矩陣與變換簡(jiǎn)介

人教數(shù)學(xué)（A版）培訓(xùn)手冊(cè)之三十七──“矩陣與變換”簡(jiǎn)介矩陣是研究圖形（向量）變換的基本工具，有著廣泛的應(yīng)用，許多數(shù)學(xué)模型都可以用矩陣來(lái)表示。本專題將通過(guò)平面圖形的變換討論二階方陣的乘法及性質(zhì)、逆矩陣和矩陣的特征向量等概念，并以變換的觀點(diǎn)理解解線性方程組的意義，初步展示矩陣應(yīng)用的廣泛性。

一、內(nèi)容與要求

1．理解二階矩陣的概念

2．二階矩陣與平面向量（列向量）的乘法、平面圖形的變換

（1）以變換的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)矩陣與向量乘法的意義。

（2）證明矩陣變換把平面上的直線變成直線，即證明

A(λ1α+λ2β)=λ1Aα+λ2Aβ。

（3）通過(guò)大量具體的矩陣對(duì)平面上給定圖形（如正方形）的變換，認(rèn)識(shí)到矩陣可表示如下的線性變換：恒等、反射、伸壓、旋轉(zhuǎn)、切變、投影。

3．變換的復(fù)合──二階方陣的乘法

（1）通過(guò)變換的實(shí)例，了解矩陣與矩陣的乘法的意義。

（2）驗(yàn)證二階方陣乘法滿足結(jié)合律。

（3）通過(guò)具體的幾何圖形變換，說(shuō)明矩陣乘法不滿足交換律和消去律。

4．逆矩陣與二階行列式

（1）通過(guò)具體圖形變換，理解逆矩陣的意義；通過(guò)具體的投影變換，說(shuō)明逆矩陣可能不存在。

（2）會(huì)證明逆矩陣的唯一性和(AB)-1=B-1A-1等簡(jiǎn)單性質(zhì)，并了解其在變換中的意義。

（3）了解二階行列式的定義，會(huì)用二階行列式求逆矩陣。

5．二階矩陣與二元一次方程組

（1）能用變換的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)解二元一次方程組的意義。

（2）會(huì)用系數(shù)矩陣的逆矩陣解系數(shù)矩陣可逆的二元一次方程組。

（3）會(huì)通過(guò)具體的可逆的系數(shù)矩陣，從幾何上說(shuō)明線性方程組解的存在性，唯一性。

6．變換的不變量

（1）掌握矩陣特征值與特征向量的定義，能從幾何變換的角度說(shuō)明特征向量的意義。

（2）會(huì)求二階方陣的特征值與特征向量（只要求特征值是兩個(gè)不同實(shí)數(shù)的情形）。

7．矩陣的應(yīng)用

（1）利用矩陣A的特征值、特征向量給出Anα簡(jiǎn)單的表示，并能用它來(lái)解決問(wèn)題。

（2）初步了解三階或高階矩陣。

（3）了解矩陣的應(yīng)用。

二、內(nèi)容安排及說(shuō)明

1．課時(shí)分配

本專題分為四講，共18課時(shí)，具體分配如下（供參考）：

第一講

線性變換與二階矩陣

約5課時(shí)

一

線性變換與二階矩陣

約2課時(shí)

二

二階矩陣與平面向量的乘法

約1課時(shí)

三

線性變換的基本性質(zhì)

約2課時(shí)

第二講變換的復(fù)合與二階矩陣的乘法

約4課時(shí)

（3）在第二講中，通過(guò)實(shí)例考察在直角坐標(biāo)系內(nèi)連續(xù)施行兩次線性變換的作用效果是否能用一個(gè)線性變換表示，引入線性變換的復(fù)合，介紹二階矩陣的一種重要運(yùn)算——矩陣的乘法，并通過(guò)應(yīng)用進(jìn)一步理解矩陣的乘法；類(lèi)比實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律，研究二階矩陣乘法的運(yùn)算律，證明矩陣的乘法滿足結(jié)合律，通過(guò)學(xué)生熟悉的某些二階矩陣所對(duì)應(yīng)的線性變換對(duì)單位正方形區(qū)域的作用結(jié)果，得到矩陣的乘法不滿足交換律和分配律．

