上海市閔行七校2025年高三下第一次模擬考試數(shù)學試題

上海市閔行七校2025年高三下第一次模擬考試數(shù)學試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設集合，集合，則=（）A． B． C． D．R2．函數(shù)的部分圖象如圖中實線所示，圖中圓與的圖象交于兩點，且在軸上，則下列說法中正確的是A．函數(shù)的最小正周期是B．函數(shù)的圖象關于點成中心對稱C．函數(shù)在單調遞增D．函數(shù)的圖象向右平移后關于原點成中心對稱3．定義在上函數(shù)滿足，且對任意的不相等的實數(shù)有成立，若關于x的不等式在上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．4．設是虛數(shù)單位，若復數(shù)，則（）A． B． C． D．5．已知不重合的平面和直線，則“”的充分不必要條件是（）A．內有無數(shù)條直線與平行 B．且C．且 D．內的任何直線都與平行6．設F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A． B．C．2 D．7．已知復數(shù)z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，則實數(shù)a＝（）A． B． C．2 D．﹣28．設是虛數(shù)單位，，，則（）A． B． C．1 D．29．用數(shù)學歸納法證明1+2+3+?+n2=n4A．k2+1C．k2+110．已知集合，則=（）A． B． C． D．11．已知a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且a?α，b?β，aβ，bα，則“ab“是“αβ”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．已知斜率為k的直線l與拋物線交于A，B兩點，線段AB的中點為，則斜率k的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在△ABC中，∠BAC＝，AD為∠BAC的角平分線，且，若AB＝2，則BC＝_______.14．設，滿足條件，則的最大值為__________.15．如圖，在復平面內，復數(shù)，對應的向量分別是，，則_______.16．已知數(shù)列的前項和為且滿足，則數(shù)列的通項_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（m為參數(shù)），以坐標點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos（θ+）＝1．（1）求直線l的直角坐標方程和曲線C的普通方程；（2）已知點M（2，0），若直線l與曲線C相交于P、Q兩點，求的值．18．（12分）已知函數(shù)．（1）當時，解關于x的不等式；（2）當時，若對任意實數(shù)，都成立，求實數(shù)的取值范圍．19．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求m的值.20．（12分）有最大值，且最大值大于.（1）求的取值范圍；（2）當時，有兩個零點，證明：.(參考數(shù)據(jù)：)21．（12分）在平面直角坐標系中，，，且滿足（1）求點的軌跡的方程；（2）過，作直線交軌跡于，兩點，若的面積是面積的2倍，求直線的方程．22．（10分）管道清潔棒是通過在管道內釋放清潔劑來清潔管道內壁的工具，現(xiàn)欲用清潔棒清潔一個如圖1所示的圓管直角彎頭的內壁，其縱截面如圖2所示，一根長度為的清潔棒在彎頭內恰好處于位置（圖中給出的數(shù)據(jù)是圓管內壁直徑大小，）.（1）請用角表示清潔棒的長；（2）若想讓清潔棒通過該彎頭，清潔下一段圓管，求能通過該彎頭的清潔棒的最大長度.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】試題分析：由題，，，選D考點：集合的運算2、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖象，求得函數(shù)，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質，即可求解，得到答案．【詳解】根據(jù)給定函數(shù)的圖象，可得點的橫坐標為，所以，解得，所以的最小正周期，不妨令，，由周期，所以，又，所以，所以，令，解得，當時，，即函數(shù)的一個對稱中心為，即函數(shù)的圖象關于點成中心對稱．故選B．【點睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質，其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象求得三角函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質求解是解答的關鍵，著重考查了數(shù)形結合思想，以及運算與求解能力，屬于基礎題．3、B【解析】

結合題意可知是偶函數(shù),且在單調遞減,化簡題目所給式子,建立不等式,結合導函數(shù)與原函數(shù)的單調性關系,構造新函數(shù),計算最值,即可.【詳解】結合題意可知為偶函數(shù),且在單調遞減,故可以轉換為對應于恒成立,即即對恒成立即對恒成立令,則上遞增,在上遞減,所以令,在上遞減所以.故,故選B.【點睛】本道題考查了函數(shù)的基本性質和導函數(shù)與原函數(shù)單調性關系,計算范圍,可以轉化為函數(shù),結合導函數(shù),計算最值,即可得出答案.4、A【解析】

結合復數(shù)的除法運算和模長公式求解即可【詳解】∵復數(shù)，∴，，則，故選：A.【點睛】本題考查復數(shù)的除法、模長、平方運算，屬于基礎題5、B【解析】

根據(jù)充分不必要條件和直線和平面，平面和平面的位置關系，依次判斷每個選項得到答案.【詳解】A.內有無數(shù)條直線與平行，則相交或，排除；B.且，故，當，不能得到且，滿足；C.且，，則相交或，排除；D.內的任何直線都與平行，故，若，則內的任何直線都與平行，充要條件，排除.故選：.【點睛】本題考查了充分不必要條件和直線和平面，平面和平面的位置關系，意在考查學生的綜合應用能力.6、A【解析】

準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a關系，可求雙曲線的離心率．【詳解】設與軸交于點，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心．，又點在圓上，，即．，故選A．【點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來．7、D【解析】

化簡z＝（1+2i）（1+ai）=，再根據(jù)z∈R求解.【詳解】因為z＝（1+2i）（1+ai）=，又因為z∈R，所以，解得a＝-2.故選：D【點睛】本題主要考查復數(shù)的運算及概念，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.8、C【解析】

由，可得，通過等號左右實部和虛部分別相等即可求出的值.【詳解】解：，，解得：.故選:C.【點睛】本題考查了復數(shù)的運算，考查了復數(shù)相等的涵義.對于復數(shù)的運算類問題，易錯點是把當成進行運算.9、C【解析】

