方程（組）與不等式（12大題型+高分技法+限時提升練）-2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專練（解析版）

熱點02方程（組）與不等式

明考情.知方向

中考數(shù)學(xué)中《方程（組）與不等式（組）》部分主要考向分為四類：

一、一元一次方程與二元一次方程（組）（每年2~4道，8~14分）

二、一元二次方程（每年1~2道，3~8分）

三、分式方程（每年1~3題，3~12分）

四、不等式（組）（每年2~4題，8~18分）

方程（組）與不等式（組）在數(shù)學(xué)中考中的難度中等，題型比較多，選擇題、填空題、解答題都可以

考察。其中，一元一次方程與二元一次方程（組）是比較接近的兩個考點，出題一般都只有1題，一元一

次方程多考察其在實際問題中的應(yīng)用，多為選擇題；二元一次方程組則以計算和應(yīng)用題為主占分較多。一

元二次方程單獨出題時多考察其根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系以及在實際問題中提煉出一元二次方程；一

元二次方程的計算則主要出現(xiàn)在幾何大題中，輔助解壓軸題。分式方程的考察內(nèi)容不多，但基本屬于必考

考點，可以是一道小題考察其解法，也可以是應(yīng)用題。不等式組是這四個考點中占分最多的一個，考察難

度也是可大可小，其解法、含參數(shù)的不等式組問題、和方程結(jié)合的應(yīng)用題都經(jīng)?？嫉?。雖然該熱點難度中

等，一般不會失分，但是組合出題時，難度也可以變大，復(fù)習(xí)時需要特別注意。

熱點題型解讀

【題型1】實際問題抽象出一元一次方程

考向一：一元一次方程與二元一次方程組

【題型1實際問題抽象出一元一次方程】

中考中對于一元一次方程的應(yīng)用題并不會考這么多，多以選擇題出題，也就只考到列方程這步就可以了.

解一元一次方程應(yīng)用題，遵循5個步驟，其各個步驟的注意事項如下：

①審題；②設(shè)未知數(shù):設(shè)未知數(shù)（通常為x）,并注明單位；③列方程；④解方程；⑤檢驗

答案：將解代入原方程或?qū)嶋H問題，驗證是否合理；⑥.寫答句:完整寫出答案，并注明單

位。

1.（2024?江蘇宿遷?中考真題）我國古代問題：以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺：若將繩四折測之，

繩多一尺.繩長、井深各幾何？這段話的意思是：用繩子量井深，把繩三折來量，井外余繩四尺；把繩

四折來量，井外余繩一尺.繩長、井深各幾尺？若設(shè)繩長為無尺，則可列方程為（）

1111

A.-x—4=-x—1B.-x+4=-x—1

3434

1I1I

C.-%—4=-x+1D.-x+4=-%+1

3434

【答案】A

【分析】本題主要考查了一元一次方程組的實際應(yīng)用，利用井的深度不變建立方程是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)繩長為x尺，列方程為：久一4=；久-1,

34

故選A.

2.（2024?廣東廣州?中考真題）某新能源車企今年5月交付新車35060輛，且今年5月交付新車的數(shù)量比去

年5月交付的新車數(shù)量的1.2倍還多1100輛.設(shè)該車企去年5月交付新車x輛，根據(jù)題意，可列方程為

（）

A.1.2%+1100=35060B.1.2%-1100=35060

C.1.2（x4-1100）=35060D.%-1100=35060X1.2

【答案】A

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找出題目中的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵.設(shè)該車企去年5月交付

新車”輛，根據(jù)“今年5月交付新車的數(shù)量比去年5月交付的新車數(shù)量的1.2倍還多1100輛”列出方程即

可.

【詳解】解：設(shè)該車企去年5月交付新車久輛，

根據(jù)題意得：1.2%+1100=35060,

故選：A.

3.（2024?廣西?中考真題）《九章算術(shù)》是我國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中記載了一個問題，大致意思為：

現(xiàn)有田出租，第一年3畝1錢，第二年4畝1錢，第三年5畝1錢.三年共得100錢.問：出租的田有

多少畝？設(shè)出租的田有x畝，可列方程為（）

.X,X,XaX,X,X,八八

A.-+；+-=lB.-+-+-100

C.3%+4%+5%=1D.3%+4%+5%=100

【答案】B

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)“第一年3畝1錢，第二年4畝1錢，第三年5畝1錢.三

年共得100錢”列方程即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，得鴻+（=100,

故選：B.

4.（2024?北京?中考真題）為防治污染，保護(hù)和改善生態(tài)環(huán)境，自2023年7月1日起，我國全面實施汽車

國六排放標(biāo)準(zhǔn)6b階段（以下簡稱“標(biāo)準(zhǔn)”）.對某型號汽車，“標(biāo)準(zhǔn)”要求4類物質(zhì)排放量不超過35mg/km,

A,B兩類物質(zhì)排放量之和不超過50mg/km.已知該型號某汽車的4,B兩類物質(zhì)排放量之和原為92mg/km.

