概率初步（5個(gè)考點(diǎn)8大題型）解析版-2024學(xué)年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)題型突破

專題5概率初步（5個(gè)考點(diǎn)8大題型）

國(guó)W率支題型歸他

【題型1:事件類型】

【題型2：可能性大小】

【題型3：概率的意義】

【題型4：幾何意義】

【題型5：概率公式】

【題型6：列表法與樹(shù)狀圖法】

【題型7：游戲的公平性】

【題型8：用頻率估計(jì)概率】

_旦播免出左___________________________________

【題型1：事件類型】

1.（2023春?青原區(qū)期末）下列事件中，是必然事件的是（）

A.水中撈月B.水漲船高C.守株待兔D.百步穿楊

【答案】B

【解答】解：4水中撈月是不可能事件，不符合題意；

B,水漲船高是必然事件，符合題意；

C、守株待兔是隨機(jī)事件，不符合題意；

。、百步穿楊是隨機(jī)事件，不符合題意.

故選：B.

2.（2023春?渠縣期末）對(duì)下列事件判斷正確的是（）

A.成語(yǔ)“水中撈月”是隨機(jī)事件

B.兩直線平行，同位角相等是必然事件

C.在13名同學(xué)中至少有兩人的生日在同一個(gè)月是不確定事件

D.1000件產(chǎn)品中只有一件是次品，從中隨機(jī)抽取一件，“是次品”是不可能

事件

【答案】B

【解答】解：4成語(yǔ)“水中撈月”是不可能事件，故A不符合題意；

B,兩直線平行，同位角相等是必然事件，故3符合題意；

C、在13名同學(xué)中至少有兩人的生日在同一個(gè)月是確定事件，故C不符合題

思；

D.1000件產(chǎn)品中只有一件是次品，從中隨機(jī)抽取一件，“是次品”是隨機(jī)

事件，故。不符合題意；

故選：B.

3.（2023?冀州區(qū)校級(jí)模擬）下列事件中，是隨機(jī)事件的是（）

A.三角形中任意兩邊之和大于第三邊

B.太陽(yáng)從東方升起

C.車(chē)輛隨機(jī)到達(dá)一個(gè)路口，遇到綠燈

D.一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值為負(fù)數(shù)

【答案】C

【解答】解：A、三角形中任意兩邊之和大于第三邊是必然事件，故本選項(xiàng)不

符合題意；

B,太陽(yáng)從東方升起是必然事件，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、車(chē)輛隨機(jī)到達(dá)一個(gè)路口，遇到綠燈是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)符合題意；

。、一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值為負(fù)數(shù)是不可能事件，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

4.（2023?江岸區(qū)校級(jí)模擬）在一個(gè)不透明的袋子中有四個(gè)相同的小球，將口袋

中的小球分別標(biāo)號(hào)為2、3、4、5,從中隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，則下列事件為隨

機(jī)事件的是（）

A.兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之和等于4

B.兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之和等于9

C.兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之和大于9

D.兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之和大于4

【答案】B

【解答】解：A、兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之和等于4,是不可能事件，故A不符合題

思；

B、兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之和等于9,是隨機(jī)事件，故3符合題意；

C、兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之和大于9,是不可能事件，故C不符合題意；

。、兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之和大于4,是必然事件，故。不符合題意；

故選：B.

5.（2023春?吁胎縣期末）下列事件是必然事件的是（）

A.拋出的籃球會(huì)下落

B.拋擲一個(gè)均勻硬幣，正面朝上

C.打開(kāi)電視機(jī)，正在播廣告

D.買(mǎi)一張電影票，座位號(hào)是奇數(shù)號(hào)

【答案】A

【解答】解：A、拋出的籃球會(huì)下落，是必然事件，故此選項(xiàng)符合題意；

3、拋擲一個(gè)均勻硬幣，正面朝上，是隨機(jī)事件，不合題意；

C、打開(kāi)電視機(jī)，正在播廣告，是隨機(jī)事件，不合題意；

。、買(mǎi)一張電影票，座位號(hào)是奇數(shù)號(hào)，是隨機(jī)事件，不合題意；

故選：A.

【題型2：可能性大小】

6.（2022秋?柳江區(qū)月考）從1-9的數(shù)字卡片中，任意抽一張，抽到奇數(shù)的可

能性是1.

一9一

【答案】1.

9

【解答】解：1-9的數(shù)字卡片中奇數(shù)有1,3,5,7,9,共5個(gè)數(shù)，

則抽到奇數(shù)的可能性是立.

9

故答案為：1.

9

7.（2022春?大豐區(qū)期中）如圖，轉(zhuǎn)動(dòng)右面三個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)（轉(zhuǎn)盤(pán)均

被等分），當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止轉(zhuǎn)動(dòng)后，根據(jù)“指針落在灰色區(qū)域內(nèi)”的可能性的大

小，將轉(zhuǎn)盤(pán)的序號(hào)按事件發(fā)生的可能性從大到小排列為②①③.

①②③

【答案】②①③.

【解答】解：指針落在灰色區(qū)域內(nèi)的可能性從大到小的順序?yàn)椋孩冖佗?

故答案為：②①③.

8.（2022春?廣陵區(qū)期末）轉(zhuǎn)動(dòng)如圖的轉(zhuǎn)盤(pán)（轉(zhuǎn)盤(pán)中各個(gè)扇形的面積都相等）,

當(dāng)它停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針指向標(biāo)有數(shù)字2的區(qū)域的可能性最小.

