函數(shù)與導(dǎo)數(shù)經(jīng)典?？?jí)狠S大題-高考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)經(jīng)典?？?jí)狠S大題

壓軸題解讀

本節(jié)內(nèi)容在高考中通常以壓軸題形式出現(xiàn)，常見的有函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題、不等式證明

問題、不等式存在性問題等，綜合性較強(qiáng)，難度較大.在求解導(dǎo)數(shù)綜合問題時(shí)，通常要綜合

利用分類討論、構(gòu)造函數(shù)、等價(jià)轉(zhuǎn)化、設(shè)而不求等思想方法，同時(shí)聯(lián)系不等式、方程等知

識(shí)，思維難度大，運(yùn)算量不低.可以說，只要考生啃下本節(jié)這個(gè)硬骨頭，就具有了強(qiáng)大的邏

輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等核心素養(yǎng).

預(yù)計(jì)預(yù)測2024年高考，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要考查內(nèi)容，同時(shí)也是高等數(shù)學(xué)的

基礎(chǔ)，其試題的難度呈逐年上升趨勢(shì)，通過對(duì)近十年的高考數(shù)學(xué)試題，分析并歸納出五大

命題預(yù)測考點(diǎn):

(1)含參函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值；

(2)函數(shù)的零點(diǎn)問題；

(3)不等式恒成立與存在性問題；

(4)函數(shù)不等式的證明.

(5)導(dǎo)數(shù)中含三角函數(shù)形式的問題

其中，對(duì)于函數(shù)不等式證明中極值點(diǎn)偏移、隱零點(diǎn)問題、含三角函數(shù)形式的問題探究

和不等式的放縮應(yīng)用這四類問題是目前高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題的熱點(diǎn).

(1)雙變量問題

(2)證明不等式

高頻考法(3)不等式恒成立與有解問題

(4)零點(diǎn)問題

(5)導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合問題

高分必?fù)?/p>

?題型01雙變量問題

破解雙參數(shù)不等式的方法：

一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)

的不等式；

二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；

三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.

【例1】(2024?廣東?二模)已知/'(x)=gox?+(l-2a)x-21iu,a>0.

⑴求的單調(diào)區(qū)間；

⑵函數(shù)的圖象上是否存在兩點(diǎn)AQ,%),3(%,%)(其中芯片々)，使得直線A3與函數(shù)的圖象

在毛="殳處的切線平行？若存在，請(qǐng)求出直線A3;若不存在，請(qǐng)說明理由.

【變式1-1](2024.四川.模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=(a+l)eX-g/+l(aeR).

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求曲線y=在點(diǎn)(0,〃0))處的切線方程；

⑵設(shè)外,％2(不<%)是函數(shù)y=/'(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：玉+%>2.

【變式1-2](2024?四川德陽?二模)已知函數(shù)/⑺=質(zhì)+4-2axMeR,

(1)當(dāng)。>0時(shí)，討論/(元)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(無)有兩個(gè)極值點(diǎn)和<々)，求27(占)-/(々)的最小值.

高分必?fù)?/p>

?題型02證明不等式

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式/(x)>g(x)(或/(x)<g(x))轉(zhuǎn)化為證明/(x)-g(x)>。(或

,進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)"(x)=/(x)-g(x)；

(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；

(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

(4)對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)找基友

(5)凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問題

(6)同構(gòu)變形

【例2】(2024?青海?模擬預(yù)測)已知質(zhì)數(shù)〃力=旌'-/+煙-m，且曲線y=在點(diǎn)(2,〃2))處的切

線方程為4e~x-y—4e2-0.

⑴求m的值；

⑵證明:對(duì)一切xN0,都有〃力m2爐.

【變式2-1](2024?山西晉城?二模)已知函數(shù)/(x)=(x-a)e，+x+a(aeR).

(1)若。=4,求/(x)的圖象在x=0處的切線方程；

⑵若/(x)20對(duì)于任意的xe[0,y)恒成立，求a的取值范圍;

⑶若數(shù)列｛%｝滿足％=1且％=weN*),記數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S“，求證:

S?+1<In[(?+1)(?+2)].

【變式2-2](2024?上海松江?二模)已知函數(shù)y=x-lnx+a為常數(shù))，記y=/(x)=x-g(x).

