北師大數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)全冊(cè)整冊(cè)教案

1.1等腰三角形

第1課時(shí)三角形的全等和等腰三角形的性質(zhì)

=Z2,A。為公共邊，若AB=AC,不符合

粵劇1?全等三角形判定定理，不能判定

1.復(fù)習(xí)全等三角形的判定定理及相關(guān)△ABQ2△AC。；C.VZ1=Z2,AD為公

性質(zhì)；共邊，若N8=/C,則

2.理解并掌握等腰三角形的性質(zhì)定理△AB腥△ACO（AAS）;D.VZ1=Z2,AD

及推論，能夠運(yùn)用其解決簡(jiǎn)單的兒何問(wèn)為公共邊，若ABAD=ZCAD,則

題.（重點(diǎn)，難點(diǎn)）△ABD^AACD（ASA）：故選B.

方法總結(jié)：判定兩個(gè)三角形全等的一般

方法有:$5$、$人$、人$人、人人$.要注意AAA,

一、情境導(dǎo)入SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三

探究：如圖所示，把一張長(zhǎng)方形的紙按角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一

照?qǐng)D中虛線對(duì)折并減去陰影部分，再把它展角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角.

開得到的△ABC有什么特點(diǎn)？［類型二］全等三角形的性質(zhì)

畫?如圖，△ABC絲△CD4,并且AB

二、合作探究=CD,那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

探究點(diǎn)一：全等三角形的判定和性質(zhì)A.Z1=Z2B.AC=C4

［類型一］全等三角形的判定C.ZD=ZBD.AC=BC

例1如圖，己知/1=/2,則不一定解析：^AABC^/^CDA,并且AB=

能使的條件是（）CD,AC和C4是公共邊，可知N1和N2,

N￡）和/2是對(duì)應(yīng)角.全等三角形的對(duì)應(yīng)角

相等，對(duì)應(yīng)邊相等，因而前三個(gè)選項(xiàng)一定正

確.AC和BC不是對(duì)應(yīng)邊，不一定相

等.「△ABC絲△CD4,AB=CD,：.Z1

和/2,N。和是對(duì)應(yīng)角，Nl=/2,

ND=NB,；.AC和C4是對(duì)應(yīng)邊，而不是

A.BD=CDBC,:.A、B、C正確，錯(cuò)誤的結(jié)論是D.故

B.AB=AC選D.

C.NB=NC方法總結(jié)：本題主要考查了全等三角形

D.NBAD=NCAD的性質(zhì)；根據(jù)已知條件正確確定對(duì)應(yīng)邊、對(duì)

解析：利用全等三角形判定定理ASA,應(yīng)角是解決本題的關(guān)鍵.

SAS,AAS對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可得由答探究點(diǎn)二：等邊對(duì)等角

案.A.VZ1=Z2,AD為公共邊，若BD［類型—］運(yùn)用"等邊對(duì)等角“求角

=CD,則△ABO畛△ACD（SAS）;B.VN1的度數(shù)

AA

D

BC/Dk\

如圖，AB=AC=AD,若/BADRE~C

=80°,則NBCC=()如圖，在△ABC中，已知4B=AC,

A.80°B.100°ABAC和NACB的平分線相交于點(diǎn)D,Z

C.140°D.160°4￡>C=125°.求N4CB和NBAC的度數(shù).

解析：先根據(jù)已知和四邊形的內(nèi)角和為解析：根據(jù)等腰三角膨三線合一的性質(zhì)

360°,可求NB+/BCD+N。的度數(shù)，再可得AE_LBC,再求出/C￡>E,然后根據(jù)直

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NB=NACB,角三角形兩銳角互余求出NQCE,根據(jù)角平

NACD=ZD,從而得到NBCD的分線的定義求出/ACB,再根據(jù)等腰三角形

值.,.?/BA￡>=80°，;.NB+NBCD+ND兩底角相等列式進(jìn)行計(jì)算即可求出ZBAC.

=280°."JAB^AC^AD,：.ZB=ZACB,解：；AB=AC,AE平分NR4C,：.AE

ZACD=ND,；.ZBCD=280°4-2=±BC.VZADC=\25°,：.ZCDE=55°,

140°,故選C..?./OCE=90°—/C￡>E=35°.又平

方法總結(jié)：求角的度數(shù)時(shí)，①在等腰三分NACB,：.ZACB=2ZDCE=70°.又

角形中，一定要考慮三角形內(nèi)角和定理；②,：AB=AC,；./B=/AC3=70°,Z

有平行線時(shí)，要考慮平行線的性質(zhì)：兩直線BAC=180-(ZB+ZACB)=40°.

