函數(shù)的性質(zhì)及應用（解析版）-2025年高考數(shù)學復習易錯題（新高考）

專題03函數(shù)的性質(zhì)及應用

目錄

題型一：函數(shù)的性質(zhì)

易錯點01復合函數(shù)定義域的理解不當致錯

易錯點02使用換元法忽略新元的范圍

易錯點03研究單調(diào)性、奇偶性時忽略定義域

易錯點04對分段函數(shù)的理解不到位出錯

題型二函數(shù)與方程

易錯點05忽略函數(shù)零點存在定理的條件

易錯點06二次函數(shù)零點分布問題考慮不全

題型-：函數(shù)的性質(zhì)

易錯點01：復合函數(shù)定義域理解不當致錯

叁易錯陷阱與避錯攻略

典例(23?24高二下?黑龍江?期末)已知函數(shù)/(x)=后金，則函數(shù)g(x)=/(2x)+/(x2)的定義域為

()

A.[-B.卜8,回

C.口,間D.[-Ai]

【答案】D

【分析】由根式和復合函數(shù)的定義域求解即可.

【詳解】由題可知=的定義域為(-82]，

則為使g(x)=/(2x)+/(x2)有意義必須且只需]2x<2

x2<2'

解得一行wxwr

所以g(x)的定義域為卜3,1]

故選:D

【易錯剖析】

在求解過程中，根據(jù)函數(shù)解析式求出/(x)的定義域為(-8,2],然后由=然后錯誤的由xV2分別求出

X2,2X的范圍進而求出函數(shù)的定義域而出錯，出錯原因在于沒有理解復合函數(shù)定義域的正確意義.

【避錯攻略】

1復合函數(shù)的概念：

若函數(shù)方/Q)的定義域為A,函數(shù)片g(x)的定義域為D,值域為C,則當時，稱函數(shù)產(chǎn)丹g(x)]

為/⑺與g(x)在D上的復合函數(shù)，其中x稱為自變量,/為中間變量，片g(x)叫做內(nèi)層函數(shù)，方/■⑺叫做外層

函數(shù).

2抽象函數(shù)或復合函數(shù)的定義域：

(1)函數(shù)的定義域是自變量x的取值范圍，比如：函數(shù)人x)的定義域是指x的取值范圍，函數(shù)y?[g(x)]

的定義域也是指x的取值范圍，而不是g(x)的取值范圍.

(2)/⑺，f^x),(x)],/D?(x)]四個函數(shù)中的3x,p(x),〃(x)在對應關系/■下的范圍相同，在同

一函數(shù)/作用下，括號內(nèi)整體的取值范圍相同.

(3)已知於)的定義域為/,求八夕⑺]的定義域，其實質(zhì)是已知夕(x)的取值范圍(值域)為/,求x的

取值范圍.

(4)己知/[夕⑺]的定義域為2,求段)的定義城，其實質(zhì)是已知八夕(x)]中x的取值范圍為2,求0(x)

的取值范圍(值域)，這個范圍就是人x)的定義域.

易錯提醒已知/(x)的定義域求解/[g(x)]的定義域，或已知/[g(x)]的定義域求/(x)的定義域，

遵循兩點：①定義域是指自變量的取值范圍；②在同一對應法則下，括號內(nèi)式子的范圍相同，另外對于實

際問題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實際意義再限制，從而得到實際問題函數(shù)的定義域.

舉一反三

1.(2024高三?全國?專題練習)已知函數(shù)的定義域為「2,2],則函數(shù)%=的定義域為()

A.[-3,1]B.[TO)"。』

C.(-l,O)u(O,l)u(l,3]D.[-3,-l)u(-l,O)u(O,l)

【答案】D

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域的求法及分式和對數(shù)有意義，列出不等式，即可求解.

【詳解】由題意可知，要使F（x）有意義,

—2Wx+1W2-3<x<1

只需要，X>0解得

XXw-1,且XW1

所以xe[T-l）5To）口（0,1）,

所以函數(shù)F（x）的定義域為[-3,-1）3-1,0）50,1）.

故選：D.

2.（24-25高三上?四川南充?開學考試）已知函數(shù)》=/。+1）的定義域為[-2,3],則y的定義域

y/X-1

為（）

A.[-5,5]B.（1,5]C.[，5D.-5,—

【答案】C

【分析】由題意求出y=/（x）的定義域，結(jié)合函數(shù)y=列出相應不等式組,即可求得答案.

yjX-1

【詳解】由題意可知函數(shù)歹=〃工+1）的定義域為卜2,3],BP-2<x<3,

故-Kx+144,則了=/（x）的定義域為[7,4],

f（2x+l）[-l<2x+l<43

貝U對于y=—1）需滿足｛1<x<—

y/X-l[X-1>O2

即了=〃尸）的定義域為

yX—l\2_

故選：C

3.（24-25高三上?貴州貴陽?階段練習）已知函數(shù)〃2x-3）的定義域為[2,3].記〃x）的定義域為集合

4/（2-1）的定義域為集合瓦則晨e4”是、€8”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】先利用抽象函數(shù)的定義域求得集合4B,再利用充分條件、必要條件的定義判斷.

