第1章 三角形的證明（單元測(cè)試·基礎(chǔ)卷）-2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專項(xiàng)突破（含答案）VIP

第1章三角形的證明（單元測(cè)試?基礎(chǔ)卷）

一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分，每小題均有四個(gè)選

項(xiàng)，其中只有一項(xiàng)符合題目要求）

（24-25八年級(jí)上?河南駐馬店?期末）

1.在△/SC中，NB,/C的對(duì)邊分別為a,b,c,下列條件中，不能確定三角形是

直角三角形的是（）

A.ZA:ZB:ZC=3:4:5B.ZS+ZC=90°

C.NA=NB-NCD.a:6:c=5:12:13

（24-25八年級(jí)上?云南玉溪?期中）

2.如圖，龍龍用長(zhǎng)方體積木壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一塊三角

板（NC=8C,N/C8=9O。），點(diǎn)C在。E上，點(diǎn)A、&恰好與木墻的頂端重合，AD=6,

BE=14,則兩堵木墻之間的距離?！甑拈L(zhǎng)為（）

A.6B.10C.14D.20

（2024?河南駐馬店?二模）

3.如圖所示，在等腰8c中，AB=AC=5,BC=8,AG為底邊中線，將A/8C沿射

線4G方向平移得對(duì)應(yīng)△￡）斯，連接AD,若AD=}-DG,則3。的長(zhǎng)為（）

2

A.6B.8C.273D.275

（24-25八年級(jí)上?河南漠河?期末）

4.如圖，已知NN8C=60°,點(diǎn)尸在邊上，AP=12,點(diǎn)E,F在邊BC上,PE=PF,

若BE=2,則斯的長(zhǎng)為（）

試卷第1頁(yè)，共8頁(yè)

C

F」

B，—

A.4B.8C.5D.6

（24-25八年級(jí)上?陜西西安?期末）

5.如圖；四邊形45CQ中，AD//BC,ZA=90°fAB=BC=2AD=4,邊CQ的垂直平

分線分別交/5、CD于點(diǎn)上、F,則ZE的長(zhǎng)為（）

1—721

A.V13B.—C.7D.—

24

（24-25八年級(jí)上?黑龍江?期末）

6.如圖，在長(zhǎng)方形/2CD中，連接/C,以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交

/C于點(diǎn)E,F,分別以點(diǎn)E和點(diǎn)尸為圓心，大于廠的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在/A4c內(nèi)

部交于點(diǎn)G,作射線/G交8c于點(diǎn)b.若//CD=2a,則的度數(shù)為（）

A.90°-2aB.30°+aC.45°+aD.90°-a

（24-25八年級(jí)上?河南許昌?期中）

7.如圖，△4BC的邊在數(shù)軸上，2c的垂直平分線分別交NC,3c于點(diǎn)。，E,點(diǎn)3

與-3重合，點(diǎn)E與1重合，連接20.若△4BC的周長(zhǎng)為24,則△/雙）的周長(zhǎng)為（）

試卷第2頁(yè)，共8頁(yè)

A

（24-25八年級(jí)上?河南許昌?期中）

8.“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來(lái)的，借助如圖1所示的“三等分角儀”

能三等分任一角.圖2是三等分角儀的示意圖，這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒04,0B

組成，兩根棒在。點(diǎn)相連并可繞點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng)，C點(diǎn)固定，OC=CD=DE,點(diǎn)。，E可在槽中

滑動(dòng).若NBDE=18°,則/CDE的度數(shù)為（）

（24-25八年級(jí)上?浙江杭州?期末）

9.在中，AB=AC,直線/交8c于點(diǎn)E,交/C于點(diǎn)尸，點(diǎn)C關(guān)于直線/的對(duì)稱

點(diǎn)。在邊上，若CE=3,BE=414,則8。的長(zhǎng)為（）

A.V7±V2B.V7C.V14±V2D.幅

（24-25八年級(jí)上?貴州遵義?期末）

10.如圖，在RtZ\/BC中，N/=30。，ZC=90°,BC=4,ADBE知ABC,且3、C、。二點(diǎn)共

線，點(diǎn)尸是線段48上任意一點(diǎn)，連接。尸、EF,則。尸+E尸的最小值為（）

A.8B.10C.12D.16

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

（24-25八年級(jí)上?廣東江門?期末）

11.如圖，在中，乙4=90。，若NC=2NB,4c=5,則8C的長(zhǎng)為

試卷第3頁(yè)，共8頁(yè)