（4）在第三講中，類(lèi)比實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算中的一條重要性質(zhì)：“如果，則”，分別把恒等變換和單位矩陣作為數(shù)１類(lèi)比對(duì)象，通過(guò)線性變換引進(jìn)逆矩陣，并通過(guò)線性變換和生活中的常識(shí)理解逆矩陣的性質(zhì)；引進(jìn)二階行列式，利用它研究逆矩陣，解決如何判斷二階矩陣是否可逆以及如何求可逆矩陣的逆矩陣的問(wèn)題；本講還從線性變換的角度來(lái)認(rèn)識(shí)解二元一次方程組的意義，并利用逆矩陣求解系數(shù)矩陣可逆的二元一次方程組．

（5）在第四講中，通過(guò)研究?jī)蓚€(gè)熟知的重要線性變換的“不變”直線和“不變”向量，引入線性變換的一種重要的不變量——矩陣的特征向量；并從這兩個(gè)線性變換出發(fā)，討論特征向量的性質(zhì)；給出特征值、特征向量的計(jì)算方法；利用特征向量的性質(zhì)，得到的簡(jiǎn)單表示，并應(yīng)用這種簡(jiǎn)單表示解決一類(lèi)實(shí)際問(wèn)題（人口遷移問(wèn)題）．4．重點(diǎn)和難點(diǎn)

本專題的重點(diǎn)是通過(guò)平面圖形的變換引入二階矩陣，認(rèn)識(shí)矩陣與向量乘法的意義，討論線性變換的基本性質(zhì)、二階矩陣的乘法及性質(zhì)、逆矩陣和矩陣的特征向量的概念與性質(zhì)等，并以變換的觀點(diǎn)理解解線性方程組的意義。

矩陣的內(nèi)容比較抽象，本專題的難點(diǎn)是線性變換的基本性質(zhì)、矩陣乘法的運(yùn)算律（這可能是學(xué)生第一次遇到不滿足交換律、消去律的運(yùn)算）、矩陣的特征值與特征向量的概念等。

三、編寫(xiě)中考慮的幾個(gè)問(wèn)題

1．展現(xiàn)基本概念、重要結(jié)論的發(fā)生發(fā)展過(guò)程

這樣的編寫(xiě)意圖貫穿本專題內(nèi)容的始終。教科書(shū)采取了“問(wèn)題情境——引導(dǎo)探究——抽象概括”的方式，安排了從具體線性變換的實(shí)例中抽象概括出基本概念和重要結(jié)論的活動(dòng)，以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷基本概念、重要結(jié)論的發(fā)生發(fā)展過(guò)程。例如，教科書(shū)在引入矩陣特征值、特征向量時(shí)，首先設(shè)置了一個(gè)探究欄目：“對(duì)于線性變換，是否存在平面上的直線，使得該直線在這個(gè)線性變換的作用下保持不變的呢？是否存在向量，使得該向量在這個(gè)線性變換的作用下具有某種“不變性”呢？”接著從兩個(gè)具體的線性變換“關(guān)于軸的反射變換和伸縮變換”入手，分別考察在這兩個(gè)線性變換作用下“不變”的向量，得到

進(jìn)而抽象概括出它們的共同本質(zhì)特征，存在數(shù)以及非零向量使得

從而給出矩陣的特征值、特征向量的概念；教科書(shū)進(jìn)一步利用這兩個(gè)實(shí)例抽象概括出特征值、特征向量的性質(zhì)。同樣的，在引入二階矩陣、矩陣和向量的乘法、矩陣的乘法、逆矩陣等基本概念時(shí)，在討論線性變換的基本性質(zhì)、矩陣乘法的運(yùn)算律、逆矩陣的性質(zhì)、用變換的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)解二元一次方程組的意義時(shí)，都充分地展現(xiàn)了它們的發(fā)生發(fā)展過(guò)程。這樣既使學(xué)生感覺(jué)到這些概念和結(jié)論是自然的而不是強(qiáng)加于人的，同時(shí)也有助于對(duì)這些基本概念、重要結(jié)論的理解。