【詳解】???/（2x-3）的定義域為[2,3].

當24x43時，142x-343,，〃x）的定義域為[1,3],即/=

令1V2=1W3,解得14xW2,「J（2-l）的定義域為[1,2],即8=[1,2].

■■■Bc4,“xe/”是“xe8”的必要不充分條件，

故選：B.

?易錯題通關

1.（24-25高三上?四川綿陽?階段練習）>=lg（tanx-1）的定義域為（）

A.lx\—+kTi>x>—+k7i,keZ>

I|24J

B.\x\x>—+kitjcw二+

II42J

C.卜卜〉:+析,左eZ,

fI兀析7

D.XXH——，左￡Z,

【答案】A

【分析】復合函數(shù)定義域問題，分解函數(shù)，分別求定義域再求交集.

【詳解】令y=lgf,f=tanx-l

函數(shù)/=tanx-l的定義域為：+左ez1,

函數(shù)y=lg，的定義域：/>0,則tanx-l>0,即+癡>+

所以y=lg（tanx_l）的定義域為｛+E>x>:+E,左eZ；

故選：A

2.（24-25高三上?福建寧德?開學考試）已知函數(shù)V=/（2x-l）的定義域是[-1,3],貝廿=￡^

的定義域是

yJx+2

()

A.(-2,5]B.(-2,3]

C.[-1,3]D.[-2,5]

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用抽樣函數(shù)定義域列式求解即得.

【詳解】由函數(shù)>=/(2x-l)的定義域是[-1,3],得-342x745,

f(x)f—3<x<5

因此在函數(shù)三中，.八，解得-2<xW5,

Jx+2[x+2>0

所以所示函數(shù)的定義域為(-2,5].

故選：A

3.(24-25高三上?山東煙臺?期中)若函數(shù)尸/(2，)的定義域為{x|x<2},則函數(shù)y=〃》-1)的定義域為

()

A.{x|0<x<4}B.{x\x<4}C.{x|x<5}D.{x|l<x<5}

【答案】D

【分析】運用抽象函數(shù)求定義域的相關概念，即可求解.

【詳解】由％V2,得2"<4,且2">0,所以0<工-1<4,因此l<x<5,

故函數(shù)>=/(xT)的定義域為{x[l<x<5}.

故選：D.

4.(24-25高三上?山東荷澤?期中)已知函數(shù)〃2x+l)的定義域為[1,2],則函數(shù)/(x-l)的定義域為()

A.[1,2]B.[4,6]C.[5,9]D.[3,7]

【答案】B

【分析】對于函數(shù)，(2K+1),先由xe[l,2]求出(2x+l)e[3,5],而對于函數(shù)/(久一1),應使(x-1)e[3,5],解

出xe[4,6],即得函數(shù)/(x—l)的定義域.

【詳解】因為函數(shù)/(2%+1)的定義域為[1,2],由xe[l,2]可得2x+le[3,5],

對于函數(shù)/(%—1),由可得4VxV6,

即函數(shù)f(x-l)的定義域為[4,6].

故選：B.

5.(23-24高一上?四川成都?期中)一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過26s落到地面擊中目標.炮彈的射高為845m,且

炮彈距地面的高度力(單位：m)與時間t(單位：s)的關系為〃=130/-5".該函數(shù)定義域為()

A.(0,+。)B.(0,845]C.[0,26]D,[0,845]

【答案】C

【分析】根據(jù)實際意義分析即可.

【詳解】由題意可知，炮彈發(fā)射后共飛行了26s,

所以0W26,即函數(shù)〃=130/-5戶的定義域為[0,26].

故選：C

6.(24-25高三上?河南新鄉(xiāng)?期中)已知函數(shù)/("=萬1則函數(shù)/(/)的定義域是()

A.(一

B.[-2,-l)U(-l,l)U(l,2]

C.[-V2,1)U(1,V2]

D.^-V2,-ljU(-l,l)U(l,V2J

【答案】D

【分析】根據(jù)/(一)的表達式，即可結(jié)合根式以及分式的性質(zhì)求解.

【詳解】/[2)=療7+4，

由2——20且一—1/0,得一夜VxW拒且x#±l,

所以函數(shù)/(/)的定義域是卜庭,7)U(Tl)U(l,Ji].

