獨立性檢驗（原卷版）-概率統(tǒng)計題型全歸納

專題11獨立性檢驗

例1.2019年11月5日至10日，第二屆中國國際進口博覽會在上海舉行.某宣傳媒體組織業(yè)內(nèi)人士對某

型號智能機器人進行評分，所得情況如圖所示:

（I）試估計業(yè)內(nèi)人士評分的平均數(shù)以及方差（用每個小矩形底邊中點近似替代本組數(shù)據(jù)）;

（II）為了調(diào)查評分與性別是否具有相關(guān)性，研究人員隨機抽取了60位參加評分的業(yè)內(nèi)人士，其中男性與

女性人數(shù)各一半，根據(jù)已知條件完成下面2x2列聯(lián)表，據(jù)此資料，是否有90%的把握認為評分的高低與性

別有關(guān)?

分數(shù)不低于60分低于60分合計

男性1630

女性1030

合計60

參考公式：(1)K2=---------ft(^dbe)-------,其中〃二1+匕+0+^.

(a+c)(b+d)(Q+b)(c+d)

22

(2)DX=(xl-EX)xpl+(x2-EXyxp2+...+(xn-EX)xpn.

參考數(shù)據(jù):

例2.某校舉行了一次數(shù)學競賽，為了了解本次競賽學生的成績情況，從中抽取了部分學生的分數(shù)（得分取

正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本（樣本容量為"）進行統(tǒng)計，按照[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,

90）,[90,100]的分組作出頻率分布直方圖，已知得分在[50,60）,[90,100]的頻數(shù)分別為16,4.

(I)求樣本容量〃和頻率分布直方圖中的a,6的值；

(II)估計本次競賽學生成績的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)；

(III)在選取的樣本中，若男生和女生人數(shù)相同，我們規(guī)定成績在70分以上稱為“優(yōu)秀”，70分以下稱為

“不優(yōu)秀”，其中男女生中成績優(yōu)秀的分別有24人和30人，請完成列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為

“學生的成績優(yōu)秀與性別有關(guān)”？

男生女生總計

優(yōu)秀

不優(yōu)秀

總計

0.100.050.0100.0050.001

名片囪0)

3.841

k02.7066.6357.87910.828

附：片=——<ad-bcf------,其中”=a+b+c+d.

(Q+Z?)(c+d)(Q+c)(b+d)

例3.某健身館為了宣傳健身效果，吸引顧客，特別請專業(yè)的評估機構(gòu)對他們500名學員的鍛煉成果進行評

估打分(滿分100分)，并且認為評分不低于80分的參與者為健身達人，得到如表：

健身達人非健身達總計

人

男20050250

女100150250

總計300200500

（I）判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為健身達人與性別有關(guān)系？

（H）若500名學員中40歲以上的有100人，30歲到40歲的有300人，30歲以下的100人，先從中分層

抽取5人進行抽獎活動，再從這5人中抽取兩位對其進行全年免單活動，求兩人全年免單都在30歲到40

歲之間的概率是多少？

附：

尸（胃肉）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

片=——<ad-bcf——，其中〃=a+Hc+d.

（a+b）（c+d）（Q+c）（b+d）

例4.某公司為了推廣某項技術(shù)，對旗下200名員工的年齡和人數(shù)進行了統(tǒng)計，統(tǒng)計其對這項技術(shù)的接受程

度，從而為后期宣傳工作做準備，并繪制了如下頻率分布直方圖.

（I）根據(jù)如圖求樣本年齡的中位數(shù)和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）（保留兩位小

數(shù)）；

（H）若將樣本分為兩個年齡段，年齡在區(qū)間［18,38）和［38,68］分別稱為“青少年”和“中老年”,根據(jù)

相關(guān)條件完成下表，并判斷是否有95%的把握認為對新技術(shù)接受程度與年齡段有關(guān)？

青少年中老年合計

接受2090

不接受110

合計200

參考公式：K2=------................，其中〃=a+"c+d.

(Q+b)(c+d)(Q+c)(Z?+d)

參考數(shù)據(jù):

尸（曉鹵）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

0182838485868年齡

例5.“微信運動”已成為當下熱門的健身方式，小王的微信朋友圈內(nèi)也有大量好友參與了“微信運動”，他

隨機選取了其中的40人（男、女各20人），記錄了他們某一天的走路步數(shù)，并將數(shù)據(jù)整理如下：

積極型懈怠型總計

男

女

總計

0-20008001-10000>10000

1性臚J2001-50905001-8000

男12368

女021062

（I）若采用樣本估計總體的方式，試估計小王的所有微信好友中每日走路步數(shù)超過5000步的概率；

（II）已知某人一天的走路步數(shù)超過8000步被系統(tǒng)評定“積極型”，否則為“懈怠型”，根據(jù)題意完成下面

的2x2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷能否有95%以上的把握認為“評定類型”與“性別”有關(guān)?