⑴若函數(shù)V=g(x)在x=l處的切線過原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的值；

(2)對(duì)于正實(shí)數(shù)"求證：/(x)+f(f-x)>f(/)-dn2+a;

(3)當(dāng)。=1時(shí)，求證：g(x)+cosx<—.

x

?題型03不等式恒成立與有解問題

00:00

1、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題的求解策略：

(1)通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(2)利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；

(3)根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參

數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類

討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

2、利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒(能)成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：

(1)VxeD,%=〃工)="=/(項(xiàng)^；

(2)\/xeD,(A-)^；

(3)，篦=/(工)0〃匹/(￡)2；

(4)3x^D,m>f｛x)<^m>f.

3、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化:

一般地，已知函數(shù)y=/(X)，xe[a,b],y=g(x),xe[c,d].

（1）若依引。，川，\fx2e[c,d],有〃項(xiàng)）v8?。┏闪?，則/⑺皿＜gQL；

（）若依引。,句，＜有〃孑）＜）成立，則/（初皿＜⑺；

2HX2e[f,7],g&g1mx

（）若辦e[c,d],有〃不）＜）成立，則〃乃加＜（）；

3HX28&8X1mx

(4)若V$e|a,b],HX2&[c,d],有〃4）=8（工2）成立,則/（光）的值域是g（x）的值域的子集.

【例3】（2024?北京朝陽?一模）已知函數(shù)〃x）=（l-辦）e'（aeR）.

⑴討論〃x）的單調(diào)性；

⑵若關(guān)于x的不等式/（%）＞?（1-%）無整數(shù)解，求a的取值范圍.

【變式3-1]（2024.黑龍江哈爾濱.一模）已知函數(shù)〃元）=W-ae，,aeR.

⑴當(dāng)。=0時(shí)，求在x=l處的切線方程；

⑵當(dāng)。=1時(shí)，求〃x）的單調(diào)區(qū)間和極值；

（3）若對(duì)任意xeR,有/（x）Wei恒成立，求4的取值范圍.

【變式3-2]（2024?陜西安康.模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=lnx+l,ga）=eX-L

⑴求曲線y=〃x)與y=g(x)的公切線的條數(shù)；

(2)^a>0,Vxe(-l,+oo),/(x+l)<a2g(x)+a2-a+l,求a的取值范圍.

?題型04零點(diǎn)問題

函數(shù)零點(diǎn)問題的常見題型：判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)或者求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點(diǎn)情況，求參

數(shù)的值或取值范圍.

求解步驟：

第一步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與力軸(或直線、=左)在某區(qū)間上

的交點(diǎn)問題；

第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性、極值、端點(diǎn)值等性質(zhì)，進(jìn)而畫出其圖像；

第三步：結(jié)合圖像判斷零點(diǎn)或根據(jù)零點(diǎn)分析參數(shù).

【例4】(2024.四川瀘州.三模)設(shè)函數(shù)〃x)=e，i,g(x)=lnx+6.

⑴求函數(shù)/("=(》-1)外力的單調(diào)區(qū)間；

⑵若總存在兩條直線和曲線y=/(力與y=g⑺都相切，求b的取值范圍.

【變式4-1](2024.北京房山.一模)已知函數(shù)/(尤)=8,+L.

X

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)處的切線方程；

(2)設(shè)g(x)=/'(xA/,求函數(shù)g(x)的極大值；

(3)若a<-e,求函數(shù)<x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【變式4-2](2024?浙江?二模)定義max{a,6}=[：'：]：,已知函數(shù)=max{lnx,4?+小_“，其中

msR.

(1)當(dāng)加=5時(shí)，求過原點(diǎn)的切線方程；

(2)若函數(shù)/(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)，"的取值范圍.

?題型05導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合問題

WOO1

分段分析法

【例5】(2024全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(X)=gX3+2cosx)+xcos尤-sin尤.

⑴討論〃x)的單調(diào)性

(2)若。>0,求證：

①函數(shù)f(x)在(。,+8)上只有1個(gè)零點(diǎn)；

②>1-^a3~~a2-0sin[a+?).