【答案】2.

【解答】解：指針落在標(biāo)有1的區(qū)域內(nèi)的可能性是S；

8

指針落在標(biāo)有2的區(qū)域內(nèi)的可能性是2=工；

84

指針落在標(biāo)有數(shù)字3的區(qū)域內(nèi)的可能性是3；

8

所以指針指向標(biāo)有數(shù)字2的區(qū)域的可能性最小，

故答案為：2.

9.（2022春?大埔縣期末）在如圖所示的轉(zhuǎn)盤(pán)中，轉(zhuǎn)出的可能性最大的顏色是

黃色

【答案】黃色.

【解答】解：由圖知：白色和紅色各占整個(gè)圓的工，黑色所占比例少于整個(gè)圓

的』，黃色大于整個(gè)圓的工，所以黃色轉(zhuǎn)出的可能性最大；

44

故答案為：黃色.

【題型3：概率的意義】

10.（2022春?常州期中）一個(gè)袋子里裝有8個(gè)紅球，5個(gè)白球和4個(gè)黑球，每

個(gè)球除顏色外都相同，任意摸出一個(gè)球，被摸到概率最大的是（）

A.紅球B.白球C.黑球D.無(wú)法確定

【答案】A

【解答】解：摸到紅球的可能性為：8.=A

8+5+417

摸到白球的可能性為：5=§

8+5+417

摸到黑球的可能性為：_￡_=_￡

8+5+417

所以被摸到概率最大的是紅球，故選人

11.（2022?宣州區(qū)一模）天氣預(yù)報(bào)稱，明天蕪湖市全市的降水率為90%,下列

理解正確的是（）

A.明天蕪湖市全市下雨的可能性較大

B.明天蕪湖市全市有90%的地方會(huì)下雨

C.明天蕪湖市全天有90%的時(shí)間會(huì)下雨

D.明天蕪湖市一定會(huì)下雨

【答案】A

【解答】解：蕪湖市明天下雨概率是90%,表示本市明天下雨的可能性很大，

但是不是將有90%的地方下雨，不是90%的時(shí)間下雨，也不是明天肯定下雨，

故選：A.

12.（2022?余杭區(qū)開(kāi)學(xué)）下列說(shuō)法正確的是（）

A.某一事件發(fā)生的可能性非常大就是必然事件

B.概率很小的事情不可能發(fā)生

C.2022年1月27日杭州會(huì)下雪是隨機(jī)事件

D.投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣1000次，正面朝上的次數(shù)一定是500次

【答案】C

【解答】解：A選項(xiàng)，某一事件發(fā)生的可能性非常大就是隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)

錯(cuò)誤；

3選項(xiàng)，概率很小的事情也是隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，2022年1月27日杭州會(huì)下雪是隨機(jī)事件，正確；

。選項(xiàng)，投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣1000次，正面朝上的次數(shù)是500次，是隨

機(jī)事件，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

13.（2022春?深圳校級(jí)期中）下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.不可能事件發(fā)生的概率為0

B.隨機(jī)事件發(fā)生的概率為■1

2

C.概率很小（不為0）的事件不可能發(fā)生

D.投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，正面朝上的次數(shù)一定為50次

【答案】A

【解答】解：4不可能事件發(fā)生的概率為0,故A正確；

B.隨機(jī)事件發(fā)生的概率為0與1之間，故3錯(cuò)誤；

C、概率很小的事件可能發(fā)生，故C錯(cuò)誤；

。、投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，正面朝上的次數(shù)可能是50次，故。錯(cuò)

誤.

故選：A.

14.（202秋?耒陽(yáng)市期末）下列事件發(fā)生的概率為0的是（）

A.隨意擲一枚均勻的硬幣兩次，至少有一次反面朝上

B.今年冬天黑龍江會(huì)下雪

C.隨意擲一枚均勻的正方體骰子兩次，兩次朝上面的點(diǎn)數(shù)之和為1

D.一個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)被分成6個(gè)扇形，按紅、白、白、紅、紅、白排列，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán),

指針停在紅色區(qū)域

【答案】C

【解答】解：4是隨機(jī)事件，概率大于0并且小于1;

B、是隨機(jī)事件，概率大于0并且小于1；是必然事件，概率=1；

C、是不可能事件，概率=0；

。、是隨機(jī)事件，概率大于0并且小于1；

故選：c

【題型4：幾何意義】

15.（2023?姑蘇區(qū)校級(jí)一模）如圖，正方形A3CD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太

極圖，現(xiàn)隨機(jī)向正方形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在黑色區(qū)域內(nèi)的概率為

兀

T~

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a,則正方形的內(nèi)切圓的半徑為a,

所以針尖落在黑色區(qū)域內(nèi)的概率------=三.

4a28

故答案為2L.

8

16.（2023?新化縣三模）如果小球在如圖所示的地面上自由滾動(dòng)，并隨機(jī)停留

在平行四邊形內(nèi)部，那么它最

終停留在黑色區(qū)域的概率是

4

【解答】解：根據(jù)圖示，黑色區(qū)域的面積等于平行四邊形面積的工，

4

.?.小球最終停留在黑色區(qū)域的概率是：1.

4

故答案為：1.

