貴州省貴陽市2025屆高三年級(jí)下冊(cè)適應(yīng)性考試（一）數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

貴州省貴陽市2025屆高三下學(xué)期適應(yīng)性考試（一）數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)z=l-2i,貝1]工=（）

Z

.12.「12.12._12.

A.------1B.—I—1C.-------1D.—I—1

33335555

2.已知凡/為直線，&為平面，貝『勺auaJLa''是"/_La”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不

充分也不必要條件

3.TgA8=（l,l）,|^c|=V5,Z8-5C=0,貝1]|前卜（）

A.1B.V2C.V3D.2

4.20世紀(jì)30年代，里克特制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測(cè)震儀衡量地

震能量的等級(jí)，地震能量越大，測(cè)震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說的里

氏震級(jí)其計(jì)算公式為w=ig/-ig4其中N是被測(cè)地震的最大振幅，4是“標(biāo)準(zhǔn)地震”

的振幅（使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測(cè)震儀距實(shí)際震中的距離造成的偏差）.假設(shè)在一次

地震中，一個(gè)距離震中100千米的測(cè)震儀記錄的地震最大振幅是50,此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅

是0.002,則這次地震的震級(jí)為（）（精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3)

A.4.4B.4.7C.5D.5.4

5.若sin26—2cos2e=2,ee（o,]）,則sin6=（）

A2V5n273「石

A?-----IJ?-------------Vz?----D.

535

6.已知雙曲線d-1=i的漸近線與拋物線必=4苫的交點(diǎn)都在圓c上，則圓C與x軸正半

軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（3,0）B.（4,0）C.go]D.（5,0）

7.如果等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前〃項(xiàng)和為S,且％=4,邑=7,設(shè)”=tlog2&，

k=\

試卷第1頁，共4頁

2025]

那么1丁=()

A-=2bk

2023202440482025

A，1012202502025D'1013

8.函數(shù)=若\/xe(l,+⑹，不等式/(》+2加)+/13-蘇卜0恒成立,

則實(shí)數(shù)%的取值范圍是()

A.(-3,1)B.(-1,3)

C.(-<?,-3)U(l,+<?)D.(-co,-l)u(3,+co)

二、多選題

9.有互不相同的7個(gè)樣本數(shù)據(jù)，去掉一個(gè)第25百分位數(shù)和一個(gè)最大的數(shù)后組成一組新數(shù)據(jù),

則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，有可能變小的是()

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.極差D.方差

10.對(duì)于函數(shù)[(x)=dSinm:,xe[0,2]和g(x)=x(x-l)(x-2),XG[0,2],下列結(jié)論正確

8

的有()

A./(X)與g(x)在x時(shí)有相同的函數(shù)值B./(x)與g(x)有相同的最小值

C./⑴與g(x)的圖象有相同的對(duì)稱中心D.小)與g(x)在區(qū)間序]都為增函

數(shù)

11.封閉曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)￡(-1,0)和月(1,0)的距離之積為2的點(diǎn)的軌跡，M(x,y)

是曲線C上一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).則下列說法正確的有()

A.曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱

B.曲線C位于直線工=±6和直線>=±1所圍成的矩形框內(nèi)

C.△西巴的周長(zhǎng)的最小值為

D.1<|A^<73

三、填空題

12.等差數(shù)列8,5,2,……的第10項(xiàng)為.

試卷第2頁，共4頁

13.已知一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面面積的2倍，則該圓錐的母線與其底面所成的角的大小

為.

14.定義集合，={(%。2,…，《)&，％…，％?/}，比如：若/={1,2},則

八{(lán)(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},把集合4中滿足條件%+出+……+4=P的元素組成的集合

記為/"(P),即為(p)={(%,&……,*%+&+……+an=p,al,a2……,aneA}已知集合

/={1,2,3,4,5,6},則(1)集合1(6)中的元素個(gè)數(shù)為；(2)若/(P)中的元素個(gè)數(shù)為

56,則p的值為.

四、解答題

15.在V/BC中，內(nèi)角4VC的對(duì)邊分別為生瓦。，若2a-c=26cosC.

