分式方程 -2025年浙教版九年級(jí)中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義

浙教版中考數(shù)學(xué)第一輪專題復(fù)習(xí)講義

第二單元方程(組)與不等式(組)

《第7講分式方程》

【知識(shí)梳理】

1.分式方程的有關(guān)概念

⑴分式方程:只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.

(2)增根:使分式方程的分母為一^的根叫做增根.

2.分式方程的解法

去分母

(1)解分式方程的基本思想:把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，即分式方程一整式方程.

(2)解法:方程兩邊同乘各分式的最簡(jiǎn)公分母,約去分母，化為整式方程，再求根驗(yàn)根.

3.分式方程的應(yīng)用

(1)用分式方程解決實(shí)際問(wèn)題，和用整式方程解決實(shí)際問(wèn)題一樣，先要弄清題意，再設(shè)未知數(shù)、

列方程并解答.

(2)要特別注意解完分式方程后需驗(yàn)根.

【考題探究】

類型一分式方程的解法

【例1][2024?浙江]若3=1,則％=3.

%—1

變式1解方程:(1)”=

解:去分母，得x(2x—l)=(x+l)(2x—2),

去括號(hào),得2x2—x=2x2—2.

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得一x=-2.

兩邊同除以一1，得％=2.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=2是原分式方程的斛.

解:去分母，＜(x+l)2-4=x2-l,

解得x—1.

經(jīng)檢驗(yàn)X=1是增根，

，原分式方程無(wú)解.

(3)[2024?福建—+1=二.

尤+2x—2

解:去分母，得3(x-2)+(x+2)(x—2)=x(x+2).

去括號(hào),得3x—6+x2-4=x2+2x.

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得x=10.

經(jīng)檢驗(yàn)，％=10是原分式方程的解.

類型二分式方程的無(wú)解、增根、特殊解問(wèn)題

【例2】若關(guān)于x的分式方程工+匹=2機(jī)有增根，則機(jī)的值為1.

x—22—x-----

【解析】去分母，得X—2?1=2?Z(X—2).①

?.,原方程有增根，.*.x—2=0,即x=2.

把x=2代人①，得2—2m=0,斛得m=l.

變式2—1[2024?黑龍江]已知關(guān)于x的分式方程々一2=廠一無(wú)解，則上的值為(A)

X~33~X

A.2或一1B.-2

C.2或1D.-1

【解析】去分母，得區(qū)一2(工-3)=-3.

去括號(hào)，得fee—2x+6=-3.

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得(左一2)*=—9.

?.?關(guān)于x的分式方程無(wú)將，

?\x=3,或k—2=0,

斛得k=—l或k=2.

變式2—2[2024?齊齊哈爾]如果關(guān)于x的分式方程1—黑=0的解是負(fù)數(shù)，那么實(shí)數(shù)機(jī)的

取值范圍是(A)

A.m<1且m^QB.m<1

C.m>1D.m<1且1

【解析】--^=0,

Xx+1

去分母，得x+1—m％=0.

移項(xiàng)，得X—mx=-1.

合并同類項(xiàng)，得(1—M)X=-1,

1

解得％=——.

m—1

1tn

;關(guān)于X的分式方程;一六=0的斛是負(fù)教，

1

且--，

*.m—K0m-lR—1

斛得m<l且加制.

類型三分式方程的應(yīng)用

【例3][2024?綏化]一艘貨輪在靜水中的航速為40km/h,它以該航速沿江順流航行120km

所用時(shí)間，與以該航速沿江逆流航行80km所用時(shí)間相等，則江水的流速為(D)

A.5km/hB.6km/h

C.7km/hD.8km/h

【解析】設(shè)江水的流速為x(km/h),則沿江順流航行的速度為(40+x)km/h,沿江逆流航行的

速度為(40—x)km/h,

解得x=8,

/.江水的流速為8km/h.