4

17.（2023?歷下區(qū)一模）小華在如圖所示的4X4正方形網(wǎng)格紙板上玩飛鏢游戲

（每次飛鏢均落在紙板上，且落在紙板的任何一個(gè)點(diǎn)的機(jī)會(huì)都相等），則飛

鏢落在陰影區(qū)域的概率是二.

-16一

16

【解答】解：（3+3+1）+16=工.

16

故飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是二.

16

故答案為：_L.

16

18.（2023?霞山區(qū)一模）一只螞蟻在如圖所示的正方形地磚上爬行，螞蟻停在

陰影部分的概率為

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

???陰影部分的面積為正方形面積的一半，

???螞蟻停在陰影部分的概率為工，

2

故答案為：1.

2

19.（2023?鋼城區(qū)一模）如圖，一塊飛鏢游戲板由大小相等的小正方形構(gòu)成，

向游戲板隨機(jī)投擲一枚飛鏢（飛鏢每次都落在游戲板上），擊中陰影部分的

概率為1.

-3-

【答案】1.

3

【解答】解：???總面積為9個(gè)小正方形的面積，其中陰影部分面積為3個(gè)小

正方形的面積，

.??擊中陰影部分的概率是3」.

93

故答案為：1.

3

【題型5：概率公式】

20.（2022秋?河西區(qū)期末）不透明袋子中裝有8個(gè)球，其中有3個(gè)紅球、5個(gè)

黑球，這些球除顏色外無(wú)其他差別，從袋子中隨機(jī)取出1個(gè)球，則它是紅球

的概率是（）

A.1B.1C.1D.1

8884

【答案】B

【解答】解：???袋子中裝有8個(gè)小球，其中紅球有3個(gè)，

，從袋子中隨機(jī)取出1個(gè)球，則它是紅球的概率是S,

8

故選：B.

21.（2022秋?離石區(qū)期末）不透明袋子中有2個(gè)紅球和4個(gè)藍(lán)球，這些球除顏

色外無(wú)其他差別，從袋子中隨機(jī)取出1個(gè)球是紅球的概率是（）

A.1B.1C.1D.1

6543

【答案】D

【解答】解：從袋子中隨機(jī)取出1個(gè)球是紅球的概率=2=工.

2+43

故選：D.

22.（2022秋?揭西縣期末）在一只不透明的口袋中放入紅球6個(gè)，黑球2個(gè),

黃球n個(gè)，這些球除顏色不同外，其它無(wú)任何差別.攪勻后隨機(jī)從中摸出一

個(gè)恰好是黃球的概率為工，則放入口袋中的黃球總數(shù)〃是（）

3

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解答】解：根據(jù)題意：從口袋中摸出一個(gè)恰好是黃球的概率為』；

3

...口袋中摸出紅球、黑球的概率為

33

又?紅球、黑球總數(shù)為：6+2=8個(gè)，

口袋中球的總數(shù)為：8+2=12個(gè).

3

因此，黃球的個(gè)數(shù)為：12-8=4個(gè).

故選：B.

23.（2022秋?北辰區(qū)校級(jí)期末）一個(gè)不透明的袋子中裝有18個(gè)小球，其中12

個(gè)紅球、6個(gè)綠球，這些小球除顏色外無(wú)其他差別，從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)小

球.則摸出的小球是紅球的概率是（）

A.2B.1C.1D.1

3239

【答案】A

【解答】解：?.?從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)小球有18種等可能的結(jié)果，其中摸出

的小球是紅球有12種，

，摸出的小球是紅球的概率是￡=2,

183

故選：A.

24.（2023?道縣一模）甲、乙、丙、丁四個(gè)人參加“學(xué)科綜合素養(yǎng)”選拔賽，

兩人出線參加決賽.在比賽結(jié)果揭曉后，四個(gè)人有如下說(shuō)法：

甲：兩名出線者在乙、丙、丁中.

乙：我沒(méi)有出線，丙出線了.

丙：甲、乙兩個(gè)人中有且只有一個(gè)人出線.

T：乙說(shuō)得對(duì).

已知四個(gè)人中有且只有兩個(gè)人的說(shuō)法是正確的，則兩名出線者為（）

A.甲、丁B.乙、丙C.乙、丁D.甲、丙

【答案】C

【解答】解：由題意，可知：???乙、丁的說(shuō)法是一樣的，

???乙、丁的說(shuō)法要么同時(shí)正確，要么同時(shí)不正確.

①假設(shè)乙、丁的說(shuō)法正確，則甲、丙的說(shuō)法不正確，根據(jù)乙、丁的說(shuō)法，丙

出線，甲、丁中必有一人出線；這與丙的說(shuō)法不正確相矛盾.

故乙、丁的說(shuō)法不正確，

②乙、丁的說(shuō)法不正確，則甲、丙的說(shuō)法正確，

?.?甲、丙的說(shuō)法正確，

??.乙必出線.

..?乙、丁的說(shuō)法不正確，甲的說(shuō)法正確，

丙沒(méi)有出線，丁出線.從而出線的是乙和丁.

故選：C.

【題型6用列舉法求概率】

25.（2023?赫山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，A是某公園的進(jìn)口，B,C,。是三個(gè)不同

的出口，小明從A處進(jìn)入公園，那么在3,C,。三個(gè)出口中恰好從3出口出

4323

【答案】B

【解答】解：小明從A處進(jìn)入公園，那么在3,C,。三個(gè)出口出來(lái)共有3種

等可能的結(jié)果，其中從3出口出來(lái)是其中一種結(jié)果，

恰好從8出口出來(lái)的概率為：A.

