北師大新版九年級下學期《2.5二次函數(shù)與一元二次方程》2019年同步練習卷

北師大新版九年級下學期《2.5二次函數(shù)與一元二次方程》2019

年同步練習卷

一.填空題(共12小題)

1.若關于x的一元二次方程-，+2分+2-3a=0的一根司21,另一根X2W-I,則拋物線〉

=-x+2ax+2-3a的頂點到x軸距離的最小值是.

2.若函數(shù)y=x2-3|x-l|-4x-3-b(6為常數(shù))的圖象與x軸恰好有三個交點，則常數(shù)6

的值為.

3.如圖，拋物線>=亦2+法+(:與x軸相交于點A、B(m+2,0)與y軸相交于點C,點。

在該拋物線上，坐標為(m,c),則點A的坐標是.

4.將拋物線、=(x+1)(x-2015)+4向下平移單位，所得拋物線與x軸的兩個交

點距離為2016.

5.若關于x的一元二次方程-/+2辦+2-。=0的一根xi21,另一根％2忘-1,則拋物線y

=-X1+2ax+2-a的頂點到x軸距離的最小值是.

6.如圖，點A(-2,5)在以(1,-4)為頂點的拋物線上，拋物線與x正半軸交于點2,

點M(x,y)(其中-2<x<3)是拋物線上的動點，則面積的最大值為.

7.如圖，拋物線y=7-2x-3與x軸交于A、B兩點,過8的直線交拋物線于E,且tan

ZEBA=X有一只螞蟻從A出發(fā)，先以1單位/s的速度爬到線段BE上的點。處，再以

3

1.25單位/s的速度沿著DE爬到E點處覓食，則螞蟻從A到E的最短時間是s.

8.二次函數(shù)的圖象如圖所示，對稱軸為x=2,若關于x的一元二次方程/+廄，

=0（/為實數(shù)）在-1〈尤<6的范圍內(nèi)無解，則f的取值范圍是.

9.如圖，在直角坐標系xOy中，若拋物線y='x2+2x交無軸的負半軸于4以。為旋轉(zhuǎn)

中心，將線段0A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)a（0°<aW360°）,再沿水平方向向右或向左平移

若干個單位長度，對應線段的一個端點正好落在拋物線的頂點處，請直接寫出所有符合

題意的a的值是.

10.如圖，拋物線>=依2+區(qū)+。與X軸的一個交點A在點（-1,0）和（0,0）之間（包括

這兩點），頂點B是矩形CDEF上（包括邊界和內(nèi)部）的一個動點，則a的取值范圍

11.若關于x的二次函數(shù)=a?+2尤-5的圖象與尤軸有兩個交點，且其中有且僅有一個交點

在原點和A（1,0）之間（不含原點和A點），則。的取值范圍是.

12.已知拋物線y=-，+〃a+4的頂點為。，它與x軸交于A和B兩點，且A在原點左側(cè)，

B在原點右側(cè)，與y軸的交點為P,且以為直徑的圓M截y軸所得的弦恰好以點

P為中點，則根的值為.

—.解答題（共38小題）

13.已知拋物線乙：>=上？+法-2與x軸相交于A、8兩點（點A在點8的左側(cè)），并與y

2

軸相交于點C.且點A的坐標是（-1,0）.

（1）求該拋物線的函數(shù)表達式及頂點D的坐標；

（2）判斷△ABC的形狀，并求出△A8C的面積；

（3）將拋物線向左或向右平移，得到拋物線L',L'與x軸相交于A、B'兩點（點4

在點的左側(cè)），并與y軸相交于點C',要使△A3,C和△ABC的面積相等，求所

有滿足條件的拋物線的函數(shù)表達式.

14.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=-/+6x-5的圖象與尤軸交于A、8兩點，

與y軸交于點C,其頂點為P,連接B4、AC、CP,過點C作y軸的垂線/.

（1）求點P,C的坐標；

（2）直線/上是否存在點。，使APB。的面積等于△B4C的面積的2倍？若存在，求出點

。的坐標；若不存在，請說明理由.

IC

15.有一個二次函數(shù)滿足以下條件：①函數(shù)圖象與無軸的交點坐標分別為A（1,0）,8（尤2,

以）（點2在點A的右側(cè)）；②對稱軸是彳=3；③該函數(shù)有最小值是-2.

（1）請根據(jù)以上信息求出二次函數(shù)表達式；

（2）將該函數(shù)圖象中尤＞尤2部分的圖象向下翻折與原圖象未翻折的部分組成圖象“G”，試

（1）求證：不論相為何值，該二次函數(shù)的圖象與尤軸總有公共點.