1

2n（ad-be）

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

Pg.k。)0.100.050.0250.010

k。2.7063.8415.0246.635

例6.為了調(diào)查某大學學生在周日上網(wǎng)的時間，隨機對100名男生和100名女生進行了不記名的問卷調(diào)查,

得到了如下的統(tǒng)計結(jié)果：表1：男生上網(wǎng)時間與頻數(shù)分布表

上網(wǎng)時間（分鐘）[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80]

人數(shù)525302515

表2：女生上網(wǎng)時間與頻數(shù)分布表

上網(wǎng)時間(分鐘)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80]

人數(shù)1020402010

(I)若該大學共有女生750人，試估計其中上網(wǎng)時間不少于60分鐘的人數(shù)；

(II)完成表3的2x2列聯(lián)表(此表應(yīng)畫在答題卷上)，并回答能否有90%的把握認為“學生周日上網(wǎng)時間

與性別有關(guān)”？

(III)從表3的男生中“上網(wǎng)時間少于60分鐘”和“上網(wǎng)時間不少于60分鐘”的人數(shù)中用分層抽樣的方

法抽取一個容量為5的樣本，再從中任取兩人，求至少有一人上網(wǎng)時間超過60分鐘的概率.

表3:

上網(wǎng)時間少于60分鐘上網(wǎng)時間不少于60分鐘合計

男生———

女生———

合計———

附：r=----------也士-------，其中〃=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

pg.k。)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

k00.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.83

例7.某種疾病可分為1、I［兩種類型，為了解該疾病類型與性別的關(guān)系，在某地區(qū)隨機抽取了患該疾病的

病人進行調(diào)查，其中男性人數(shù)為z,女性人數(shù)為2z,男性患I型病的人數(shù)占男性病人的*,女性患I型病

的人數(shù)占女性病人的L

3

I型病II型病合計

男

女

合計

(1)完成2x2聯(lián)表若在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為“所患疾病類型”與“性別”有關(guān)，求男

性患者至少有多少人？

（2）某藥品研發(fā)公司欲安排甲乙兩個研發(fā)團隊來研發(fā)此疾病的治療藥物，兩個團隊各至多安排2個接種周

期進行試驗.每人每次接種花費風根＞。）元.甲團隊研發(fā)的藥物每次接種后產(chǎn)生抗體的概率為p,根據(jù)以

往試驗統(tǒng)計，甲團隊平均花費為-2〃/+6加；乙團隊研發(fā)的藥物每次接種后產(chǎn)生抗體的概率為q,每個周

期必須完成3次接種，若一個周期內(nèi)至少出現(xiàn)2次抗體，則該周期結(jié)束后終止試驗，否則進入第二個接種

周期.假設(shè)兩個研發(fā)團隊每次接種后產(chǎn)生抗體與否均相互獨立.

若p=2q,從兩個團隊試驗的平均花費考慮，該公司應(yīng)選擇哪個團隊進行藥品研發(fā)？

sn{ad-bc）2

(Q+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

尸（屋.人）0.100.050.010.0050.001

k。2.7063.8416.6357.87910.828

例8.某房產(chǎn)中介統(tǒng)計了深圳市某高檔小區(qū)從2018年12月至2019年11月當月在售二手房均價（單位：萬

元/平方米）的散點圖，如圖所示，圖中月份代碼1至12分別對應(yīng)2018年12月至2019年11月的相應(yīng)月

根據(jù)散點圖選擇丫=々+法和'='+力加兩個模型進行擬合，根據(jù)數(shù)據(jù)處理得到兩個回歸方程分別為

y=6.9057+0.0195尤和j=6.8639+OAOUlnx,并得到以下一些統(tǒng)計量的值：

9=6.9057+0.01951y=6.8639+0.1012/nx

12

殘差平方和2（％-女）20.01485570.0048781

?=1

12

總偏差平方和￡（%-%了0.069193

Z=1

（1）請利用相關(guān)指數(shù)甯判斷哪個模型的擬合效果更好；

（2）某位購房者擬于2020年5月份購買深圳市福田區(qū)s（50Bk160）平方米的二手房（欲購房為其家庭首套

房）.若該小區(qū)所有住房的房產(chǎn)證均已滿3年，請你利用（1）中擬合效果更好的模型解決以下問題：

⑺估算該購房者應(yīng)支付的購房金額.（購房金額=房款+稅費；房屋均價精確到0.01萬元/平方米）

（而）若該購房者擬用不超過760萬元的資金購買該小區(qū)一套二手房，試估算其可購買的最大面積（精確到1

平方米）

附注：根據(jù)有關(guān)規(guī)定，二手房交易需要繳納若干項稅費，稅費是按照房屋的計稅價格進行征收.（計稅價格

=房款）

征收方式見如表:

購買首套房面積S（平方米）s,,9090<5?144s>144

契稅（買方繳納）的稅率1%2%4%

參考數(shù)據(jù)：歷2*0.69,Zn3~1.10,歷7a2.83,加19y2.94,應(yīng)21.41,621.73,717?4.12,J19?4.36,

￡（%-討

參考公式：相關(guān)指數(shù)女=1-上」~.

