2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章平面解析幾何第1講直線的傾斜角斜率與直線的方程講義理含解析

PAGEPAGE10第八章平面解析幾何第1講直線的傾斜角、斜率與直線的方程[考綱解讀]1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，駕馭過兩點的直線斜率的計算公式，并能依據(jù)兩條直線的斜率推斷這兩條直線的平行或垂直關(guān)系．(重點)2.駕馭直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式等)，并了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系．(難點)[考向預(yù)料]從近三年高考狀況來看，本講是命題的熱點，但很少獨立命題．預(yù)料2024年高考對本講內(nèi)容的考查：①考查直線傾斜角與斜率的關(guān)系、斜率公式；②直線平行與垂直的判定或應(yīng)用，求直線的方程．試題常以客觀題形式考查，難度不大.1．直線的斜率(1)當α≠90°時，tanα表示直線l的斜率，用k表示，即eq\o(□,\s\up3(01))k＝tanα.當α＝90°時，直線l的斜率k不存在．(2)斜率公式給定兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，經(jīng)過P1，P2兩點的直線的斜率公式為eq\o(□,\s\up3(02))k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).2．直線方程的五種形式1．概念辨析(1)直線的斜率為tanα，則其傾斜角為α.()(2)斜率相等的兩直線的傾斜角不肯定相等．()(3)經(jīng)過點P(x0，y0)的直線都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()(4)經(jīng)過隨意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小題熱身(1)已知直線l過點(0,0)和(3,1)，則直線l的斜率為()A．3 B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3) D．－3答案B解析直線l的斜率為k＝eq\f(1－0,3－0)＝eq\f(1,3).(2)在平面直角坐標系中，直線eq\r(3)x＋y－3＝0的傾斜角是()A.eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(5π,6) D．eq\f(2π,3)答案D解析直線eq\r(3)x＋y－3＝0的斜率為－eq\r(3)，所以傾斜角為eq\f(2π,3).(3)已知直線l經(jīng)過點P(－2,5)，且斜率為－eq\f(3,4)，則直線l的方程為()A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0答案A解析由題意得直線l的點斜式方程為y－5＝－eq\f(3,4)[x－(－2)]，整理得3x＋4y－14＝0.(4)已知直線l的斜率為k(k≠0)，它在x軸，y軸上的截距分別為k,2k，則直線l的方程為()A．2x－y－4＝0 B．2x－y＋4＝0C．2x＋y－4＝0 D．2x＋y＋4＝0答案D解析由題意得，直線l的截距式方程為eq\f(x,k)＋eq\f(y,2k)＝1，又因為直線l過(k,0)，(0,2k)兩點，所以eq\f(2k－0,0－k)＝k，解得k＝－2，所以直線l的方程為eq\f(x,－2)＋eq\f(y,－4)＝1，即2x＋y＋4＝0.題型eq\a\vs4\al(一)直線的傾斜角與斜率1．直線xsinα＋y＋2＝0的傾斜角的范圍是()A．[0，π) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))答案B解析設(shè)直線的傾斜角為θ，則有tanθ＝－sinα，又sinα∈[－1,1]，θ∈[0，π)，所以0≤θ≤eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)≤θ＜π.2．(2024·安陽模擬)若平面內(nèi)三點A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線，則a＝()A．1±eq\r(2)或0 B．eq\f(2－\r(5),2)或0C.eq\f(2±\r(5),2) D．eq\f(2＋\r(5),2)或0答案A解析若A，B，C三點共線，則有kAB＝kAC，即eq\f(a2－－a,2－1)＝eq\f(a3－－a,3－1)，整理得a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±eq\r(2).3．直線l過點P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，eq\r(3))為端點的線段有公共點，則直線l斜率的取值范圍為________．答案(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)解析如圖，∵kAP＝eq\f(1－0,2－1)＝1，kBP＝eq\f(\r(3)－0,0－1)＝－eq\r(3)，∴k∈(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)．1．直線的傾斜角與其斜率的關(guān)系斜率kk＝tanα>0k＝0k＝tanα<0不存在傾斜角α銳角0°鈍角90°2．傾斜角改變時斜率的改變規(guī)律依據(jù)正切函數(shù)k＝tanα的單調(diào)性，如圖所示：(1)當α取值在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))內(nèi)，由0增大到eq\f(π,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))時，k由0增大并趨向于正無窮大；(2)當α取值在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))內(nèi)，由eq\f(π,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))增大到π(α≠π)時，k由負無窮大增大并趨近于0.3．三點共線問題若已知三個點中的兩個坐標，可以先通過這兩個已知點求出直線方程，然后將第三個點代入求解；也可利用斜率相等或向量共線的條件解決．1．設(shè)直線l的傾斜角為α，且eq\f(π,4)≤α≤eq\f(5π,6)，則直線l的斜率k的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))∪[1，＋∞)解析當eq\f(π,4)≤α<eq\f(π,2)時，k＝tanα∈[1，＋∞)；當eq\f(π,2)<α≤eq\f(5π,6)時，k＝tanα∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))，所以斜率k的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))∪[1，＋∞)．2．(2024·廣州質(zhì)檢)若直線l與直線y＝1，x＝7分別交于點P，Q，且線段PQ的中點坐標為(1，－1)，則直線l的斜率為()A.eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(3,2) D．eq\f(2,3)答案B解析依題意，設(shè)點P(a,1)，Q(7，b)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋7＝2，,b＋1＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－5，,b＝－3，))從而可知直線l的斜率為eq\f(－3－1,7＋5)＝－eq\f(1,3).題型eq\a\vs4\al(二)直線方程的求法1．已知三角形的三個頂點A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，則BC邊上中線所在的直線方程為________．