變式3—1某校購(gòu)買了一批籃球和足球.已知購(gòu)買足球的數(shù)量是籃球的2倍，購(gòu)買足球用了5

000元,購(gòu)買籃球用了4000元,籃球單價(jià)比足球貴30元.根據(jù)題意可列方程部=--30,

2xx

則方程中x表示(D)

A.足球的單價(jià)B.籃球的單價(jià)

C.足球的數(shù)量D.籃球的數(shù)量

變式3—2照相機(jī)成像應(yīng)用了一個(gè)重要原理，用公式5=1+初表示，其中/表示照相機(jī)鏡

頭的焦距，M表示物體到鏡頭的距離，。表示膠片(像)到鏡頭的距離.已知方0,則M=(C)

A.此

f-v

C券

【解析】初，i

變式3—3[2024?揚(yáng)州]為了提高垃圾處理效率，某垃圾處理廠購(gòu)進(jìn)A,3兩種機(jī)器，A型機(jī)

器比3型機(jī)器每天多處理40噸垃圾，A型機(jī)器處理500噸垃圾所用天數(shù)與B型機(jī)器處理300

噸垃圾所用天數(shù)相等方型機(jī)器每天處理多少噸垃圾?

解:設(shè)B型機(jī)器每天處理x噸近圾，則A型機(jī)器每天處理(x+40)噸殳圾,

由題意，得=丑￡,解得x=60.

x+40x

經(jīng)檢驗(yàn)，x=60是所列方程的解，且符合題意.

答:5型機(jī)器每天處理60噸垃虬

【例4][2023?嘉興、舟山]小丁和小迪分別解方程工一==1,過(guò)程如下:

%—22—%

小丁：

解:去分母，得X—(X—3)=x—2.

去括號(hào)，得x—x+3=x—2.

合并同類項(xiàng)，得3=L2.

解得，x=5,

原方程的解是x=5.

小迪：

解:去分母，得x+(x—3)=1.

去括號(hào)，得x+x—3=1.

合并同類項(xiàng)，得2x—3=1.

解得，x=2.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=2是方程的增根，原方程無(wú)解.

你認(rèn)為小丁和小迪的解法是否正確?若正確，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“7”；若錯(cuò)誤，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“x

并寫(xiě)出正確的解答過(guò)程.

解:小丁:X；小迪:X.

正確將答過(guò)程如下：

去分母，得x+x—3=x—2.

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得x=l.

經(jīng)檢■驗(yàn)，X—1是原分式方程的斛.

【課后作業(yè)】

1

1.[2023?株洲]將關(guān)于x的分式方程搟去分母可得（A）

2x%—1

A.3x_3=2xB.3x—1=2%

C.3x—1=xD.3x—3=x

2x

2.小明解分式方程1的過(guò)程如下:

3x+3

解:去分母，得3=2x—（3x+3）.①

去括號(hào)，得3=2x—3x+3.②

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得一x=6.③

系數(shù)化為1，得%=-6.④

以上步驟中，開(kāi)始出錯(cuò)的一步是（B)

A.①B.②

C.③D.④

2

3.[2024?瀘州]分式方程—-3=的解是（D

x~22~x)

A.x_7B.x=一1

3

5

D.x=3

3

4.若x=T是方程士一的解,貝物的值為（A)

A.6B.16

C.3D.l3

5.[2024?達(dá)州]甲、乙兩人各自加工120個(gè)零件，甲由于個(gè)人原因沒(méi)有和乙同時(shí)進(jìn)行，乙先

加工30分鐘后，甲開(kāi)始加工.甲為了追趕上乙的進(jìn)度，加工的速度是乙的1.2倍，最后兩人同

時(shí)完成.求乙每小時(shí)加工零件多少個(gè).設(shè)乙每小時(shí)加工x個(gè)零件，所列方程為(D)

120_120

A.-=30B.—-—=30

,1.2XXX1.2%

120120_30120120_30

C.D.

1.2%X60X1.2%60

6.[2024?新疆]某校九年級(jí)學(xué)生去距學(xué)校20km的科技館研學(xué)，一部分學(xué)生乘甲車先出發(fā)，5

min后其余學(xué)生再乘乙車出發(fā)，結(jié)果同時(shí)到達(dá),已知乙車的速度是甲車速度的1.2倍，設(shè)甲車

的速度為x(km/h),根據(jù)題意可列方程(D)

20—20_20_

A.--=5口2°

*1.2%XX1.2%

2020_1ri?20_1

C.D.。

,1.2X%12X1.2%12

【解析】設(shè)甲車的速度為x(km/h),則乙車的速度為1.2x(km/h),

L人上,。2020_5。2020_1

由題意，仔—一--------，即—---------.