A

（24-25八年級(jí)上?內(nèi)蒙古通遼?期末）

12.如圖，在Rta/BC中，ZC=90°,以頂點(diǎn)/為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交4C,AB

于點(diǎn)M、N,再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于［MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)尸，作射

2

線4尸交8c于點(diǎn)。，若CD=5,/8=12,則△48。的面積是.

（24-25八年級(jí)上?安徽蕪湖?期末）

13.如圖，在△/BC中，已知AD是Z48C的角平分線，點(diǎn)。是△/8C內(nèi)一點(diǎn)，且

ADLBD,ZDAC=20°,ZC=38°,那么°.

（23-24七年級(jí)下?山東威海?期末）

14.如圖，沿NC折疊長(zhǎng)方形紙片ABC。，點(diǎn)。落到點(diǎn)E處，CE交AB于點(diǎn)F,若48=8,

BC=4,則斯=.

（24-25八年級(jí)上?浙江寧波?期末）

15.如圖，在△A8C中，=是邊8c上一點(diǎn)（不與AC重合），ZDAC

和ZBCA的角平分線交于點(diǎn)E.

試卷第4頁(yè)，共8頁(yè)

A

（1）若NB4D=20。,則/NEC的度數(shù)為；

（2）記ND4E和//CE的度數(shù)之和為機(jī)，則機(jī)的取值范圍為.

（24-25八年級(jí)上?河北保定?期中）

16.如圖，在△ABC中，/C48=50。，點(diǎn)。在△ABC的外部，且/。平分/A4C,過(guò)點(diǎn)。

作。E1/C,交NC的延長(zhǎng)線丁點(diǎn)￡,DF1BC,交BC丁點(diǎn)、F,連接80.若

（24-25八年級(jí)上?河南鄭州?期末）

17.如圖，在ZUSC中，AB=AC,ZBAC=36°,過(guò)點(diǎn)A作NO〃8C,連結(jié)3。，作線段

的垂直平分線￡尸交AD于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)、F,連接4尸，若AF=4B,則40=°.

（2023?河南焦作?一模）

18.如圖，在RtZk/BC中，44c8=90。，ZB=6Q°,BC=2,D為AB上一點(diǎn),E為BD

的中點(diǎn)，將“CD沿CD折疊得到△尸CD,連接斯，當(dāng)A￡＞跖為直角三角形時(shí)，則4D的長(zhǎng)

為.

試卷第5頁(yè)，共8頁(yè)

三、解答題（本大題共6小題，共58分）

（2024?北京西城?二模）

19.已知：如圖，在△/8C中，AABC=90°,BA=BC.

求作：點(diǎn)。，使得點(diǎn)。在△/sc內(nèi)，且ZADB=gN2DC.

\下面是小華的解答過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

①作線段8c的垂直平分線交8c于點(diǎn)E；

②以點(diǎn)A為圓心，N8長(zhǎng)為半徑作弧，與直線尸。在△/BC內(nèi)交于點(diǎn)。.點(diǎn)。就是所求作的

點(diǎn)

（2）完成下面的證明

證明：連接

???點(diǎn)D在線段BC的垂直平分線上，

:.DB=DC（_）（填推理的依據(jù)），

DE1BC.

ZBDE=ZCDE=-ZBDC.ABIIDE.

2

AABD=NBDE.

ZADB=Z

NADB=NBDE=-ZBDC.

2

（2023八年級(jí)上?江蘇?專題練習(xí)）

20.如圖，在四邊形/D2C中，與CZ）互相垂直平分，垂足為點(diǎn)。

（1）找出圖中相等的線段;

試卷第6頁(yè)，共8頁(yè)

(2)O￡,。尸分別是點(diǎn)。到NC4。兩邊的垂線段，試說(shuō)明它們的大小有什么關(guān)系.