（2）若把該二次函數(shù)的圖象向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，所得圖象

的函數(shù)表達式為y=:,則"z=.

（3）若該二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A、B,與y軸交于點C,頂點為D當△ABC的面

積與的面積相等時，求相的值.

17.在平面直角坐標系尤Oy中，對稱軸為直線x=l的拋物線y=尤+?與天軸交于點A

和點8,與y軸交于點C,且點B的坐標為（-1,0）

（1）求拋物線的解析式并作出圖象；

（2）點。的坐標為（0,1）,點尸是拋物線上的動點，若是以CD為底的等腰三角

形，求點P的坐標.

6

5

4

3

2

1

-6-5-4-3-2123456X

-4

-5

-6

18.已知拋物線y=2，+fcv+c經(jīng)過點A(2,-1).

(1)若拋物線的對稱軸為x=l,求b,c的值.

(2)求證：拋物線與x軸有兩個不同的交點；

(3)設拋物線頂點為尸，若0、A、尸三點共線(。為坐標原點)，求b的值.

19.如圖，拋物線y=-工？+云+c與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,已知點A(-

1,0),點C(0,2)

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)若。是拋物線位于第一象限上的動點，求△3CQ面積的最大值及此時點。的坐標.

20.觀察表格：根據(jù)表格解答下列問題:

ax+bx+c-3

(/)a=,b=,c=；

(2)在如圖的直角坐標系中畫出函數(shù)y=a/+bx+c的圖象，并根據(jù)圖象，直接寫出當x取

什么實數(shù)時，不等式ax1+bx+c>-3成立；

(3)該圖象與x軸兩交點從左到右依次分別為A、B,與y軸交點為C,求過這三個點的外

接圓的半徑.

21.在平面直角坐標系xOy中，拋物線-5/x+3交y軸于點A,交直線x=6于點艮

（1）填空：拋物線的對稱軸為尤=，點8的縱坐標為（用含。的代數(shù)式表

示）；

（2）若直線A3與x軸正方向所夾的角為45°時，拋物線在x軸上方，求a的值；

（3）記拋物線在42之間的部分為圖象G（包含A、B兩點），若對于圖象G上任意一點

P（xp,坊），總有y°W3,求a的取值范圍.

22.已知二次函數(shù)y=x2-6x+（2m+l）與無軸有交點.

（1）求相的取值范圍；

（2）如果該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點分別為（xi，0）,（無2，0）,且2肛X2+XI+M>20,

求m的取值范圍.

23.如圖，已知拋物線y=-f+bx+c與天軸交于點A（-1,0）和點2（3,0）,與y軸交

于點C,連接BC交拋物線的對稱軸于點E,。是拋物線的頂點.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）直接寫出點C和點。的坐標；

（3）若點P在第一象限內(nèi)的拋物線上，且SMBP=4SACOE，求尸點坐標.

(1)求這個二次函數(shù)的函數(shù)解析式；

(2)若拋物線交x軸于A,8兩點，交y軸于C點，頂點為求以A、B、C、O為頂點

的四邊形面積.

25.閱讀下面材料：

如圖1,在平面直角坐標系尤Oy中，直線yi=ax+6與雙曲線?交于A(1,3)和B(-

x

3,-1)兩點.

觀察圖象可知：

①當尤=-3或1時，力=丫2；

②當-3<x<0或x>l時，X>”，即通過觀察函數(shù)的圖象，可以得到不等式依+6>”的

x

解集.

有這樣一個問題：求不等式X3+4?-X-4>0的解集.

某同學根據(jù)學習以上知識的經(jīng)驗，對求不等式xW-x-4>0的解集進行了探

下面是他的探究過程，請將(2)、(3)、(4)補充完整:

（1）將不等式按條件進行轉(zhuǎn)化:

當x=0時，原不等式不成立;

當尤＞0時,原不等式可以轉(zhuǎn)化為，+4尤-1＞8；

X

當x＜0時,原不等式可以轉(zhuǎn)化為1＜且；

（2）構(gòu)造函數(shù)，畫出圖象

設g=，+4—1,y4=1,在同一坐標系中分別畫出這兩個函數(shù)的圖象.

X

雙曲線y4=W■如圖2所示，請在此坐標系中畫出拋物線為=，+4天-1；（不用列表）

x

（3）確定兩個函數(shù)圖象公共點的橫坐標

觀察所畫兩個函數(shù)的圖象，猜想并通過代入函數(shù)解析式驗證可知：滿足為=了4的所有x的值

為;

（4）借助圖象，寫出解集

結(jié)合（1）的討論結(jié)果，觀察兩個函數(shù)的圖象可知：不等式-尤-4＞0的解集為.