⑴求角8的大?。?/p>

(2)若6sinN=8,點(diǎn)。是邊/C上的一點(diǎn)，BD平分N4BC,且8。=2,求V4BC的面積.

16.在四棱臺(tái)中，底面/BCD為平行四邊形，側(cè)面/D24為等腰梯形，且

側(cè)面ADDXA1底面ABCD,AB=BD=3,AD=2,/e=1,4R與BC的距離為2退，點(diǎn)E,尸分

—.2—.—.1——■

別在棱48,eq上，且NE=—AB,CF=-CC.

32X

(1)求證：〃平面40。國；

⑵求四棱臺(tái)/3CA-44GA的高；

⑶求異面直線4G與跖所成的角的余弦值.

17.已知函數(shù)/'(x)=e*-"+cosx+6.

⑴當(dāng)。=0時(shí)，證明函數(shù)/(x)在(0,+動(dòng)單調(diào)遞增;

試卷第3頁，共4頁

⑵若函數(shù)/(X)在IJ,兀J有極值，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

⑶若函數(shù)/("的圖象在點(diǎn)(2兀,/(2切處的切線方程為尤-了-2n=0,求函數(shù)［(X)的零點(diǎn)個(gè)

數(shù).

18.某學(xué)校有甲、乙兩家餐廳，對(duì)于學(xué)生的午餐就餐情況根據(jù)以往的統(tǒng)計(jì)調(diào)研分析可以得出

2

如下結(jié)論：前一天選擇甲餐廳就餐的同學(xué)第二天選擇甲餐廳就餐的概率是選擇乙餐廳就

餐的概率為!；前一天選擇乙餐廳就餐的同學(xué)第二天選擇甲餐廳就餐的概率是選擇乙餐

廳就餐的概率為g,如此往復(fù).假設(shè)所有同學(xué)開學(xué)第一天中午等可能隨機(jī)選擇一家餐廳就餐.

(1)第一天中午某班3位同學(xué)去餐廳就餐，求這3位同學(xué)中至少有1位同學(xué)去甲餐廳就餐的

概率；

(2)求w同學(xué)與s同學(xué)第二天中午在同一餐廳就餐的概率；

(3)假設(shè)該學(xué)校有2000名學(xué)生，試估計(jì)一星期后中午在甲餐廳就餐的學(xué)生人數(shù).

22

19.已知橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：'+J=l(a>6>0),在這個(gè)橢圓上取個(gè)

ab

點(diǎn)，這些點(diǎn)的坐標(biāo)分別為［(“os勁■/sin竺也,6cos也］,連接

(nnJ\nn)

PQk,k=。,1…….

(1)若直線［以的斜率為-；，求橢圓￡的離心率；

(2)證明的面積為定值，并求多邊形［月……P"。的面積(用〃表示)；

⑶若彳手了，。

,0,線段片以的中點(diǎn)為"，證明:ZAMQk=ABMPk.

7

試卷第4頁，共4頁

《貴州省貴陽市2025屆高三下學(xué)期適應(yīng)性考試(一)數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號(hào)12345678910

答案DBCAADCBACDAC

題號(hào)11

答案ABD

1.D

【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算計(jì)算所求式即得.

■■11l+2i1+2i12.

【詳角星】—=----=------------=----=—H—1

L什炸/zl-2i(1-2i)(l+2i)555,

故選：D.

2.B

【分析】利用線面垂直的性質(zhì)以及直線間的位置關(guān)系判斷即可.

【詳解】根據(jù)題意易知當(dāng)/ua時(shí)，可判斷推不出“/，&"，如下圖:

當(dāng)/J_a時(shí)，可知/垂直于平面￡內(nèi)的所有直線，因此可以推出izua,/_La,

因此7。＜=卻_1?！笔恰?_1(/”的必要不充分條件.

故選：B

3.C

【分析】利用向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示以及垂直關(guān)系的向量表示，結(jié)合勾股定理計(jì)算即可.