(24-25八年級(jí)上?江蘇常州?期中)

21.如圖，直角△4BC中，ZBAC=90°,AB=AC.點(diǎn)。是線段8C上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作8C

的垂線，交直線切于點(diǎn)E,連接CE,取CE的中點(diǎn)尸，連接/尸，DF.

(1)當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，試寫出4尸與。尸的關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段N8外時(shí)，(1)中的結(jié)論是否還成立？若不成立，請(qǐng)舉出反例；若成立，請(qǐng)

畫出圖形，并說(shuō)明理由.

(24-25八年級(jí)上?內(nèi)蒙古赤峰?期末)

22.(1)己知：如圖(1),在△4BC中，NABC,NNC8的平分線交于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M的直

線。E〃8C,￡>￡分別與48,4C交于點(diǎn)D,E.求證：BD+CE=DE.

(2)將(1)題條件"http://3C的平分線”改為“N/8C的外角平分線”，如圖(2)所示，你能

推斷出AD,CE,存在的數(shù)量關(guān)系式嗎？請(qǐng)證明你的推斷.

(1)(2)

(24-25七年級(jí)上?山東青島?期中)

23.小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)規(guī)律：兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn),

并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)則形成一組全等的三角形，小明把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為

“手拉手”圖形.

試卷第7頁(yè)，共8頁(yè)

A

(1)【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖1,若A/BC和△/￡>￡均是頂角為40。的等腰三角形，BC,DE分別是

底邊，從圖中找出一對(duì)全等三角形并說(shuō)明理由；

(2)【拓展探究】如圖2,若△4BC和△4DK和均為等邊三角形，點(diǎn)8、D、E在同一條直線

上，連接CE,求/8EC的度數(shù).

(22-23七年級(jí)下?江西吉安?期末)

24.某數(shù)學(xué)小組在探究角平分線上的點(diǎn)與角的頂點(diǎn)、以及射線上的點(diǎn)構(gòu)建等腰三角形的問(wèn)題

中，經(jīng)歷了如下過(guò)程：

MM

箸用圖

問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

如圖，尸為NMON內(nèi)部的一點(diǎn)，OP平分NMON,8是NMON的邊上的點(diǎn)，連接尸B,

分別以AP,0P為腰向右側(cè)作等腰AAPC和等腰AOP/,使得必=PC,PO=PA,BC交OP

于點(diǎn)D,且/BPC=NOPA=NBOP.

(1)當(dāng)NMON=100。時(shí)，NMO尸的度數(shù)為,/尸3c的度數(shù)為.

猜想論證

(2)當(dāng)NOPA=ZBPC=ZBOP時(shí)，OB與AC存在什么數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由.

拓展思考

@設(shè)NM0N=a,當(dāng)/P2C與a滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，點(diǎn)C落在ON的下方?直接寫出數(shù)量

關(guān)系，不必說(shuō)明理由.

試卷第8頁(yè)，共8頁(yè)

1.A

【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理和三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)三角形的內(nèi)

角和定理求出/C的度數(shù)，即可判斷選項(xiàng)A,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出24和ZB的度數(shù),

即可判斷選項(xiàng)B,選項(xiàng)C,根據(jù)勾股定理的逆定理判定選項(xiàng)D即可，熟練掌握勾股定理的

逆定理和三角形內(nèi)角和定理是解決此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、由//:/8:/C=3:4:5,/4+/B+/C=180。，貝!]

NC=180。x-4―="2BC不是直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；

3+4+5

B、由/5+/。=90。,/4+/5+/。=180。，得/4=180。—90。=90。》43。是直角三角形，

故本選項(xiàng)不符合題意；

C、由=-NC,//+/8+/C=180。,則/8=90。心48。是直角三角形，故本選項(xiàng)

不符合題意；

D、由。:6:c=5:12:13,得力+尸=C2,A/BC是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

2.D

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，線段的和

與差等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

由題意得乙4DC=NCEB=4CB=90。，由直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得

ZACD+ZCAD=9Q°,進(jìn)而可得/C/D=/BCE,利用44s可證得AZCD0ABeE,然后利

用全等三角形的性質(zhì)及線段的和差關(guān)系即可求出DE的長(zhǎng).