3

故選：B.

26.（2023?金水區(qū)校級(jí)三模）為了準(zhǔn)備第八屆中國(guó)詩(shī)歌節(jié)，某校組織了一次詩(shī)

歌比賽，有2名女生和2名男生獲得一等獎(jiǎng)，現(xiàn)準(zhǔn)備從這4名獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨

機(jī)選出2名學(xué)生進(jìn)行培訓(xùn)，將來(lái)代表學(xué)校參加第八屆中國(guó)詩(shī)歌節(jié)比賽，則選

出的結(jié)果是“一男一女”的概率是（）

A.1B.2C.2D.1

5432

【答案】C

【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下:

邢臺(tái)

男男女女

/N/N/N

男女女男女女扇男女勇男女

共有12種等可能的情況，其中選出的結(jié)果是“一男一女”的情況有8種，

選出的結(jié)果是“一男一女”的概率是2=2,

123

故選：C.

27.（2023?夏津縣一模）如圖，電路連接完好，且各元件工作正常.隨機(jī)閉合

開(kāi)關(guān)Si、S2、S3中的兩個(gè)，能讓兩個(gè)小燈泡同時(shí)發(fā)光的概率為（）

【答案】D

【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖得:

；共有6種等可能的結(jié)果，能讓兩個(gè)小燈泡同時(shí)發(fā)光的有2種情況，

...能讓兩個(gè)小燈泡同時(shí)發(fā)光的概率為2=工；

63

故選：D.

28.（2023?喀什地區(qū)三模）在一個(gè)不透明的口袋里裝有4個(gè)小球，每個(gè)小球上

都寫(xiě)有一個(gè)數(shù)字，分別是1,2,3,4,這些小球除數(shù)字不同外其它均相同，

從中隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，小球上的數(shù)字都是奇數(shù)的概率是（）

A.1B.1C.1D.2

2369

【答案】C

【解答】解：所有可能出現(xiàn)的情況列舉如下：（1,2）；（1,3）；（1,4）；

(2,3)；(2,4)；(3,4)；

???共6種情況，符合條件的情況有：（1,3）；共1種情況;

小球上的數(shù)字都是奇數(shù)的概率為工，

6

故選：C.

29.（2023?臨高縣校級(jí)模擬）隨機(jī)擲一枚質(zhì)地均勻的普通硬幣兩次，出現(xiàn)兩次

正面都朝上的概率是（）

A.1B.1C.2D.1

2448

【答案】B

【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下:

第一次

第二次正反

共有4種等可能的結(jié)果，兩次正面都朝上的情況有1種，概率是工

4

故選:B.

30.（2023?駐馬店三模）現(xiàn)有兩個(gè)不透明的袋子，一個(gè)裝有2個(gè)紅球、1個(gè)白

球，另一個(gè)裝有1個(gè)紅球、2個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同.從兩個(gè)袋子

中各隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的兩個(gè)球顏色相同的概率是（）

A.1B.1C.4D.1

699

【答案】C

【解答】解：用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況如下:

球

第2前、紅紅白

紅紅紅紅紅白紅

紅紅紅紅紅白紅

黃紅黃紅黃白黃

共有9種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中“兩球顏色相同”的有4種,

???廣D（兩球顏色r相同）=3*

9

故選：C.

31.（2023?仁化縣二模）”二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶，被

國(guó)際氣象界譽(yù)為“中國(guó)第五大發(fā)明”.若要從“立春”“立夏”“秋分”“大

寒”四張郵票中抽取兩張，則恰好抽到“立夏”、“秋分”兩張郵票的概率

是（）

A.XB.1C.1D.1

2364

【答案】C

【解答】解：設(shè)立春用A表示，立夏用3表示，秋分用C表示，大寒用。表

示，列表如下，

ABCD

A(B,A)(C,A)CD,A)

B(A,B)(C,B)(D,B)

C(A,C)(B,C)(D,C)

D(A,D)QB,D)(C,D)

由表可得，一共有12種等可能性的結(jié)果，

其中抽到的兩張郵票恰好是“立夏”、“秋分”的可能性有2種，

.?.抽到的兩張郵票恰好是“立夏”、“秋分”的概率是2=工，

126

故選：C.

32.（2023?安化縣二模）某校舉辦才藝表演活動(dòng)，需要從學(xué)生中挑選表演活動(dòng)

的主持人.若有2名男生和2名女生作為學(xué)生候選人，從這4名學(xué)生中隨機(jī)

抽取2名作為主持人，則恰好抽到1名男生和1名女生的概率是（）

A..1B..1C.2D..1

3234

【答案】C

【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下:

開(kāi)始

共有12種等可能的結(jié)果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8種結(jié)果,

所以恰好抽到1名男生和1名女生的概率為衛(wèi)=2,

123

故選：C.

33.（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)三模）若標(biāo)有A,B,C的三只燈籠按圖所示懸掛，每次

摘取一只（摘B前需先摘C）,直到摘完，則最后一只摘到A的概率是（）

cfD-I

【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下:

開(kāi)始

BBA

共有3種等可能的結(jié)果，其中最后一只摘到A的情況有1種，

，最后一只摘到A的概率是工.

3

故選：B.