【詳解】由/8=(i,i)可得卜q=也，

又萬?灰?=0可得萬工數(shù)，

在VABC中，由勾股定理可得|益『+|數(shù)『=|就『，

解得|就卜

故選：C

4.A

【分析】直接利用題目中給出的公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可得出結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意可知這次地震的震級(jí)為：

M-1g50-1g0.002==lg25000=lg^J=5-2炮2。5-0.6=4.，；

答案第1頁，共15頁

因此可知這次地震的震級(jí)為4.4級(jí).

故選：A

5.A

【分析】由已知利用二倍角的三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)：sin2。-2cos26=2,結(jié)合同角三角函數(shù)

基本關(guān)系式即可求解sin6的值.

【詳解】,**sin20-2cos20=2

即：2sin6cose—2（2cos2=2

即：2sin6cose-4cos之0=0

即：sin0cos0-2cos2^=0

??,。晝[。；],故cosOwO

sin。-2cos6=0①

又sin20+cos26=1②

?2有

由①②可得：sin*+空g=1

4

即:4sin26?+sin26?=4

可得：sin20=-,解得：sin6=±型

55

...,故sin?>0

..2y/5

…sin〃Q=------

5

故選：A

6.D

【分析】通過漸近性方程求得交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得圓的方程即可求解；

【詳解】由雙曲線方程可得漸近線方程為：y=±2x,

[y2=4x

分別與拋物線方程聯(lián)立：f。解得：X=1J=2或x=0J=0,

[y=2x

fy2=4x、

\解得：x=l,y=-2^x=0,y=0f

[V=-2x

即交點(diǎn)分別為。（0,0）*（1,2）,C（l,-2）

答案第2頁，共15頁

設(shè)圓的方程為：x1+y2+Dx+Ey+F=0,

F=0

代入三點(diǎn)坐標(biāo)可得：＜。+2￡+尸+5=0,

。-2E+/+5=0

D=-5

解得：\E=0,

F=0

即圓的方程為：x2+y2-5x=0,

令＞=0,可得了=0或%=5,

所以圓。與x軸正半軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（5,0）,

故選：D

7.C

44

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛&｝的公比為q,由已知可得=+—+4=7,求解可得｛%｝的通項(xiàng)公式,

qq

2025i

進(jìn)而求得，，進(jìn)而利用裂項(xiàng)相消法求得2不.

Mbk

44

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛6｝的公比為4,因?yàn)?=4,邑=7,所以/+]+4=7,

2

所以—4q-4=0,解得2或q=

又等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以4=2,

kx

所以等比數(shù)列｛?！埃耐?xiàng)公式為a,=4x27=2"一，所以log2ak=log22-=k-1,

所以a=￡bg2%=0+1+2+.?-+?-1="(11)

k=\2

所以”=2

k(k-l)

bk

答案第3頁，共15頁

20251

1_11.11

所以￡丁=2+2+…+2募白卜翳

12232024Hl.

故選：C.

8.B

【分析】先應(yīng)用奇函數(shù)定義及單調(diào)性判斷1(X),再轉(zhuǎn)化恒成立問題為最值問題，最后應(yīng)用

基本不等式求最小值，計(jì)算一元二次不等式即可.

/、yj-x,x<0/、

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=「，〃x)為減函數(shù)；

[-Vx,x>0

又因?yàn)閤<0J(-x)=_y=-/(x)尤>0J(-x)=4=-/(x),所以/(x)為奇函數(shù),

若Vxe(l,+。)，不等式〃x+2a)+(占-川]<0恒成立，

則不等式/(1+2加)<-/(士-加之J,因?yàn)?⑴為奇函數(shù)，所以1+加

因?yàn)?'(x)為減函數(shù)，所以x+2m>-一二+/恒成立，

x-1

所以加恒成立，所以>m2-2m,

X-1IX-1

Vxe(l,+<?),x+—=x-l+—+1>2J(x-l)x—+1=3

X1x1YX1

當(dāng)且僅當(dāng)尤=2時(shí)取最小值3,所以/-2m<3,

所以機(jī)2一2加一3=(加-3乂%+1)<0,所以實(shí)數(shù)班的取值范圍是(T3).