故選：D

7.(2024?山東一模)函數(shù)/(x)=的定義域是()

A.[4,+co)B.

C.[-2,4]D.(-00,-2]u[4,+co)

【答案】D

【分析】先由函數(shù)有意義得卜-1|-320,解該不等式即可得解.

【詳解】要使函數(shù)有意義，則,-1|-320,BP|X-1|>3,

所以x—123或x-14-3,解得24或xW-2,

所以函數(shù)的定義域為（-叱-2]34+⑹.

故選：D.

8.（23-24高三上?陜西西安?階段練習）已知的定義域為[0,2],則函數(shù)g（M=的定義域為

2

【答案】（1,西

【分析】根據(jù)函數(shù)成立的條件，建立條件關系即可.

【詳解】因為/（x）的定義域為[0,2],

/、/（/T）f0<X2-1<2

要使函數(shù)g（x）=a-）有意義,貝Uiog|（x_i）>0.

所以g（x）定義域為（1,6].

故答案為：（1,百]

9.（23-24高三上?福建莆田?開學考試）已知函數(shù)〃x）的定義域為（1,+8）,貝I]函數(shù)外力=/（2，-3）+萬7

的定義域為.

【答案】（2,3]

【分析】利用給定的函數(shù)有意義，列不等式求解作答.

【詳解】函數(shù)/（x）的定義域為（1,+8）,則由尸（力=/（2-3）+耳|有意義，

2X-3>1x>2

,解得BP2<x<3,

3-x>x<3

所以函數(shù)尸（%）=/（2工-3）+^^的定義域為（2,3].

故答案為：（2,3]

10.（24-25高三上?青海西寧?階段練習）函數(shù)蚱h；,、+（2x-3）°的定義域為

4log。5（X-2）

【答案】（2,3）

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的解析式有意義，列出不等式組，即可求解.

1

+3-3)°有意義,

【詳解】由函數(shù)VJl°go.5(x-2)

log05(x-2)>0x—2<1x<3

則滿足＜x—2>0,可得?x>2,即＜x>2,解得2<x<3,

2x—3w033

xw一Xw一

I22

所以函數(shù)的定義域為(2,3).

故答案為：(2,3).

易錯點02：使用換元法忽略新元的范圍

易錯陷阱與避錯攻略

典例(24-25高一上?吉林?階段練習)已知了(6-1)=》-2?,則〃無)的解析式為()

A./(x)=x2-lB.f(x)=x2+l(x>-1)

C.f(x)=x1-l(x>-1)D./(x)=x2+1

【答案】C

【分析】利用換元法求函數(shù)解析式，注意函數(shù)的定義域即可.

【詳解】令

由/==-1,

2

則/(f)=?一1,欄-1,即/(X)=X_1(X＞_1).

故選：C.

【易錯剖析】

本題求解時設f=G-l,換元后要注意/2-1這一范圍，如果忽略新元的范圍，容易錯選A.

【避錯攻略】

1.換元法

換元就是引入輔助未知數(shù),把題中某一個(些)字母的表達式用另一個(些)字母的表達式來代換,這種解

題方法,叫做換元法,又稱變量代換法.

換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關鍵是構(gòu)造元和設元,理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象,將問題移至新對

象的知識背景中去研究,從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化.例如通過換元來降次,或化分式、根

式為整式等,換元的關鍵是選擇適當?shù)氖阶舆M行代換.

2.常見的換元方法

(1)根式代換：一般是指將根式部分通過換元，使原函數(shù)表達式轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的一元二次方程形式；

(2)整體代換：將所求表達式整體換元；

(3)三角代換：三角代換分為兩種情況：①用三角函數(shù)的性質(zhì)將代數(shù)或幾何問題轉(zhuǎn)化成三角問題，轉(zhuǎn)化的

過程要注意定義域的取值問題；②逆向三角代換：是指將三角問題，通過換元法轉(zhuǎn)化成我們所熟悉的一元

二次方程的問題。

易錯提醒：換元要注意新舊變元的取值范圍的變化.要避免代換的新變量的取值范圍被縮小;若新變量

的取值范圍被擴大了，則在求解之后要加以檢驗.

舉一反三

1.(24-25高三上?江西上饒?階段練習)己知函數(shù)〃1-司=/六(》#0),則〃x)=()

A.(\2T(xwO)B.(12T("I)

(1)(I)

44

-1(x^0)W1)

D.(if

【答案】B

【分析】利用換元法求函數(shù)/'(x)的解析式.

【詳解】令,=1-工，貝ijx=l-才，且xwO,貝!J/wl,

l-(l-r)2I

可得-1(^1),

所以〃x)=(

故選：B.