26.已知尸（-3,加和。（1,m）是拋物線＞=2，+灰+1上的兩點.

（1）求b的值；

（2）判斷關于x的一元二次方程2x2+bx+l=0是否有實數(shù)根，若有，求出它的實數(shù)根；若

沒有，請說明理由；

（3）將拋物線＞=2x2+6尤+1的圖象向上平移左（左是正整數(shù)）個單位，使平移后的圖象與x

軸無交點，求上的最小值.

27.某班“數(shù)學興趣小組”對函數(shù)y=/-2|x|-3的圖象和性質(zhì)進行了探究，探究過程如下，

請補充完整

（1）自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，x與y的幾組對應值如下：

x…-3-5-2-101253…

y…0-工m-4-3-4-3-工0

其中，m=.

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標系中描點，并畫出了函數(shù)圖象的一部分,

請畫出該函數(shù)圖象的另一部分.

（3）觀察函數(shù)圖象，寫出兩條函數(shù)的性質(zhì).

(4)進一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：

①函數(shù)圖象與x軸有個交點，所以對應的方程尤2-2|x|-3=0有個實數(shù)根;

②方程/-2|x|-3=-3有個實數(shù)根；

(1)用含匕的代數(shù)式表示a；

(2)求證：二次函數(shù)＞=0^+6尤-b-2的圖象與龍軸始終有2個交點；

(3)設二次函數(shù)＞=0?+法+6-2的圖象與尤軸的另一個交點為BG,0).

①若f為整數(shù)，求整數(shù)b的值.

②當b取仇時，/分別為小攵，若仇＜歷，試判斷小攵的大小關系，并說明理由.

29.己知關于尤的一元二次方程4."+2(m-1)尤-，〃=0

(1)求證該方程必有兩個異號實數(shù)根；

(2)二次函數(shù)y=4，+2(m-1)x-m(m＞0)的圖象與x軸的兩個交點分別是A和B(A

在B的左邊)，與y軸的交點為C,原點為。，若」——L=OC-1,求這個二次函數(shù)的

0A0B

解析式.

30.某班“數(shù)學興趣小組”對函數(shù)＞=-?+2|%|+1的圖象和性質(zhì)進行了探究，探究過程如下,

請補充完整.

(2)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標系中描點，畫出了函數(shù)圖象的一部分，請

畫出該函數(shù)圖象的另一部分.

(3)觀察函數(shù)圖象，寫出兩條函數(shù)的性質(zhì).

(4)進一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：

①方程-，+2|x|+l=0有個實數(shù)根；

請補充完整.

(1)由于自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，則可列得下表.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的

①；

②.

(3)進一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：

①函數(shù)y=/-2|x|+l,當x=時，y取最小值，最小值為；

②因為函數(shù)圖象與x軸有兩個交點，所以y=0,即方程7-2|尤|+1=0有個不相等

的實數(shù)根；

③方程2|尤|+1=1有個不相等的實數(shù)根.

6

5

4

3

2

1

-6-5-4-3-2123456X

-4

-5

-6

32.已知二次函數(shù)y=，+()t-5)x+1-k,其中左為常數(shù).

(1)求證：無論化為何值，拋物線與x軸總有兩個交點；

(2)若函數(shù)y=，+()l-5)x+1-女的圖象不經(jīng)過第三象限，求左的取值范圍.

33.在平面直角坐標系xOy中，拋物線>=g2+6加廿幾(m>0)與％軸交于A,B兩點(點

A在點5左側(cè))，頂點為C,拋物線與y軸交于點O,直線5C交y軸于且△ABC與

△AEC這兩個三角形的面積之比為2：3.

(1)求點A的坐標；

(2)將△ACO繞點。順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后，點A與B重合，此時點。的對應點。恰好

也在y軸上，求拋物線的解析式.

■?

x

34.已知函數(shù)y=mx-(2m-5)x+m-2的圖象與x軸有兩個公共點.

(1)求機的取值范圍，寫出當機取值范圍內(nèi)最大整數(shù)時函數(shù)的解析式；

(2)題(1)中求得的函數(shù)記為Q,當wWxW-1時，y取值范圍是iWyW-3外求"值.