Su-x）2

/-=1

例9.從某小區(qū)抽取50戶居民進行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50到350度之間，頻率分布直方圖如

.4類用戶3類用戶

97706

86517S9

98285678

87109789

圖1圖2

（1）求頻率分布直方圖中x的值并估計這50戶用戶的平均用電量;

（2）若將用電量在區(qū)間［50,150）內(nèi)的用戶記為A類用戶，標記為低用電家庭，用電量在區(qū)間［250,350）

內(nèi)的用戶記為3類用戶，標記為高用電家庭，現(xiàn)對這兩類用戶進行問卷調(diào)查，讓其對供電服務(wù)進行打分,

打分情況見莖葉圖如圖2:

①從3類用戶中任意抽取1戶，求其打分超過85分的概率;

②若打分超過85分視為滿意，沒超過85分視為不滿意，請?zhí)顚懴旅媪新?lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%

的把握認為“滿意度與用電量高低有關(guān)”？

滿意不滿意合計

A類用戶

3類用戶

合計

附表及公式:

20.0500.0100.001

P(K..k0)

k。3.8416.63510.828

K?_n(ad-be)2

n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

例10.某工廠有25周歲以上（含25周歲）工人300名，25周歲以下工人200名.為研究工人的日平均生

產(chǎn)量是否與年齡有關(guān).現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)

件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上（含25周歲）”和“25周歲以下”分為兩組，在將兩組工人的日平

均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100）分別加以統(tǒng)計，得到如

圖所示的頻率分布直方圖.

（1）從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人

的概率.

（2）規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請你根據(jù)已知條件完成2x2的列聯(lián)表，并判斷是

否有90%的把握認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”？

P(XLk)0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

n(ad-be)2

(Q+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

例11.某市在對學生的綜合素質(zhì)評價中，將其測評結(jié)果分為“優(yōu)秀、合格、不合格”三個等級，其中不小

于80分為“優(yōu)秀”，小于60分為“不合格”,其它為“合格”.

（I）某校高二年級有男生500人，女生400人，為了解性別對該綜合素質(zhì)評價結(jié)果的影響，采用分層抽

樣的方法從高二學生中抽取了90名學生的綜合素質(zhì)評價結(jié)果，其各個等級的頻數(shù)統(tǒng)計如表：

等級優(yōu)秀合格不合格

男生（人）30X8

女生（人）306y

根據(jù)表中統(tǒng)計的數(shù)據(jù)填寫下面2x2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為“綜合素質(zhì)評價測評結(jié)果為優(yōu)秀

與性別有關(guān)”？

男生女生總計

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

總計

（II）以（I）中抽取的90名學生的綜合素質(zhì)評價等級的頻率作為全市各個評價等級發(fā)生的概率，且每名

學生是否“優(yōu)秀”相互獨立，現(xiàn)從該市高二學生中隨機抽取4人.

⑺求所選4人中恰有3人綜合素質(zhì)評價為“優(yōu)秀”的概率；

（而）記X表示這4人中綜合素質(zhì)評價等級為“優(yōu)秀”的人數(shù)，求X的數(shù)學期望.

附：參考數(shù)據(jù)與公式

（1）臨界值表:

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

(2)參考公式：K2=----------------------------------，其中〃=a+

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

例12.電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查.下

面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節(jié)目時間不

低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”

（1）根據(jù)已知條件完成下面的2x2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認為“體育迷”與性別有關(guān)？（注:0.95以

上把握說明有關(guān)）

非體育迷體育迷合計

男

女1055

合計

(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名

觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求X的

分布列，期望E(X)和方差￡>(X)

"”2+4142

P(X'k)0.050.01

k3.8416.635

頻率

例13.隨著節(jié)能減排意識深入人心以及共享單車在饒城的大范圍推廣，越來越多的市民在出行時喜歡選擇

騎行共享單車.為了研究廣大市民在共享單車上的使用情況，某公司在我市隨機抽取了100名用戶進行

調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：

每周使用次數(shù)1次2次3次4次5次6次及以上

男4337830

女6544620

合計1087111450

(1)如果認為每周使用超過3次的用戶為“喜歡騎行共享單車”，請完成2x2列表(見答題卡)，并判斷能

否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，認為是否“喜歡騎行共享單車”與性別有關(guān)？

(2)每周騎行共享單車6次及6次以上的用戶稱為“騎行達人”，視頻率為概率，在我市所有“騎行達人”

中，隨機抽取4名用戶.