2.(24-25高一上?重慶?階段練習)函數(shù)y=x+的值域為()

99

A.(-oo,2]B.[2,+00)C.—00—D.—,+00

44

【答案】C

【分析】利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解值域即可.

【詳解】根據(jù)題意知函數(shù)定義域為(-8,2],

所以y=x+=-?+f+2=+g,

當f=5時，乂皿=:，所以函數(shù)的值域為-s,z.

故選：C.

3.(2024?四川遂寧?模擬預測)下列函數(shù)滿足/(1823)=-/(1昨2)的是()

A./(x)=1+InxB./(x)=x+—

C./(x)=x--D./(x)=l-x

【答案】C

【分析】令r=log23>l,貝，=1。&2,結(jié)合各選項代入驗證，即可判斷答案.

【詳解】令t=logz3,"1,貝吧=1。42€(0,1),由〃1。823)=-〃皿32)可得/(。=

對于A,/(；)=1+嶺=1-3.⑺,故A錯誤；

對于B,/(；)=*=/(0,不滿足/(/)=-/1],B錯誤；

對于C,7[；]=；T=-〃')，即/⑺=-〃；)，BP/(log23)=-70og32),C正確；

對于D,/(；)=1-%-/⑺，即/(log23)=-/(log32)不成立，D錯誤.

故選：C.

,易錯題通關

1.(24-25高三上?全國?隨堂練習)函數(shù)=—y(xeR)的值域是()

X十乙X十，

A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1]D.(0,1)

【答案】C

【分析】利用換元法，結(jié)合反比例函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.

【詳解】-^?/=X2+2X+2=(X+1)2+1>1,

函數(shù)g?)=；，在此1時，單調(diào)遞減，因此g(入x=g⑴=1,

當，之1時，g(/)=；＞0,

所以/(x)=目一7(x￡R)的值域是(°，1］，

故選：C

2.(2024高三?全國?專題練習)函數(shù)y=x+Jl-x2的值域為()

A.[-B.V2JC.[-2,2]D.[1,V2]

【答案】B

JT7T

【分析】令》=五11凡收,運用換元法轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)在給定區(qū)間上的值域.

［詳角軍］令x=sind,0,貝Iy=sinO+cosg=—］,

22I4J

71兀兀,八兀,3兀

0G??——<0+—<——，

22444

5

------<sin(8+；)W1,

-1<V2sinf^+-^-j<V2,

故選：B.

3.(23-24高三下?重慶沙坪壩?階段練習)若函數(shù)/(cosx)=cosx+cos2x,則＞(

)

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】由二倍角公式結(jié)合換元法求出函數(shù)解析式即可求解.

【詳解】因為f(cosx)=cosx+cos2x=cosx+2COS2X-1

所以/(X)=X+2/T(一14x41),

g+2x；_l=0,

則/I

所以=〃0)=T.

故選：B.

5.(2024?四川?模擬預測)已知/(x)為定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且對VxeRJ(/(x)-e)=2+ln2,則

/(M=()

A.31n2B.3+ln2

C.3-ln2D.hi3

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，設〃x)-e'=/,用/⑺求t的值，進而可得“X)的解析式，從而可得〃出3).

【詳解】設/(x)-e，=f,則〃x)=e'+f,

所以/"(，)=e'+，=2+ln2,即e'+Ine'=2+ln2，

設g(x)=x+lnx(x>0),易知g(x)在(O,+8)上單調(diào)遞增，

所以e'=2,即/=In2,

故/(x)=e*+ln2,所以/(ln3)=eln3+ln2=3+ln2.

故選：B.

6.(2024?陜西?模擬預測)函數(shù)/卜卜工^+后的最大值為()

A.1B.72C.V3D.2

【答案】D

【分析】令。="^,6=而，則/+:=1,設。=5也，*=6。。$4040<1),再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)

即可得解.

【詳解】函數(shù)〃切=戊:7+岳的定義域為[0,1],

^a=yjl-x,b=,則/+g=1(0Wa41,0464石)，

設。=sin。,6=V3cos6*fo<O<-^,可得a+6=2sin[e+g),

冗

當。=7時，a+6有最大值為2,

所以函數(shù)〃X)=4二^+離的最大值為2.

故選：D.

7.(23-24高一上?浙江寧波?開學考試)函數(shù)了=。2/4注笠°)的最大值為-

乙XIII

【答案】y/0.25

4

【分析】首先將函數(shù)化簡，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)的最值.

1

x+1_x+1

【詳解】尸2

(21

2f+4x+42X+1)+2+---

x+1

設x+l=/21,而y=/+；在［1,+⑹上單調(diào)遞增,

所以、=/+t2,當且僅當"1時等號成立，

1

2

則y=

1

(x+1)+---

X+1

所以函數(shù)的最大值為1

故答案為：;

8.（24-25高三下?重慶?階段練習）若〃2XT）=2X2-X,則〃x）的解析式為,

【答案】f(x)=^+-

v722

【分析】直接利用換元法求函數(shù)解析式即可.