35.如圖，在矩形OA8C中，OA=8,OC=4,。4、0c分別在x軸與y軸上，。為OA上

一點，且CD=AD

(1)求點。的坐標;

(2)若經(jīng)過8、C、。三點的拋物線與x軸的另一個交點為E,請直接寫出點E的坐標;

(3)在(2)中的拋物線上位于x軸上方的部分，是否存在一點尸，使△P8C的面積等于四

邊形。的面積？若存在，求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

36.有這樣一個問題：探究函數(shù)、=與-左的圖象與性質(zhì).

x2

小東根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)＞=今-L的圖象與性質(zhì)進行了探究.

x2

下面是小東的探究過程，請補充完整，并解決相關問題:

(3)如圖，在平面直角坐標系xOy中，描出了以上表中各對對應值為坐標的點.根據(jù)描出

的點，畫出該函數(shù)的圖象;

(4)進一步探究發(fā)現(xiàn)，該函數(shù)圖象在第二象限內(nèi)的最低點的坐標是(-2,3)，結(jié)合函數(shù)

2

的圖象，寫出該函數(shù)的其它性質(zhì)(一條即可).

(5)根據(jù)函數(shù)圖象估算方程2-」=2的根為.(精確到0.1)

V22

y

.5

4X

37.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=，-4x+3與無軸交于點A、2（點A在點2的左

側(cè)），與y軸交于點C.

（1）求直線BC的表達式；

（2）垂直于y軸的直線/與拋物線交于點尸（xi，月），。（皿，＞2），與直線BC交于點N（X3,

為），若修Vx2Vx3，結(jié)合函數(shù)的圖象，求%1+元2+入3的取值范圍.

38.已知二次函數(shù)y=，-（a-1）x+a-2,其中。是常數(shù).

（1）求證：不論。為何值，該二次函數(shù)的圖象與無軸一定有公共點；

（2）當a=4時，該二次函數(shù)的圖象頂點為A,與x軸交于8,。兩點，與y軸交于C點，

求四邊形ABC。的面積.

39.已知函數(shù)y=-無'+Cm-1）x+mGn為常數(shù)）.

（1）該函數(shù)的圖象與x軸公共點的個數(shù)是.

A.OBAC.2D1或2

（2）求證：不論相為何值，該函數(shù)的圖象的頂點都在函數(shù)＞=（無+1）2的圖象上.

（3）當-2WmW3時，求該函數(shù)的圖象的頂點縱坐標的取值范圍.

40.已知二次函數(shù)y=--2渥-3（根為常數(shù)）.

（1）求證：不論相為何值，該二次函數(shù)圖象與x軸沒有公共點；

(2)如果把該函數(shù)圖象沿y軸向上平移4個單位后，得到的函數(shù)圖象與x軸只有一個公共

點，試求機的值.

41.已知一元二次方程/-4機氏'+4〃?2+2%-4=0,其中加為常數(shù).

(1)若該一元二次方程有實數(shù)根，求機的取值范圍；

(2)設拋物線y=，-4mx+4m2+2機-4的頂點為點。為坐標原點，當機變化時，求線

段長度的最小值.

42.已知：二次函數(shù)>=辦2+云的圖象經(jīng)過點M(1,”)、N(3,71).

(1)求6與。之間的關系式；

(2)若二次函數(shù)>=??+嬴的圖象與x軸交于點A、B,頂點為C,△ABC為直角三角形，

求該二次函數(shù)的關系式.

43.已知二次函數(shù)y=/-2/m-+m2+M/+l的圖象與無軸交于A、B兩點，點C為頂點.

(1)求機的取值范圍；

(2)若將二次函數(shù)的圖象關于無軸翻折，所得圖象的頂點為D若8=8.求四邊形AC2D

的面積.

44.如圖，二次函數(shù)>=以2-2以+3(aWO)的圖象與x、y軸交于A、B、C三點，

其中A2=4,連接BC.

(1)求二次函數(shù)的對稱軸和函數(shù)表達式；

(2)若點M是線段2C上的動點，設點M的橫坐標為"z,過點M作軸交拋物線于

點N,求線段MN的最大值；

(3)當OWxWt時，則3WyW4,直接寫出f的取值范圍.

45.某班“數(shù)學興趣小組”對函數(shù)y=/-2|x|的圖象和性質(zhì)進行了探究，探究過程如下.

(1)自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，x與y的幾組對應值如下：

x…-3.8-27012A3??

22

y???3_5_m-10-10_5_3…

4|4

其中，m=.

(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標系中描點，并畫出了函數(shù)圖象的一部分,

請你畫出該函數(shù)圖象的另一部分.

(3)觀察函數(shù)圖象，寫出一條性質(zhì).

(4)進一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：

①方程X?-2\x\=Q有個實數(shù)根；

②關于x的方程?-2|x|=a有4個實數(shù)根時，a的取值范圍是.