平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角方法總結(jié)：利用等腰三角形“三線合

互補(bǔ)；③兩條相交直線中，對(duì)頂角相等，互一”的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，有兩種類型：一是求

為鄰補(bǔ)角的兩角之和等于180°.邊長(zhǎng)，求邊長(zhǎng)時(shí)應(yīng)利用等腰三角形的底邊上

［類型二］分類討論思想在等腰三角的中線與其他兩線互相重合；二是求角度的

形求角度中的運(yùn)用大小，求角度時(shí)，應(yīng)利用等腰三角形的頂角

顫I等腰三角形的一個(gè)角等于30°,的平分線或底邊上的高與其他兩線互相重

求它的頂角的度數(shù).合.

解析：本題可根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和［類型二］利用等腰三角形“三線合

三角形內(nèi)角和定理求解，由于本題中沒(méi)有明一”進(jìn)行證明

確30°角是頂角還是底角，因此要分類討

論.

解：①當(dāng)?shù)捉鞘?0°時(shí)，頂角的度數(shù)為

180°-2義30°=120°；

②頂角即為30°.

因此等腰三角形的頂角的度數(shù)為30?；駺0如圖，Z\ABC中，AB^AC,。為

120°.AC上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)BA到E使得AE=A￡>,

方法總結(jié)：已知的一個(gè)銳角可以是等腰連接。E,求證：DEYBC.

三角形的頂角，也可以是底角；一個(gè)鈍角只解析：AF//DE,交BC于點(diǎn)F.利用

能是等腰三角形的頂角.分類討論是正確解等邊對(duì)等角及平行線的性質(zhì)證明NBAF=

答本題的關(guān)鍵./以C.在aABC中由“三線合一”得AF_L

探究點(diǎn)三：三線合一8c.再結(jié)合AF//DE可得出結(jié)論.

［類型—］利用等腰三角形“三線合證明：過(guò)點(diǎn)A作AF〃QE,交BC于點(diǎn)

一”進(jìn)行計(jì)算F.

"：AE=AD,：.ZE=AADE.

'：AF//DE,:.NE=/BAF,AFAC=

ZADE.3.三線合一：在等腰三角形的底邊上

：.乙FAC.的高、中線、頂角的平分線中，只要知道其

又：AB=AC,J.AFLBC.中一個(gè)條件，就能得出另外的兩個(gè)結(jié)論.

'：AF//DE,：.DEA.BC.

教巡恩

方法總結(jié)：利用等腰三角形“三線合

一”得出結(jié)論時(shí)，先必須已知一個(gè)條件，這本節(jié)課由于采用了動(dòng)手操作以及討論交流

個(gè)條件可以是等腰三角形底邊上的高，可以等教學(xué)方法，有效地增強(qiáng)了學(xué)生的感性認(rèn)

是底邊上的中線，也可以是頂角的平分識(shí)，提高了學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解與感悟，因

線.解題時(shí)，一般要用到其中的兩條線互相而本節(jié)課的教學(xué)效果較好，學(xué)生對(duì)所學(xué)的新

重合.知識(shí)掌握較好，達(dá)到了教學(xué)的目的.不足之

三、板書設(shè)計(jì)處是少數(shù)學(xué)生對(duì)等腰三角形的“三線合

1.全等三角形的判定和性質(zhì)一”性質(zhì)理解不透徹，還需要在今后的教學(xué)

2.等腰三角形的性質(zhì)：等邊對(duì)等角和作業(yè)中進(jìn)一步鞏固和提高.

第2課時(shí)等邊三角形的性質(zhì)

1.進(jìn)一步學(xué)習(xí)等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)，

了解等腰三角形兩底角的角平分線（兩腰上

的高，中線）的性質(zhì)；

2.學(xué)習(xí)等邊三角形的性質(zhì)，并能夠運(yùn)（3D如圖，在△ABC中，AB=AC,CD

用其解決問(wèn)題.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）1AB于點(diǎn)D,BE±AC于點(diǎn)E,求證：

DE//BC.

證明：因?yàn)锳B=AC,所以NABC=

嬲嵋NAC8.又因?yàn)镃￡）_LAB于點(diǎn)D,BE1AC于

點(diǎn)E,所以/AEB=N4DC=90°,所以

一、情境導(dǎo)入NABE=ZACD,所以ZABC-NABE=

我們欣賞下列兩個(gè)建筑物（如圖），圖中NACB—NACD,所以NEBC=NOC8.在

的三角形是什么樣的特殊三角形？這樣的

ZBEC=ZCDB,

三角形我們是怎樣定義的，有什么性質(zhì)？

△BEC與△CDB中，＜ZEBC^ZDCB,所

BC=CB,

以△BEC絲△COB,所以BQ=CE,所以AB

-BD=AC-CE,即AD=AE,所以NAOE

天安門城樓西安半坡博物館=又因?yàn)镹A是和△ABC的

二、合作探究頂角，所以所以。E〃3C.