%1.2%601%1.2%12

7.如果關(guān)于x的方程"=1的解為正數(shù)，那么機(jī)的取值范圍是(D)

%—1

A.m>—1

B.m>一1且加=0

C.m<—1

D.m<—1且加W—2

【解析】去分母，<2x+m=x—\,

斛得x=—1—m.

又；方程的斛為正教，且存1,

f—1—m>0,fm<—1,

???斛得

1―1—mW1,Im#=—2,

的取值范囹是m<—l且m^—2.

8.[2024?北京]方程一^+工=0的解為x=-l.

【解析】-^-+-=0,

2x+3x

去分母，得x+(2x+3)=0,

則3%+3=0,

斛得X=—1.

經(jīng)檢驗(yàn)，X=-1是原方程的斛.

9.［2023?河北］根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，寫(xiě)出。的值為一|_,9的值為-2.

吉果\

2n

代數(shù)式

3%+17b

2%+1a1

X

【解析】a=空手5

2

由題意，得四二

n

解得n=-l.

經(jīng)檢驗(yàn)，n=—l是分式方程的解,

J8=3義(-1)+1=-2.

1。.定義一種新運(yùn)算:對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)a,b,⑶三+今若(x+1)兇尸子x的值

為上一

【解析】由題意，得一-+-=2%+1

%+1Xx

去分母，得x+x+l=(2x+l)(x+l),

解得Xl=0，X2=一

經(jīng)檢驗(yàn)，x=0是原分式方程的增根,

x=-］是原分式?方程的斛,

1

???原分式j(luò)方程的斛為x=-

LU2023.巴中］關(guān)于x的分式方程智+±=3有增根,則〃-1

【角星析】方程兩邊同乘(X—2),得x+機(jī)一l=3(x—2).

由題意得，％=2是該整式方程的解,

??.2+帆一1=0,解得m=-l.

12.［2。24.達(dá)州］若關(guān)于x的方程三一寄=1無(wú)解,則左的值為2或一1?

【解析】去分母，得3—(區(qū)一1)="—2,

斛得尸工.

①當(dāng)x=2時(shí)，原分式方程分母為0,方程無(wú)斛,

即言^=2，，4=2時(shí)方程無(wú)解；

②當(dāng)左+1=0,即左=—1時(shí)，方程無(wú)斛.

綜上所述，k的值為2或一1.

13.解下列分式方程：

(1)[2024?溫州模擬]3=

2%—15

解:去分母，得5x+15=6x—3,

斛得％=18.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=18是分式方程的斛.

(2)[2024?陜西]白+工=1.

解:去分母，得2+x(x+l)=(x+l)(x—l),

斛得x=—3.

經(jīng)檢■驗(yàn)，x=-3是分式方程的斛.

14.[2023?揚(yáng)州]甲、乙兩名學(xué)生到離校2.4km的“人民公園”參加志愿者活動(dòng)，甲同學(xué)步行,

乙同學(xué)騎自行車，騎自行車速度是步行速度的4倍，甲出發(fā)30min后乙同學(xué)出發(fā)，兩名同學(xué)

同時(shí)到達(dá)，求乙同學(xué)騎自行車的速度.

解:設(shè)甲同學(xué)步行的速度為x(km/h),則乙同學(xué)騎自行車的速度為4x(km/h).

由題國(guó)'何丁一獲=Z,

斛得X—3.6.

經(jīng)檢瞼，x=3.6是所列方程的解，且符合題意，

.\4x=4X3.6=14.4.

答:乙同學(xué)騎自行車的速度為14.4km/h.

15.[2024?威海]某公司為節(jié)能環(huán)保，安裝了一批A型節(jié)能燈，一年用電16000千瓦?時(shí).后

購(gòu)進(jìn)一批相同數(shù)量的3型節(jié)能燈，一年用電9600千瓦?時(shí)若一盞A型節(jié)能燈每年的用電量

比一盞B型節(jié)能燈每年用電量的2倍少32千瓦?時(shí)，求一盞A型節(jié)能燈每年的用電量.

解:設(shè)一盞5型節(jié)能燈每年的用電量為x千瓦?時(shí)，則一盞A型節(jié)能燈每年的用電量為(2x—

32)千3?時(shí),

根據(jù)題意，得生儂=詠，解得*=96.

ZX—32X

經(jīng)檢瞼，x=96是所列方程的斛，且符合題意，

?\2x-32=2X96-32=160.

答:一盞