①求抽取的4名用戶中，既有男生“騎行達人”又有女“騎行達人”的概率；

②為了鼓勵女性用戶使用共享單車，對抽出的女“騎行達人”每人獎勵500元，記獎勵總金額為X,求X的

分布列及數(shù)學期望.

附表及公式：K2=----Mad-be)’-----------

(Q+b)(c+d)(Q+c)(Z?+d)

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

例14.2021年，遼寧省將實施新高考，2018年暑期入學的高一學生是新高考首批考生，新高考不再分文理

科，采用3+3模式，其中語文、數(shù)學、外語三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還要依據(jù)想考取的

高校及專業(yè)的要求，結(jié)合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物6門科目

中自選3門參加考試（6選3）,每科目滿分100分.

為了應(yīng)對新高考，某高中從高一年級1000名學生（其中男生550人，女生450人）中，采用分層抽樣的方

法從中抽取"名學生進行調(diào)查.

（1）已知抽取的〃名學生中含女生45人，求"的值及抽取到的男生人數(shù)；

（2）學校計劃在高一上學期開設(shè)選修中的“物理”和“地理”兩個科目，為了了解學生對這兩個科目的選

課情況，對在（1）的條件下抽取到w名學生進行問卷調(diào)查（假定每名學生在這兩個科目中必須選擇一個科

目且只能選擇一個科目），下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的2x2列聯(lián)表：

選擇“物理”選擇“地理”總計

男生10

女生25

總計

請將上面的列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99%的把握認為選擇科目與性別有關(guān)？說明你的理由；

（3）在抽取到的45名女生中按分層抽樣再抽出9名女生，了解女生對“歷史”的選課意向情況，在這9

名女生中再抽取4人，設(shè)這4人中含選擇“地理”的人數(shù)為X,求X的分布列及期望.

P(KLk)0.050.01

k3.8416.635

K?_一年%])一

%+"+/+2

例15.微信是現(xiàn)代生活進行信息交流的重要工具，據(jù)統(tǒng)計，某公司200名員工中90%的人使用微信，其中

每天使用微信時間在一小時以內(nèi)的有60人，其余每天使用微信在一小時以上.若將員工年齡分成青年（年

齡小于40歲）和中年（年齡不小于40歲）兩個階段，使用微信的人中75%是青年人.若規(guī)定：每天使用

微信時間在一小時以上為經(jīng)常使用微信，經(jīng)常使用微信的員工中-是青年人.

3

(I)若要調(diào)查該公司使用微信的員工經(jīng)常使用微信與年齡的關(guān)系，列出2x2列聯(lián)表;

青年人中年人合計

經(jīng)常使用微信

不經(jīng)常使用微信

合計

(II)由列聯(lián)表中所得數(shù)據(jù)，是否有99.9%的把握認為“經(jīng)常使用微信與年齡有關(guān)”？

P(K?..k)0.0100.001

k6.63510.828

n(ad-be)2

(Q+b)(c+d)(Q+c)(b+d)

例16.某校高三4班有50名學生進行了一場投籃測試，其中男生30人，女生20人.為了了解其投籃成績，

甲、乙兩人分別都對全班的學生進行編號(1-50號)，并以不同的方法進行數(shù)據(jù)抽樣，其中一人用的是系

統(tǒng)抽樣，另一人用的是分層抽樣.若此次投籃測試的成績大于或等于80分視為優(yōu)秀，小于80分視為不

優(yōu)秀，如表是甲、乙兩人分別抽取的樣本數(shù)據(jù):

甲抽取的樣本數(shù)據(jù)

編號271217222732374247

性別男女男男女男女男女女

投籃成90607580838575807060

績

乙抽取的樣本數(shù)據(jù)

編號181020232833354348

性別男男男男男男女女女女

投籃成95858570708060657060

績

(I)在乙抽取的樣本中任取3人，記投籃優(yōu)秀的學生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.

優(yōu)秀非優(yōu)秀合計

男———

女———

合計——10

(II)請你根據(jù)乙抽取的樣本數(shù)據(jù)完成下列2x2列聯(lián)表，判斷是否有95%以上的把握認為投籃成績和性別

有關(guān)？

(III)判斷甲、乙各用何種抽樣方法，并根據(jù)(II)的結(jié)論判斷哪種抽樣方法更優(yōu)？說明理由.

下面的臨界值表供參考:

P(.K2..k)0.150.100.050.0100.0050.001

k2.0722.7063.8416.6357.87910.828

(參考公式：K2=----------——-----------------，其中”=a+0+c+d)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

例17.已知某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名，25周歲以下工人200名.為研究工人的日平

均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計了他們某月的日平均

生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的

日平均生產(chǎn)件數(shù)分為5組：［50,60),[60，70),[70,