故選：B.

9.ACD

【分析】通過取這7個(gè)數(shù)據(jù)從小到大依次為1,2,3,4,567,利用百分位數(shù)，極差概念和平均

數(shù)，方差計(jì)算公式計(jì)算比較即可判斷A,C,D正確；設(shè)這組數(shù)據(jù)從小到大依次為：

a,b,c,d,e,f,g,去掉其第25百分位數(shù)6和一個(gè)最大的數(shù)g后，余下5個(gè)數(shù)為a,c,d,eJ,可

見中位數(shù)不變，排除B項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,不妨設(shè)這7個(gè)數(shù)據(jù)從小到大依次為1,2,3,4,5,6,7,其平均數(shù)為

-1

x=-(1+2+3+4+5+6+7)=4,

因7x25%=1.75,則這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為2,最大的數(shù)為7,

—1-

去掉這兩個(gè)數(shù)后，余下5個(gè)數(shù)的平均數(shù)為：x,=-(l+3+4+5+6)=3.8<x,故A正確；

對(duì)于B,設(shè)這組數(shù)據(jù)從小到大依次為：a,b,c,d,e,f,g,其中位數(shù)為d,

答案第4頁，共15頁

去掉一個(gè)第25百分位數(shù)6和一個(gè)最大的數(shù)g后，余下5個(gè)數(shù)為：a,Gd,e,7,其中位數(shù)仍為d,

故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,不妨設(shè)這7個(gè)數(shù)據(jù)從小到大依次為1,2,3,4,5,6,7,其極差為7-1=6,

去掉這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為2和最大的數(shù)為7之后，余下5個(gè)數(shù)為1,3,4,5,6,其極差為

6-1=5<6,故C正確；

對(duì)于D,不妨設(shè)這7個(gè)數(shù)據(jù)從小到大依次為123,4,5,6,7,其平均數(shù)為

—1

x=-(1+2+3+4+5+6+7)=4,

其方差為:s2=1[(-3)2+(-2)2+(-1)2+12+22+32]=4；

依題意，去掉這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為2和最大的數(shù)為7之后，余下5個(gè)數(shù)134,5,6的

,—1

平均數(shù)為X’=《(1+3+4+5+6)=3.8,

則其方差為：5,2=1[(-2.8)2+(-0.8)2+0.22+1,22+2.22]=2.96<4,故D正確.

故選：ACD.

10.AC

【分析】驗(yàn)證函數(shù)值可知A正確；利用正弦函數(shù)性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)分別求解〃x),g(x)最小值及單

調(diào)性，可知BD錯(cuò)誤；通過對(duì)稱性定義可驗(yàn)證得到C正確.

【詳解】對(duì)于A,==|

\.27o2o

正確;

3

對(duì)于B,當(dāng)X￡[0,2]時(shí)，7€XG[0,27I],sin7LXG[-l,l],/.f(x)min=

8

g(x)=x(x-l)(x-2)=x3-3x2+2x,

則g[x)=3x2—6x+2=3(x—1)2—1,令g'(x)=0,解得：x二l±g，

-f/?](n

則當(dāng)X?0,1-——Ul+時(shí)，gz(x)>0；當(dāng)1--—,1+——時(shí)，g'(x)<0；

_J\JI3,

-orc](n

.?.g(x)在0,1-*I，l+*，2上單調(diào)遞增，在1-*上單調(diào)遞減，

((⑸

「?g(x)min=ming(O),g1+彳，

答案第5頁，共15頁

2V3,、

；g(O)=O，gX-------X丁，，g(xL)

”(加會(huì)㈤皿，B錯(cuò)誤;

3

對(duì)于C,v/(2-x)+/(x)=-sin(27i-7Lv)+-sin7Lx=——sin兀x+-sin兀x=0,

g(2-x)+g(x)=(2-x)(l-x)(-x)+x(x-2)(x-l)=0,

y(x)與g(x)均關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱,c正確;

對(duì)于D,當(dāng)時(shí)，7EXG

?.?y=sin尤在右,2兀]上單調(diào)遞增，./x)在(羽上單調(diào)遞增;

.?.g(x)在-,1+^-上單調(diào)遞減，在1+*,2上單調(diào)遞增，D錯(cuò)誤.