經(jīng)過一次技術(shù)改進(jìn)，該汽車的4類物質(zhì)排放量降低了50%,B類物質(zhì)排放量降低了75%,A,8兩類物質(zhì)

排放量之和為40mg/km,判斷這次技術(shù)改進(jìn)后該汽車的4類物質(zhì)排放量是否符合“標(biāo)準(zhǔn)”，并說明理由.

【答案】符合，理由見詳解

【分析】本題考查了列一元一次方程解應(yīng)用題，正確理解題意，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

設(shè)技術(shù)改進(jìn)后該汽車的A類物質(zhì)排放量為xmg/km,則B類物質(zhì)排放量為（40-久）mg/km,根據(jù)汽車的

A,B兩類物質(zhì)排放量之和原為92mg/km建立方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)技術(shù)改進(jìn)后該汽車的A類物質(zhì)排放量為久mg/km,則8類物質(zhì)排放量為（40-x）mg/km,

由題意得：+*工=92,

1-50%1-75%

解得：%=34,

V34<35,

.?.這次技術(shù)改進(jìn)后該汽車的4類物質(zhì)排放量符合“標(biāo)準(zhǔn)

【題型2二元一次方程組的解法相關(guān)】

-0

解二元一次方程組有2種方法——帶入消元法和加減消元法

不管是帶入法還是加減法，目的都在于利用等式的基本性質(zhì)將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，所

以做題中也必須注意一元一次方程解法的易錯點。

1.（2024?廣西?中考真題）解方程組：｛7｝砥二:

【答案】

【分析】本題考查的是二元一次方程組的解法，直接利用加減消元法解方程組即可.

【詳解】解：尸2y=32

[x-2y=1@

①+②得：2x=4,

解得：x-2,

把x=2代入①得：

(x=2

.?.方程組的解為:_1.

［yv~2

2.(2024.浙江?中考真題)解方程組：5

(4%+3y=-10

【答案】［X=2

ly=-4

【分析】此題考查了解二元一次方程組，利用①x3+②得，10久=5,解得x=點再把比=?弋入①求

出y=—4即可.

【詳解】w：(2x-y=5?

(4%+3y=-10@

①x3+②得，10%=5

解得％=

把％=夕弋入①得1一y=5,

解得y=-4

3.(2024.江蘇宿遷?中考真題)若關(guān)于x、y的二元一次方程組｛黑｝二;的解是二］2，則關(guān)于小丁的

方程組產(chǎn)+27=2?+^的解是

(ex—2y=2c+d----------

【答案】｛;二1

【分析】本題考查二元一次方程組的解，解二元一次方程組，把代入得到

呼;廣：整體代入產(chǎn)+鏟中，得到方程組卜久+2'=5。-22加減消元法解方程

組即可.

把『代入上二得:(3a—2=b

【詳解】解:13c+2=d

(ax+2y=2。+b

\cx—2y=2c+d

(ax+2y=2a+3a—2ax+2y=5a—2①

ic%—2y=2c+3c+2

ex—2y=5c+2②

①+②，得：(a+c)%=5(a+c),

...方程組管？|有解，

「?a+cW0,

??x—5,

把％=5代入①，得：5a+2y=5a—2,解得：y=—1；

方程組的解集為：卜：=5

\y=一1

故答案為：[5

\y=一1

【題型3二元一次方程組的應(yīng)用】

—

二元一次方程組的應(yīng)用題解決步驟同一元一次方程應(yīng)用題解題步驟及注意事項差不多，審題和找等量關(guān)

系都是方程類應(yīng)用題解題的關(guān)鍵。通常難度不大，個別時候，二元一次方程組的應(yīng)用題也可以用一元一

次方程來解。

1.（2024.山東日照?中考真題）我國明代數(shù)學(xué)家程大位編撰的《算法統(tǒng)宗》記載了“繩索量竿”問題：“一條竿

子一條索，索比竿子長一托，折回索子來量竿，卻比竿子短一托，問索、竿各長幾何？”譯文為：“有一

根竿和一條繩，若用繩去量竿，則繩比竿長5尺；若將繩對折后再去量竿，則繩比竿短5尺，問繩和竿

各有多長？”設(shè)繩長x尺，竿長y尺，根據(jù)題意得（）（注：“托”和“尺”為古代的長度單位，1托=5尺）

1—y=5fy-x=5（x-y=S一（x-y=5

A-1"=5B'=5C-[2x=y+5D-（y-2x=5

【答案】A

【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)若用繩去量竿，則繩比竿長5尺；若將繩對折后再去

量竿，則繩比竿短5尺列方程組即可.