34.（2023?大連）一個(gè)不透明的口袋中有2個(gè)完全相同的小球，分別標(biāo)號(hào)為1,

2.隨機(jī)摸出一個(gè)小球記錄標(biāo)號(hào)后放回，再隨機(jī)摸出一個(gè)小球記錄標(biāo)號(hào)，兩次

摸出小球標(biāo)號(hào)的和等于3的概率是1.

-2-

【答案】1.

2

【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

開(kāi)始

12

7\

1212

和2334

一共有4種等可能的情況，其中兩次摸出小球標(biāo)號(hào)的和等于3有2種可能，

：.P(兩次摸出小球標(biāo)號(hào)的和等于3)=2=1,

42

故答案為：1.

2

35.(2023?盤(pán)錦)某校為了解學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)

生進(jìn)行抽樣調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果整理后繪制了以下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表(如圖所

示).

學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)情況統(tǒng)計(jì)表

平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)人數(shù)

x/min

0<xW2020

20<xW40a

40<xW6025

60<x<8015

x>8010

根據(jù)以上提供的信息，解答下列問(wèn)題：

(1)本次調(diào)查共抽取了100名學(xué)生,統(tǒng)計(jì)表中a=30.

(2)求扇形統(tǒng)計(jì)圖中學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“60<xW80”所對(duì)應(yīng)的圓心角

度數(shù).

(3)若全校共有1400名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“x>80”的學(xué)生

人數(shù).

(4)該校某同學(xué)從《朝花夕拾》《紅巖》《駱駝祥子》《西游記》四本書(shū)中

選擇兩本進(jìn)行閱讀，這四本書(shū)分別用相同的卡片A,B,C,D標(biāo)記，先隨機(jī)

抽取一張卡片后不放回，再隨機(jī)抽取一張卡片，請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法，

求該同學(xué)恰好抽到《朝花夕拾》和《西游記》的概率.

學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)

情況扇形統(tǒng)計(jì)圖

【答案】(1)100,30；

(2)54°；

(3)140名；

(4)1.

6

【解答】解：(1),.,40VxW60組的人數(shù)為25,占比為25%,且25-25%=

100,

???本次調(diào)查共抽取了100名學(xué)生；

,.?20VxW40組占比30%,30%X100=30,

/.a=30,

故答案為：100,30；

(2),樣本中平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“60VxW80”有15名，

且15?100X360°=54°,

???扇形統(tǒng)計(jì)圖中學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“60<xW80”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)

為54°；

(3)???樣本中平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“x>80”的學(xué)生人數(shù)為10人，

且10?100X1400=140(名)，

???估計(jì)平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“比>80”的學(xué)生人數(shù)為140名；

(4)《朝花夕拾》《紅巖》《駱駝祥子》《西游記》這四本書(shū)分別用相同的

卡片A,B,C,。標(biāo)記，畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

開(kāi)始

ABCD

/N/N/N/N

BCDACDABDABC

一共有12種等可能的情況，其中恰好抽到《朝花夕拾》即A和《西游記》即

。有2種可能的情況，

：.p（恰好抽到《朝花夕拾》和《西游記》的）=2=1.

126

36.（2023?蕪湖三模）孫悟空因嫌“弼馬溫”官小，回到花果山，自封“齊天

大圣”，玉帝派托塔李天王攜哪吒、巨靈神等一眾天兵天將下界捉拿孫悟空，

天兵天將的組成如圖1.

兵種人數(shù)/萬(wàn)人

騎兵m

步兵2.1

水兵3.0

戰(zhàn)車(chē)兵n

（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表，可知m=3.6n=3.3,扇形統(tǒng)計(jì)圖中“戰(zhàn)車(chē)兵”

對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為99

（2）哪吒的終極形態(tài)為三頭六臂，如圖2,若1號(hào)手臂始終拿砍妖刀，6號(hào)

手臂始終拿斬妖劍，2、3、4、5號(hào)手臂可隨機(jī)使用混天綾、降魔….、繡球兒、

火輪兒四件輔助武器，從而組合成不同的形態(tài)，那么哪吒共有24種不同

的形態(tài).

（3）大戰(zhàn)一觸即發(fā)，天庭方將領(lǐng)有李天王、哪吒、巨靈神、魚(yú)肚將、夜叉將，

先從5人中隨機(jī)選出2人與孫悟空交手，請(qǐng)用列表法或樹(shù)狀圖法求選出的兩

人正好是哪吒和巨靈神的概率.

/\騎兵、

/步兵、3。%

y水兵戰(zhàn)車(chē)兵

圖1圖2

【答案】（1）3.6,-,99：

（2）24；

（3）A.

10

【解答】解：（1）..?水兵為3.0萬(wàn)人，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中對(duì)應(yīng)的圓心角為90°,

???總兵種人數(shù)為：3+型二=12（萬(wàn)人），

360

.*.m=12X30%=3.6（萬(wàn)人），

n=12-3.6-2.1-3.0=3.3（萬(wàn)人），

“戰(zhàn)車(chē)兵”對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為：得X360°=99°,