<7\?

故選：AC.

11.ABD

【分析】由題意得J(x+1)2+_/+y2=2,取平方化簡(jiǎn)得f+了2+]=2/2+1(*),

對(duì)于A,利用點(diǎn)M(XJ)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)卜(r,-y)均滿足(*)方程即得；對(duì)于B,

利用/=2可求得-百X幣,再利用此范圍回代求得即可；

2^TT-X-1>0-1<y<l

對(duì)于C,利用基本不等式易判斷；對(duì)于D,利用(*)求出/+必的范圍即得.

【詳解】依題意,\MF{\-\MF2\=2,因在(3),耳(-1,0),巴(1,0),

則有J(x+l)2+/.[(1)2+/=2,

兩邊平方可得：(x2+y2+l+2x)(/+V+1-2x)=4,

即(/+/+1)2=場(chǎng)2+1),也即/+/+1=2^71(*).

對(duì)于A,因是曲線C上一點(diǎn)，則滿足/+/+1=242+1，

對(duì)于W'(-X，r),顯然也滿足爐+/+]=2Jx?+1，

答案第6頁，共15頁

而點(diǎn)”(尤))與M\-x,-y)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；

對(duì)于B,由(*)RJW/=2A/X2+1-X2-1>0，即2G+12/+1，

整理得：X4-2X2-3<0,即(V+1)(--3)40,因f+i〉。，故可得-百WxW。；

設(shè)f=J/+1，由-6WxW6可得1V/V2,

^/=2Z-(Z2-1)-1=-(Z-1)2+1,則得J/VI,解得-iWyWl,

故曲線C位于直線工=±6和直線夕=±1所圍成的矩形框內(nèi)，故B正確；

對(duì)于C,因IgH此1=2,則|研+|必加2,阿卜"|二26,

當(dāng)且僅當(dāng)|町|=|〃工|=&取得等號(hào)，

此時(shí)△町月的周長(zhǎng)為|孫|+|匹|+|耳工|>20+2,

即△町鳥的周長(zhǎng)的最小值為2亞+2,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由(*)可得由+y2=242+1_1,由C分析已得一百可得0V尤2V3,

故有iWf+j?=2&+1-143,因|(W|=&+/,故得l4|(W|vg,故D正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于對(duì)點(diǎn)M(xj)的軌跡方程的處理，利用方程結(jié)構(gòu)的對(duì)稱

性特征判斷圖形的對(duì)稱，利用分離變量，可求得參數(shù)的范圍，從而界定曲線的位置，求得相

關(guān)量的取值范圍.

12.-19

【分析】利用已知求首項(xiàng)與公差，進(jìn)而可求得通項(xiàng)公式，可求第10項(xiàng).

【詳解】等差數(shù)列8,5,2,……的首項(xiàng)為8,公差為-3,

所以通項(xiàng)公式為4〃=8-3("1)=11-3〃，所以40=11-3x10=-19.

故答案為：-19.

13.-

3

【分析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/,底面半徑為「，圓錐的母線與其底面所成的角為。，根據(jù)面

積關(guān)系可得12]”=2?萬即可得到答案；

【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/,底面半徑為「，圓錐的母線與其底面所成的角為。，

答案第7頁，共15頁

]c尸]

則一2兀rl=2?兀=—=一,

2I2

cos0=—^>0=60，

2

故答案為：y

14.59

【分析】理解集合的新定義應(yīng)用列舉法得出，再應(yīng)用集合的新定義及組合數(shù)的定義通過隔板

法計(jì)算求解即可.