首先分析題目求用數(shù)學歸納法證明1+1+3+…+n1=n4【詳解】當n=k時，等式左端=1+1+…+k1，當n=k+1時，等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+（k+1）1，增加了項（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+…+（k+1）1．故選：C．【點睛】本題主要考查數(shù)學歸納法，屬于中檔題./10、D【解析】

先求出集合A，B，再求集合B的補集，然后求【詳解】，所以.故選：D【點睛】此題考查的是集合的并集、補集運算，屬于基礎題.11、D【解析】

根據(jù)面面平行的判定及性質求解即可．【詳解】解：a?α，b?β，a∥β，b∥α，由a∥b，不一定有α∥β，α與β可能相交；反之，由α∥β，可得a∥b或a與b異面，∴a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且a?α，b?β，a∥β，b∥α，則“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要條件．故選：D.【點睛】本題主要考查充分條件與必要條件的判斷，考查面面平行的判定與性質，屬于基礎題．12、C【解析】

設，，，，設直線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，由△得，利用韋達定理結合已知條件得，，代入上式即可求出的取值范圍．【詳解】設直線的方程為：，，，，，聯(lián)立方程，消去得：，△，，且，，，線段的中點為,，，，，，，，把代入，得，，，故選：【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關系，考查了韋達定理的應用，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由，求出長度關系，利用角平分線以及面積關系，求出邊，再由余弦定理，即可求解.【詳解】,，，，.故答案為:.【點睛】本題考查共線向量的應用、面積公式、余弦定理解三角形，考查計算求解能力，屬于中檔題.14、【解析】

作出可行域，由得，平移直線，數(shù)形結合可求的最大值.【詳解】作出可行域如圖所示由得，則是直線在軸上的截距.平移直線，當直線經(jīng)過可行域內的點時，最小，此時最大.解方程組，得，..故答案為：.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，屬于基礎題.15、【解析】試題分析：由坐標系可知考點：復數(shù)運算16、【解析】

先求得時；再由可得時,兩式作差可得,進而求解.【詳解】當時,,解得；由,可知當時,,兩式相減,得,即,所以數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,所以,故答案為:【點睛】本題考查由與的關系求通項公式,考查等比數(shù)列的通項公式的應用.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）l：，C方程為；（2）＝【解析】

（1）直接利用轉換關系，把參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換．

（2）利用一元二次方程根和系數(shù)關系式的應用求出結果．【詳解】(1)曲線C的參數(shù)方程為（m為參數(shù)），兩式相加得到，進一步轉換為．直線l的極坐標方程為ρcos（θ+）＝1，則轉換為直角坐標方程為．（2）將直線的方程轉換為參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入得到（t1和t2為P、Q對應的參數(shù)），所以，，所以＝．【點睛】本題考查參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間的轉換，一元二次方程根和系數(shù)關系式的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題型．18、（1）（2）【解析】

（1）當時，利用含有一個絕對值不等式的解法，求得不等式的解集.（2）對分成和兩類，利用零點分段法去絕對值，將表示為分段函數(shù)的形式，求得的最小值，進而求得的取值范圍.【詳解】（1）當時，由得由得解：，得∴當時，關于的不等式的解集為（2）①當時，，所以在上是減函數(shù)，在是增函數(shù)，所以，由題設得，解得.②當時，同理求得.綜上所述，的取值范圍為.【點睛】本小題主要考查含有一個絕對值不等式的求法，考查利用零點分段法解含有兩個絕對值的不等式，屬于中檔題.19、（1）見解析（2）【解析】

（1）先求導，再對m分類討論，求出的單調性；（2）對m分三種情況討論求函數(shù)在區(qū)間上的最小值即得解.【詳解】（1）若，當時，；當時.，所以在上單調遞增，在上單調遞減若.在R上單調遞增若，當時，；當時.，所以在上單調遞增，在上單調遞減（2）由（1）可知，當時，在上單調遞增，則.則不合題意當時，在上單調遞減，在上單調遞增.則，即又因為單調遞增，且，故綜上，【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.20、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域為，，分和兩種情況討論，分析函數(shù)的單調性，求出函數(shù)的最大值，即可得出關于實數(shù)的不等式，進而可求得實數(shù)的取值范圍；（2）利用導數(shù)分析出函數(shù)在上遞增，在上遞減，可得出，由，構造函數(shù)，證明出，進而得出，再由函數(shù)在區(qū)間上的單調性可證得結論.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，且.當時，對任意的，，此時函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)為最大值；當時，令，得.當時，，此時函數(shù)單調遞增；當時，，此時函數(shù)單調遞減.所以，函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，即，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是；（2）當時，，定義域為，，當時，；當時，.所以，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.由于函數(shù)有兩個零點、且，，，構造函數(shù)，其中，，令，，當時，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則，則.所以，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，，，即，即，，且，而函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，，因此，.【點睛】本題考查利用函數(shù)的最值求參數(shù)，同時也考查了利用導數(shù)證明函數(shù)不等式，利用所證不等式的結構構造新函數(shù)是解答的關鍵，考查推理能力與計算能力，屬于難題.21、（1）．（2）的方程為．【解析】

（1）令，則，由此能求出點C的軌跡方程．（2）令，令直線，聯(lián)立，得，由此利用根的判別式，韋達定理，三角形面積公式，結合已知條件能求出直線的方程?！驹斀狻拷猓海?）因為，即直線的斜率分別為且，設點，則，整理得.（2）令，易知直線不與軸重合，令直線，與聯(lián)立得，所以有，由，故，即，從而，解得，即。所以直線的方程為?！军c