總之，在基本概念和結(jié)論的內(nèi)容安排中，強(qiáng)調(diào)了“過(guò)程性”。

2．強(qiáng)調(diào)把矩陣看作線性變換的本質(zhì)，強(qiáng)調(diào)幾何直觀

矩陣的有關(guān)概念和結(jié)論比較抽象，教科書(shū)充分利用幾何直觀、利用矩陣所對(duì)應(yīng)的線性變換來(lái)介紹這些抽象的概念和結(jié)論，從而有效地化解了矩陣內(nèi)容的抽象性。由于平面上的線性變換與二階矩陣是一一對(duì)應(yīng)的，因此，本專題在研究二階矩陣時(shí)，常常通過(guò)研究矩陣對(duì)應(yīng)的幾何變換（線性變換）來(lái)進(jìn)行。對(duì)于每個(gè)概念和結(jié)論，總是先通過(guò)具體的線性變換從幾何直觀上獲得感知，進(jìn)而抽象出矩陣中一般性的概念或結(jié)論，再?gòu)睦碚撋蠈?duì)結(jié)論進(jìn)行嚴(yán)格證明。例如，通過(guò)旋轉(zhuǎn)角是的旋轉(zhuǎn)變換，引入矩陣與向量的乘積來(lái)表示這個(gè)旋轉(zhuǎn)變換，這樣，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，某些幾何變換可以用矩陣來(lái)表示，豐富學(xué)生對(duì)矩陣幾何意義的理解；在得出線性變換的基本性質(zhì)的過(guò)程中，先通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換從幾何直觀上感知，通過(guò)關(guān)于x軸的反射變換從幾何直觀上感知，然后再分別進(jìn)行嚴(yán)格的理論證明，進(jìn)而綜合得到線性變換的基本性質(zhì)，這樣就使原本抽象、難以理解的結(jié)論變得自然、易于理解；通過(guò)兩個(gè)連續(xù)施行兩次具體的線性變換的實(shí)例，引入二階矩陣的乘法；并且通過(guò)學(xué)生熟悉的幾何變換的實(shí)例，說(shuō)明矩陣的乘法不滿足交換律和分配律；通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換、切變變換等具體的線性變換，并借助于幾何圖形、充分利用幾何直觀，引入逆矩陣的概念，引出并理解逆矩陣的性質(zhì)；通過(guò)分別考察在兩個(gè)幾何變換（關(guān)于軸的反射變換、伸縮變換）作用下的“不變”直線，進(jìn)而考察“不變”向量，引入矩陣的特征值、特征向量的概念，并通過(guò)這兩個(gè)幾何變換感知特征向量的性質(zhì)；教科書(shū)還從線性變換的角度來(lái)認(rèn)識(shí)解二元一次方程組的意義。

總之，本專題中，矩陣中的所有概念和結(jié)論都是先通過(guò)具體的幾何變換使學(xué)生獲得感知的，借助幾何直觀，有利于學(xué)生理解抽象的代數(shù)內(nèi)容，從而也降低了矩陣內(nèi)容的抽象程度。

借助幾何變換（線性變換）研究二階矩陣是本專題的基本出發(fā)點(diǎn)。

3．強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法的滲透和運(yùn)用

本專題中涉及類(lèi)比、從特殊到一般、從具體到抽象、“數(shù)形”結(jié)合等多種數(shù)學(xué)思想方法。在引入概念、得出結(jié)論的過(guò)程中，適當(dāng)滲透并運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法是教材編寫(xiě)中考慮的一個(gè)重要問(wèn)題。

(1)類(lèi)比

類(lèi)比解析幾何中研究曲線與方程的方法，討論線性變換與二階矩陣。曲線與方程是一一對(duì)應(yīng)的，由曲線的性質(zhì)可以研究對(duì)應(yīng)的方程，由方程的性質(zhì)也可以研究對(duì)應(yīng)的曲線．與此類(lèi)似，二階矩陣與平面上的線性變換也是一一對(duì)應(yīng)的，因而，我們既可以通過(guò)二階矩陣來(lái)研究對(duì)應(yīng)的線性變換，也可以通過(guò)平面上的線性變換來(lái)研究對(duì)應(yīng)的二階矩陣．本專題中，更多地是通過(guò)線性變換來(lái)研究對(duì)應(yīng)的二階矩陣。