Cx-y=5,

【詳解】解：由題意得1，

/=5.

故選A.

2.（2024.遼寧.中考真題）我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“雉兔同籠”問題：“今有雉兔同籠，上有三十

五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”其大意是：雞兔同籠，共有35個頭，94條腿，問雞兔各多少只？

設(shè)雞有x只，兔有y只，根據(jù)題意可列方程組為（）

Afx+y=94（x+y=94（x+y=35（x+y=35

（4x+2y=35[2x+4y=35（4久+2y=94[2x+4y=94

【答案】D

【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.設(shè)雞有x只，兔有y只，根據(jù)“雞

兔同籠，共有35個頭，94條腿”列二元一次方程組即可.

【詳解】解：設(shè)雞有x只，兔有y只，

由題意得：["2U

（2%+4y=94

故選：D.

3.（2024.安徽.中考真題）鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略實施以來，很多外出人員返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè).某村有部分返鄉(xiāng)青年承包了一

些田地.采用新技術(shù)種植4,B兩種農(nóng)作物.種植這兩種農(nóng)作物每公頃所需人數(shù)和投入資金如表：

農(nóng)作物品每公頃所需人

每公頃所需投入資金（萬元）

種數(shù)

A48

B39

已知農(nóng)作物種植人員共24位，且每人只參與一種農(nóng)作物種植，投入資金共60萬元.問4B這兩種農(nóng)作

物的種植面積各多少公頃？

【答案】4農(nóng)作物的種植面積為3公頃，B農(nóng)作物的種植面積為4公頃.

【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，設(shè)4農(nóng)作物的種植面積為x公頃，8農(nóng)作物的種植面積為y

公頃，根據(jù)題意列出二元一次方程組即可求解，根據(jù)題意，找到等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組

是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)4農(nóng)作物的種植面積為x公頃，B農(nóng)作物的種植面積為y公頃，

由題意可得，卷林二：,

解布：4,

答：力農(nóng)作物的種植面積為3公頃，B農(nóng)作物的種植面積為4公頃.

4.44.（2024?江蘇徐州?中考真題）中國古代數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中有一道問題；“今有甲、乙懷錢，

各不知其數(shù).甲得乙十錢，多乙余錢五倍.乙得甲十錢，適等.問甲、乙懷錢各幾何？''問題大意：甲、

乙兩人各有錢幣干枚.若乙給甲10枚錢，此時甲的錢幣數(shù)比乙的錢幣數(shù)多出5倍，即甲的錢幣數(shù)是乙

錢幣數(shù)的6倍；若甲給乙10枚錢，此時兩人的錢幣數(shù)相等.問甲、乙原來各有多少枚錢幣？請用二元

一次方程組解答上述問題.

【答案】甲、乙原來各有38枚、18枚錢幣

【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意找到等量關(guān)系列出方程是解決本題的關(guān)鍵.

設(shè)甲有錢尤枚，乙有錢y枚，根據(jù)“甲得乙十錢，多乙余錢五倍.乙得甲十錢，適等”列出方程組，求解

即可.

【詳解】解：設(shè)甲有錢x枚，乙有錢y枚，由題意，得

（x+10=6（y—10）

1%-10=y+10'

解這個方程組，得［二〉

答：甲、乙原來各有38枚、18枚錢幣.

考向二：一元二次方程

【題型4一元二次方程根的判別式】

0O目圖

對于一元二次方程的一般形式：ax2+6x+c=0（a/0）,

（l）Z?2-4ac>0—?方程有兩個不相等的實數(shù)根

（2）/-4ac=0一?方程有兩個相等的實數(shù)根

⑶4acV0—.方程沒有實數(shù)根

注意：在應(yīng)用根的判別式時，若二次項系數(shù)中含有字母，注意二次項系數(shù)不為0這一條件；

當(dāng)尸-4ac20時，可得方程有兩個實數(shù)根，相等不相等未知

1.（2024?四川自貢?中考真題）關(guān)于尤的一元二次方程/+依-2=0的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.只有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

【答案】A

【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，熟知一元二次方程a/+以+c=0（a片0）中，當(dāng)△>。

時，方程有兩個不相等的實數(shù)根是解題的關(guān)鍵.根據(jù)一元二次方程根的判別式解答即可.

【詳解】解：,??△=fc2-4x1x（-2）=爐+8>0,

??.方程有兩個不相等的實數(shù)根.

故選：A.

2.（2024?山東泰安?中考真題）關(guān)于x的一元二次方程2/—3x+k=0有實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍是（）

QQQQ

A.k"B,/c<-C,fc>-D./c<--

【答案】B

【分析】本題考查了判別式與一元二次方程根的情況，熟知一元二次方程有實數(shù)根的條件是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)一元二次方程有實數(shù)根的條件是4>0,據(jù)此列不等式求解即可.