【詳解】令:2x7,則才=號，因為/（2%-1）=2--工，

/+1t?t故?。?”,

所以以，）=2--=--1-，

222

故答案為：f(x)=^+-.

v722

5—x

9.（23-24高三上?廣東江門?開學考試）函數(shù)/（%）=A—的值域為

72—x

【答案】［20,+8）

3

【分析】令/=萬7"=2-汽f>0,將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為/（/）=/+：,利用基本不等式即可求解.

【詳解】〃x）的定義域為（一雙2）,令"挺二I,x=2-產(chǎn)J>0

f（t）==t+';:t>0,t+>2日當且僅當/=G，即x=—1時取“等號”

???/（X）的值域為12百,+8）.

故答案為：［2道,+8）

x+1

10.（23-24高二下?遼寧本溪?期末）己知函數(shù)/'（x）滿足2yx,則/>3=

X

【答案】

【分析】利用解方程組法和換元法即可求解.

1

【詳解】由+X①,

X

得2小一.一小+）=一X②,

由①②得3/11+J=x,則/1+J=；x(xwO)

令i+5，則

所以“"可號"1）‘

故〃x）=C^（xT

故答案為：可占

11.（2024高三?全國?專題練習）已知函數(shù)y=2x-3-Ja-4x的值域為卜叫，,則實數(shù)。的值為

【答案】13

【分析】令Ja-4x=f（U0）,則＞=一;一+羨一3,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由題意可得。-4x20可得

4

________22

令八-4x=I（才之0）,則2x="，y=~~2~^^?

.,?當,=-1時取得最大值，

但由于f?0,故當，=0即x=（時，^=|-3=|,解得。=13.

故答案為：13.

易錯點03：研究單調(diào)性'奇偶性時忽略定義域

,易錯陷阱與避錯攻略

典例（2024高三?全國?專題練習）函數(shù)＞京云的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

A.(一叫1)B.(0,1)C.(1,2)D.(1,+℃)

【答案】c

【分析】令仁-/+2x,再根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法求解出了=廳式的單調(diào)遞減區(qū)間.

【詳解】由-x2+2xN0可得0Wx42,所以函數(shù).=J-/+2工的定義域為[0,2],

令"-尤2+2xe[0,l],利用復合函數(shù)單調(diào)性判斷方法來分析＞=的單調(diào)性，如下表：

Xt=-X2+2xty=4ty=yj-x2+2x

(0,1)單調(diào)遞增(。,1)單調(diào)遞增單調(diào)遞增

(1,2)單調(diào)遞減(0,1)單調(diào)遞增單調(diào)遞減

由表知，y=J_Y+2x的單調(diào)遞減區(qū)間為。,2).

故選：C.

【易錯剖析】

本題再求單調(diào)區(qū)間時容易忽略定義域，而求出單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+8)而致錯.

【避錯攻略】

函數(shù)作為高中數(shù)學的主線，貫穿于整個高中數(shù)學的始終。函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的三大要素之一，

函數(shù)的定義域(或變量的允許值范圍)似乎是非常簡單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會使人誤入歧

途。

1.函數(shù)單調(diào)性與定義域

函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討

論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進行。

(1)單調(diào)區(qū)間區(qū)間/是定義域的子集，即應在函數(shù)的定義域內(nèi)研究單調(diào)性.

(2)如果函數(shù)y=?x)存在多個單調(diào)區(qū)間，應當用“，”或“和”連接.

(3)單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，增(減)函數(shù)是函數(shù)的整體性質(zhì).

(4)復合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對應的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增(減)函數(shù)，內(nèi)層

函數(shù)是增(減)函數(shù)，復合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增(減)函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減(增)函數(shù)，復合函

數(shù)是減函數(shù).

2.函數(shù)奇偶性與定義域

偶函數(shù)的定義：如果對一切使尸(x)有定義的x,F(—x)也有定義，并且尸(一方)=網(wǎng)幻成立，則稱F(x)為

偶函數(shù).

奇函數(shù)的定義：如果對一切使F(x)有定義的x,F(-x)也有定義，并且尸(一x)=-F(x)成立，則稱尸(x)

為奇函數(shù).

(1)奇偶函數(shù)定義的等價形式.

奇函數(shù)氣/{—X)=一/)二次—x)+危)=0,偶函數(shù)氣A—x)=?x)uW—x)—/(x)=0.

(2)函數(shù)具有奇偶性的前提是定義域關于原點對稱.

