2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型綜合訓(xùn)練：最值模型之將軍飲馬模型解讀與提分訓(xùn)練

專題31最值模型之將軍飲馬模型

“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頑《古從軍行》里的一句詩，由此卻引申出一系

列非常有趣的數(shù)學(xué)問題，通常稱為“將軍飲馬”。

將軍飲馬問題從本質(zhì)上來看是由軸對(duì)稱衍生而來，同時(shí)還需掌握平移型將軍飲馬（即將軍遛馬、造橋

或過橋），主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就特殊的平行四邊

形背景下的將軍飲馬問題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

目錄導(dǎo)航

模型1.將軍飲馬模型（雙線段和的最小值）..............................................1

模型2.將軍飲馬模型（雙線段差的最大值）..............................................5

模型3.將軍飲馬模型（多線段和的最值）................................................9

習(xí)題練模型

模型1.將軍飲馬模型（雙線段和的最小值）

條件：A,5為定點(diǎn)，,"為定直線，P為直線加上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求4P+RP的最小值。

模型（1）點(diǎn)N、5在直線兩側(cè)：模型（2）點(diǎn)4、5在直線同側(cè)：

4

4

??■

9B

模型（1）點(diǎn)N、5在直線7M兩側(cè):模型（2）點(diǎn)N、3在直線同側(cè):

H

圖(1)圖(2)

模型(1)：如圖(1),連結(jié)/瓦根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，NP+3P的最小值即為：線段N3的長(zhǎng)度。

模型(2)：如圖(2),作點(diǎn)/關(guān)于定直線機(jī)的對(duì)稱點(diǎn)，，連結(jié)/其根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，/P+2P的最小

值即為：線段N'8的長(zhǎng)度。

模型運(yùn)用

例1.(2024?陜西西安?一模)如圖，在四邊形中，AD//BC,AB=BC=4,AD=8,AG=2,

ZABC=90°,￡是邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，尸為ZE的中點(diǎn)，則/F+G尸的最小值為.

【答案】275

【分析】本題考查軸對(duì)稱中最短路線問題，正方形的判定，勾股定理，靈活運(yùn)用將軍飲馬模型是解題的關(guān)

鍵.取的中點(diǎn)a連接CH,CG,CF,證明出廠點(diǎn)就是24與NE的交點(diǎn)，四邊形BSD是平

行四邊形，四邊形/8C"是正方形，利用將軍飲馬模型得到CG是/尸+G尸的最小值，再在Rt^CG”中，

利用勾股定理求出CG即可.

【詳解】取4D的中點(diǎn)〃連接瓦7,

AD//BC,二四邊形BCD"是平行四邊形，且點(diǎn)//為4D的中點(diǎn),

；?蕓=嚶=:，與/E的交點(diǎn)就是/E的中點(diǎn)凡連接CH,

AEAD2

AD//BC,/H=3C,.?.四邊形/3CH是平行四邊形,

AB=BC=4,乙48c=90。.?.四邊形48CH是正方形，C關(guān)于38對(duì)稱，

連接CF,CG,則/尸=CF,，Zb+Gb=CF+Gb2CG,即4F+G尸的最小值為CG的長(zhǎng)，

在RSCG“中，CH=AB=4,GH=AH-AG=3-2=2,

由勾股定理，得CG=Jc〃，+G爐="8+2?=2石，故答案為：2曲.

例2.（2024?四川廣安?中考真題）如圖，在Y/3C。中，AB=4,AD=5,N/2C=30。，點(diǎn)M為直線8c上

一動(dòng)點(diǎn)，則腿4+MD的最小值為.

【答案】V41

［分析】如圖，作A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'D交BC于M',則AH=A'H,AHLBC,AM'=A'M',

當(dāng)M,AT重合時(shí)，M4+MD最小，最小值為，再進(jìn)一步結(jié)合勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖，作A關(guān)于直線3c的對(duì)稱點(diǎn)4,連接力D交3C于AT,則=AHLBC,

=.?.當(dāng)重合時(shí)，M4+MO最小，最小值為4。，

,?AB=4,ZABC=30°,在Y43CD中，AH=^AB=2,AD//BC,：.AA'=2AH=4,AALAD,

:AD=5,；.4D="2+5?=07,故答案為：“J

【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，求最小值問題，正確理解各性質(zhì)及掌

握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

例3.（2024?廣東?二模）如圖，菱形48co的一條對(duì)角線ZC=46，ADAB=60°,尸是對(duì)角線/C上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E,尸分別為邊DC的中點(diǎn)，則PE+PF的最小值是（）

A.2B.2gC.4D.4也

【答案】C

【分析】作點(diǎn)E關(guān)于直線/C的對(duì)稱點(diǎn)G,連接尸G,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知尸E+尸尸=PF+PG,證明四

邊形/GFD為平行四邊形，尸E+尸尸=AG=/。為最小值，再求出菱形48co的邊即為尸E+尸尸的最

小值.