【詳解】解：二.關(guān)于x的一元二次方程2/—3x+k=0有實數(shù)根，

=（一3）2-4x2fc>0,解得k<

8

故選B.

3.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）關(guān)于x的一元二次方程（皿-2）%2+4%+2=0有兩個實數(shù)根，則m

的取值范圍是（）

A.m<4B.m>4C.m2—4且zn42D.mW4且m42

【答案】D

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式.根據(jù)一元二次方程a/+版+c=0（a片0）的根的判別

式小=b2—4ac的意義得到m-2力0H.A>0,即4?—4x（m-2）x2>0,然后解不等式組即可得到m

的取值范圍.

【詳解】解：???關(guān)于久的一元二次方程On-2）比2+叔+2=0有實數(shù)根，

???m—20且△>0,

即42—4x（6-2）x2>0,

解得：m<4,

ni的取值范圍是m<4且ni豐2.

故選：D.

4.（2024?湖南?中考真題）若關(guān)于尤的一元二次方程/—4x+2k=0有兩個相等的實數(shù)根，則左的值為

【答案】2

【分析】本題考查根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù).一元二次方程a/+版+c=0（a片0）有兩個不

相等的實數(shù)根，則A=b2—4ac>0；有兩個相等的實數(shù)根，則A=b2—4ac=0；沒有實數(shù)根，則4=

b2-4ac<0.據(jù)此即可求解.

【詳解】解：由題意得：△=爐-4ac=（-4尸一4x1x2/c=0,

解得：k=2

故答案為：2

【題型5一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系】

完全拿下這部分分?jǐn)?shù)，除了熟記根與系數(shù)的關(guān)系的公式外，還要熟悉完全平方公式的變形：

若一元二次方程欠2+以+。=0（。彳0）的兩個根為七、x2,則有/+%2=-2,%1?X,=—

一aa

當(dāng)問題中出現(xiàn)“方程的兩個根是……”時，通常就要想其根與系數(shù)的關(guān)系了，若不能直接利用原公式，則

結(jié)合完全公式，想其常用變形：

(1)xf+x2=(%1+尤2>-2尤］工2

⑶五+三

xix2XxX2

1.（2024?山東日照?中考真題）已知，實數(shù)的,X2。1力電）是關(guān)于尤的方程+2kx+1=0a力0）的兩個

根，若工+工=2,則/的值為（）

XlX2

B.-1

【答案】B

【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，對于一元二次方程+圾+c=0（aW0）,

若久「％2是該方程的兩個實數(shù)根，則久1+%2=-，=，據(jù)此得到％1+外=一2,/％2=%再由

工+2=2得到一2女=2,據(jù)此可得答案.

Xix2

【詳解】解：是關(guān)于X的一元二次方程左/++1=o（k。0）的兩個根，

,c1

%1+%2=—2,11久2=%.

1.1Q

X1x2

.%1+%2_D

X1X2

?專=2

k

-2k=2,

解得k=-1,

經(jīng)檢驗，k=-1是原分式方程的解，

故選：B.

2.（2024.四川巴中?中考真題）已知方程/—2x+k=0的一個根為—2,則方程的另一個根為.

【答案】4

【分析】本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.設(shè)方程的另一個根為如根據(jù)兩根之和等

于-2,即可得出關(guān)于根的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論.

a

【詳解】解：設(shè)方程的另一個根為機，

:方程/-2x+k=0有一個根為一2,

—2+TTI=2,

解得：m=4.

故答案為：4.

3.（2024.山東德州.中考真題）已知a和匕是方程L+2024%-4=0的兩個解,則a?+2023a—6的值

為.

【答案】2028

【分析】本題考查一元二次方程的解和根與系數(shù)關(guān)系、代數(shù)式求值，先根據(jù)方程的解滿足方程以及根

與系數(shù)關(guān)系求得小+2024a=4,a+b=-2024,再代值求解即可.

【詳解】解：?.?〃和b是方程/+2024%-4=。的兩個解，

:?+2024。-4=0,a+b=-2024,

a2+2024a=4,

a2+2023a-b

=a2+2024a—（a+b）

=4-（-2024）

=4+2024

=2028,

故答案為：2028.

4.（2024.四川內(nèi)江.中考真題）已知關(guān)于久的一元二次方程%2—p%+l=。（p為常數(shù)）有兩個不相等的實數(shù)

根%1和%2?

⑴填空：%i+%2=，=；

（2）求工+—9久1+—；

（3）已知好+好=2p+1,求p的值.

【答案】⑴p,1;

（2）1+/=P，/+；P；

（3）p=3.

【分析】本題考查了一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，掌握一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系

是解題的關(guān)鍵.