一個函數(shù)不論是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，定義域必須關于原點對稱，否則這個函數(shù)就不滿足是奇函數(shù)或是

偶函數(shù)的條件，即這個函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).例如y=?,定義域為[0,+-),不具有奇偶性.

易錯提醒：|利用函數(shù)性質(zhì)解決題目的時候，應該養(yǎng)成先求定義域的習慣，要注意定義域?qū)ψ宰兞康南拗?

舉一反三

1.(23-24高三上?浙江紹興?期末)函數(shù)了=ln(一一2”的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(-℃,1)B.(1,+℃)C.(-℃,0)D.(2,+oo)

【答案】C

【分析】先求出函數(shù)的定義域，再利用復合函數(shù)單調(diào)性可求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.

【詳解】由>=ln(--2x),

-2x>0,解得x<0或x>2,

所以函數(shù)>=In(X。2x)的定義域為(一%o)U(2,+⑹，

^U=X2-2X,則函數(shù)〃=*-2x在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(2,+⑹上單調(diào)遞增，

而函數(shù)>=InM在(0,+8)上為增函數(shù)，

由復合函數(shù)單調(diào)性可得N=ln(*-2x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-?>,()).

故選：C.

2.(24-25高三上?福建福州?期中)已知定義在[-3,3]上的函數(shù)/(x)=e、-2x—1,若

/(川)+/■(加—2)+2g0,則加的取值范圍是()

A.[-1,2]B.[-1,1]C.[-1,A/3]D.[-73,1]

【答案】B

【分析】根據(jù)〃x)=g(x)-l的奇偶性以及單調(diào)性，即可將問題轉(zhuǎn)化為g(〃/)Wg(2-加)，即可求解.

【詳解1記g(x)=L-尸-2x,則/(x)=g(x)-1

所以所求解不等式為/(m2)+f{m—2)+2=g(m2)+g(m-2)<0,

g(-x)=e-x-ex+2x=-(e1-e-x-2x)=-g(x)，二g(x)是奇函數(shù)

g'(x)=e-Y+e-x-2>2je*xef—2=0,，g(x)在［T3］上是增函數(shù)

由g(m2)+g(m—2)W0得g(m2)<-g(m-2)=g(2-m)

-3<m2<3-y/3<m<V3

化簡得，心加工5解得:—I：加si,

「.<-3<2-m<3

m2<2—m-2<m<\

所以冽的取值范圍是HU],

故選：B.

3.（24-25高三上?上海?期中）函數(shù)/"）=Jl-x?+"=的奇偶性為__________.

y/l-X

【答案】非奇非偶函數(shù)

【分析】先求得函數(shù)的定義域，然后根據(jù)奇偶性的定義來求得正確答案.

【詳解】由解得所以〃x）的定義域是[-U）,

l-x>0

由于/（X）的定義域不對稱，所以/（X）是非奇非偶函數(shù).

故答案為：非奇非偶函數(shù)

叁易錯題通關

1

1.（23-24高三上,山東荷澤?階段練習）函數(shù)丁=的單調(diào)增區(qū)間為（)

6—5x—X2

5

A.-B.

C.一和(1,+8)D.(-oo,-6)U

【答案】C

【分析】令，5%+6,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出，的單調(diào)區(qū)間，再由復合函數(shù)的單調(diào)性即可得函數(shù)的

單調(diào)增區(qū)間.

【詳解】設:-%2_5%+6,貝!I有"-6且xwl,

549(49

t=-x2-5x+6=一(x+-)2+—,貝！J%w(-oo,0)Ul0,—

所以函數(shù)y=—~的定義域為:{x|%w-6且xw1},

6—5x—x

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知I的單調(diào)遞增區(qū)間為：（-鞏-6）1-6,-g；單調(diào)遞減區(qū)間為:

又因為y在區(qū)間（-8,0）和（0,+。）上單調(diào)遞減，

由復合函數(shù)的單調(diào)性可知：函數(shù)〉=」-r的單調(diào)增區(qū)間為：和（1,+8）.

故選：C.

2.（2024高三?全國?專題練習）函數(shù)/（x）=j2/-x-3的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.（一叫；］B.（-oo,-1］C.|■，+D.：，+°°

【答案】C

【分析】先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)二次函數(shù)及復合函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】由題意可得2/7-320,BP（2x-3）（x+l）>0,解得xV-1或骨或

令/=2f一x-3（x<-l^x>-）,貝仃=〃，

因為/=2/一；（；-3的對稱軸為》=:，

4

所以/=2f-》一3在（一巴一1］上遞減，在上遞增，

因為了=〃在定義域內(nèi)遞增，

所以“x）=j2x2-x-3在（-叫-1］上遞減,在|,+幻］上遞增.