【詳解】解：由題意得：N4DC=NCEB=N4CB=90°,

:.NACD+NBCE=NACD+ACAD=90°,

ZCAD=ZBCE,

在A/CD和◎￡中，

ZADC=ZCEB=90°

<ZCAD=ZBCE,

AC=BC

；."CD、CBE(AAS),

AD=CE=6,CD=BE=14,

DE=CD+CE=14+6^20,

答案第1頁(yè)，共17頁(yè)

故選：D.

3.D

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，由等腰三角形三線合一性

質(zhì)得BG=CG=；BC=4,AG1BC,由勾股定理得/G=3,進(jìn)而可得。G=2,最后用勾

股定理計(jì)算即可得解，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.

【詳解】???在等腰△48C中，AB=AC=5,BC=8,/G為底邊中線，

BG=CG=-BC=4,AGIBC,

2

AG=VAB2—BG2=3，

■.■AD^-DG,

2

DG=-AG=2,

3

BD=y/BG2+DG2=V22+42=275>

故選：D.

4.B

【分析】本題考查了含30。角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確地做出輔助線

是解題的關(guān)鍵.過(guò)尸作尸女，斯于以，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得即=尸”=：所，利用含30。

角的直角三角形的性質(zhì)得Bb=；PB=6,求出即可求解.

【詳解】解：過(guò)P作于H,

???ZABC=60°,PH1EF,

ZBPH=30°,

.\BH=-PB=-xn=6,

22

:.EH=BH-BE=6-2=4,

答案第2頁(yè)，共17頁(yè)

.-.EF=1EH=8,

故選：B.

5.B

【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理，熟記線段的垂直平分線上的點(diǎn)

到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵；

連接助、EC,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到ED=EC,根據(jù)勾股定理列出關(guān)于NE的方

程，解方程得到答案.

【詳解】如圖，連接ED、EC,

???EF是線段CD的垂直平分線，

ED=EC,

在RM4DE中,。1=AD2+/爐，

在Rt^BEC中,EC?=BC?+BE2,

則如+幺爐=3。2+8爐，

AB=BC=2AD=4,

???AD=1,BE=AB-AE=4-AE

22+AE2=42+（4-AE）2,

7

解得：AE^-

故選：B.

6.D

【分析】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，角平分線的計(jì)算，平行線的性質(zhì)，先利用基本作圖得

到平分N8/C,則=再根據(jù)長(zhǎng)方形的性質(zhì)得到=90。，AB//CD,

接著利用平行線的性質(zhì)得到ABAC=ZACD=2a,所以NB4H=a,然后利用互余表示出

ZABH,熟知上述性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

答案第3頁(yè)，共17頁(yè)

【詳解】解：由作法得平分/氏4C,

ABAH=NCAH,

???四邊形/BCD為長(zhǎng)方形，

/.ZB=90°,AB//CD,

ZBAC=ZACD=2af

/.ZBAH=a,

:.ZABH=90°-a.

故選：D.

7.C

【分析】本題考查中垂線的性質(zhì)，根據(jù)中垂線的性質(zhì)，得到8D=C28E=CE,進(jìn)而求出2c

的長(zhǎng)，根據(jù)△48C的周長(zhǎng)求出4B+/C的長(zhǎng)，推出△月8。的周長(zhǎng)為4B+RC,即可得出結(jié)果.

【詳解】解：「BC的垂直平分線分別交/CBC于點(diǎn)。，E,

：.BD=CD,BE=CE=^BC,

???點(diǎn)B與-3重合，點(diǎn)￡與1重合，

BE=4,

BC=8,

???/\ABC的周長(zhǎng)為AB+AC+BC=24,

AB+AC=16,

???△45。的周長(zhǎng)為48+力。+8。=45+/。+。。=48+/。=16；

故選：C.

8.B

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，先根據(jù)等腰三角形性質(zhì)

ZO=ZODC,ZDEC=ZDCE,再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得/￡>CE=2/ODC,進(jìn)而得

出NBDE=3NODC=78。,接下來(lái)求出NOOC=26。，最后根據(jù)平角定義得出答案.