（1）利用根和系數(shù)的關(guān)系即可求解；

（2）工+工變形為包母，再把根和系數(shù)的關(guān)系代入計算即可求解，由一元二次方程根的定義可得xj—

%2Xi%2

；

pxr+1=0,即得%1-p+1=0,進(jìn)而可得久1+}=P

（3）把方程變形為01+%2）2-2%1%2=2p+1,再把根和系數(shù)的關(guān)系代入得p2—2=2p+1,可得p=

-1或p=3,再根據(jù)根的判別式進(jìn)行判斷即可求解.

【詳解】（1）解：由根與系數(shù)的關(guān)系得，％i+%2=P，汽1%2=1，

故答案為：p,1；

（2）角牛：?+%2=P，=1，

??一+“d=P，

Xi%2

??,關(guān)于]的一元二次方程式2-p%+l=0（p為常數(shù)）有兩個不相等的實數(shù)根打和久2，

2

/.xr—pxr+1=0,

x-\~p—=0,

??.?刈14—=p；

%]

（3）解：由根與系數(shù)的關(guān)系得，％i+%2=P，=1，

Vxf+禍=2p+1,

/.（%1+%2）2—2%1%2=2p+1,

???p2-2=2p+l,

：.P2-2p-3=0,

解得p=-1或p=3,

一元二次方程n2—p%+1=0為久24-X+1=0或久2—3%+1=0,

當(dāng)p=-l時，△=12—4X1X1=-3<0,不合題意，舍去；

當(dāng)p=3時，△=（一3）2-4x1x1=5>0,符合題意；

:?p—3.

【題型6一元二次方程的解法】

一元二次方程的解法有4種，重點記憶配方法、因式分解法、公式法。

其中注意事項：

配方法^—―需要加上的數(shù)字是一次項系數(shù)一半的平方(/的系數(shù)為D,并且先移項，再配方;

因式分解法---重點掌握十字相乘法(常用公式：x2+{p+q)x+pq={x+p\x+q));

公式法——使用這種解法，必須先分析a、b、c的值，求出4ac的值，再帶入公式

1.(2024?貴州?中考真題)一元二次方程產(chǎn)-2%=0的解是()

A?%1—39%2=1B.—2,%2=0C.%1—3,%2=-2D.%1——2,%2=—1

【答案】B

【分析】本題考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可.

【詳解】解：x2-2x=0,

.,.%(%—2)=0,

x=0或％—2=0,

??=2,%2=0,

故選：B.

2.(2024?山東德州?中考真題)把多項式/一3%+4進(jìn)行配方，結(jié)果為()

A.(%-3>—5B.(%-+彳

C(X-1)2+TD.(%+|)2+;

【答案】B

【分析】本題主要考查完全平方公式，利用添項法，先加上一次項系數(shù)一半的平方使式子中出現(xiàn)完全

平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法.

根據(jù)利用完全平方公式的特征求解即可；

【詳解】解：%2-3%+4

33

=x2-3x+(-)2-(-)2+4

_/3\27

=卜一］)+4

故選B.

3.(2024.青海?中考真題)(1)解一元二次方程：x2-4%+3=0；

(2)若直角三角形的兩邊長分別是(1)中方程的根，求第三邊的長.

【答案】(1)比=1或x=3

(2)第三邊的長是VIU或2或

【分析】本題考查解一元二次方程，勾股定理.

(1)用因式分解法解即可；

(2)分情況討論，一是兩根都是直角邊，二是兩根一個是直角邊，一個是斜邊，再用勾股定理分別計

算即可.

【詳解】解：(1)久2一4%+3=0

(x—1)(%—3)=0

x=1或x=3；

(2)當(dāng)兩條直角邊分別為3和1時，

根據(jù)勾股定理得，第三邊為每不N=

當(dāng)一條直角邊為1,斜邊為3時，

根據(jù)勾股定理得，第三邊為后［N=2V2.

答：第三邊的長是YIU或2或.

【題型7一元二次方程的應(yīng)用】

000?

解題步驟依然遵循——審、設(shè)、歹!I、解、答。

應(yīng)用題中解出方程的解一般都有2個，做題時注意結(jié)合題目實際是否都可取，不符合題意的答案需舍去。

1.(2024.山東青島.中考真題)如圖，某小區(qū)要在長為16m,寬為12m的矩形空地上建造一個花壇，使花壇

四周小路的寬度相等，且花壇所占面積為空地面積的一半，則小路寬為m.

【答案】2

【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，設(shè)小路的寬為xm,則長方形花壇的長為(16-2比)m,

寬為(12-2x)m,再根據(jù)矩形面積計算公式列出方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)小路的寬為xm,則長方形花壇的長為(16-2久)m,寬為(12-2久)tn,

由題意得，(16-2%)(12-2%)=|X16X12,

同理得/一14刀+24=0,

解得x=2或x=12（舍去），

；?小路的寬為2m,

故答案為：2.