【詳解】解:如圖，連接8D,交4c于K,

?.?菱形/3C。，AB//CD,AB=CD=AD,KA=KC=26AC1BD,

,：NDAB=60°,ZDAC=30°,：.AD=2DK,

AD2-DK2=12>DK=2,AD=4,

作點(diǎn)￡關(guān)于直線/C的對(duì)稱點(diǎn)G,連接尸G,：.PE+PF=PF+PG,

?點(diǎn)E為邊NO上的中點(diǎn)，則點(diǎn)G也為邊的中點(diǎn)，

當(dāng)點(diǎn)P、G、F在一條直線上時(shí)，PE+尸尸有最小值，

連接FG交/C于P,.?.當(dāng)P,P重合時(shí)，PE+尸尸=bG為最小值，

為。的中點(diǎn)，二。9=/G,.,.四邊形NGED為平行四邊形，

FG=AD=4,；.PE+尸尸的最小值是4,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱中的最短距離問題、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用,

學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解決最短距離問題是解答本題的關(guān)鍵.

例4.（2024?河南洛陽?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在扇形BOC中，/BOC=60。，OD平分/BOC交前于點(diǎn)、D,點(diǎn)、E

為半徑03上一動(dòng)點(diǎn).若陰影部分周長(zhǎng)的最小值為2行+?,則扇形的半徑08的長(zhǎng)為.

【答案】2

【分析】本題主要考查扇形周長(zhǎng)的計(jì)算，軸對(duì)稱最短路徑的計(jì)算方法，掌握扇形弧長(zhǎng)的計(jì)算方法，軸對(duì)稱

求最短路徑的方法是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意可求出ZCOD=ZBOD=30°,作點(diǎn)D關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D',可

得C。'最小，則扇形周長(zhǎng)最小，由此即可求解.

（詳解］解：OD平分NBOC,NBOC=60°,NCOD=ZDOB=30°,

.AC）。TTVI—TT

設(shè)扇形的半徑OC=O8=r,.?.心的長(zhǎng)為：募x2萬r=/,陰影部分的周長(zhǎng)最小為2a+f,

36063

如圖所示，作點(diǎn)。關(guān)于08的對(duì)稱點(diǎn)。，連接CZ）'與08交于點(diǎn)E,此時(shí)，C￡+￡O=CE+￡D'=CD'的值

最小，即陰影部分的周長(zhǎng)最小，

/.NC0D'=ZCOB+ZBOD'=90°,：.CD'=41r，

即警+后廠=2應(yīng)+￡,解得，,?=2,故答案為：2.

63

模型2.將軍飲馬模型（雙線段差的最大值）

條件：A,5為定點(diǎn)，膽為定直線，尸為直線/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|4PdP|的最大值。

模型（1）：點(diǎn)N、3在直線/?同側(cè)：模型（2）：點(diǎn)4、5在直線加異側(cè):

?m*B

模型（1）：如圖（1）,延長(zhǎng)48交直線機(jī)于點(diǎn)P,當(dāng)/、及P不共線時(shí)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，有：\P'A-P'B\

<AB,當(dāng)/、B、P共線時(shí)，有屈故-尸崗芻瓦即|/P-8P|的最大值即為：線段48的長(zhǎng)度。

模型(2)：如圖(2),作點(diǎn)3作關(guān)于直線力的對(duì)稱點(diǎn)3‘，連接交直線加于點(diǎn)P,此時(shí)必=?"。

當(dāng)“、B、P不共線時(shí)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，有：|尸'/-尸冽=『'/-尸'8'|</8',

當(dāng)/、B、尸共線時(shí)，有|F4-P8|=|口-尸斤|=/夕，故|以-尸2|9夕，即|/PAP|的最大值即為：線段的長(zhǎng)度。

模型運(yùn)用

例1.(2024?河南南陽?一模)如圖，已知△/2C為等腰直角三角形，AC=BC=6,ZBCD=15°,尸為直線

CO上的動(dòng)點(diǎn)，則|E4一尸2|的最大值為.

【答案】6

【分析】作A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'B交CD于P,則點(diǎn)P就是使|0-尸"的值最大的點(diǎn)，|刃-尸8|=?8,

連接?C,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到/C42=/4BC=45。，ZACB=90°,根據(jù)角的和差關(guān)系得到N

ACD=75。,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到4C=/C=8C,ZCA'A=ZCAA'=15°,推出A/BC是等邊三角形，根據(jù)等

邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】如圖，作/關(guān)于C。的對(duì)稱點(diǎn)4,連接43并延長(zhǎng)交。延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,則點(diǎn)P就是使|巴-尸刈的

值最大的點(diǎn)，\PA-PB\=A'B,連接4C,

：)SC為等腰直角三角形，AC=BC=6,；./C/8=//8C=45°,乙4cB=90。，

?.?/BCD=15。，；.Z4a>=75。，：點(diǎn)/與/關(guān)于CD對(duì)稱，

：.CD±AA',AC=A'C,ZCA'A-ZCAA',：.ZCAA'^15°,

'：AC=BC,：,A'C=BC,ACA'A=ZCAA'^15°,：.NACA'=150°,

VZACB=90°,：.ZA'CB=60°,△H8C是等邊三角形，：.AB=BC=6.故答案為：6

A

【點(diǎn)睛】此題主要考查軸對(duì)稱-最短路線問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的

作出圖形是解題的關(guān)鍵.