【詳解】解：--OC=CD=DE,

NO=NODC,ZDEC=ZDCE.

???/。星是4。。。的外角，

ZDCE=ZO+ZODC=2.ZODC.

?-?ZBDE是ADEO的外角，

答案第4頁(yè)，共17頁(yè)

???/O+ZOED=3ZODC=/BDE=78。，

???/O0C=26。.

???ZCDE+ZODC+ZBDE=180。，

??.ZCDE=180。-78。-26°=76°.

故選：B.

9.A

【分析】本題考查了勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知條件畫

圖，通過(guò)分類討論即可作答.

【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)E作于H,連接

當(dāng)點(diǎn)〃在上時(shí)：

???C和。關(guān)于/對(duì)稱

OC=OD,ZEOC=ZEOD

?：EO=EO

.?.△EOD之△EOC(SAS)

:.DE=CE=3

EH1AB

:.ZEHD=ZEHB=90°

RMABC,AB=AC

ZA=90°,/B=/BEH=45°

/.BH=EH

■：BE=^

BH2+EH2=BE2,即2BH2=BE?=14

得：BH=EH=41

:.DH=」DE2-HE。=7^7=血

:.BD=BH+DH=g+C

答案第5頁(yè)，共17頁(yè)

li

II

/)

當(dāng)點(diǎn)方在8。的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可得8。=3"-。”=近-亞

?F-

故選：A.

10.C

【分析】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，兩點(diǎn)之間

線段最短；連接尸C,根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出/8=23C=8,證明

△EBF%CBF(SAS),得出Eb=FC,DF+EF=DF+FC>DC=DB+DC=\2,即可

求解.

【詳解】解：如圖所示，連接尸C,

?.?乙1=30°,ZC=90°,BC=4,

AB=IBC=8,

?:叢DBEW叢甌,

；.DB=AB=8,BE=BC,ZABC=ZDBE,

?.?在中，N/=30°,ZACB=90°,

/ABC=ZDBE=60°,

ZEBF=60°,

在AEBFQCBF中,

答案第6頁(yè)，共17頁(yè)

EB=BC

ZEBF=ZABC=60°

BF=BF

△EBF知CBF(SAS),

；.EF=FC,

.-.DF+EF=DF+FC>DC=DB+DC=n,

二。尸+E尸的最小值為12,

故選：C.

11.10

【分析】本題考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出

乙B=30。，再根據(jù)30度所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，即可得出結(jié)果.

【詳解】解：?.?//=90。，ZC=2ZB,

.-.ZB+ZC=3ZB=90°,

.-.ZB=30°,

.-.BC=2AC=10；

故答案為：10.

12.30

【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)和角平分線的尺規(guī)作圖.由作圖方法可得/。平分

NBAC,則由角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可得CD=5,據(jù)此利用三角形面積

計(jì)算公式求解即可.

【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)。作于”，

由作圖方法可知，4D平分/BAC,

ZC=90°,DH1AB,

.-.DH=CD=5,

.-.S=-^8-r)Z7=-x5xl2=30,

AADU2J2

答案第7頁(yè)，共17頁(yè)

故答案為：30.

13.58

【分析】本題考查三角形外角性質(zhì)，等角的余角相等，解題的關(guān)鍵是掌握掌外角的性質(zhì).

【詳解】解：延長(zhǎng)4D交于點(diǎn)E,

?.?8。是/ABC的角平分線,

ZABD=ZEBD,

AD^BD,

ABAD=乙BED=ZDAC+ZC=20。+38。=58°,

故答案為：58.

14.3

【分析】本題考查了勾股定理的翻折應(yīng)用，涉及等腰三角形的判定，熟練掌握翻折中的勾股

定理是解題的關(guān)鍵.利用翻折和平行判定//=3,再在RSBCF中利用勾股定理列式解決

即可.

【詳解】解：???四邊形為長(zhǎng)方形，

：.DC=AB=%,AB//CD,z5=90°,

；.NDCA=ZFAC,

由翻折得：CD=CE=8,ZDCA=ZFCA,

；"FAC=ZFCA,

AF=CF,

T^AF=CF=X,貝i|8尸=8—x,

在RM2C/中，BC2+BF-=CF2,

???42+（8-X）2=x2,

解得：x=5,

:.EF=CE-CF=8-5=3,

故答案為：3.