2.（2024.西藏?中考真題）列方程（組）解應(yīng)用題

某商場響應(yīng)國家消費品以舊換新的號召，開展了家電惠民補貼活動.四月份投入資金20萬元，六月份

投入資金24.2萬元，現(xiàn)假定每月投入資金的增長率相同.

（1）求該商場投入資金的月平均增長率；

（2）按照這個增長率，預(yù)計該商場七月份投入資金將達(dá)到多少萬元？

【答案】（1）該商場投入資金的月平均增長率10%

（2）預(yù)計該商場七月份投入資金將達(dá)到26.62萬元

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、有理數(shù)的混合運算的應(yīng)用，理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正

確列出一元二次方程是解此題的關(guān)鍵.

（1）設(shè)該商場投入資金的月平均增長率為X,根據(jù)“四月份投入資金20萬元，六月份投入資金24.2萬

元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案；

（2）根據(jù)（1）中求得的增長率，即可求得七月份投入資金.

【詳解】（1）解：設(shè)該商場投入資金的月平均增長率為工,

由題意得：20x（1+x）2=24.2,

解得：%1=0.1=10%,%2=—2.1（不符合題意，舍去），

該商場投入資金的月平均增長率10%；

（2）解：24.2x（1+10%）=26.62（萬元），

預(yù)計該商場七月份投入資金將達(dá)到26.62萬元.

3.（2024?遼寧.中考真題）某商場出售一種商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，日銷售量y（件）與每件售價》（元）滿

足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：

每件售價久/元455565

日銷售量y/件554535

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；

（2）該商品日銷售額能否達(dá)到2600元？如果能，求出每件售價：如果不能，請說明理由.

【答案】⑴y=-x+100；

（2）該商品日銷售額不能達(dá)到2600元，理由見解析。

【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法

求出y與％之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程.

（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法即可求出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；

（2）利用銷售額=每件售價x銷售量，即可得出關(guān)于光的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)y與％之間的函數(shù)表達(dá)式為y=k%+b(憶。0),

將(45,55),(55,45)代入丫=4%+)得

f45/c+力=55

l55fc+6=45，

解得｛a=工\,

3=100

y與％之間的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+100；

(2)解：該商品日銷售額不能達(dá)到2600元，理由如下：

依題意得X(T+100)=2600,

整理得/-100%+2600=0,

A=b2-4ac=(-100)2-4x1x2600=-400<0,

該商品日銷售額不能達(dá)到2600元.

考向三：分式方程

【題型8解分式方程的步驟】

000?

解分式方程基本步驟：①去分母；②解整式方程；③驗根

分式方程的增根：使分式方程分母=0的未知數(shù)的值；

分式方程會無解的幾種情況

①解出的x的值是增根，須舍去，無解

②解出的x的表達(dá)式中含參數(shù)，而表達(dá)式無意義，無解

③同時滿足①和②，無解

求有增根分式方程中參數(shù)字母的值的一般步驟：

①讓最簡公分母為0確定增根；

②去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；

③將增根帶入(當(dāng)有多個增根時，注意分類，不要漏解)；

④解含參數(shù)字母的方程的解。

1.(2。24?山東濟寧?中考真題)解分式方程1-高=-矢時，去分母變形正確的是()

A.2—6%+2=-5B.6%—2—2=-5

C.2-6x-l=5D.6%—2+1=5

【答案】A

【分析】本題考查通過去分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，方程兩邊同乘各分母的最簡公分母，即可

去分母.

【詳解】解：方程兩邊同乘2—6%,得2—6%—(2—6%)X=—2-GXX(2—6%),

整理可得：2-6%+2=-5

故選：A.

2.（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如果關(guān)于x的分式方程工-￡=0的解是負(fù)數(shù)，那么實數(shù)機的取值范圍

XX+1

是（）

A.m<1且zn力0B.m<1C.m>1D.ni<1且m4一1

【答案】A

【分析】本題考查了根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，解分式方程求出分式方程的解，再根據(jù)分式方

程的解是負(fù)數(shù)得到爪-1<0,并結(jié)合分式方程的解滿足最簡公分母不為0,求出小的取值范圍即可，熟

練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：方程兩邊同時乘以x（x+1）得，x+1-mx=0,

解得x=2，

m-1

?.?分式方程的解是負(fù)數(shù)，

m-1<0,

m<1,

又,：x（x+1）X0,

.*.%+1=#0,

A—-1,

m-l

.,.m0,

Am<1且THH0,

故選：A.

3.（2024?四川遂寧?中考真題）分式方程二7=1-弋的解為正數(shù)，則小的取值范圍（）

x-1X-1

A.m>—3B.m>—3且m4—2

C.m<3D.m<3且m豐—2

【答案】B

【分析】本題考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根據(jù)分式方

程解的情況解答即可求解，正確求出分式方程的解是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：方程兩邊同時乘以萬一1得，2=乂一1一根，

解得x=m+3,

???分式方程三=1-￡的解為正數(shù)，

x-1x-1

m+3>0,

.\m>—3,

又,：x豐1,

即TH+3W1,

.\mH—2,

.?./n的取值范圍為zn>一3且mH-2,

故選：B.