例2.（2024?陜西渭南,二模）如圖，在菱形/BCD中，￡為48邊中點(diǎn)，而點(diǎn)尸在DC邊上，尸為對(duì)角線NC

所在直線上一動(dòng)點(diǎn)，已知/B=8,DF=2,且N4BC=60。，則戶尸-尸囿的最大值為.

【答案】26

【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱中最值問題，勾股定理.取的中點(diǎn)G,連接尸G,易得PG=PE,

故盧尸一PE|=|尸尸一PG|4尸G,即當(dāng)月,。1共線時(shí)，戶尸一尸￡|=FG最大，作W/O于H,先后求出

HD,HF,GH,最后用勾股定理求尸G即可.

【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)G,連接尸G,；四邊形/BCD是菱形.-2G=

AG=AE

在AAPG和VAPE中<NGAP=ZEAP:.AAPG為4PE(SAS)PG=PE

AP=AP

連接FGA\PF-PE\^\PF-PG\<FG當(dāng)'G)共線時(shí)，|尸尸一所|=以?最大，圖中尸，處

作于"ND=NB=60°NDFH=30。：.HD=^DF=1■-FH=yj2,2-I2=亞

,：GD=；AD=4:.GH=4-1=3...FG=^GH2+FH2=273.即戶尸一所|的最大值為2G.

例3.（23-24八年級(jí)下?山東聊城?期中）如圖，在正方形48。中，48=8,/C與AD交于點(diǎn)。，N是A0

的中點(diǎn)，點(diǎn)M在8c邊上，且反欣=6.尸為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，則尸A1-PN的最大值為

A

B

【答案】2

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，最值問題

等，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.以8。為對(duì)稱軸作N的對(duì)稱點(diǎn)N',連接尸N',根據(jù)對(duì)稱

性質(zhì)可知，PN=PN',由此可得尸M-PN'WAW,當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取“="，此時(shí)即的值

最大，由正方形的性質(zhì)求出/C的長(zhǎng)，繼而可得ON'=ON=2亞，AN'=60再證明要=嘲=:，可

BMAN3

得N'M〃AB,NCMN'=90。，判斷出△N'C"為等腰直角三角形，求得長(zhǎng)即可得答案.

【詳解】解：如圖，以8。為對(duì)稱軸作N的對(duì)稱點(diǎn)N',連接尸N',

根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)可知，PN=PN：：.PM-PNYMN'，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取“=”，

?.?在正方形/BCD中，AB=BC=CD=AD=8,ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAC=90°,

AC=4iAB=8亞，為/C中點(diǎn)，:.AO=OC=4也,

為CM中點(diǎn)，，ON=2尬，AON'=ON=2y/2,AN'=6A/2)

CMCN'1

*.*BM=6,CM=AB—BM=8—6=2,-----==—,

BMAN'3

rrr

NM//AB,：.ZCMN=ZCBA=90°fVZMCN=45°,

.?.△N'CM為等腰直角三角形，；.CM=N'N=2,故答案為：2.

模型3.將軍飲馬（多線段和的最值模型）

模型（1）：兩定點(diǎn)+兩動(dòng)點(diǎn)

條件：A,B為定點(diǎn),在直線股、〃上分別找兩點(diǎn)P、Q,使7M+PQ+QB最小。

兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)（圖1-1）；內(nèi)外側(cè)各一點(diǎn)（圖1-2）；兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)（圖1-3）

圖1-1圖1-1圖2

模型（2）：一定點(diǎn)+兩動(dòng)點(diǎn)

條件：如圖2,A為定點(diǎn),在直線"八"上分別找兩點(diǎn)P、Q,使三角形NP0的周長(zhǎng)C4P+P0+24）最小。

模型（1-1）（兩點(diǎn)都在直線外側(cè)型）

如圖（1-1）,連結(jié)/民根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，P4+PQ+”的最小值即為：線段的長(zhǎng)度。

模型（1-2）（直線內(nèi)外側(cè)各一點(diǎn)型）

如圖（1-2）,作點(diǎn)B關(guān)于定直線n的對(duì)稱點(diǎn)"，連結(jié)AB，，根據(jù)對(duì)稱得到:QB=QB故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，川+尸0+。2的最小值即為：線段N2’的長(zhǎng)度。

模型（1-3）（兩點(diǎn)都在直線內(nèi)側(cè)型）

如圖（1-3）,作點(diǎn)3關(guān)于定直線力的對(duì)稱點(diǎn)3作點(diǎn)/關(guān)于定直線機(jī)的對(duì)稱點(diǎn)連結(jié)/3’,

根據(jù)對(duì)稱得至I：QB=QB,,PA=PA',PA+PQ+QB=PA'+PQ+QB）,

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，以+尸0+。5的最小值即為：線段/皮的長(zhǎng)度。

模型（2）：如圖（2）,作點(diǎn)/分別關(guān)于定直線加、〃的對(duì)稱點(diǎn)/'、連結(jié)/區(qū)

根據(jù)對(duì)稱得至I：QA=QA,,PA=PA",PA+PQ+QA=PA"+PQ+QA

再利用“兩點(diǎn)之間線段最短“，得到我+尸。+0/的最小值即為：線段/,N”的長(zhǎng)度。

模型運(yùn)用

例1.（2023?四川廣元?一模）如圖，已知正方形48co邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)￡在邊上且BE=1,點(diǎn)P,。分別

是邊BC,的動(dòng)點(diǎn)（均不與頂點(diǎn)重合），當(dāng)四邊形NEPQ的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，四邊形/￡尸。的面積是（）

【答案】B

【分析】作E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E，，點(diǎn)N關(guān)于DC的對(duì)稱點(diǎn)H,連接四邊形/Q。的周長(zhǎng)最小，根

據(jù)S四邊物￡戶°=S正方形ABCO—SAW。-SA_PC°—SABEP,即可解.