46.已知二次函數(shù)yi=ax2+bx+c的圖象可以由二次函數(shù)”=-2x2的圖象平移得到且經(jīng)過點

(2,-10)和(0,6).

(1)求二次函數(shù)的表達式，并寫出此函數(shù)圖象頂點〃的坐標；

(2)求二次函數(shù)yi=ax2+Zzr+c的圖象與x軸交點坐標；

(3)若以2+6x+c=Z有兩個不相等的實數(shù)根，則寫出上的取值范圍為；

(4)若小WxW根+4時，-10WyiW8,則根的值為.

47.已知二次函數(shù)>=如2一心+〃-2(〃>0,機力0)的圖象經(jīng)過A(2,0).

(1)用含n的代數(shù)式表示機；

(2)求證：二次函數(shù)一力x+w-2的圖象與x軸始終有2個交點；

（3）設二次函數(shù)y=??/一加+〃一2的圖象與x軸的另一個交點為BG,0）.

①當“取"1，"2時，f分別為“，『2，若試判斷“，念的大小關系，并說明理由.

②若f為整數(shù)，求整數(shù)”的值.

48.如圖，二次函數(shù)y=cz?+6x+c的圖象與X軸交于A、8兩點，交y軸于C點，其中8點

坐標為（3,0）,C點坐標為（0,3）,且圖象對稱軸為直線x=L

（1）求此二次函數(shù)的關系式；

（2）尸為二次函數(shù)y=o?+6x+c在無軸下方的圖象上一點，且SMBP=SA4BC，求P點的坐

標.

49.在平面直角坐標系xOy中，拋物線>=加，-2機x+〃z-2（機力0）的頂點為A,與x軸交

于B,C兩點（點2在點C左側(cè)），與y軸負半軸交于點D

（1）求點A的坐標；

（2）連接A。并延長交x軸于E,若ADDE=4：5,求拋物線的解析式和2,C兩點的坐

50.已知：拋物線y=o?-2(a-1)x+a-2(。＞0).

（1）求證：拋物線與無軸有兩個交點;

（2）設拋物線與X軸有兩個交點的橫坐標分別為XI，X2,（其中X1>X2）.若y是關于。的

函數(shù)，且y=QX2+%l，求這個函數(shù)的表達式;

（3）在（2）的條件下，結(jié)合函數(shù)的圖象回答：若使3a2+1,則自變量a的取值范圍

為.

>'A

5-

4-

3-

2-

1-

-5-4-3-2-1012345x

-1

-2

-3

-4

-5

北師大新版九年級下學期《2.5二次函數(shù)與一元二次方

程》2019年同步練習卷

參考答案與試題解析

填空題(共12小題)

1.若關于x的一元二次方程-x2+2ax+2-3a=0的一根尤121,另一根尤2W-1,則拋物線y

=-；+2辦+2-3a的頂點到x軸距離的最小值是—.

一至一

【分析】先根據(jù)關于x的一元二次方程-/+2磔+2-4=0的一根另一根MWT求

出a的取值范圍，再得出拋物線y=-x+1ax+1-3a頂點的縱坐標表達式，把a的取值

代入即可

【解答】解：?關于x的一■兀二次方程-，+2砒+2-。=0的~■根為21,另~■根彳2忘-1,

.]-l+2a+2-3a>0

j-l-2a+2-3a>0

5

,拋物線y=-無2+2ax+2-3a—-(x-a)2+a2-3a+2.

，拋物線的頂點坐標為(a,J-3a+2)

y=-/+2°尤+2-3a的頂點縱坐標為2-3a+J=(a-—)2--

24

25

當a=工時，拋物線y--x2+2ax+2-3a的頂點到x軸距離最小為|2-3a+o2|=-^-,

525

故答案為9.

25

【點評】本題考查的是拋物線與無軸的交點，熟知一元二次方程的根與拋物線與X軸的交點

之間的關系是解答此題的關?.

2.若函數(shù)y=，-3|x-l|-4x-3-b(6為常數(shù))的圖象與x軸恰好有三個交點，則常數(shù)6

的值為-6.

【分析】根據(jù)題意x=l時，y=0,由此即可解決問題.

【解答】解：當x>l時，函數(shù)解析式為y=/-7x-b,

當xWl時，函數(shù)解析式為-x-6-b,

?..函數(shù)y=/-3|x-l|-4x-3-6(6為常數(shù))的圖象與無軸恰好有三個交點，由圖象可知，

.?.x=l時，y=0,

Al-7-/?=0,

:?b=-6.

【點評】本題考查拋物線與％軸的交點問題，解題的關鍵是理解％=1時，y=0,學會利用

函數(shù)圖象解決問題，屬于填空題中的壓軸題.