4.（2023?四川涼山?中考真題）解方程：=^―-

x+lxz-l

【答案】％=2

【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到支的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的

解.

【詳解】解：二7=六

X+1%2-1

方程兩邊同乘（久+1）（%—1）,

得%（%—1）=2,

整理得，X2-%-2=0,

/.（%+1）（%—2）=0,

解得：/=-1,&=2,

檢驗：當(dāng)%=-1時，（%+1）（%-1）=0,x=-1是增根，

當(dāng)％=2時，（%+1）（%—1）=3W0,

???原方程的解為％=2.

【點睛】本題考查了分式方程的解法，屬于基本題型，熟練掌握解分式方程的方法是解題關(guān)鍵.

【題型9分式方程應(yīng)用題】

中考中常會以解答題形式考查，也有個別是出選擇題或填空題。解答題形式考查經(jīng)常會結(jié)合不等式或一

次函數(shù)等。

列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：①審，②設(shè)，③列，④解，⑤驗（必須要檢驗）⑥答

1.（2024?寧夏.中考真題）數(shù)學(xué)活動課上，甲，乙兩位同學(xué)制作長方體盒子.已知甲做6個盒子比乙做4個

盒子少用10分鐘，甲每小時做盒子的數(shù)量是乙每小時做盒子的數(shù)量的2倍.設(shè)乙每小時做久個盒子，

根據(jù)題意可列方程（）

A.--—=10B.---=10C.---=—D.---=—

x2xx2xx2x60x2x60

【答案】c

【分析】本題考查了分式方程的實際應(yīng)用，設(shè)乙每小時做x個盒子，根據(jù)“甲每小時做盒子的數(shù)量是乙

每小時做盒子的數(shù)量的2倍”，則甲每小時做2x個盒子，根據(jù)“甲做6個盒子比乙做4個盒子少用10分

鐘”，列出方程士―二=日即可.

x2x60

【詳解】解：設(shè)乙每小時做x個盒子，則甲每小時做2X個盒子，

由題意得：

x2x60

故選：C.

2.（2024.四川巴中.中考真題）某班學(xué)生乘汽車從學(xué)校出發(fā)去參加活動，目的地距學(xué)校60km,一部分學(xué)生

乘慢車先行0.5h,另一部分學(xué)生再乘快車前往，他們同時到達(dá).已知快車的速度比慢車的速度每小時快

20km,求慢車的速度？設(shè)慢車的速度為xkm/h,則可列方程為（）

/.\—60—---6--0---——1_H---6--0---——60——1

*XX+202*x-20X2

「60601c60601

C.----------------——D.-----------------=—

*x+20X2xx-202

【答案】A

【分析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用.設(shè)慢車的速度為xkm/h,則快車的速度是（x+20）km/h,再

根據(jù)題意列出方程即可.

【詳解】解：設(shè)慢車的速度為xkm/h,則快車的速度為（x+20）km/h,根據(jù)題意可得：

60_60_1

xx+202'

故選：A.

3.（2024.山東泰安.中考真題）隨著快遞行業(yè)的快速發(fā)展，全國各地的農(nóng)產(chǎn)品有了更廣闊的銷售空間，某農(nóng)

產(chǎn)品加工企業(yè)有甲、乙兩個組共35名工人.甲組每天加工3000件農(nóng)產(chǎn)品，乙組每天加工2700件農(nóng)產(chǎn)品，

已知乙組每人每天平均加工的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量是甲組每人每天平均加工農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量的1.2倍，求甲、乙兩組

各有多少名工人？

【答案】甲組有20名工人，乙組有15名工人

【分析】本題考查了分式方程的實際應(yīng)用，設(shè)甲組有x名工人，則乙組有（35-久）名工人.根據(jù)題意得

^—X1.2,據(jù)此即可求解.

35-xx

【詳解】解：設(shè)甲組有％名工人，則乙組有（35—x）名工人.

根_據(jù)Lp3題日否思?一4得日：^2700=—3000x1y.—2'

解答：%=20,

經(jīng)檢驗，x=20是所列方程的解，且符合題意，

35—%=35—20=15.

答：甲組有20名工人，乙組有15名工人.

4.（2024?江蘇揚州?中考真題）為了提高垃圾處理效率，某垃圾處理廠購進(jìn)A、B兩種機器，A型機器比B

型機器每天多處理40噸垃圾，A型機器處理500噸垃圾所用天數(shù)與B型機器處理300噸垃圾所用天數(shù)

相等.8型機器每天處理多少噸垃圾？

【答案】2型機器每天處理60噸垃圾

【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確找出題中的等量關(guān)系，本題屬于基礎(chǔ)題型.