探究點(diǎn)一：等腰三角形兩底角的平分線方法總結(jié)：等腰三角形兩底角的平分線

（兩腰上的高、中線）的相關(guān)性質(zhì)相等，兩腰上的中線相等，兩腰上的高相等.

探究點(diǎn)二：等邊三角形的相關(guān)性質(zhì)

［類型—］利用等邊三角形的性質(zhì)求

角度

A

NDMB=/DME,

和△OME中，</DBM=NE,：.△

.DM=DM,

DMEq/XDMB.：.BM=EM.

是4c上一點(diǎn)，。是8C延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連方法總結(jié)：證明線段相等可利用三角形

接BE,DE.若NABE=40°,BE=DE,求全等得到.還應(yīng)明白等邊三角形是特殊的等

/CEO的度數(shù).腰三角形，所以等腰三角形的性質(zhì)完全適合

解析：因?yàn)椤鰽BC三個(gè)內(nèi)角為60°,等邊三角形.

N4BE=40°,求出/EBC的度數(shù)，因?yàn)椋垲愋腿莸冗吶切蔚男再|(zhì)與全等

BE=DE,所以得到NEBC=N。，求出/￡>三角形的綜合運(yùn)用

的度數(shù)，利用外角性質(zhì)即可求出/CEZ)的度

數(shù).

解：ABC是等邊三角形，ABC

=ZACB=60Q,"：ZAB￡=40°，,ZEBC

=/ABC-/ABE=60°—40°=20°.：BE

=DE,：.ZD=ZEBC=20°,：.ZCED=@DAABC為正三角形，點(diǎn)M是邊BC

/AC3-NO=4(r.上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是邊C4上任意一點(diǎn)，且

方法總結(jié)：等邊三角形是特殊的三角BM=CN,BN與AM相交于Q點(diǎn)，求

形，它的三個(gè)內(nèi)角都是60。，這個(gè)性質(zhì)常常的度數(shù).

應(yīng)用在求三角形角度的問(wèn)題上，所以必須熟解析：先根據(jù)已知條件利用SAS判定

練掌握.△ABMm2BCN,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)

求得NAQN=NA8C=60°.

［類型二］利用等邊三角形的性質(zhì)證解：?.?△ABC為正三角形，...NA8C=

明線段相等ZC=ZBAC=60°,A8=B。.在aAMB和

AB=BC,

△BNC中，V'ZABC=ZC,.?.△AMBg

BM=CN,

顫J如圖：已知等邊△ABC中，。是△BNC(SAS),

AC的中點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且:.NBAM=NCBN,：.NBQM=NABQ

CE=CD,DMA.BC,垂足為M,求證：BM+ZBAM=ZABQ+/CBN=ZABC=

=EM.60°.

解析：要證BM=EM,由題意證方法總結(jié)：等邊三角形與全等三角形的

△8DW會(huì)△￡￡)〃即可.綜合運(yùn)用，一般是利用等邊三角形的性質(zhì)探

證明：連接：在等邊△4BC中，究三角形全等.

。是AC的中點(diǎn)，AZDBC=^ZABC=^X三、板書設(shè)計(jì)

1.等腰三角形兩底角的平分線(兩腰上

60°=30°,ZACB=60°：：CE=CD,：.的高、中線)的相關(guān)性質(zhì)

/CDE=NE.,:NACB=NCDE+NE,：.等腰三角形兩底角的平分線相等；

Z￡=30°,：.ZDBC=ZE=30°：：DMX.等腰三角形兩腰上的高相等；

BC,:.NDMB=NDME=90°,在ADMB等腰三角形兩腰上的中線相等.

2.等邊三角形的性質(zhì)

等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每

個(gè)角都等于60°.定義、性質(zhì).讓學(xué)生在探索圖形特征以及相

關(guān)結(jié)論的活動(dòng)中，進(jìn)一步培養(yǎng)空間觀念，鍛

煉思維能力.讓學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中，進(jìn)一步

本節(jié)課讓學(xué)生在認(rèn)識(shí)等腰三角形的基礎(chǔ)上，產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心，增強(qiáng)動(dòng)手能力和創(chuàng)新

進(jìn)一步認(rèn)識(shí)等邊三角形.學(xué)習(xí)等邊三角形的意識(shí).