【詳解】解：如圖1所示，作￡關(guān)于8C的對(duì)稱點(diǎn)燈，點(diǎn)/關(guān)于DC的對(duì)稱點(diǎn)4,連接HE"四邊形/E尸。

的周長(zhǎng)最小，

AD=A'D=3,BE=BE'=1,/.AA=6^AE'=4-

VDQ//AE',。是/H的中點(diǎn)，.是△44'￡'的中位線，

ADQ=^AE'=2,CQ=DC-CQ=3-2=1,VBP//AA',：.ABE'P^/\AE'A',

.BP_器，即野BP卷CP=BC_BP=3.：3

「AAf2

S四邊f(xié)eiEPg=$正方形/seo-SAADQ-SAPCQ-SABEP=9_3AD,DQ_3CQ-CP--BE-BP

=9——x3x2——xlx------xlx—=—,故選：B.

222222

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，三角

形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，找出四邊形NE尸。的周長(zhǎng)最小時(shí)，P、。的位置.

例2.（2022?山東泰安?中考真題）如圖，44。3=30。，點(diǎn)四、N分別在邊CU、02上，且（W=3,ON=5,

點(diǎn)尸、0分別在邊08、CM上，則"尸+PQ+QN的最小值是（

C.V34-2D.V35-2

【答案】A

【分析】作加■關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M',作N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N',連接M'N',即為〃P+PQ+0N的最小值;

證出AONV為等邊三角形，△0MW為等邊三角形，得出/MOAf=90。，由勾股定理求出MW即可.

【詳解】解：作M關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)作N關(guān)于04的對(duì)稱點(diǎn)M,如圖所示:

連接M'N',即為MP+PQ+QN的最小值.

根據(jù)軸對(duì)稱的定義可知：ON'=ON=5,OM'=OM=3,NNOQ=NMQB=30。,

：.ZN0N'=6Q°,ZMOM'=6Q°,，△ONV為等邊三角形，為等邊三角形,

:./NOM'=90°,.?.在RtAWOM中，M'N'=^+=734.故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路徑問題，根據(jù)軸對(duì)稱的定義，找到相等的線段，得到等邊三角形是解題

的關(guān)鍵.

例3.（23-24九年級(jí)上?陜西漢中?期中）（1）如圖①，在RtZX/BC中，48=90。，AB=3,BC=4.若點(diǎn)產(chǎn)

是邊/C上一點(diǎn).則5P的最小值為.（2）如圖②，在RtZsASC中，D5=90°,AB=BC=2,點(diǎn)E是

8C的中點(diǎn).若點(diǎn)尸是邊/C上一點(diǎn)，求必+PE的最小值.（3）公園內(nèi)有一條四邊形48co型環(huán)湖路，如

圖③.若2000米，CD=1000米，4=60。，Z5=90°,ZC=150°.為滿足市民健身需求，現(xiàn)要修一

條由CE,EF,尸C連接而成的步行景觀道，其中點(diǎn)E,尸分別在邊48,AD1..為了節(jié)省成本，要使所修

的這條步行景觀道最短，即CE+EF+FC的值最小，求此時(shí)3E,。下的長(zhǎng).（路面寬度忽略不計(jì)）

圖①

12

【答案】（1）y;（2）P8+PE的最小值為右；（3）3E的長(zhǎng)為500米，。廠的長(zhǎng)為1000米

【分析】（1）過8作于尸，由垂線段最短可知，BPL/C時(shí)，5尸的值最小，由面積法即可求解;

（2）作E關(guān)于直線/C的對(duì)稱點(diǎn)￡,連接C￡,EE',PE',BE'交AC于P,由E,夕關(guān)于直線/C對(duì)稱,

N/QPB+PE=PB+PE'ZBE',當(dāng)3,P,￡共線時(shí)，此時(shí)P8+PE最小，最小值為BE'的長(zhǎng)度，根據(jù)

NB=90°,/B=8C=2,點(diǎn)E是8c的中點(diǎn)，可得CE=CE'=1,NBCE'=90。,再用勾股定理可得答案;

（3）作C關(guān)于/。的對(duì)稱點(diǎn)連接DM,CM,CM交AD于H,作C關(guān)于4B的對(duì)稱點(diǎn)N,連接3N,

延長(zhǎng)DC,交于G,連接NG,連接血W交45于￡,交AD于F,由C,N關(guān)于48對(duì)稱，C,M關(guān)于4D

對(duì)稱，CE=NE,CF=MF,當(dāng)N,E,F,M共線，CE+EF+CF最小,根據(jù)//=60。，ZABC=90°,

/BCD=150°,可得/4DC=60。，ZMCD=ZCMD=30°,即得ZW=500米，CH=MH=5006米，

C"=iooo6米，由ZADC=60。，ZA=60°,知△/OG是等邊三角形，從而CG=OG-CO=1000米，同

理可得CG=NG=1000米，ZBNG=ZBCG=30°,即得BG=；CG=500米，BC=BN=回6=5QQ0米,

BN

故CN=1000/■米=CM,知ZCNM=2CMN=30。,在■中，8E=o=50。米，在RMA田F中,

尸〃=等=500米，即得￡）尸=阻+。〃=1000米.