故選：C

3.（24-25高三上?陜西渭南?階段練習）若函數(shù)“xhlogo/ax-/）在區(qū)間（TO）上單調(diào)遞增，則。的取值

范圍是（）

A.（0,2］B.［一2,0）C.［2,+oo）D.2］

【答案】D

【分析】利用復合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】由于y=logo產(chǎn)在（0,+8）上單調(diào)遞減,令公—%2+ax，xe（-l,0）,

因為歹=10go5/為減函數(shù)，又/（x）=10g°.5（辦-巧在區(qū)間㈠⑼上單調(diào)遞增，

由復合函數(shù)的單調(diào)性法則可知，f=+ax在（T,0）上單調(diào)遞減，

且％=-x2+ax>0在(-1,0)上恒成立，

因為l=-x2+ax為二次函數(shù)，開口向下，對稱軸為x=T，

由Uf2+ax在(T,。)上單調(diào)遞減，可得解得-2,

由/=-X?+ax>0在(TO)上恒成立，即ax>/,xe(-1,0),

可得a<x在(-1,0)上恒成立，貝I].4—1,

綜上，實數(shù)a的取值范圍為(-嗎-2].

故選：D

4.(24-25高三上?陜西漢中?期中)設函數(shù)〃X)=X；+3X+4,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

A.〃x+l)+lB.+1

C./(x-l)+lD./(x-l)-l

【答案】D

【分析】運用奇函數(shù)的定義證明即可.

【詳解】〃+31胃=瑞三+】,貝心)=小->「工，

定義域為R,且尸(f)=7^=-尸(x),則/(x-l)-l是奇函數(shù).

故選：D.

5.定義在(0,+功上的函數(shù)〃x)滿足VX],X2e(0,+s)且X]#X2,有[/(網(wǎng))-/(今獨占一電)>0,且

2

/(孫)="X)+f(y),/(4)=-,則不等式/(2x)-/(x-3)>l的解集為().

A.(0,4)B.(0,+co)C.(3,4)D.(2,3)

【答案】C

【詳解】解:；/(盯)=/(x)+/(y)

71

.-./(4)=/(2x2)=/(2)+/(2)=-,BP/(2)=-,

■.■/(8)=/(4x2)=/(4)+/(2)=3/(2)=3x1=l,

.../(2x)-/(x-3)>l,可轉(zhuǎn)化為：/(2x)-/(x-3)>/(8),

即〃2x)>/?⑻+〃x-3),

即〃2x)>/[8x(x-3)]=/(8x-24),

；/(x)滿足VX],%e(0,+oo)且國片馬，有[/'(再)-/'(工2)](再-馬)>0,

.?./(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

2x>0

即x-3>0,解得：3<x<4,

2x>8x-24

即不等式/(2x)-〃x-3)>1的解集為：(3,4),

故選：C.

l,x<2

6.已知函數(shù)/(x)=<x—l,2Wx<3,且/(%)=2,則/=()

x2-7,x>3

A.1B.2C.3D.6

【答案】C

l,x<2

【詳解】因為/'(x)h尤-l,2Wx<3,且/(%)=2,

x2-7,x>3

2</<3卜

則解得x0=3.

x0-l=2或[焉-7=2

故選：C

7.已知/(x)是定義在卜1』上的增函數(shù)，且-3x),則x的取值范圍是.

【答案】宣

12

【詳解】由題意可得，TO3X(1,

x—1>1—3x

所以X的取值范圍是(gg.

.火生4(12]

故答案為：I.

8.(2024高三?全國?專題練習)已知函數(shù)〃x)=-x|x|,xe(-l,l),貝U不等式〃1一加)</(機,—1)的解集

為.

【答案】(0,1)

【分析】先把函數(shù)/'(X)寫成分段函數(shù)的形式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析函數(shù)單調(diào)性，把函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為

代數(shù)不等式，求解即可.

【詳解】由已知得

則無)在(-1,1)上單調(diào)遞減，

-1<1-m<1

??.<-1</_i<i解得()<加<1,

l-m>m2-I

???所求不等式的解集為(0,1).

答案：(0,1).

9.若函數(shù)外)=辦2+/+30+6是偶函數(shù)，定義域為[a—1,2a],則a=,b=.

【答案/0

3

【解析】因為偶函數(shù)的定義域關于原點對稱，所以a—1=—2a,解得。=L

3

又函數(shù)兀0=$2+加+6+1為二次函數(shù)，結(jié)合偶函數(shù)圖象的特點，易得6=0.

易錯點04：對分段函數(shù)的理解不到位出錯

叁易錯陷阱與避錯攻略

I_丫2?,a*_6丫<1

典例(24-25高三上?河北滄州?期中)若函數(shù)/(x)=一一’一在R上是增函數(shù)，則。的取值范圍

[alnx+5,x>1

為()

A.[1,+℃)B.[1,6]

C.(-oo,l]u[6,+oo)D.(0,l]U[6,+oo)

【答案】B

【分析】由分段函數(shù)在R上遞增需滿足條件可得答案.