第3課時(shí)等腰三角形的判定與反證法

i.掌握等腰三角形的判定定理并學(xué)會(huì)運(yùn)用；（重點(diǎn)）

2.理解并掌握反證法的思想，能夠運(yùn)用反證法進(jìn)行證明.

投卷嵋

一、情境導(dǎo)入

某地質(zhì)專家為估測(cè)一條東西流向河流的寬度，選擇河流北岸上一棵樹（A點(diǎn)）為目標(biāo)，然

后在這棵樹的正南方南岸B點(diǎn)插一小旗作標(biāo)志，沿南偏東60度方向走一段距離到C處時(shí)，

測(cè)得為30度，這時(shí)，地質(zhì)專家測(cè)得8c的長(zhǎng)度是50米，就可知河流寬度是50米.

同學(xué)們，你們想知道這樣估測(cè)河流寬度的根據(jù)是什么嗎？他是怎么知道BC的長(zhǎng)度是等

于河流寬度的呢？今天我們就要學(xué)習(xí)等腰三角形的判定.

二、合作探究

探究點(diǎn)一：等腰三角形的判定（等角對(duì)等邊）

［類型一］確定等腰三角形的個(gè)數(shù)

畫EI如圖，在△ABC中，AB=AC,NA=36°,BD、CE分別是NABC、NBC。的角

平分線，則圖中的等腰三角形有（）

A.5個(gè)B.4個(gè)

C.3個(gè)D.2個(gè)

解析：共有5個(gè).（1）；4B=AC,...△ABC是等腰三角形；（2）；BD、CE分別是NABC、

N5C。的角平分線，NEBC=；NABC,是等腰三角形，，N

EBC=ZECB,...△8CE是等腰三角形；（3）：N4=36°,AB=AC,：.^ABC=ZACB=^

(180°-36°)=72°.又是NA8C的角平分線，：.ZABD=^ABC=36°=AA,：./\ABD

是等腰三角形；同理可證△?￡>￡和△BCQ也是等腰三角形.故選A.

方法總結(jié):確定等腰三角形的個(gè)數(shù)要先找出相等的邊和相等的角，然后確定等腰三角形，

再按順序不重不漏地?cái)?shù)出等腰三角形的個(gè)數(shù).

［類型二］判定一個(gè)三角形是等腰三角形

面?如圖，在△ABC中，24c8=90°,C￡>是AB邊上的高，AE是254C的角平分

線，AE與CO交于點(diǎn)F,求證：4CE尸是等腰三角形.

解析：根據(jù)直角三角形兩銳角互余求得/ABE=N4C￡),然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求

得NCEF=NCFE,根據(jù)等角對(duì)等邊求得CE=CF,從而求得△(；￡1尸是等腰三角形.

解：：在△ABC中，ZACB=90°,二NB+/BAC=90°CO是AB邊上的高，

ZACD+ZBAC=90°,；.NB=NACD是NBAC的角平分線，AZBAE=ZEAC,

：.ZB+ZBAE^ZAEC,ZACD+ZEAC^ZCFE,即NCEF=NCFE,：.CE=CF,.*.△

CE尸是等腰三角形.

方法總結(jié)：”等角對(duì)等邊”是判定等腰三角形的重要依據(jù)，是先有角相等再有邊相等，

只限于在同一個(gè)三角形中，若在兩個(gè)不同的三角形中，此結(jié)論不一定成立.

［類型三］等腰三角形性質(zhì)和判定的綜合運(yùn)用

A

碰J如圖，在△ABC中，48=4C,點(diǎn)。、E、尸分別在AB、BC、AC邊上，且BE=

CF,BD=CE.

(1)求證：△。歷是等腰三角形；

(2)當(dāng)/A=50°時(shí)，求NOEF的度數(shù).

解析：(1)根據(jù)等邊對(duì)等角可得NB=/C,利用“邊角邊”證明△8OE和△CEF全等，

根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得。E=EF,再根據(jù)等腰三角形的定義證明即可；(2)根據(jù)全等

三角形對(duì)應(yīng)角相等可得NBOE=NCE￡然后求出/BM+NCEF=NBEZ)+/BOE,再利

用三角形的內(nèi)角和定理和平角的定義求出NDEF.

BD=CE,

(1)證明："：AB=AC,，NB=NC.在△BDE和△<?￡；/中，ZB=ZC,:.ABDE”

、BE=CF,

ACEF(SAS),：.DE=EF,△OEF是等腰三角形；

⑵解：:ABDE/ACEF,：.ZBDE=ZCEF,：.ZBED+ZCEF=ABED+

/BDE.?:NB+NBDE=ZDEF+NCEF,：.ZB^ZDEF.'：ZA==50°,AB=AC,ZB

=1x(180°-50°)=65°,:.NDEF=65：

方法總結(jié)：等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是

證明線段相等、角相等的重要手段.

