成立問(wèn)題一、不等式恒成立問(wèn)題一、不等式恒成立問(wèn)題例1：已知，不等式恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】把原不等式的左端看成關(guān)于的一次函數(shù)，記，則對(duì)于隨意的恒成立，易知只需①，且②即可，聯(lián)立①②解得或．故選C．例2：不等式對(duì)隨意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由肯定值的幾何意義易知的最小值為，所以不等式對(duì)隨意實(shí)數(shù)恒成立，只需，解得．故選A．例3：已知，，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，∴，∴．二、函數(shù)恒成立問(wèn)題二、函數(shù)恒成立問(wèn)題例4：當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，即．故選B．例5：已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】首先畫出的圖像，的圖像為過(guò)的一組直線，若恒成立，只需始終在的下方，即直線夾在與相切的直線，和之間，所以轉(zhuǎn)化為求切線斜率，，聯(lián)立，得①，令，即，解得或，將代入①，得成立；將代入①，得，不滿意，所以舍去，故．三、三、分別參數(shù)解恒成立問(wèn)題例6：對(duì)隨意實(shí)數(shù)，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵對(duì)隨意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，∴恒成立，令，則原不等式等價(jià)于，即，由基本不等式可得，故．例7：關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍是．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，令，則問(wèn)題等價(jià)于，則，所以，即在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以．對(duì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn)一、選擇題1．已知函數(shù)，且對(duì)定義域內(nèi)的隨意的恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，原命題等價(jià)于在時(shí)恒成立，由雙勾函數(shù)單調(diào)性可得．當(dāng)時(shí)，原命題等價(jià)于，左邊設(shè)為，右邊設(shè)為，由數(shù)形結(jié)合易得．綜上兩種狀況可得，故答案B．2．已知函數(shù)，對(duì)隨意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，故為奇函?shù)，又，而為增函數(shù)，故也為增函數(shù)，故對(duì)隨意，不等式恒成立，可化為，對(duì)隨意，不等式恒成立，即，解得．3．設(shè)是定義在上的增函數(shù)，且對(duì)隨意，都有恒成立，假如實(shí)數(shù)滿意不等，那么的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵對(duì)于隨意的都有恒成立，∴，∵，∴，∵是定義在上的增函數(shù)，∴，∴，∵的圓心坐標(biāo)為，半徑為，∴內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的取值范圍為，即，∵表示內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，∴的取值范圍是．故選A．二、填空題4．若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，∴．∵恒成立，即恒成立，∴，即．三、簡(jiǎn)答題5．已知，，且．（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）若恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，，∴，即，所以的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴恒成立等價(jià)于，解得．（2）∵，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等，∴恒成立等價(jià)于．①當(dāng)時(shí)，，解得；②當(dāng)時(shí)，，解得；③當(dāng)時(shí)，，解得，綜上可得．6．定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿意：對(duì)于隨意的實(shí)數(shù)，都有成立，且，當(dāng)時(shí)，恒成立．（1）求，的值；（2）若不等式對(duì)于恒成立，求的取值范圍．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）令，得，∴，令，得，∴是奇函數(shù)，∵，∴．（2）設(shè)，則，∴，即，∴是減函數(shù)，∵，即，∴，即恒成立，∴，解得．7．已知函數(shù)．（1）試求函數(shù)的最大值；（2）若存在，使成立，試求的取值范圍；（3）當(dāng)，且時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）或；（3）．【解析】（1）∵，，令，即有在單調(diào)遞增，∴時(shí)，．（2）令，則存在使得，所以存在使得，或，即存在使得或，∴或．（3）由得恒成立，因?yàn)?，且，所以?wèn)題即為恒成立，∴．設(shè)，令，則，，∴，所以當(dāng)時(shí)，，∴．8．已知函數(shù)，且在處取得極值．（1）求的值；（2）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；（3）對(duì)隨意的，是否恒成立？假如成立，給出證明，假如不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）或；（3）見解析．【解析】（1），∵在處取得極