3.如圖，拋物線y=o?+6x+c與無軸相交于點A、B（加+2,0）與y軸相交于點C,點。

在該拋物線上，坐標為（m,c）,則點A的坐標是（-2,0）.

【分析】根據(jù)函數(shù)值相等兩點關于對稱軸對稱，可得對稱軸，根據(jù)A、B關于對稱軸對稱，

可得A點坐標.

【解答】解：由C（0,c）,D（m,c）,得函數(shù)圖象的對稱軸是苫=皿，

2

設A點坐標為（尤，0）,由A、2關于對稱軸彳=皿，得

2

x+irrl-2=m

2T

解得尤=-2,

即A點坐標為（-2,0）,

故答案為：（-2,0）.

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，利用函數(shù)值相等的點關于對稱軸對稱是解題關鍵.

4.將拋物線＞=（x+1）（%-2015）+4向下平移4單位,所得拋物線與x軸的兩個交點

距離為2016.

【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”的規(guī)律寫出平移后拋物線的解析式，結(jié)合“這兩個交

點之間的距離為2016”來求值.

【解答】解：設拋物線>=(x+1)(x-2015)+4向下平移機個單位長度后的拋物線解析式

為：y=(x+1)(x-2015)+4-m,BPy=x2-2014A--2011-m.

設該拋物線與無軸的兩個交點橫坐標分別為a、b,則

Q+Z?=2014,ab=-2011-m,

2=2=

所以2016=|a-b\=7(a-b)V(a+b)-4ab72014^4x7<01W))

解得777=4,

故答案為4.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換.要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加

下減.并用規(guī)律求函數(shù)解析式.

5.若關于x的一元二次方程-/+2ar+2-a=0的一根血21,另一根MW-1,則拋物線y

=-f+2at+2-a的頂點到x軸距離的最小值是—.

一且一

【分析】先根據(jù)關于尤的一元二次方程-/+2ar+2-a=0的一根彳61,另一根X2W-1求

出a的取值范圍，再得出拋物線y=-，+2"+2-a頂點的縱坐標表達式，把a的取值代

入即可.

【解答】解：..‘關于x的一元二次方程-，+2辦+2-。=0的一根制21,另一根

,即1-l+2a+2-a>0,解得-IWaWL

-2a+2-a》03

2

..,拋物線y=-x'+lax+l-a的頂點縱坐標=：&I上一；1)-&=2-a+cC',

-4

當a-—1時，2-a+J=2+l+l=4；

當a=L時，2--+X=AL,

3399

：4〉里

9

...頂點到X軸距離的最小值是獨.

9

故答案為：叫.

9

【點評】本題考查的是拋物線與X軸的交點，熟知一元二次方程的根與拋物線與X軸的交點

之間的關系是解答此題的關鍵.

6.如圖，點A(-2,5)在以(1,-4)為頂點的拋物線上，拋物線與x正半軸交于點8,

點M(x,y)(其中-2cx<3)是拋物線上的動點，則面積的最大值為▲在

一8

【分析】先利用頂點式求出拋物線解析式為y=(x-1)2-4,即y=/-2x-3,再解方程

X?-2x-3=0得到8(3,0),接著利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=-x+3,

作MN〃y軸交AB于點N,如圖，設MG,/-2L3)(-2<x<3),則NG,7+3),

1

利用SA4B“=SA4A?V+S4BAW可得至USAAB1tL"$/+芻+6,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

22

【解答】解：設拋物線解析式為y=a(尤-1)2-4,

把A(-2,5)代入得a(-2-1)'-4=5,解得a—1,

，拋物線解析式為y=(x-1)2-4,即y=x-lx-3,

當y=0時，x-2x-3=0,解得xi=-1,X2=3,則8(3,0),

設直線AB的解析式為y=kx+b,

把A(-2.5),B(3,0)代入得[-2k+b=5,解得尸-1,

[3k+b=0lb=3

直線AB的解析式為y=-x+3,

作MN〃y軸交AB于點N,如圖，設MG,八2-3)(-2<x<3),則N(37+3),

：.MN=-t+3-(Z2-2/-3)=-f+t+6

S4ABM=SAAMN^S/\BMN

=L-5'MN

2

=-"+2+6

22

=-L)2+125

228

.?.當f=L時，△ABM面積有最大值，最大值為坨.

28

故答案為坨.

8

【點評】本題考查了拋物線與X軸的交點：把求二次函數(shù)>=62+灰+。6,C是常數(shù)，a

WO）與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關于x的一元二次方程.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)

和三角形面積公式.