探究點(diǎn)二：反證法

【類型一】假設(shè)

頤1用反證法證明命題"三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°”時(shí)，首先應(yīng)假設(shè)這

個(gè)三角形中（）

A.有一個(gè)內(nèi)角大于60。

B.有一個(gè)內(nèi)角小于60°

C.每一個(gè)內(nèi)角都大于60。

D.每一個(gè)內(nèi)角都小于60。

解析：用反證法證明命題時(shí)，應(yīng)先假設(shè)結(jié)論不成立，所以可先假設(shè)三角形中每一個(gè)內(nèi)角

都不小于或等于60。，即都大于60。.故選C.

方法總結(jié)：在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)，要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，必須把它全

部否定.

［類型二］用反證法證明一個(gè)命題

硝求證：△ABC中不能有兩個(gè)鈍角.

解析：用反證法證明，假設(shè)△ABC中能有兩個(gè)鈍角，得出的結(jié)論與三角形的內(nèi)角和定

理相矛盾，所以原命題正確.

證明：假設(shè)aABC中能有兩個(gè)鈍角，即NA<90°,ZB>90°,ZC>90°,

所以/4+/8+NC>180°,與三角形的內(nèi)角和為180°矛盾，所以假設(shè)不成立，因

此原命題正確，即aABC中不能有兩個(gè)鈍角.

方法總結(jié)：本題結(jié)合三角形內(nèi)角和定理考查反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及

步驟.反證法的步驟是：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)不成立，則

結(jié)論成立.在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況.如果只有一種，那

么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定.

三、板書設(shè)計(jì)

1.等腰三角形的判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（等角對(duì)等邊）.

2.反證法

（1）假設(shè)結(jié)論不成立；

（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；

（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立.

歙魏恩

解決幾何證明題時(shí)，應(yīng)結(jié)合圖形，聯(lián)想我們已學(xué)過(guò)的定義、公理、定理等知識(shí)，尋找結(jié)論成

立所需要的條件.要特別注意的是，不要遺漏題目中的已知條件.解題時(shí)學(xué)會(huì)分析，可以采

用執(zhí)果索因（從結(jié)論出發(fā)，探尋結(jié)論成立所需的條件）的方法.

第4課時(shí)等邊三角形的判定及含30°角的直角三角形的性

質(zhì)

1.學(xué)習(xí)并掌握等邊三角形的判定方法，能夠運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和判定解決問(wèn)題；（重

點(diǎn)、難點(diǎn)）

2.理解并掌握含30°角直角三角形的性質(zhì)，能靈活運(yùn)用其解決有關(guān)問(wèn)題.（難點(diǎn)）

一、情境導(dǎo)入

觀察下面圖形:

師：等腰三角形中有一種特殊的三角形，你知道是什么三角形嗎？

生：等邊三角形.

師：對(duì)，等邊三角形具有和諧的對(duì)稱美.今天我們來(lái)學(xué)習(xí)等邊三角形，引出課題.

二、合作探究

探究點(diǎn)一：等邊三角形的判定

［類型一］三邊都相等的三角形是等邊三角形

@D已知a,6,c是△ABC的三邊，且滿足關(guān)系式J+c2=2浦+2a一2層,試說(shuō)明AABC

是等邊三角形.

解析：把已知的關(guān)系式化為兩個(gè)完全平方的和等于0的形式求解.

解：移項(xiàng)得a2+c2—2ab—2〃c+2/=0,

/+/—2ab+c?—2bc+『=0,

：.（a-h）2+（b~c）2=0,

...a-b=0且b—c=0,即4=6且6=0,

??c.

故△ABC是等邊三角形.

方法總結(jié)：（1）幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，那么每一個(gè)非負(fù)數(shù)都等于零；（2）有兩邊相等的三

角形是等腰三角形，三邊都相等的三角形是等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形.

［類型二］三個(gè)角都是60。的三角形是等邊三角形

畫?如圖，在等邊△ABC中，/ABC與NACB的平分線相交于點(diǎn)O,iLOD//AB,OE

〃/1C試判定△OCE的形狀，并說(shuō)明你的理由.

解析：根據(jù)平行線的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)可得/OQ￡=NOEQ=60°,再根據(jù)三

角形內(nèi)角和定理得/OOE=60°,從而可得△OOE是等邊三角形.

解：△ODE是等邊三角形，

理由如下：:△ABC是等邊三角形，...NABC=NACB=60°.