【詳解】解：（1）過3作8尸，NC于P,如圖:

p

4上『飛乜7"

BCBEC(jcD

由垂線段最短可知，BP時(shí)，：/ABC=90。，48=3,AAC=^AB2+BC2=5,

-.'SAABC=^ABBC=^ACBP,??.BP=—=?；故答案為：y；

(2)作E關(guān)于直線/C的對(duì)稱點(diǎn)El連接CE',EE',PE',BE'交4c于P,如圖：

,:E,￡'關(guān)于直線/C對(duì)稱，：.PE=PE',：.PB+PE=PB+PE'>BE',

當(dāng)B,P,共線時(shí)，PB+PE最小,最小值為BE'的長(zhǎng)度，

VZ5=90°,AB=BC=2,：.ZACB^45°,:點(diǎn)￡是BC的中點(diǎn),：.CE=1,

,:E,夕關(guān)于直線/C對(duì)稱，AZACE'=ZACB=45°,CE=CE'=1,：.ZBCE'=90°,

在Rt^BCE'中，BE'=^BC2+CE'2=7F+17=V5-???P5+PE的最小值為石；

(3)作C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)M,連接DM,CM,CM交AD于H,作C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)N,連接BN,

延長(zhǎng)DC,48交于G,連接NG,連接兒W交NB于E,交于尸，如圖：

,由C,N關(guān)于45對(duì)稱，C,M關(guān)于對(duì)稱，

CE=NE,CF=MF,：.CE+EF+CF=NE+EF+MF>MN,

當(dāng)N,E,F,〃共線時(shí)，此時(shí)CE+EF+CF最?。?/p>

V=60°,ZS=90°,ZC=150°,Z.ZADC=60°,

?：C,M關(guān)于對(duì)稱，ZMDH=ZCDH=60°,ZCHD=ZMHD=90°,

NMCO=NC〃D=30。，...￡)//=；CD=500米，由勾股定理得=50()6米，；?CM=2CH=10006米,

*/ZADC=60°,ZA=60°,，Zi/OG是等邊三角形，，Z)G=4D=2000米，，CG=DG-CO=1000米，

VZBCD=150°,：.ZBCG=30°,VC,N關(guān)于對(duì)稱，：.C,B,N共線，ABNG=ABCG=30°,

5G=；CG=500米，由勾股定理得米，ZCNM=NCMN,

VZ5CZ>=150°,NMCD=30。,：.ZNCM=120°,：.ACNM=ZCMN=30°,

在Rt^BNE中，8￡=絲=50喧=500(米)，在中，尸〃=翠=駕亙=500(米)，

V3V3V3y]3

：.DF=FH+DH=500+500=1000(米)，答：8E的長(zhǎng)為500米，Db的長(zhǎng)為1000米.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了直角三角形性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，等邊三角形的判定和

性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是作對(duì)稱，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解決問題.

習(xí)題練模型

1.（2024?河南周口?一模）如圖，正方形48co中，點(diǎn)M,N分別為AB,3c上的動(dòng)點(diǎn)，且W=6N,DM,

NN交于點(diǎn)E,點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為8c上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PE,PF.若48=4,貝1］尸E+P/的

最小值為（）

9

A.VW-1B.2屈-2C.5D.

2

【答案】B

【分析】先根據(jù)SAS得皿進(jìn)而可得乙4即=90,由此可得￡點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡在是以為直徑

的圓上.延長(zhǎng)48至尸使3尸=3尸，得尸與尸關(guān)于直線8C對(duì)稱.連接。尸交3c于尸點(diǎn)，交圓。于￡點(diǎn),

則PE+PF=PE+PP=OP-OE,此時(shí)PE+尸尸的值最小，根據(jù)勾股定理求出。尸的長(zhǎng)，即可得尸E+尸尸的

最小值.

【詳解】?.?/8。。是正方形，，。/=。8,ZDAM=ZABN=90°,

又一；AM=BN,:.ADAM^^ABN（SAS）,ZADM=ZBAN,

又；ND4E+/BAN=9Q°,:.NDAE+N4DM=9?！?:./AED=90°,

點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng).設(shè)的中點(diǎn)為。，則R=2,

延長(zhǎng)AB至F'使BF'=BF,則尸'與尸關(guān)于直線BC對(duì)稱，

連接。尸交8c于尸點(diǎn)，交圓。于￡點(diǎn)，則PP=P尸，PE+PF=PE+PF'=OF'-OE,

止匕時(shí)P、E、F三點(diǎn)共線，因此PE+P廠的值最小.在RtH?4尸'中，0A=2,4F'=4+2=6,

二。b'=亞行=2而，:.OF'-OE=2y/10-2,+的最小值為2加一2，故選：B.