7.如圖，拋物線>=7-2尤-3與尤軸交于A、B兩點，過3的直線交拋物線于E,且tan

NEBA=魚,有一只螞蟻從A出發(fā)，先以1單位/s的速度爬到線段8E上的點。處，再以

3

1.25單位/s的速度沿著。E爬到￡點處覓食，則螞蟻從A到E的最短時間是反s.

—9—

【分析】過點E作無軸的平行線，再過。點作y軸的平行線，兩線相交于點如圖，利

用平行線的性質(zhì)和三角函數(shù)的定義得到tan/”￡D=tan/E54=Ul=q,設DH=4m,

EH3

EH=3m,則DE=5m,則可判斷螞蟻從D爬到E點所用的時間等于從D爬到H點所用

的時間相等，于是得到螞蟻從A出發(fā)，先以1單位/s的速度爬到線段BE上的點D處，

再以1.25單位/s的速度沿著OE爬到E點所用時間等于它從A以1單位/s的速度爬到D

點，再從。點以1單位/s速度爬到H點的時間，利用兩點之間線段最短得到AD+DH的

最小值為AQ的長，接著求出A點和B點坐標，再利用待定系數(shù)法求出BE的解析式，

然后解由直線解析式和拋物線解析式所組成的方程組確定E點坐標，從而得到AQ的長,

然后計算爬行的時間.

【解答】解：過點E作無軸的平行線，再過。點作y軸的平行線，兩線相交于點”，如圖,

'：EH//AB,

：.ZHEB=ZABE,

tanZHED—tanZEBA=8，

EH3

設DH=4m,EH=3m,則。E=5〃z,

...螞蟻從D爬到E點的時間=5K尸4(s)

1.25

若設螞蟻從。爬到H點的速度為1單位/s,則螞蟻從。爬到H點的時間=9q=4(s),

1

???螞蟻從D爬到E點所用的時間等于從D爬到H點所用的時間相等，

螞蟻從A出發(fā)，先以1單位/s的速度爬到線段BE上的點。處，再以1.25單位/s的速度

沿著DE爬到E點所用時間等于它從A以1單位/s的速度爬到。點，再從D點以1單位

/s速度爬到X點的時間，

作AGYEH于G,則AD+DH^AH^AG,

：.AD+DH的最小值為AQ的長，

當y=0時，x-2x-3=0,解得肛=-1,》2=3,貝(-1,0),B(3,0),

直線BE交y軸于C點，如圖，

在RtZXOBC中，VtanZCBO=^L=-l,

0B3

；.OC=4,則C(0,4),

設直線BE的解析式為y^kx+b,

C4

把2(3,0),C(0,4)代入得儼+b=0,解得k=-y,

IXb=4

直線BE的解析式為y=-&+4,

3

f2(-J-

y=x-2x-3/

解方程組得"-J或:則瓦點坐標為(-I,@1),

行得x+4ly=0339

3[y9

：.AQ=^-,

9

64

...螞蟻從A爬到G點的時間=2-=強(s),

19

即螞蟻從A到E的最短時間為@4.

9

故答案為@1.

9

【點評】本題考查了二次函數(shù)與無軸的交點：把求二次函數(shù)y=o?+區(qū)+cQ,6,c是常數(shù)，

aWO）與x軸的交點坐標化為解關于龍的一元二次方程.解決本題的關鍵是確定螞蟻在

DH和DE上爬行的時間相等.

8.二次函數(shù)y=f+6尤的圖象如圖所示，對稱軸為x=2,若關于x的一元二次方程f+bx-

=0（f為實數(shù)）在-1〈尤＜6的范圍內(nèi)無解，則f的取值范圍是r＜-4或⑥12.

【分析】根據(jù)拋物線的對稱軸方程可求出拋物線的解析式,要使關于尤的一元二次方程x+bx

7=0（f為實數(shù)）在-1＜尤＜6的范圍內(nèi)無解，只需直線y=f與拋物線＞=/+法在-1

＜x＜6的范圍內(nèi)沒有交點，只需結(jié)合圖象就可解決問題.

【解答】解：???拋物線y=x2+"的對稱軸為尤=2,

.".x=--=2,

2

:.b=-4,

拋物線的解析式為-4尤.

當x=-1時，y=5；

當x=2時y=-4；

當x=6時y=12.

結(jié)合圖象可得：

當y-4或f212時，直線y=f與拋物線y=/-4x在-1<尤<6的范圍內(nèi)沒有交點，

即關于尤的一元二次方程,-4尤-r=0(/為實數(shù))在-l<x<6的范圍內(nèi)無解.

故答案為-4或f，12.