15.125。##125度25°＜加＜65°

答案第8頁(yè)，共17頁(yè)

【分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和、等腰三角形的性質(zhì)角平分線的定義，熟練掌握三角形

內(nèi)角和、等腰三角形的性質(zhì)角平分線的定義是解題的關(guān)鍵；

(1)由題意易得NC/Z)=60。，ZABC=ZACB=50°,然后可得/E4C=30。,//?！?25。,

進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和可進(jìn)行求解；

(2)當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)8重合時(shí)，NONE取得最大值，進(jìn)而問(wèn)題可求解.

【詳解】解：(1)-：AB=AC,ABAC=^°,

；.NABC=ZACB=50°,

ABAD=20°,

ACAD=60°,

?-.ZDAC和ABCA的角平分線交于點(diǎn)E,

...AEAC=-ADAC=30°,ZACE=-ZACB=25°,

22

NAEC=180°-ZEAC-NACE=125°；

故答案為125。；

(2)由(1)可知：ZDAE=-ADAC,AACE=25°,

2

當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)8重合時(shí)，/ZUE取得最大值,即乙=4c=40。，

2

ZDAE+ZACE=65°,

???加的取值范圍為25。(加＜65。；

故答案為25?！礄C(jī)＜65°.

16.63°

【分析】本題考查了角平分線的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì).連接CD,過(guò)點(diǎn)。作

DGVAB,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,證明C。平分NBCE,BD平62CBG,利用三角形的

外角性質(zhì)求得N48C=54。，進(jìn)一步計(jì)算即可求解.

【詳解】解：連接CD,過(guò)點(diǎn)。作。GJ./8,交N8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

DE1AC,DF1BC,DE=DF,

答案第9頁(yè)，共17頁(yè)

??.CD平分/BCE,

???AD平分/BAC,

：.DE1AC,DGLAB,

DE=DG,

：,DF=DG,

；.BD平分/CBG,

???/G4B=50。,/BCE=104。，

.-.Z^C=104°-50°=54°,

???/CBG=180°-/ABC=126°,

?；BD平分NCBG,

.?.NDBC=-ZCBG=63°,

2

故答案為：63°.

17.24

【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì).利用等邊對(duì)等角

依次可求得的大小，證明/D=/D5C,zABF=zAFB=2zDf進(jìn)而得出

/ABC=/ABF+zDBC=2zD+zD=3/D=72°,從而可得ND的度數(shù).

【詳解】解：??,/A4C=36。，AB=AC,

???/ABC=ZC=1x(180°-ABAC)=72°,

???AD//BC,

,?"D=/DBC,

???斯垂直平分40,

???FA=FD,

/FAD=ZD,

ZAFB=ZD+/FAD=2zD,

???AF=AB,

ZABF=ZAFB=2zD,

AABC=AABF+zDBC=2zD+zD=3/D=72。，

ZD=24°,

故答案為：24.

答案第10頁(yè)，共17頁(yè)

18.2或3-6

【分析】本題考查翻折的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30。角直角三角形的性質(zhì).分

①當(dāng)立⑦尸=90。時(shí)，②當(dāng)皿=90。時(shí)，兩種情況討論解答即可.

【詳解】解：在RtZUBC中，ZACB=90°,

???NB=60°,

ZA=30°,

分兩種情況：

①當(dāng)NEZ獷=90。時(shí)，如圖，由翻折可知：ZDFM=ZA=30°,

ZCMB=60°,

為等邊三角形，

:.MB=CM=CB=2,

AB=2BC=4,

FC=AC=V3BC=273,

:.FM=FC-CM=2拒-2,

???ZDFM=30°,

...DM=；FM=?-1,

AD=AB-DM-BM=4-^-l^-2=3-y/3；

②當(dāng)乙DM=90。時(shí)，如圖，此時(shí)點(diǎn)E在線段CF上,

???N4=30°,

答案第11頁(yè)，共17頁(yè)

NACE=60°,

???ZACD=ZFCD,

ZACD=ZFCD=30°,

ZCDB=60°,

.?.ACOB為等邊三角形，

CD=BD=CB=2,

AD=AB-BD=4-2=2,

綜上所述，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為3-G或2.