\'OD//AB,OE//AC,：.ZODE=ZABC=60°,ZOED=ZACB=60°.

AZDOE=180°一/OOE—NOE。=180°—60°—60°=60°.

:.NDOE=NODE=NOED=60；

二△ODE是等邊三角形.

方法總結(jié)：證明一個(gè)三角形是等邊三角形時(shí)，如果較易求出角的度數(shù)，那么就可以分別

求出這個(gè)三角形的三個(gè)角都等于60°,從而判定這個(gè)三角形是等邊三角形.

［類型三］有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形

碰J如圖，在△E8O中，EB=ED,點(diǎn)、C在BD上,CE=CD,BELCE,A是CE延長(zhǎng)

線上一點(diǎn)，AB=8C.試判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論.

解析：由于EB=ED,CE=CD,根據(jù)等邊對(duì)等角及三角形外角性質(zhì)，可求得

NECB.再由8E_LCE,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可求得NECB=60°.又從而得

出△A8C是等邊三角形.

解：△ABC是等邊三角形.

理由如下：,:CE=CD,:./CED=ND.

又,//ECB=/CED+ZD.：.NECB=2ND.

'：BE=DE,：.NCBE=ND.：.NECB=2NCBE.：.NCBE=?ECB.

\'BE1CE,.,.NCEB=90°.

又,.,/ECB+NCBE+/CEB=180°,AZECB+|z￡C￡?+90°=180°,AZECB=

60°.

又?.?AB=8C,.'△ABC是等邊三角形.

方法總結(jié)：(1)已知一個(gè)三角形中兩邊相等，要證明這個(gè)三角形是等邊三角形，有兩種

思考方法：①證明另一邊也與這兩邊相等；②證明這個(gè)三角形中有一個(gè)角等于60。.(2)已知一

個(gè)三角形中有一個(gè)角等于60。，要證明這個(gè)三角形是等邊三角形，有兩種思考方法：①證明

另外兩個(gè)角也等于60。；②證明這個(gè)三角形中有兩邊相等.

探究點(diǎn)二：含30°角的直角三角形的性質(zhì)

［類型—］利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)

40B

頤J如圖，在Rt/LABC中，ZACB=90°,NB=30°,CQ是斜邊A8上的高，AD

=3cm,則AB的長(zhǎng)度是（）

A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm

解析：在RtZ\ABC中，：C￡>是斜邊AB上的高，；.NAOC=90°,AZACD=ZB=

30°.在RtAACD中,AC=2AD=6cm,在RtZXABC中，A8=2AC=12cm.AAB的長(zhǎng)度是12cm.

故選D.

方法總結(jié)：運(yùn)用含30。角的直角三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)時(shí)，要分清線段所在的直角三

角形.

［類型二］與角平分線有關(guān)的綜合運(yùn)用

H0如圖，NAOB=30°,OP平分/AOB,PC〃。/1交OB于C,PO1.OA于。，若

PC=3,則PQ等于()

A.3B.2

C.1.5D.1

DA

解析：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PEA.OB于E,'：PC//OA,：.ZAOP=ZCPO,：.NPCE=NBOP

+NCPO=NBOP+/AOP=30°.又；PC=3,.*.PE=￡P(guān)C=TX3=15；NA0P=NB0P,

OP=OP,ZOEP=ZODP,：./\OPE^/\ODP,；.PQ=PE=1.5.故選C.

方法總結(jié)：含30°角的直角三角形與角平分線的綜合運(yùn)用時(shí)，關(guān)鍵是尋找或作輔助線

構(gòu)造含30°角的直角三角形.

［類型三］利用含30°角的直角三角形解決實(shí)際問(wèn)題

某市在“舊城改造”中計(jì)劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植某種草皮以

美化環(huán)境，已知4c=50m,AB=40m,N8AC=150°,這種草皮每平方米的售價(jià)是a元，

求購(gòu)買這種草皮至少需要多少元？

解析：作BZ)_LCA交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。.在RtZXABQ中，利用30°角所對(duì)的直角邊是

斜邊的一半求B。，即△ABC的高.運(yùn)用三角形面積公式計(jì)算面積求解.

解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作BC_LCA交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D；/8AC=150°,

2

=30°.；AB=40m,：.BD=^AB^2Qm,：.S&ABC^X50X20=500(m).?這種草皮每平

方米a元，.?.一共需要5004元.

方法總結(jié)：解此題的關(guān)鍵在于作出CA邊上的高，根據(jù)相關(guān)的性質(zhì)求8。的長(zhǎng)，正確的

計(jì)算出aABC的面積.