故答案為：3.6,3.3,99；

（2）V2,3、4、5號(hào)手臂可隨機(jī)使用四件輔助武器，

???第1個(gè)手臂有4件武器可選，第2個(gè)手臂有余下3件武器可選，第3個(gè)手

臂有余下的2件武器可選，第4個(gè)手臂沒(méi)有選擇，只能拿最后一個(gè)武器，

一共有4X3X2X1=24種不同的形態(tài)，

故答案為：24；

（3）記“李天王、哪吒、巨靈神、魚(yú)肚將、夜叉將”分別為：L,N,J,Y,

y,畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

一共有20種等可能的結(jié)果，其中選出哪吒和巨靈神有2種可能結(jié)果,

：.p（選出的兩人正好是哪吒和巨靈神）=2」-

2010

37.（2023?武侯區(qū)校級(jí)模擬）西川實(shí)驗(yàn)學(xué)校隨機(jī)抽取該校九年級(jí)部分學(xué)生進(jìn)行

家務(wù)勞動(dòng)問(wèn)卷調(diào)查，問(wèn)卷調(diào)查表如圖所示，設(shè)平均每周做家務(wù)的時(shí)間為x小

時(shí)，A.0Wx<l,B.l<x<2,C.2Wx<3,D.x》3,根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制

了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

學(xué)校部分學(xué)生平均每周做家務(wù)學(xué)校部分學(xué)生平均每周做家務(wù)

時(shí)間的條形統(tǒng)計(jì)圖時(shí)間的扇形統(tǒng)計(jì)圖

并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.

（2）學(xué)校有2000名學(xué)生，請(qǐng)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果估計(jì)學(xué)校平均每周做家務(wù)的

時(shí)間不少于2小時(shí)的學(xué)生人數(shù).

（3）已知A組由兩位女生、兩位男生組成，請(qǐng)利用樹(shù)狀圖或列表等方法求出

恰好抽到一男一女的概率.

【答案】（1）50人，圖形見(jiàn)解析；

（2）估計(jì)學(xué)校平均每周做家務(wù)的時(shí)間不少于2小時(shí)的學(xué)生人數(shù)約為1040人；

（3）2.

3

【解答】解：（1）本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為：10+20%=50（人），

：.B的人數(shù)為：50-4-16-10=20（人），

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：

（2）2000X,16+10=1040（人），

50

答：估計(jì)學(xué)校平均每周做家務(wù)的時(shí)間不少于2小時(shí)的學(xué)生人數(shù)約為1040人;

（3）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到一男一女的結(jié)果有8種，

.?.恰好抽到一男一女的概率為g=2.

123

【題型7：游戲的公平性】

38.（2022秋?晉中期末）“石頭、剪刀、布”是我國(guó)古老的民間游戲，游戲規(guī)

定：石頭勝剪刀，剪刀勝布，布勝石頭，若兩人的手勢(shì)相同，不分勝負(fù).在

學(xué)校組織的“共情陪伴，健康同行”親子運(yùn)動(dòng)會(huì)上，爸爸和小亮用這種方式

決定“打乒乓球”的發(fā)球權(quán).從概率的角度思考這個(gè)游戲是否公平（）

A.公平B.對(duì)爸爸有利C.對(duì)小亮有利D.不能判斷

【答案】A

【解答】解：列表：

剪刀一［

石頭布

石頭（石頭，石頭）（剪刀，石頭）（布，石頭）

剪刀（石頭，剪刀）（剪刀，剪刀）（布，剪刀）

布（石頭，布）（剪刀，布）（布，布）

所有等可能的情況有9種，其中小亮獲勝的情況有3種，所以小亮獲勝的概

率是

93

爸爸獲勝的情況有3種，所以爸爸獲勝的概率是尸=3=1,

93

所以游戲公平；

故選：A.

39.（2023?雁峰區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）聰聰和明明用2、3、4三張數(shù)字卡片做游戲，如

果擺出的三位數(shù)是偶數(shù)，算小紅贏，否則算小軍贏，這個(gè)游戲規(guī)則不公平

（填“公平”或“不公平”）.

【答案】不公平.

【解答】解：234、243、342、324、423、432,

在這6個(gè)數(shù)中，有4個(gè)偶數(shù)，有2個(gè)奇數(shù).

偶數(shù)占總數(shù)的2=2,奇數(shù)占總數(shù)的2=工，

6363

???-/----1,

33

???這個(gè)游戲規(guī)則不公平，

故答案為：不公平.

40.（2022秋?同心縣期末）如圖，甲、乙兩人在玩轉(zhuǎn)盤(pán)游戲時(shí)，準(zhǔn)備了兩個(gè)可

以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)A,B,每個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)被分成面積相等的幾個(gè)扇形，并在每一個(gè)

扇形內(nèi)標(biāo)上數(shù)字.游戲規(guī)則：同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止后，指針?biāo)?/p>

區(qū)域的數(shù)字之和為1時(shí)，甲獲勝；數(shù)字之和為2時(shí)，乙獲勝.如果指針恰好

指在分割線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一區(qū)域?yàn)橹?

（1）用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表法求乙獲勝的概率；

（2）這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)甲、乙雙方公平嗎？對(duì)誰(shuí)有利？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由.

【答案】⑴1;

6

（2）不公平，理由見(jiàn)解析.

【解答】解：（1）列表：

A盤(pán)

1234

-i0123

-2-1012

-3-2-101

由列表法可知：會(huì)產(chǎn)生12種結(jié)果，它們出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等，其中和為2的有2

種結(jié)果，

?'?P必獲勝）;

126

（2）不公平，

理由：”:21獲勝）=』，P（甲獲勝）=—?

6124

??P。乙獲勝）WP（甲獲勝），

，游戲不公平.