故答案為：3-6或2.

19.（1）見(jiàn)詳解；（2）線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，AB=AD,

ABD

【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形；

（2）利用平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)證明即可.

【詳解】（1）解：圖形如圖所示：

(2)證明：連接D4,DB,DC.

???點(diǎn)D在線段BC的垂直平分線上，

:.DB=DC(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等),

DE1BC.

：.NBDE=NCDE=-ZBDC.

2

/.AB\\DE.

/ABD=/BDE.

AB=AD,

AADB=NABD.

ZADB=NBDE=-NBDC.

答案第12頁(yè)，共17頁(yè)

故答案為：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，AB=AD,ABD.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線

的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

20.⑴見(jiàn)解析

⑵相等，理由見(jiàn)解析

【分析】（1）由垂直平分線的性質(zhì)可得出相等的線段；

（2）由條件可證明△/OC咨△NOD,可得N。平分ND/C,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得

OE=OF.

【詳解】（1）解：???AB、CD互相垂直平分，

OC=OD,AO=OB,且AC=BC=4D=BD；

（2）OE=OF,理由如下：

在△NOC和△40。中，

AC=AD,OC=OD,OA=OA,

.-.^AOC^AOD（SSS）,

ACAO=ADAO.

又TOEL/C,OFLAD,

OE=OF.

【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)的綜合，全等三角形的判定

與性質(zhì)，掌握它們的適用條件和表示方法是解題的關(guān)鍵.

21.（l）AF=DF,理由見(jiàn)詳解

（2）成立，理由見(jiàn)詳解

【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于掌握直角三角形斜邊上的中線等于

斜邊的一半.

（1）當(dāng)點(diǎn)E在線段A8上時(shí)，觀察知道在直角△NEC中，4F=；EC,在直角△即。中，

DF、EC,即可證明出結(jié)果；

（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段外時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立，畫出圖形同理應(yīng)用第（1）中的方法即

可求解.

【詳解】（1）解：AF=DF,理由如下：

??,在直角△NEC中，/A4c=90。，取CE的中點(diǎn)尸，

答案第13頁(yè)，共17頁(yè)

AF=-EC,

2

:過(guò)點(diǎn)。作8c的垂線，

ZEDC=90°,

又,??在直角△EDC中，取CE的中點(diǎn)尸，

:.DF=-EC,

2

AF=DF；

（2）解：成立，圖形如下：

理由如下：ABAC=90°,ZBAC+ZEAC=180°,

ZEAC=90°,

???在直角中，取CE的中點(diǎn)尸，

AF=-EC,

2

,??過(guò)點(diǎn)。作8c的垂線，

:.ZEDC=90°,

又,??在直角△EDC中，取CE的中點(diǎn)尸，

:.DF=-EC,

2

AF=DF.

22.（1）見(jiàn)解析；（2）能，CE-BD=DE,證明見(jiàn)解析.

【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的定義和

平行線的性質(zhì)可證等腰三角形是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證和是等腰三角形，從而可得

DB=DM,EM=EC,然后利用線段的和差關(guān)系以及等量關(guān)系即可解答；

（2）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證和是等腰三角形，從而可得

DB=DM,EM=EC,然后利用線段的和差關(guān)系以及等量關(guān)系即可解答.

【詳解】證明：（1）???/ABC,的平分線W、CW交于點(diǎn)

答案第14頁(yè)，共17頁(yè)

/DBM=/CBM,ZECM=ZBCM.

-DE//BC,

:?NDMB=NCBM,/EMC=/BCM.

；./DBM=/DMB,ZECM=/EMC.

:.DB=DM,ME=EC.

：.BD+CE=MD=ME,

?：DE=MD+ME,

:.BD+CE=DE.

(2)能，CE-BD=DE

??,/ABF,N/C5的平分線5"、CM交于點(diǎn)M,

ZFBM=ZDBM,ZBCM=ZECM