答案x＋13y＋5＝0解析BC的中點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)))，∴BC邊上中線所在直線方程為eq\f(y－0,－\f(1,2)－0)＝eq\f(x＋5,\f(3,2)＋5)，即x＋13y＋5＝0.2．(1)求過點A(1,3)，斜率是直線y＝－4x的斜率的eq\f(1,3)的直線方程；(2)求經(jīng)過點A(－5,2)，且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍的直線方程．解(1)設(shè)所求直線的斜率為k，依題意k＝－4×eq\f(1,3)＝－eq\f(4,3).又直線經(jīng)過點A(1,3)，因此所求直線方程為y－3＝－eq\f(4,3)(x－1)，即4x＋3y－13＝0.(2)當直線不過原點時，設(shè)所求直線方程為eq\f(x,2a)＋eq\f(y,a)＝1，將(－5,2)代入所設(shè)方程，解得a＝－eq\f(1,2)，所以直線方程為x＋2y＋1＝0；當直線過原點時，設(shè)直線方程為y＝kx，則－5k＝2，解得k＝－eq\f(2,5)，所以直線方程為y＝－eq\f(2,5)x，即2x＋5y＝0.故所求直線方程為2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.條件探究把舉例說明2(1)中所求直線繞點A(1,3)，順時針旋轉(zhuǎn)45°，求所得直線的方程．解設(shè)舉例說明2(1)中所求直線的傾斜角為α，則由舉例說明2(1)解析知tanα＝－eq\f(4,3)，所以90°<α<180°，此直線繞點A(1,3)順時針旋轉(zhuǎn)45°，所得直線的傾斜角為α－45°，斜率k′＝tan(α－45°)＝eq\f(tanα－1,1＋tanα)＝eq\f(－\f(4,3)－1,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3))))＝7，點斜式方程為y－3＝7(x－1)，整理得7x－y－4＝0.給定條件求直線方程的思路(1)求直線方程常用的兩種方法①干脆法：依據(jù)已知條件，干脆寫出直線的方程，如舉例說明2(1)求直線方程，則干脆利用斜截式即可．②待定系數(shù)法：即設(shè)定含有參數(shù)的直線方程，結(jié)合條件列出方程(組)，求出參數(shù)，再代入直線方程即可．必要時要留意分類探討，如舉例說明2(2)中不要忽視過原點的狀況，否則會造成漏解．(2)設(shè)直線方程的常用技巧①已知直線縱截距b時，常設(shè)其方程為y＝kx＋b.②已知直線橫截距a時，常設(shè)其方程為x＝my＋a.③已知直線過點(x0，y0)，且k存在時，常設(shè)y－y0＝k(x－x0)．1．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，點O(0,0)，A(1,3)，點B在x軸的正半軸上，則直線AB的方程為()A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)答案D解析因為AO＝AB，所以直線AB的斜率與直線AO的斜率互為相反數(shù)，所以kAB＝－kOA＝－3，所以直線AB的點斜式方程為y－3＝－3(x－1)．故選D.2．已知直線l與兩坐標軸圍成的三角形的面積為3，分別求滿意下列條件的直線l的方程：(1)過定點A(－3,4)；(2)斜率為eq\f(1,6).解(1)由題意知，直線l存在斜率．設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋3)＋4，它在x軸、y軸上的截距分別為－eq\f(4,k)－3,3k＋4，由已知，得(3k＋4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,k)＋3))＝±6，解得k1＝－eq\f(2,3)或k2＝－eq\f(8,3).故直線l的方程為2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.(2)設(shè)直線l在y軸上的截距為b，則直線l的方程是y＝eq\f(1,6)x＋b，則它在x軸上的截距是－6b，由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.∴直線l的方程為x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.題型eq\a\vs4\al(三)直線方程的綜合應(yīng)用角度1由直線方程求參數(shù)問題1．若直線x－2y＋b＝0與兩坐標軸所圍成的三角形的面積不大于1，那么b的取值范圍是()A．[－2,2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．[－2,0)∪(0,2] D．(－∞，＋∞)答案C解析令x＝0，得y＝eq\f(b,2)，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面積為eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))|－b|＝eq\f(1,4)b2，且b≠0，因為eq\f(1,4)b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范圍是[－2,0)∪(0,2]．角度2與直線方程有關(guān)的最值問題2．已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)證明：直線l過定點；(2)若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；(3)若直線l交x軸負半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S(O為坐標原點)，求S的最小值并求此時直線l的方程．解(1)證明：直線l的方程可化為k(x＋2)＋(1－y)＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，,1－y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1.))∴無論k取何值，直線總經(jīng)過定點(－2,1)．(2)由方程知，當k≠0時，直線在x軸上的截距為－eq\f(1＋2k,k)，在y軸上的截距為1＋2k，要使直線不經(jīng)過第四象限，則必需有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)≤－2，,1＋2k≥1，))解得k＞0；當k＝0時，直線為y＝1，符合題意，故k的取值范圍為[0，＋∞)．(3)由題意可知k≠0，再由l的方程，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0,1＋2k)．依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)＜0，,1＋2k＞0，))解得k＞0.∵S＝eq\f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋2k,k)))·|1＋2k|＝eq\f(1,2)·eq\f(1＋2k2,k)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k＋\f(1,k)＋4))≥eq\f(1,2)×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的條件是k＞0且4k＝eq\f(1,k)，即k＝eq\f(1,2)，∴Smin＝4，此時直線l的方程為x－2y＋4＝0.與直線方程有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求解與直線方程有關(guān)的最值問題，先設(shè)出直線方程，建立目標函數(shù)，再利用基本不等式求解最值或用函數(shù)的單調(diào)性解決．(2)求參數(shù)值或范圍．留意點在直線上，則點的坐標適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解．1．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一條直線，則參數(shù)m滿意的條件是