設(shè)B型機器每天處理X噸垃圾，則4型機器每天處理0+40)噸垃圾，根據(jù)題意列出方程即可求出答案.

【詳解】解：設(shè)B型機器每天處理x噸垃圾，貝必型機器每天處理(x+40)噸垃圾，

根據(jù)題意，得個=吧，

x+40x

解得％=60.

經(jīng)檢驗，久=60是所列方程的解.

答：8型機器每天處理60噸垃圾.

5.(2024.重慶?中考真題)為促進(jìn)新質(zhì)生產(chǎn)力的發(fā)展，某企業(yè)決定投入一筆資金對現(xiàn)有甲、乙兩類共30條

生產(chǎn)線的設(shè)備進(jìn)行更新?lián)Q代.

(1)為鼓勵企業(yè)進(jìn)行生產(chǎn)線的設(shè)備更新，某市出臺了相應(yīng)的補貼政策.根據(jù)相關(guān)政策，更新1條甲類生

產(chǎn)線的設(shè)備可獲得3萬元的補貼，更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備可獲得2萬元的補貼.這樣更新完這30

條生產(chǎn)線的設(shè)備，該企業(yè)可獲得70萬元的補貼.該企業(yè)甲、乙兩類生產(chǎn)線各有多少條？

(2)經(jīng)測算，購買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備比購買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備需多投入5萬元，用200

萬元購買更新甲類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量和用180萬元購買更新乙類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量相同，那么該企業(yè)

在獲得70萬元的補貼后，還需投入多少資金更新生產(chǎn)線的設(shè)備？

【答案】(1)該企業(yè)甲類生產(chǎn)線有10條，則乙類生產(chǎn)線各有20條；

(2)需要更新設(shè)備費用為1330萬元

【分析】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，理解題意，確定相等關(guān)系是解本題的

關(guān)鍵.

(1)設(shè)該企業(yè)甲類生產(chǎn)線有x條，則乙類生產(chǎn)線各有(30-%)條，再利用更新完這30條生產(chǎn)線的設(shè)備，

該企業(yè)可獲得70萬元的補貼，再建立方程求解即可；

(2)設(shè)購買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備為ni萬元，則購買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備為(爪-5)萬元，

利用用200萬元購買更新甲類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量和用180萬元購買更新乙類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量相同，

再建立分式方程，進(jìn)一步求解.

【詳解】(1)解：設(shè)該企業(yè)甲類生產(chǎn)線有x條，則乙類生產(chǎn)線各有(30-乃條，則

3x+2(30—x)—70,

解得：%=10,

則30-%=20；

答：該企業(yè)甲類生產(chǎn)線有10條，則乙類生產(chǎn)線各有20條；

(2)解：設(shè)購買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備為m萬元，則購買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備為(爪-5)萬

元，則

200_180

mm-5

解得：m=50,

經(jīng)檢驗：6=50是原方程的根，且符合題意；

則m-5=45,

則還需要更新設(shè)備費用為10x50+20x45-70=1330(萬元);

6.(2024?重慶?中考真題)某工程隊承接了老舊小區(qū)改造工程中1000平方米的外墻粉刷任務(wù)，選派甲、乙

兩人分別用4、B兩種外墻漆各完成總粉刷任務(wù)的一半.據(jù)測算需要4B兩種外墻漆各300千克，購買

外墻漆總費用為15000元，已知2種外墻漆每千克的價格比B種外墻漆每千克的價格多2元.

(1)求力、B兩種外墻漆每千克的價格各是多少元？

(2)已知乙每小時粉刷外墻面積是甲每小時粉刷外墻面積的￡乙完成粉刷任務(wù)所需時間比甲完成粉刷任

務(wù)所需時間多5小時.問甲每小時粉刷外墻的面積是多少平方米？

【答案】(1)4種外墻漆每千克的價格為26元，貝/種外墻漆每千克的價格為24元.

(2)甲每小時粉刷外墻的面積是25平方米.

【分析】本題考查的是分式方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意建立方程是解本題的關(guān)鍵；

(1)設(shè)2種外墻漆每千克的價格為萬元，則B種外墻漆每千克的價格為(久-2)元，再根據(jù)總費用為15000

元列方程求解即可；

(2)設(shè)甲每小時粉刷外墻面積為y平方米，則乙每小時粉刷外墻面積是平方米；利用乙完成粉刷任

務(wù)所需時間比甲完成粉刷任務(wù)所需時間多5小時.從而建立分式方程求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)4種外墻漆每千克的價格為x元，則8種外墻漆每千克的價格為(x-2)元，

二300x+300(x-2)=15000,

解得：x=26,

：.x-2=24,

答：力種外墻漆每千克的價格為26元，B