【點(diǎn)睛】本題是一道動(dòng)點(diǎn)問題和最值問題的綜合性題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、

直徑所對(duì)圓周角等于90度、軸對(duì)稱的性質(zhì).找出E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵.

2.（2024?山東泰安?二模）如圖，在矩形/3C。中，48=6,4。=5,點(diǎn)￡是/￡）邊的點(diǎn)，ED=3,點(diǎn)/是

線段CD上一點(diǎn)，連接E尸，以EP為直角邊作等腰直角AEFG,尸G為斜邊，連接/G,則NG+EG的最小

值為（）

C.—D.375

2

【答案】B

［分析］過點(diǎn)G作，AD于H,則可證明NEDF^GHE，得G"==3；取中點(diǎn)。，則4。=；48=3,

則點(diǎn)G在直線OG上運(yùn)動(dòng)，連接3G,則BG=/G,AG+EG=BG+EG,當(dāng)E、G、8三點(diǎn)共線時(shí)BG+EG

最小，從而/G+EG最小，由勾股定理即可求得最小值.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)G作G"，4D于"，貝!］NG/ffi=90°,:.NGEH+NEGH=90°；

■■■四邊形ABCD是矩形，；.ND=ZDAB=90°,vZFEG=90°,:.ZDEF+NGEH=90°，,ZDEF=ZEGH；

vEF=EG,...VED尸會(huì)VGHE(AAS),:.GH=DE=3；

取中點(diǎn)O,連接GO,則/。=工48=3,.?.G〃=/O=3,四邊形/AGO是平行四邊形，

2

?.?/ZMB=90。，.??四邊形/"GO是矩形，則點(diǎn)G在直線OG上運(yùn)動(dòng)；

連接BG,則GO垂直平分/B,:.BG=AG,AG+EG=BG+EG,

當(dāng)￡、G、8三點(diǎn)共線時(shí)8G+EG最小，從而NG+EG最小，

QAE=AD-DE^2,則由勾股定理BE=JAE?+AB°=4^^=2屈，即/G+EG的最小值為2M.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，

確定點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑是解題的關(guān)鍵.

3.(2022?內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考中考真題)如圖，菱形/BCD,點(diǎn)A、B、C、。均在坐標(biāo)軸上，ZABC=120。,

點(diǎn)/(-3,0),點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是OC上的一動(dòng)點(diǎn)，則PO+PE的最小值是()

A.3B.5C.272D.|G

【答案】A

【分析】直線4C上的動(dòng)點(diǎn)尸到￡、。兩定點(diǎn)距離之和最小屬“將軍飲馬”模型，由。關(guān)于直線/C的對(duì)稱點(diǎn)

B,連接BE,則線段8E的長(zhǎng)即是尸。+PE的最小值.

【詳解】如圖：連接：菱形N3C。，...B、。關(guān)于直線/C對(duì)稱，

直線AC上的動(dòng)點(diǎn)P到E、D兩定點(diǎn)距離之和最小

根據(jù)“將軍飲馬，，模型可知BE長(zhǎng)度即是PD+PE的最小值.，

:菱形NBCD,ZABC=120。，點(diǎn)N（-3,0）,；./6758=60。,/。/。=30。，OA=3,

/.OD=5AD=DC=CB=2G，叢CDB是等邊三角形；.BD=2百

:點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，OE=gcO=百，且:?BE7BD°-DE?=3故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查菱形性質(zhì)及動(dòng)點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形用勾股定理求線段長(zhǎng).

4.（2023?遼寧盤錦?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形/BCD是矩形，AB=4lQ,/。=4五，點(diǎn)尸是邊ND上

一點(diǎn)（不與點(diǎn)4,D重合），連接PC.點(diǎn)、M,N分別是PB尸C的中點(diǎn)，連接九W,AM,DN,點(diǎn)、E

A.2月B.3C.372D.472

【答案】C

【分析】根據(jù)直線三角形斜邊中線的性質(zhì)可得/加=工8尸，DN=\CP,通過證明四邊形ACWE是平行四

22

邊形，可得ME=DN,則/屈+〃￡=/屈+。"=；（3尸+。尸），作點(diǎn)。關(guān)于直線/。的對(duì)稱點(diǎn)“，貝1J

BP+CP=BP+PM,氨B,P,"三點(diǎn)共線時(shí)，5尸+尸”的值最小，最小值為AW.

【詳解】解：：四邊形4BCD是矩形，，/A4P=/C7)尸=90。，AD//BC,

???點(diǎn)M,N分別是尸8,尸C的中點(diǎn)，.IDN=-CP,MN=-BC,MN//BC,

222

AD//BC,MN//BC,:.MN〃BC,又；ME〃DN,四邊形是平行四邊形，

:.ME=DN,AM+ME=AM+DN=g(BP+CP),

如圖，作點(diǎn)C關(guān)于直線4D的對(duì)稱點(diǎn)M,連接尸M,BM,則AP+CP=8P+PN,

BP+PM的值最小，最小值為9/,

在中，MC=2CD=2AB=2如,BC=AD=4垃,

BM=ylBC2+MC2=J（4@2+（2A/10）2=6立，

/M+及ffi■的最小值=g8M=3收，故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，直線三角形斜邊中線的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì),

軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，線段的最值問題等，解題的關(guān)鍵是牢固掌握上述知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用等量代換思

想.