【點評】本題主要考查了拋物線的性質(zhì)、拋物線上點的坐標特征等知識，運用數(shù)形結(jié)合的思

想是解決本題的關鍵.

9.如圖，在直角坐標系尤Oy中，若拋物線〉=1、2+2尤交無軸的負半軸于A,以。為旋轉(zhuǎn)

2

中心，將線段0A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)a(0°<aW360°),再沿水平方向向右或向左平移

若干個單位長度，對應線段的一個端點正好落在拋物線的頂點處，請直接寫出所有符合

題意的a的值是30°或150°.

【分析】首先求出拋物線的頂點坐標以及A。的長，再利用平移的性質(zhì)結(jié)合A。只是左右平

移，進而得出旋轉(zhuǎn)的角度.

【解答】解：由題意可得：y=L』+2x=L(x+2)2-2,

-2x2

故拋物線的頂點坐標為：(-2,-2),

當y=0時，0=—(x+2)2-2

2

解得：xi=0,X2=4,

故A0=4,

,將線段。4按逆時針方向旋轉(zhuǎn)a(0°<aW360°),再沿水平方向向右或向左平移若干個

單位長度，對應線段的一個端點正好落在拋物線的頂點處,

，旋轉(zhuǎn)后對應點A'到x軸的距離為：2,

如圖，過點A'作A'CUx軸于點C,

當/COA'=30°,

則CA，=工4，0=2,

2

故a為30°時符合題意，

同理可得：a為150°時也符合題意，

綜上所述：所有符合題意的a的值是30°或150。.

【點評】此題主要考查了拋物線與x軸的交點以及旋轉(zhuǎn)與平移變換，正確得出對應點的特點

是解題關鍵.

10.如圖，拋物線y=a/+bx+c與％軸的一個交點A在點（-1,0）和（0,0）之間（包括

這兩點），頂點8是矩形8跖上（包括邊界和內(nèi)部）的一個動點，則a的取值范圍是

【分析】頂點8是矩形CDE尸上（包括邊界和內(nèi)部）的一個動點，當頂點8與C點重合，

可以知道頂點坐標為（2,-3）且拋物線過（-1,0）,則它與x軸的另一個交點為（5,

0）,由此可求出a；當頂點8與。點重合，頂點坐標為（4,-3）且拋物線過（0,0）,

則它與x軸的另一個交點為（8,0）,由此也可求a,然后由此可判斷。的取值范圍.

【解答】解：頂點8是矩形CDEF上，

當頂點B與C點重合，頂點坐標為（2,-3）,則拋物線解析式y(tǒng)=a（x-2）2-3,

2

a（-l-2）-3>0；解得：!《一

產(chǎn)（5-2產(chǎn)-34034

當頂點8與5點重合，頂點坐標為（4,-2）,則拋物線解析式（x-4）2-2,

由題意得：上（T-4）2-2>0,解得：（工

la（8-4）2-2<025"&8

:頂點可以在矩形內(nèi)部，

：.a的取值范圍是_2_WaW旦.

故答案為：

254

方法二：拋物線頂點B與尸重合，經(jīng)過（0,0）時，開口最小，可得。=二

拋物線頂點8與E重合，經(jīng)過（-1,0）時，開口最大，可得a=2,

25

：.a的取值范圍是上-WaW上.

故答案為：

254

【點評】本題主要考查了拋物線的解析式>=辦2+6尤+C中4、b、C對拋物線的影響，在對于

拋物線的頂點在所給圖形內(nèi)進行運動的判定，充分利用了利用形數(shù)結(jié)合的方法，展開討

論，加以解決.

11.若關于X的二次函數(shù)="2+2工-5的圖象與無軸有兩個交點，且其中有且僅有一個交點

在原點和A（1,0）之間（不含原點和A點），則。的取值范圍是。>3.

【分析】由已知條件關于x的二次函數(shù)y=J+2x-5的圖象與x軸有兩個交點可得到△>（）,

然后根據(jù)有一個交點的橫坐標在0和1之間（不含。和1）列出關于a的不等式并解答即

可.

【解答】解：???關于x的二次函數(shù)y=a/+2尤-5的圖象與x軸有兩個交點，

.?.△=4+20a>0,

解得“〉-L.①

5

又??,有一個交點的橫坐標在0和1之間（不含0和1）,

???當x=0時，y<0.

當x=l時，y>0,

即〃-3>0,

解得43.②

結(jié)合①②得到：。>3.

故答案為：a>3.

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點.解答該題的關鍵是需要熟練掌握二次函數(shù)圖象的

性質(zhì).

12.已知拋物線y=