【詳解】（1）集合片（6）中的元素滿足4+出=6,且q,電?/，列舉滿足條件的儂,電）組

合，共有5種，4（6）=｛（1,5）,（2,4）,（3,3）,（4,2）,（5,1）｝,即集合中有5個(gè)元素；

（2）/（P）中的元素滿足％+%+%+&+%+&=p，且。1,小,4，%,%，%?a

利用組合數(shù)公式，將問題轉(zhuǎn)化為將。個(gè)相同的小球放入6個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子中球的

個(gè)數(shù)分別是%,電，。3，。4，。5，。6>

應(yīng)用隔板法即有C二種分法，既有C二個(gè)元素,

已知才5）中有56個(gè)元素，即C"=56,當(dāng)P=9時(shí)，C"=56,因此p=9.

故答案為：5；9.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是對(duì)隔板法的應(yīng)用把。分成6份即可求解.

71

15.（D-

⑺3+y/3

（）2

【分析】（1）利用余弦定理角化邊可求得cosB,由此可得8；

（2）利用正弦定理可求得。，進(jìn)而求得46,利用三角形面積公式可求得結(jié)果.

272_2

【詳解】（1）由余弦定理得：2a-c=2b-a0~C,

2ab

整理可得：a2+c2-b2=ac,

，cos5="2+ci=L又8e(O,7t),

2ac2

(2)

答案第8頁，共15頁

B

由正弦定理=.'丁得:Qsin5=6sinZ=,

sinAsinB

sin—

3

QBD平濟(jì)NABC,

TT

/.Z.DBC=—,又BD=a=2,

6

5兀

/.ZBDC=ZC=—

12

,公正=旦直

A=in4<2

13+A/I

???^c=2flZ,sinC=二yj6x—

S222

16.(1)證明見解析

(2)2

⑶

34

【分析】(1)利用中位線性質(zhì)以及線面平行判定定理證明即可得出結(jié)論;

(2)作出四棱臺(tái)/BCD-44GA的高OO一代入棱臺(tái)體積公式計(jì)算可得結(jié)果;

(3)建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線夾角的向量求法計(jì)算即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)取的中點(diǎn)G,連接NG,G廠，

DiCi

則GF是梯形CDDG的中位線,

答案第9頁，共15頁

所以G歹〃。。且G/=2C+℃=2,

2

又因?yàn)榍?￡=——=2,所以G尸///E且G戶=/E,

3

所以四邊形4BFG是平行四邊形，所以旗〃4G,

因?yàn)镹Gu平面ADDlAl,EF<z平面ADDlAl,

所以跖〃平面

(2)分別取ND,42的中點(diǎn)O,Q,如圖所示：

因?yàn)閭?cè)面為等腰梯形，所以。

因?yàn)閭?cè)面ADD1A{±底面ABCD,側(cè)面ADD^n底面ABCD=AD,所以。Q_L底面ABCD,

因?yàn)镹8=8D=3,所以BO_LAD,08no=0,08,0。u平面008,

所以，平面OQB,BO'平面OQB,

所以8。1，ND,即BOX±49，

且3QL8C,所以2。1為42與2C的距離，

22

所以y]00^+0B=FOOKAB-OA=273,解得OOX=2.

所以四棱臺(tái)的高為2.

(3)以。4,OB,。。|所在直線分別為尤,％z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則/(1,0,0),〃[-；,0,2],/)(-1,0,0)4卜2,2近,0)；

所以6(_：,0』),正=卜3,260),方=芯=1_:0,1]

.K"C?"G5156

二匚[、1cos4G，石尸—cosA.C^J4.G—?一一一?卜一?=/~

34

所以klkl后乂回

3

答案第10頁，共15頁

所以異面直線4G與跖所成的角的余弦值為

34

17.（1）證明見解析

⑵

（3）1個(gè)

【分析】（1）求導(dǎo)通過;''（x）>。，即可求證；

（2）由題意可得/。）=0在j有解，再由/'（x）的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理構(gòu)造