5.（2023?安徽?統(tǒng)考中考真題）如圖，E是線段48上一點(diǎn)，V4DE和ABCE是位于直線48同側(cè)的兩個(gè)等邊

三角形，點(diǎn)尸，尸分別是C2/B的中點(diǎn).若/8=4,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.P/+PB的最小值為3月B.PE+P廠的最小值為2石

C.ACDE周長(zhǎng)的最小值為6D.四邊形4BCD面積的最小值為3K

【答案】A

【分析】延長(zhǎng)則A/80是等邊三角形，觀察選項(xiàng)都是求最小時(shí)，進(jìn)而得出當(dāng)E點(diǎn)與尸重合時(shí)，則

。，己廠三點(diǎn)共線，各項(xiàng)都取得最小值，得出B,C,D選項(xiàng)正確，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)AD,8C,依題意/。/。=/0氏4=60。；.“20是等邊三角形,

?.?尸是CD的中點(diǎn)，:.PD=PC,,：ZDEA=ZCBA,：.ED//CQ

：.APQC=APED,ZPCQ=ZPDE,:.APDE2PC。：.PQ=PE,

.?.四邊形。EC。是平行四邊形，則尸為E0的中點(diǎn)，如圖所示，

設(shè)AQ,BQ的中點(diǎn)分別為G,H,則GP=^AE,PH=；EB

...當(dāng)E點(diǎn)在48上運(yùn)動(dòng)時(shí)，尸在G8上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)瓦點(diǎn)與尸重合時(shí)，^AE=EB,

則。，尸，尸三點(diǎn)共線，尸尸取得最小值，止匕時(shí)/E=￡3=g(/E+￡B)=2,

則八")￡絲ZXECB,C,。到48的距離相等，則CD〃/8,

此時(shí)p尸=@40=百此時(shí)V/DE■和ABCE的邊長(zhǎng)都為2,則4P,P3最小，

2

:.PF=與乂2=拒,???PA=PB=^22+(V3)2=g：.PA+PB=2g,

或者如圖所示，作點(diǎn)8關(guān)于曲對(duì)稱點(diǎn)"，則尸8=尸8',則當(dāng)4P,夕三點(diǎn)共線時(shí)，AP+PB=AB'

此時(shí)AB'=JAB?+BB'=J42+(2班y=2"故A選項(xiàng)錯(cuò)誤,

根據(jù)題意可得尸，。/三點(diǎn)共線時(shí)，P尸最小，止匕時(shí)尸￡=P尸=百，則尸￡+尸尸=2百，故B選項(xiàng)正確;

^CDE^^CD+DE+CE^CD+AE+EB=CD+AB=CD+4,即當(dāng)CD最小時(shí)，ACDE周長(zhǎng)最小,

如圖所示，作平行四邊形GDMH,連接CM,

ZGHQ=60°,ZGHM=ZGDM=60°,則ZCHM=120°

如圖，延長(zhǎng)DE,HG,交于點(diǎn)N,則/NGD=N0G"=60。，ANDG=ZADE=60°

△NGD是等邊三角形，:.ND=GD=HM,

ZNPD=ZHPC

在ANPD與△HPC中，,/N=ACHP=60P：.&NPDm&HPC

PD=PC

：.ND=CH：.CH=MH：.AHCM=NHMC=30°

CM//QF,則CM1DM,：.ADMC是直角三角形，

在△CO/中，DC>DM.*.當(dāng)DC=DA/'時(shí)，ZX?最短，DC=GH=-AB=2

2

VCD=PC+2PC：.ACDE周長(zhǎng)的最小值為2+2+2=6,故C選項(xiàng)正確；

???ANPD烏AHPC：.四邊形/BCD面積等于S,QE+S.EBC+'=S.如+S平行四邊NE8H

???當(dāng)△BG。的面積為0時(shí)，取得最小值，此時(shí)，QG重合，C,〃重合

.?.四邊形”CD面積的最小值為3x1x22=3/，故D選項(xiàng)正確，故選：A.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，得出當(dāng)E

點(diǎn)與F重合時(shí)得出最小值是解題的關(guān)鍵.

6.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形/BCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E在邊3c上，且5E=1,尸為對(duì)

角線5。上一動(dòng)點(diǎn)，連接CF,EF,則CF+E尸的最小值為.

【答案】V17

【分析】連接ZE交于一點(diǎn)尸，連接CF,根據(jù)正方形的對(duì)稱性得到此時(shí)CF+EV=/E最小，利用勾股

定理求出NE即可.

【詳解】解：如圖，連接NE交AD于一點(diǎn)R連接CF,

?..四邊形48co是正方形，.?.點(diǎn)N與點(diǎn)。關(guān)于對(duì)稱，4F=CF,

CF+EF=AF+EF^AE,此時(shí)CF+EF最小，

:正方形48CD的邊長(zhǎng)為4,二NO=4,N/8C=90。，：點(diǎn)￡在上，且BE=1,

/.AE=^AB2+BE2=74?TF=V17-即CF+EF的最小值為舊故答案為：后.