【題型8用頻率估計(jì)概率】

41.（2023春?永州期末）在一個(gè)不透明的布袋中，紅色、黑色、白色的小球共

40個(gè)，除顏色不同外其他完全相同，通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后，摸到紅色球、黑

色球的頻率分別穩(wěn)定在25%和45%,則口袋中白色球的個(gè)數(shù)可能是（）

A.4B.8C.12D.16

【答案】C

【解答】解：由題意知，紅色球的個(gè)數(shù)為40X25%=10（個(gè)），黑色球的個(gè)

數(shù)為40X45%=18（個(gè)），

所以口袋中白色球的個(gè)數(shù)為40-10-18=12（個(gè)），

故選：C.

42.（2023?昭平縣二模）在一個(gè)不透明的袋子里裝有紅球、黃球共20個(gè)，這些

球除顏色外都相同.小明通過(guò)多次試驗(yàn)發(fā)現(xiàn),摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.6左右,

則袋子中紅球的個(gè)數(shù)最有可能是（）

A.5B.8C.12D.15

【答案】C

【解答】解：設(shè)袋子中紅球有x個(gè)，

根據(jù)題意，得：旦=0.6,

20

解得x=12,

...袋子中紅球的個(gè)數(shù)最有可能是12個(gè),

故選：C.

43.（2023?通州區(qū)一模）如圖1,一個(gè)均勻的轉(zhuǎn)盤(pán)被平均分成10等份，分別標(biāo)

有1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.小凱轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)做頻率估計(jì)概率的實(shí)驗(yàn),

當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止轉(zhuǎn)動(dòng)后，指針指向的數(shù)字即為實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)出的數(shù)字，圖2,是小凱記錄

下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果情況，那么小凱記錄的實(shí)驗(yàn)是（）

yk頻率

0.4-------------------------------------------------------

????

0.3-------?-----?-----------?■-?一?--電---

0.2-------------------------------------------------------

0.1-------------------------------------------------------

j_______1111111111111At

0_100200300400500600轉(zhuǎn)動(dòng)次數(shù)

圖2

A.轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)后，出現(xiàn)偶數(shù)

B.轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)后，出現(xiàn)能被3整除的數(shù)

C.轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)后，出現(xiàn)比6大的數(shù)

D.轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)后，出現(xiàn)能被5整除的數(shù)

【答案】B

【解答】解：觀察圖2知：頻率逐漸穩(wěn)定在0.3,

所以實(shí)驗(yàn)的概率為0.3,

4轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，出現(xiàn)偶數(shù)的概率為巨=0.5,不符合題意；

10

B、轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)后出現(xiàn)能被3整除的數(shù)為3,6,9,概率為_(kāi)1=0.3,符合題意;

10

C、轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，出現(xiàn)比6大的數(shù)為7,8,9,10,概率為_(kāi)L=0.4,不符合題

10

思；

D、轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)后，出現(xiàn)能被5整除的數(shù)為5和10,概率為2=0.5,不符合題

10

思?

故選：B.

44.（2023?福田區(qū)校級(jí)三模）某數(shù)學(xué)興趣小組做“用頻率估計(jì)概率”的實(shí)驗(yàn)時(shí)，

統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖.符合這一結(jié)果的實(shí)

驗(yàn)最有可能的是（）

頻率

0.25--------------------------------……

0.20----?..

0.15..........…二

0.10..................................................

0.05--------------------------------------

0一血血3d。4（：05。0旃茨數(shù)

A.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上

B.在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“石頭”

C.擲一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)是1

D.暗箱中有1個(gè)紅球和2個(gè)黃球，除顏色外無(wú)其他差別，從中任取一球是黃

球.

【答案】C

【解答】解：A.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上的概率為工，故A選項(xiàng)

2

不符合題意；

B.在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“石頭”的概率為工，

3

故B選項(xiàng)不符合題意；

C擲一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)是1的概率為」，故C

6

選項(xiàng)符合題意；

。.暗箱中有1個(gè)紅球和2個(gè)黃球，除顏色外無(wú)其他差別，從中任取一球是黃

球的概率為工，故。選項(xiàng)不符合題意；

3

故選：C.

45.（2023?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)模擬）從一定的高度任意拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣的次

數(shù)很大時(shí)，落下后，正面朝上的頻率最有可能接近的數(shù)值為（）

A.0.53B.0.87C.1.03D.1.50

【答案】A

【解答】解：當(dāng)拋擲的次數(shù)很大時(shí)，正面朝上的頻率最有可能接近正面向上

的概率是工，

2

故選：A.

46.（2022秋?竦州市期末）在一個(gè)暗箱里放有機(jī)個(gè)除顏色外完全相同的球，這

加個(gè)球中紅球只有4個(gè)，每次將球充分搖勻后，隨機(jī)從中摸出一球，記下顏

色后放回，通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率為0.4,由此可以推

算出m約為（）

A.7B.3C.10D.6

【答案】C

【解答】解：由題意可得:-=0.4，

m

解得：m—10.

故可以推算出加約為10.

故選：C.

47.（2022秋?榕城區(qū)期末）小明將貴州健康碼打印在面積為16加2的正方形紙

上，如圖所示，為了估計(jì)圖中健康碼部分的面積，在紙內(nèi)隨機(jī)擲點(diǎn)，經(jīng)過(guò)大

量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落入健康碼部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，據(jù)此可以估計(jì)健

康碼部分的面積約為（）

A.2Adm2B.4dm2C.6.4dm2D.9.6dm2

【答案】D

【解答】解：?.?經(jīng)過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落入健康碼部分的頻率穩(wěn)定在0.6

左右，

點(diǎn)落入健康碼部分的概率為0.6,

,正方形的面積為16dm2,

設(shè)健康碼部分的面積為S,

則$=0.6,

16

解得S=9.6（dm2）.