三、板書設(shè)計(jì)

1.等邊三角形的判定

三邊都相等的三角形是等邊三角形；

三個(gè)角都是60°的三角形是等邊三角形；

有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

2.含30°角的直角三角形的性質(zhì)

在直角三角形中，如果一個(gè)銳角是30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

本節(jié)課借助于教學(xué)活動(dòng)的展開，有效地激發(fā)了學(xué)生的探究熱情和學(xué)習(xí)興趣，從而引導(dǎo)學(xué)生通

過(guò)自主探究以及合作交流等活動(dòng)探究并歸納出本節(jié)課所學(xué)的新知識(shí)，有助于學(xué)生思維能力的

提高.不足之處是部分學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力還有待于在今后的教學(xué)和作業(yè)中進(jìn)

一步的訓(xùn)練得以提高.

1.2直角三角形

第1課時(shí)直角三角形的性質(zhì)與判定

中均為直角三角形，D選項(xiàng)中/A=/8=

3NC,即7ZC=180",三個(gè)角沒(méi)有90°

1.復(fù)習(xí)直角三角形的相關(guān)知識(shí)，歸納角，故不是直角三角形.故選D.

并掌握直角三角形的性質(zhì)和判定；方法總結(jié)：在判定一個(gè)三角形是否為直

2.學(xué)習(xí)并掌握勾股定理及其逆定理，角三角形時(shí)要注意直角三角形中有一個(gè)內(nèi)

能夠運(yùn)用其解決問(wèn)題.（重點(diǎn)，難點(diǎn)）角為90°.

［類型二］直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用

（3B如圖①，/\ABC中，ADVBC于

D,CE_L4B于E.

一、情境導(dǎo)入

古埃及人曾經(jīng)用下面的方法畫直角：將

一根長(zhǎng)繩打上等距離的13個(gè)結(jié)，然后按如

圖所示的方法用樁釘釘成一個(gè)三角形，他們

認(rèn)為其中一個(gè)角便是直角.你知道這是什么

道理嗎？（1）猜測(cè)N1與N2的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（2）如果NA是鈍角，如圖②，（1）中的結(jié)

論是否還成立？

解析：（1）根據(jù)垂直的定義可得

和△BCE都是直角三角形，再根據(jù)直角三角

形兩銳角互余可得/l+/B=90°,N2+

NB=90°,從而得解；（2）根據(jù)垂直的定義

二、合作探究可得ND=NE=90°,然后求出N1+N4

探究點(diǎn)一：直角三角形的性質(zhì)與判定=90°,N2+N3=90°,再根據(jù)N3、Z4

［類型一］判定三角形是否為直角三是對(duì)頂角解答即可.

角形解：⑴N1=/2.；AOJ_8C,CE1.AB,

?B具備下列條件的aABC中，不是...△A8O和△8CE都是直角三角形，.INI

直角三角形的是（）+NB=90°,Z2+ZB=90°,Z1=

A.NA+NB=/CZ2；

B.Z4-ZB=ZC（2）結(jié)論仍然成立.理由如下：

C.ZA：ZB：NC=1：2：3'：BD±AC,CE±AB,：.ZD^ZE=90°,

D.ZA=ZB=3ZC.,.Zl+Z4=90°,N2+N3=90°,VZ

解析：由直角三角形內(nèi)角和為180°求3=/4（對(duì)頂角相等），；./1=/2.

得三角形的每一個(gè)角的度數(shù)，再判斷其形方法總結(jié)：本題考查了直角三角形的性

狀.A中即2NC=180°,質(zhì)，主要利用了直角三角形兩銳角互余，同

ZC=90°,為直角三角形，同理，B,C角或等角的余角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.解：此題應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論:

探究點(diǎn)二：勾股定理A

［類型—］直接運(yùn)用勾股定理

(1)⑵

(1)當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，在RtA

??己知：如圖，在△A8C中，ZACB48。中，BD=7AB，-AD?=715)—12?=9,

=90°,AB=13cm,BC=5cm,CD，AB在Rt△ACD中，CD=yjAC2-AD2=

于。求：^/132-122=5,ABC=BD+CD=5+9=

(1)AC的長(zhǎng)；14,.,.△ABC的周長(zhǎng)為15+13+14=42；

(2)SAABC；(2)當(dāng)AABC為鈍角三角形時(shí)，在RtA

(3)C。的長(zhǎng).ABQ中，BD=^/AB2-AD2=^/152-122=9.

解析：(1)由于在△ABC中，ZACB=在Rl△ACD中，CD=y/ACf-AD2=

90°,AB=13cm,BC=5cm,根據(jù)勾股定^/132-122=5,；.BC=9-5=4,.;△ABC

理即可求出AC的長(zhǎng)；(2)直接利用三角形的的周長(zhǎng)為15+13+4=32.