【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用勾股定理計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

7.（2024?陜西寶雞?二模）如圖，點(diǎn)。是矩形的對(duì)稱中心，點(diǎn)P,0分別在邊4D,BC上,且尸0經(jīng)

過點(diǎn)O,48=6,4P=3,3c=8,點(diǎn)￡是邊48上一動(dòng)點(diǎn).貝UAEP。周長(zhǎng)的最小值為.

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，線段和的最小值計(jì)算；作尸關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)P,連接尸'0,

交AB于E,連接PE,則尸E+QE的最小值為尸。，證明出周長(zhǎng)的最小值為尸'0+尸。，作PF_LBC

于尸，PH工BC于H,利用勾股定理求出尸'。和P。即可.

【詳解】解：如圖，作P關(guān)于N3的對(duì)稱點(diǎn)P,連接尸'0,交AB于E,連接PE,

P'E=PE,，尸E+QE的最小值為尸'0,，血1。周長(zhǎng)的最小值為尸'0+P0,

作尸戶_L3C于尸，PH工BC于H,?1-AP=3,P'A=3=FB,

??,點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)稱中心，經(jīng)過點(diǎn)。/尸=CQ=3

V5C=8,BQ=5,FQ=8,P'F=AB=6,...尸'。=10,

?：PH=AB=6,HQ=5-3=2,：.PQ=2回,二亞。周長(zhǎng)的最小值為10+2廂.

8.（2024?陜西渭南?二模）如圖，在四邊形中，NBAC=NBAD=68,ZACB=ZADB=90°,BC=6,

連接C。、AB交于點(diǎn)。，點(diǎn)E為4B上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE,點(diǎn)尸為CE的中點(diǎn)，連接。尸、DP,則。P+。尸的

最小值為.

【答案】6

【分析】本題考查全等三角形、等邊三角形的性質(zhì)和判定、軸對(duì)稱最短路徑問題，找到對(duì)稱點(diǎn)轉(zhuǎn)化線段是

解題關(guān)鍵.

過點(diǎn)P作的平行線分別交/C、BC于點(diǎn)、M、N,由點(diǎn)E為NB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CE的中點(diǎn)可得到

點(diǎn)P在線段九W上運(yùn)動(dòng)，MV為“3C的中位線，求證用等腰三角形“三線合一”證明

ABLCD,所以MV_LCD,即點(diǎn)C與點(diǎn)。關(guān)于MN對(duì)稱，所以。尸+OP=DP+CP2C。，同時(shí)證明△BCD

是等邊三角形，CD=BC=6,即。P+DP的最小值為6.

【詳解】解：過點(diǎn)尸作〃/2分別交/C、3C于點(diǎn)M、N,

；點(diǎn)、E為AB上一動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)尸為線段CE的中點(diǎn).?.點(diǎn)P在線段跖V上運(yùn)動(dòng)，且跖V為。BC的中位線，

ZACB=ZADB

?：在AABC和八ABD中<NBAC=ABAD=60P,：.AABC為ABD（AAS）,

AB=AB

：.BC=BD,AABC=NABD=90°-60°=30°,；.ABLCD,ZCBD=60°,

:.MNLCD,△BCD是等邊三角形，.?.點(diǎn)C與點(diǎn)。關(guān)于MV對(duì)稱，DP+OP=DP+CP>CD,

又CD=BC=6：.OP+DP的最小值為6.

B

9.（2024?陜西商洛?三模）如圖，點(diǎn)。為正方形4BCD的對(duì)稱中心，點(diǎn)E為AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接OE,作

OFLOE交CD于點(diǎn)F,連接斯，尸為好的中點(diǎn)，G為邊CD上一點(diǎn)，且CZ）=4CG=8,連接尸/,PG,

則PA+PG的最小值為.

【答案】2岳

【分析】如圖，連接04OD,由題意知，ZOAE=ZODF=45°,ZAOD=90°,OA=OD,由

ZAOE=ZAOD-ZDOE,NDOF=/EOF-NDOE得,ZAOE=ZDOF,證明A/OE絲AOOF（ASA）,則

OE=OF,AEO尸是等腰直角三角形，由尸是EF中點(diǎn)，則OP_LEF,NO尸尸=90°,ZPFO=45°=ZPOF,

如圖，過。作（W_L4D于過。作CW_LCZ）于N,由/OPP+NGWF=18O5,可知O,P,F,N四點(diǎn)

共圓，由而=而，可得NPNF=NP。尸=45°,進(jìn)而可得尸在線段兒W上運(yùn)動(dòng)，如圖，延長(zhǎng)兒W,作點(diǎn)A關(guān)

于MN對(duì)稱的點(diǎn)/,過/作A'HLCD于H,連接/G交MN于p,連接AP，由題意知DH=A'H=^AB=4,

A'P'=AP＞且/尸'+P'G=4P'+P'G,可知當(dāng)/,P\G三點(diǎn)共線時(shí)，4P'+P'G值最小，在Rb/G〃中，

由勾股定理得，AG=^AH2+HG2-計(jì)算求解/G的值即可.

【詳解】解：如圖，連接。4OD,

由題意知，^OAE=ZODF=45°,ZAOD=90°,OA=OD,OFLOE,：.AEOF=90°=ZAOD,

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