【變式5-1](2024?河北滄州?一模)已知函數(shù)"x)=W，a>0.

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，不等式〃x)-cos[liV(x)]Nalnx2-4x恒成立，求。的取值范圍.

【變式5-2](2024.全國.模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=e"-sinx.

(1)若對(duì)于任意工￡[0,+oo)恒成立，求a的取值范圍;

2n

(2)若函數(shù)/(x)的零點(diǎn)按照從大到小的順序構(gòu)成數(shù)列卜“},“eN*,證明：+兀;

i=l

(3)對(duì)于任意正實(shí)數(shù)不，Z,證明：(廿一工2-1)/‘>sin(X]+X2)-sin占一尤2cos%.

壓軸題預(yù)測

1.已知函數(shù)〃尤)=依---,a>0.

⑴若〃x)存在零點(diǎn)，求。的取值范圍；

2

⑵若毛，巧為“X)的零點(diǎn)，且網(wǎng)<尤2，證明：a(xl+x2)>2.

2.已知函數(shù)/(x)=31nx-at.

⑴討論的單調(diào)性.

(2)已知百,三是函數(shù)〃無)的兩個(gè)零點(diǎn)(為<赴).

(i)求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

(ii)是的導(dǎo)函數(shù).證明：r[2x1+(l-2)xJ<0.

3.如圖，對(duì)于曲線r,存在圓c滿足如下條件:

①圓c與曲線r有公共點(diǎn)A,且圓心在曲線r凹的一側(cè)；

②圓c與曲線r在點(diǎn)A處有相同的切線；

③曲線r的導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)A處的導(dǎo)數(shù)（即曲線「的二階導(dǎo)數(shù)）等于圓c在點(diǎn)A處的二階導(dǎo)數(shù)（已知圓

（尤-。）2+（廣4=/在點(diǎn)A（尤°,%）處的二階導(dǎo)數(shù)等于匹了）；

則稱圓C為曲線r在A點(diǎn)處的曲率圓，其半徑r稱為曲率半徑.

（1）求拋物線＞=/在原點(diǎn)的曲率圓的方程；

（2）求曲線y=’的曲率半徑的最小值；

X

⑶若曲線y=e，在（西,9）和（尤2，產(chǎn)）（占W%）處有相同的曲率半徑，求證：芯+々＜-1112.

4.已知函數(shù)/（%）=依2+%一in%-。.

⑴若〃=1,求"%）的最小值；

⑵若"％）有2個(gè)零點(diǎn)冷無2，證明：。（玉+工2）2+（石+%2）＞2.

5.已知函數(shù)仆）=#+（。-2）e—2ax.

⑴若曲線y=〃x)在處的切線方程為4辦+2y+l=0,求〃的值及的單調(diào)區(qū)間.

⑵若〃x)的極大值為/'(1112),求。的取值范圍.

(3)當(dāng)a=0時(shí)，求證：/(x)+5ex~—>—x2+xlwc.

6.已知函數(shù)/(x)=g%2+x+〃in(x+l),acR.

⑴討論八%)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)av—1時(shí)，a2+f(x)>l.

7.已知函數(shù)〃x)=xlnx+依+l(awR).

⑴若外力之。恒成立，求。的取值范圍；

(2)當(dāng)％>1時(shí)，證明：exlnx>e(x-l).

8.已知函數(shù)/(%)=坨(％+1)—〃工2一元.

⑴判斷函數(shù)/(幻的單調(diào)性

(2)證明：①當(dāng)。20時(shí)，/W<0；

(2)sin———bsin---H—+sin—<In2,nGN".

n+1n+22n

9.牛頓迭代法是牛頓在17世紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上近似求解方程的方法.比如，我們可以先猜

想某個(gè)方程/(%)=0的其中一個(gè)根r在彳=%的附近，如圖6所示，然后在點(diǎn)&,〃毛))處作了(%)的切

線，切線與無軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是巧，用毛代替號(hào)重復(fù)上面的過程得到巧；一直繼續(xù)下去，得到看,

巧，…，尤”.從圖形上我們可以看到巧較心接近r，巧較4接近廣，等等.顯然，它們會(huì)越來越逼近r.于是,

求廠近似解的過程轉(zhuǎn)化為求尤“，若設(shè)精度為￡,則把首次滿足|王-玉」<￡的相稱為廠的近似解.