面積公式即可求出SAMC；(3)根據(jù)CDAB=,當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，△A8C

8cAe即可求出CD.的周長(zhǎng)為42；當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，

解：(1);?在△ABC中，ZACB=90°,△ABC的周長(zhǎng)為32.

AB=13cm,8c=5cm,.,.AC^A^-BC2^方法總結(jié)：在題目未給出具體圖形時(shí)，

12cm；應(yīng)考慮三角形是銳角三角形還是鈍角三角

12形，凡符合題設(shè)的情況都要考慮，體現(xiàn)了分

(2)SZ2SA8C=1C3,AC=30cm-；

類討論思想，這是解無(wú)圖幾何問(wèn)題的常用方

(3)：SAA8C=；AC-BC=^CD-AB,：.法.

探究點(diǎn)三：勾股定理的逆定理

［類型一］判斷三角形的形狀

如圖，正方形網(wǎng)格中有△ABC,

方法總結(jié)：解答此類問(wèn)題，一般是先利若小方格邊長(zhǎng)為1,則AABC的形狀為

用勾股定理求出第三邊，利用兩種方法表示)

出同一個(gè)直角三角形的面積，然后根據(jù)面積

相等得出一個(gè)方程，再解這個(gè)方程即可.

［類型二］分類討論思想在勾股定理

中的應(yīng)用

?D在△A8C中，AB=\5,AC=13,

BC邊上的高AO=12,試求△ABC周長(zhǎng).A.直角三角形

解析：本題應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：(1)B.銳角三角形

當(dāng)ZXABC為銳角三角形時(shí)，在RtAABD和C.鈍角三角形

RtAACD中，運(yùn)用勾股定理可將8。和CDD.以上答案都不對(duì)

的長(zhǎng)求出，兩者相加即為BC的長(zhǎng)，從而可解析：?.?正方形小方格邊長(zhǎng)為1,：.BC

將△ABC的周長(zhǎng)求出：(2)當(dāng)△4BC為鈍角=A/42+62=2VT3,AC=yj22+3>i=y［u,AB

三角形時(shí)，在RtAABZ)和RtAACD中，運(yùn)=、1+82=癰.在△ABC中,-：BC2+AC2

用勾股定理可將8。和C￡>的長(zhǎng)求出，兩者=52+13=65,AB2=65,：.BC2+ACi=

相減即為BC的長(zhǎng)，從而可將△ABC的周長(zhǎng)AB2,.'.△ABC是直角三角形.故選A.

求出.方法總結(jié)：要判斷一個(gè)角是不是直角，

先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大NACZ)=90。,.'S四邊舷4BCD=SZXABC+SAACD

小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的=1x6X8+|x10X24=144.

平方比較，如果相等，則三角形為直角三角

形；否則不是.方法總結(jié)：此題將求四邊形面積的問(wèn)題

［類型二］利用勾股定理的逆定理證轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)直角三角形面積和的問(wèn)題，既

明垂直關(guān)系考查了對(duì)勾股定理逆定理的掌握情況，又體

畫13如圖，在正方形A8C。中，AE=現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在解題時(shí)的應(yīng)用.

EB,AF=^AD,求證：CEVEF.探究點(diǎn)四：互逆命題與互逆定理

M寫出下列各命題的逆命題，并判

斷其逆命題是真命題還是假命題.

(1)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；

(2)垂直于同一條直線的兩直線平行；

(3)相等的角是內(nèi)錯(cuò)角；

證明：連接CF,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4.(4)有一個(gè)角是60°的三角形是等邊三

,??四邊形ABC。為正方形，."8=BC=C￡>角形.

=D4=4.;點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，AF=^AD,解析：分別找出各命題的題設(shè)和結(jié)論將

其互換即可.

AE=BE=2,AF=\,。尸=3.由勾股定理得解：(1)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.真

￡^=12+22=5,EC2=22+42=20,FC2=命題；

42+32=25.V￡F2+￡C2：=FC2,:.ACFE是(2)如果兩條直線平行，那么這兩條直線

直角三角形，：.ZFEC=90°,即EF_LCE.垂直于同一條直線(在同一平面內(nèi)).真命題；

方法總結(jié)：利用勾股定理的逆定理可以(3)內(nèi)錯(cuò)角相等.假命題；

判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形，所以此(4)等邊三角形有一個(gè)角是60°.真命

定理也是判定垂直關(guān)系的一個(gè)主要方法.題.

［類型三］運(yùn)用勾股