.??估計(jì)健康碼部分的總面積約為9.6而X

故選：D.

48.（2023春?朝陽(yáng)區(qū)月考）某?；@球隊(duì)進(jìn)行籃球訓(xùn)練，某隊(duì)員投籃的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

如表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知該隊(duì)員一次投籃命中的概率大約是0.72.（精

確到0.01）

投籃次105010015020050010002000

數(shù)（單

位：次）

命中次940701081433617211440

數(shù)（單

位：次）

命中率0.900.800.700.720.7150.7220.7210.72

【答案】0.72.

【解答】解：根據(jù)上表可知該隊(duì)員一次投籃命中的概率大約是0.72.

故答案為：0.72.

49.（2023?鐵嶺模擬）在一個(gè)不透明的口袋里裝有只有顏色不同的黑、白兩種

顏色的球共20只，某學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球

記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表：

摸球的次數(shù)n1001502005008001000

摸到白球的次數(shù)加5896116295484601

摸到白球的頻率必0.580.640.580.590.6050.601

n

根據(jù)數(shù)據(jù)，估計(jì)袋中黑球有8個(gè).

【答案】8.

【解答】解：當(dāng)〃很大時(shí)，摸到白球的概率約是0.6,

袋中黑球有20-20X0.6=8（個(gè)）；

故答案為：8.

50.（2022秋?大名縣校級(jí)期末）木箱里裝有僅顏色不同的8張紅色和若干張藍(lán)

色卡片，隨機(jī)從木箱里摸出1張卡片記下顏色后再放回，經(jīng)過(guò)多次的重復(fù)試

驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到藍(lán)色卡片的頻率穩(wěn)定在0.6附近，則估計(jì)木箱中藍(lán)色卡片有」2

張.

【答案】12.

【解答】解：設(shè)木箱中藍(lán)色卡片有x個(gè)，根據(jù)題意得:

-^—=0.6,

x+8

解得：x=12,

經(jīng)檢驗(yàn)x=12是原方程的解，

則估計(jì)木箱中藍(lán)色卡片有12張.

故答案為：12.

51.（2023春?洋縣期末）對(duì)一批襯衣進(jìn)行抽檢，統(tǒng)計(jì)合格襯衣的件數(shù)，獲得如

表頻數(shù)表：

抽取件數(shù)1001502005008001000

n

合格的件a141176445720900

數(shù)m

合格的頻0.880.940.880.890.90b

率四

n

（1）求a,b的值；

（2）從這批襯衣中任取一件，估計(jì)這件襯衣是合格品的概率.（精確到0.1）.

【答案】（1）。=88,6=0.90；

（2）估計(jì)這件襯衣是合格品的概率是0.9.

【解答】解：（1）a=100X0.88=88,

=0.90;

1000

（2）由表格中的數(shù)據(jù)可得從這批襯衣中任取一件，

估計(jì)這件襯衣是合格品的概率是0.9.

52.（2023春?鄭縣期末）某批乒乓球的質(zhì)量檢驗(yàn)結(jié)果如下：

抽取的200400600800100016002000

乒乓球

數(shù)n

優(yōu)等品19038457075695515201900

的頻數(shù)加

優(yōu)等品a0.960.950.945b0.95c

的頻率螞

n

(1)填空：a=0.95,b=0.955,c=0.95

（2）在圖中畫(huà)出優(yōu)等品頻率的折線統(tǒng)計(jì)圖;

（3）從這批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是優(yōu)等品的概率的估計(jì)值是多

少？

A優(yōu)等品頻率

LO

S

S.9

S.8

.7

5

4

3

2

1

0

IIIIIIIIII

200600100014001800抽取乒

乓球藪

【答案】（1）0.95,0.955,0.95；

（2）作圖見(jiàn)解析；

（3）0.95.

【解答】解：（1）由題意得2心=095，b=~啦=0955，c1幽=095,

a20010002000

故答案為：0.95,0.955,0.95；

（2）折線圖如下：

八優(yōu)等品頻率

LO一一_____________

S9—..---------------------■

1X95-0.95--<^955---095寸95-

7

os.6

5

4

63

1

O??????A

2川O

60100014001800抽取乒

乓球數(shù)

（3）\?在同樣條件下，做大量的重復(fù)試驗(yàn)，利用一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐

漸穩(wěn)定到某個(gè)常數(shù)，可以估計(jì)這個(gè)事件發(fā)生的概率，

...任意抽取的一只乒乓球是優(yōu)等品的概率的估計(jì)值為0.95.

53.（2023春?鳳城市期末）在一個(gè)不透明的盒子里裝有顏色不同的黑、白兩種

球共60個(gè)，它們除顏色不同外，其余都相同，王穎做摸球試驗(yàn)，她將盒子里

面的球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回盒子中攪勻，經(jīng)過(guò)

大量重復(fù)上述摸球的過(guò)程，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定于0.25,

（1）請(qǐng)估計(jì)摸到白球的概率將會(huì)接近0.25；

（2）計(jì)算盒子里白、黑兩