不等式求解即可；

（3）由切線方程求得。=2兀*=-2,再通過函數(shù)的單調(diào)性即可求解；

【詳解】（1）當(dāng)°=0時(shí)，由/（無）=e，'+cosx+b,可得/，卜）=砂-5M苫，

因x>0,則e*>l,又因?yàn)閟inxWl,貝iJ/'（x）>0,

所以函數(shù)V=/（x）在（0,+動(dòng)單調(diào)遞增；

（2）（無）=e*-"-sinx,

因?yàn)楹瘮?shù)了=/（x）在||■，d有極值，所以/'（x）=0在停,兀）有解，

又因?yàn)?（x）=e…-sinx在兀）單調(diào)遞增,需使萬）<0,

（n、

即e2-1xe^^O,所以e5-“<i，解得

\72

故實(shí)數(shù)。的取值范圍為（￡,+8）；

（3）因?yàn)楹瘮?shù)了=/（力在點(diǎn)（2兀,/（24處的切線方程為尤-廣2n=0,

所以/■'（2%）=e2M-sin271=1,且/（2兀）=e2x-a+cos2兀+b=0,

解得°=2兀,6=-2.

故/'（力二^-?71+cosx-2,貝！jf'^-ex~2n-sinx,

當(dāng)x>2兀時(shí)，/\%）>0,即y=/（x）在（2兀,+8）單調(diào)遞增，

因/（2兀）=e°+cos27t-2=0,所以y=/（x）在（2兀,+功沒有零點(diǎn)；

當(dāng)x=2兀時(shí)，f（27t）=e°+cos2兀-2=0,此時(shí)函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)2兀：

答案第11頁，共15頁

當(dāng)尤<2兀時(shí)，/（x）<e°+cosx-2=cosx-l<0,即y=/（x）在（-e,2無）沒有零點(diǎn).

綜上所述，函數(shù)了=〃x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè).

7

18.（DR

37

（2）—

v772

（3）1200人

【分析】（1）由獨(dú)立事件乘法公式及對(duì)立事件概率計(jì)算求解即可；

⑵記事件4.為“某同學(xué)第i天在甲餐廳就餐”，由尸（與）=尸（4）尸（見塌+耳聞耳與

求解即可；

（3）記事件4為“某同學(xué)第，天在甲餐廳就餐”，

尸（4）=尸回-）尸區(qū)/一）+尸陌）P色瓦）得到尸（紇）=%產(chǎn)（紇J+；,進(jìn)而可求

P（S?）=|-^xQJ1,再設(shè)記學(xué)校2000名學(xué)生第〃天在甲餐廳就餐的學(xué)生人數(shù)為X,得

到X?3（2000,尸（紇））進(jìn)而可求解；

【詳解】（1）記事件/為“這3位同學(xué)中至少有1位同學(xué)去甲餐廳就餐”，

則尸（/）=>&]=>

（2）記事件瓦為“某同學(xué)第i天在甲餐廳就餐”，，=1,2,……

則尸⑸=尸⑻尸（層⑻+尸（瓦）尸⑸瓦）=Jx：+Jx；二，

乙J乙乙JL乙

記事件C為“卬同學(xué)與s同學(xué)第二天在同一餐廳就餐”，

則網(wǎng)6=2_義工+9乂9=衛(wèi).

v,1212121272

（3）記事件4為“某同學(xué)第，天在甲餐廳就餐”，，=1,2,……

則P（B“）=P（B“"P區(qū)|）+尸（%）P（5?|4）=P出一）xg+[1一尸（紇）]x；,

iiQ1r

所以尸（凡）=XP（紇_J+即尸（p.）_=xP（Bn^--,

OZJO|_J_

所以數(shù)列卜（凡）"I是以尸⑻-卜―為首項(xiàng)，，為公比的等比數(shù)列，

LJJ5106

答案第12頁，共15頁

n-\

,31，即31

所以P(8“)-《=-記xP?W'I

記學(xué)校2000名學(xué)生第n天在甲餐廳就餐的學(xué)生人數(shù)為X,則

X?8(2000,P區(qū))),E(X)=2000^(5,,),

3

當(dāng)〃>7時(shí)，P(B〃卜m

3

所以一星期后在甲餐廳就餐的學(xué)生人數(shù)大約為2000x-=1200人.

19.(1)—

2

w27r

(2)證明見解析，面積為；06sin一

2n

⑶證明見解析

【分析】(1)求出々,0。的坐標(biāo)，根據(jù)斜率求出2