已知函數(shù)/(力=丁-》+1,fleR.

（Xo2Ax0））

(1)試用牛頓迭代法求方程y(x)=O滿足精度￡=0.5的近似解(取毛=-1,且結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后第二位)；

⑵若/(x)+3*+6x+5+ae”。對(duì)任意xeR都成立，求整數(shù)。的最大值.(計(jì)算參考數(shù)值：e?2.72,

2

產(chǎn)。3.86,e「5as4.48,1.35晨2.46,1.35?1.82)

10.已知函數(shù)/(x)=lnx-G；+l,tzeR.

⑴討論“X)的單調(diào)性；

(2)若Vx>0,/卜)〈比2'-2奴恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

11.已知函數(shù)〃司=》2-2olnx-2(aeR).

(1)討論/■(%)的單調(diào)性；

(2)若不等式<2(lnx)z+--2x在區(qū)間(1,+co)上有解，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

12.已知函數(shù)〃x)=5,其中e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

⑴求函數(shù)/⑺的單調(diào)區(qū)間；

⑵證明:f(x)<ex-l；

⑶設(shè)g⑺=/⑺-e?，+2ae'-4a2+l(?eR),若存在實(shí)數(shù)不使得g小)20,求。的最大值.

13.已知函數(shù)〃x)=e"—l-依(aeR).

⑴若函數(shù)〃x)在點(diǎn)處的切線與直線x+2ey+l=0垂直，求“的值;

(2)當(dāng)尤e(O,2］時(shí)，討論函數(shù)尸(x)=/(x)-xlnx零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

14.已知函數(shù)/(%)=e2%-(2a-l)ex-ax.

⑴討論了(幻的單調(diào)性;

(2)若了⑺有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

15.已知函數(shù)〃彳)=0*-f+4,xeR,^(x)=f^xj+jr-x.

⑴若。(元)的最小值為0,求。的值；

⑵當(dāng)”0.25時(shí)，證明：方程，(尤)=2x在(0,+8)上有解.

.一一.八"、x,、In無

16.已知/'(無)=-y,g(x)=-.

e尤

⑴求函數(shù)y=/(X)、y=g(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)請(qǐng)嚴(yán)格證明曲線y=f(x)、y=g(x)有唯一交點(diǎn)；

⑶對(duì)于常數(shù)。<0,口，若直線y=a和曲線y=/(x)、y=g(x)共有三個(gè)不同交點(diǎn)(3，4、(3。)、(七,〃)，其

中玉<%2<%，求證：%、元2、玉成等比數(shù)列.

17.已知函數(shù)/(x)=sinx-辦?CO&XMWR.

⑴當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)/(X)在X=]處的切線方程;

⑵xe]o,3時(shí)；

(i)若/(%)+sin2x>0,求"的取值范圍；

(ii)證明：sin2x-tanx>x3.

x

18.f(x)=yf2sin(x+(p)-a+e~,夕<。句，己知/(x)的圖象在(0,7(0))處的切線與無軸平行或重合.

(1)求。的值；

(2)若對(duì)VxNO,〃尤)40恒成立，求。的取值范圍;

157kit

(3)利用如表數(shù)據(jù)證明：sin—<106.

k=i314

717178兀78兀79n79%

e而e，e而e而e一而

1.0100.9902.1820.4582.2040.454

19.數(shù)值線性代數(shù)又稱矩陣計(jì)算，是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，其主要研究對(duì)象包括向量和矩陣.對(duì)于平面

a

%%2"13…\n

向量M=(X?),其模定義為|那="77.類似地，對(duì)于"行"列的矩陣從“=的也出3'--%,其

旬色2〃33…a3n

\：：：：7

1

z、一

(nn、2

模可由向量模拓展為A='(其中劭為矩陣中第i行第/列的數(shù)，X為求和符號(hào))，記作乙，我們

、i=lj=l>

稱這樣的矩陣模為弗羅貝尼烏斯范數(shù)，例如對(duì)于矩陣仔：］，其矩陣模

(%a21)(35J

\

，nn、2-----------------------

=/22+不