《高考備考指南 理科數(shù)學(xué)》課件-第11章 第9講

計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第十一章第9講離散型隨機(jī)變量的均值與方差【考綱導(dǎo)學(xué)】1．理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念．2．能計(jì)算簡單的離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問題．3．利用實(shí)際問題的直方圖，了解正態(tài)密度曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．欄目導(dǎo)航01課前基礎(chǔ)診斷03課后感悟提升02課堂考點(diǎn)突破04配套訓(xùn)練課前基礎(chǔ)診斷11．離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為(1)均值稱E(X)＝____________________________為隨機(jī)變量X的均值或__________，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的__________．Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnx1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn

數(shù)學(xué)期望平均水平平均偏離程度標(biāo)準(zhǔn)差aE(X)＋b

a2D(X)p

p(1－p)np

np(1－p)1．設(shè)隨機(jī)變量X～B(n，p)且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，則(

)A．n＝8，p＝0.2

B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32

D．n＝7，p＝0.45【答案】A2．一牧場有10頭牛，因誤食含有病毒的飼料而被感染，已知該病的發(fā)病率為0.02.設(shè)發(fā)病的牛的頭數(shù)為ξ，則D(ξ)等于(

)A．0.2

B．0.8

C．0.196

D．0.804【答案】C3．已知某一隨機(jī)變量X的概率分布如下且E(X)＝6.9，則a的值為(

)A．5

B．6

C．7

D．8【答案】BX4a9Pm0.20.54．兩封信隨機(jī)投入A，B，C三個空郵箱，則A郵箱的信件數(shù)X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝________.1．在沒有準(zhǔn)確判斷分布列模型之前不能亂套公式．2．對于應(yīng)用問題，必須對實(shí)際問題進(jìn)行具體分析，一般要將問題中的隨機(jī)變量設(shè)出來，再進(jìn)行分析，求出隨機(jī)變量的分布列，然后按定義計(jì)算出隨機(jī)變量的均值、方差．判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?：(1)期望值就是算術(shù)平均數(shù)，與概率無關(guān)．(

)(2)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機(jī)變量，它不確定．(

)(3)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量平均程度越小．(

)(4)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機(jī)變量的情況，因此它們是一回事．(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)×課堂考點(diǎn)突破2離散型隨機(jī)變量的均值與方差【考向分析】離散型隨機(jī)變量的均值與方差是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考命題的熱點(diǎn)，常與排列組合、概率等知識綜合考查．常見命題角度有：(1)與超幾何分布(或古典概型)有關(guān)的均值與方差；(2)與事件的相互獨(dú)立性有關(guān)的均值與方差；(3)二項(xiàng)分布的均值與方差．【規(guī)律方法】均值與方差的一般計(jì)算步驟：(1)理解X的意義，寫出X的所有可能取的值；(2)求X取各個值的概率，寫出分布列；(3)根據(jù)分布列，由均值的定義求出均值E(X)，進(jìn)一步由公式D(X)＝E(X2)－[E(X)]2，求出D(X)．均值與方差在決策中的應(yīng)用(2)若張三、李四兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大？【跟蹤訓(xùn)練】1．有甲、乙兩個建材廠，都想投標(biāo)參加某重點(diǎn)建設(shè)，為了對重點(diǎn)建設(shè)負(fù)責(zé)，政府到兩建材廠抽樣檢查，他們從中各抽取等量的樣品檢查它們的抗拉強(qiáng)度指標(biāo)，其分布列如下：其中X和Y分別表示甲、乙兩廠材料的抗拉強(qiáng)度，在使用時要求選擇較高抗拉強(qiáng)度指數(shù)的材料，越穩(wěn)定越好．試從均值與方差的指標(biāo)分析該用哪個廠的材料．X8910P0.20.60.2Y8910P0.40.20.4【解析】E(X)＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9，D(X)＝(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.6＋(10－9)2×0.2＝0.4；E(Y)＝8×0.4＋9×0.2＋10×0.4＝9；D(Y)＝(8－9)2×0.4＋(9－9)2×0.2＋(10－9)2×0.4＝0.8.由此可知，E(X)＝E(Y)＝9，D(X)＜D(Y)，從而兩廠材料的抗拉強(qiáng)度指標(biāo)平均水平相同，但甲廠材料相對穩(wěn)定，應(yīng)選甲廠的材料．2．(2016年福安校級模擬)某校為選拔參加“央視猜燈謎大賽”的隊(duì)員，在校內(nèi)組織猜燈謎競賽．規(guī)定：第一階段知識測試成績不小于160分的學(xué)生進(jìn)入第二階段比賽．現(xiàn)有200名學(xué)生參加知識測試，并將所有測試成績繪制成如下所示的頻率分布直方圖．課后感悟提升33條性質(zhì)——期望與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b為常數(shù))．(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．(3)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數(shù))．3種方法——求離散型隨機(jī)變量均值、方差的基本方法(1)已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式)求解；(2)已知隨機(jī)變量ξ的均值、方差，求ξ的線性函數(shù)η＝aξ＋b的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用ξ的均值、方差的性質(zhì)求解；(3)如能分析所給隨機(jī)變量是服從常用的分布(如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等)，可直接利用它們的均值、方差公式求解．1．(2016年天津)某小組共10人，利用假期參加義工活動，已知參加義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會．(1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．2．(2016年新課標(biāo)Ⅰ)某公司計(jì)劃購買2臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰．機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得如圖柱狀圖：以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機(jī)器