【詳解】設g(x)=-x?+2ax-6,x<1；=alnx+5,x>1.

為使/（X）在R上遞增，則g（x）在（-8』上遞增,力（X）在（1,+8）上遞增，

a>\

且g⑴/⑴，即a>0=>l<a<6.

2a-7<5

故選：B

【易錯剖析】

本題在求解過程中容易只注意到分段函數(shù)遞增，則每一段都遞增，忽略比較分段點處函數(shù)值的大小而

錯選A.

【避錯攻略】

1.分段函數(shù)的定義

在定義域內(nèi)不同部分上，有不同的解析表達式.像這樣的函數(shù)，通常叫做分段函數(shù).

【理解】（1）分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù).

（2）處理分段函數(shù)問題時，要首先確定自變量的取值屬于哪一個范圍，然后選取相應的對應關系.要注

意寫解析式時各區(qū)間端點的開閉，做到不重復、不遺漏.

（3）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，分段函數(shù)的值域是分別求出各段上的值域后取并集.

2.分段函數(shù)的題型

（1）分段函數(shù)圖象的畫法

①作分段函數(shù)的圖象時，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時，先不管定義域的限制，作出其圖

象，再保留定義域內(nèi)的一段圖象即可，作圖時要特別注意接點處點的虛實，保證不重不漏.

②對含有絕對值的函數(shù)，要作出其圖象，首先應根據(jù)絕對值的意義去掉絕對值符號，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分

段函數(shù)，然后分段作出函數(shù)圖象.

（2）分段函數(shù)的求值

①確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間.

②代入該段的解析式求值，直到求出值為止.

（3）求某條件下自變量的值（或范圍）

先對x的取值范圍分類討論，然后代入不同的解析式，解方程（不等式）求解，注意需檢驗所求的值是否

在所討論的區(qū)間內(nèi).若題目是含有多層尸'的問題，要按照“由里到外”的順序，層層處理.

（4）根據(jù)分段函數(shù)的解析式解不等式

①對變量分類討論代入相應的解析式求解.

②畫出分段函數(shù)的圖像判斷單調(diào)性，利用單調(diào)性求解.

（5）求分段函數(shù)的最值

分別求出每一段的最值或值域進行比較求出最值

（6）根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)

從兩方面入手，一是分析各段的單調(diào)性，二是比較分段點的大小關系.

易錯提醒：(1)求某條件下自變量的值時，先假設所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后相應求出自

變量的值，切記代入檢驗.

(2)已知分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，切記不要漏掉分段點處函數(shù)值大小的比較，常見的類型及應滿足的條

件如下：

類型1：函數(shù)/(刈=［＜(幻",“，在R上單調(diào)增遞，則“X)滿足兩個條件：

(1)」(x)在(-00,a］上單調(diào)增遞增;

(2)上(X)在(a,+◎上單調(diào)增遞增；

(3)工⑷”(a).

類型2：函數(shù)=，在R上單調(diào)增遞減，則“X)滿足兩性個條件：

［力⑴,%＞a

(1)工(刈在上單調(diào)增遞減；

(2)上(%)在(0,+功上單調(diào)增遞減；

⑶工⑷2”)

舉一反三

1.(2024?吉林?模擬預測)已知〃力=五若/S)=l，則實數(shù)。的值為()

——,x＞1.

I2

A.1B.4C.1或4D.2

【答案】B

【分析】分。＜1和心1,求解〃a)=l,即可得出答案.

【詳解】當。＜1時，/(?)=2a-'=l,則"1=0,解得：“=1(舍去)；

當a21時，/(a)=^-=l,貝lj6=2,解得：a=4.

故選：B.

2-(24-25高三上?江蘇南京?期中)已知函數(shù)“上4.在R上單調(diào)遞增,則實數(shù)”的取值范圍是

A.(-1,3]B.C.[3,+co)D.(-^,-l]u[3,+oo)

【答案】C

【分析】根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合分段函數(shù)區(qū)間端點的函數(shù)值大小關系求解即可.

/、f2x+4,x<(2

【詳解】已知函數(shù)/x=2,，當xWa時，

[x+l,x>a

/(x)=2x+4單調(diào)遞增，所以最大值為2a+4；

當X>a且a>0時，/(x)=x2+l在(a,+oo)上單調(diào)遞增，最小值為/+1；

/、[2x+4,x<a

所以要使函數(shù)/X=2/在R上單調(diào)遞增，

[x+l,x>a

?a2+\>2a+4,解得。13或aV-l(舍去).

故選：C.