類(lèi)比實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律研究矩陣乘法的運(yùn)算律。教科書(shū)首先回憶“實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算滿足一定的運(yùn)算律，即對(duì)于實(shí)數(shù)，有結(jié)合律：（ab）c=a（bc）；交換律：ab=ba；消去律：設(shè)，如果，那么；如果，那么?！边M(jìn)而設(shè)置一個(gè)探究欄目“類(lèi)比實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律，二階矩陣的乘法是否也滿足某些運(yùn)算律？”研究矩陣乘法的運(yùn)算律。

(2)從特殊到一般、從具體到抽象

教科書(shū)通過(guò)“思考”“探究”等欄目，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般、從具體到抽象的過(guò)程，獲得一般性的概念和結(jié)論，使學(xué)生理解概念和結(jié)論。

例如，教科書(shū)在引入矩陣的乘法時(shí)，先首先設(shè)置了一個(gè)探究欄目：“在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，連續(xù)施行兩次線性變換，其作用效果是否能用一個(gè)變換表示？是否存在一個(gè)二階矩陣與這個(gè)新變換對(duì)應(yīng)？如果存在，這個(gè)二階矩陣與原來(lái)的兩個(gè)線性變換的二階矩陣有什么關(guān)系？”，然后由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，分別考察依次施行兩個(gè)旋轉(zhuǎn)變換的作用效果、依次施行旋轉(zhuǎn)變換和切變變換的作用效果，進(jìn)而研究依次施行兩個(gè)一般的矩陣與所對(duì)應(yīng)的線性變換的作用效果，最終引入矩陣的乘法。

又如，教科書(shū)在研究逆矩陣的求法時(shí)，首先設(shè)置了一個(gè)探究欄目：“我們知道，二階矩陣不一定可逆的．對(duì)任意給定的二階矩陣A，如何判別它是否可逆？若可逆，如何求其逆矩陣呢？”接著從兩個(gè)具體的矩陣，入手進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)第一個(gè)矩陣是可逆的、第二個(gè)矩陣不可逆；并進(jìn)一步分析出第一個(gè)矩陣可逆的原因是，第二個(gè)矩陣不可逆的原因是；這樣就為討論一般的二階矩陣何時(shí)可逆提供了方向：“對(duì)一般的二階矩陣，是否也有類(lèi)似的結(jié)論？即當(dāng)時(shí)，可逆；當(dāng)時(shí)，不可逆呢？”最后，通過(guò)嚴(yán)格的理論推導(dǎo)得出一般結(jié)論。

四、對(duì)教學(xué)的幾個(gè)建議

1．準(zhǔn)確把握教學(xué)要求

“矩陣與變換”是課程標(biāo)準(zhǔn)中的新增內(nèi)容，教學(xué)中應(yīng)準(zhǔn)確把握內(nèi)容的要求。本專題只對(duì)具體的二階矩陣加以討論，而不討論一般m×n(aij)階矩陣以及形式的表示。二階矩陣的內(nèi)容比較抽象，應(yīng)通過(guò)具體的線性變換的實(shí)例來(lái)組織教學(xué)，切忌從理論到理論只進(jìn)行抽象的推導(dǎo)。例如，矩陣的引入要從具體的實(shí)例開(kāi)始，通過(guò)具體的實(shí)例讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，某些幾何變換可以用矩陣來(lái)表示，豐富學(xué)生對(duì)矩陣幾何意義的理解；要從具體的線性變換直觀地理解矩陣的乘法，并通過(guò)具體的實(shí)例讓學(xué)生理解矩陣乘法的運(yùn)算律；要在具體的實(shí)例中使學(xué)生理解逆矩陣、理解特征向量的實(shí)際意義及其不變性；結(jié)合具體實(shí)例能用線性方程組或用行列式來(lái)求解簡(jiǎn)單二階矩陣的逆矩陣和特征值；逆矩陣的唯一性也要結(jié)合具體的線性變換來(lái)理解其合理性。

2．緊密結(jié)合幾何變換（線性變換），引入矩陣的有關(guān)概念、得出矩陣的性質(zhì)

在本專題的教學(xué)中，從引入二階矩陣的有關(guān)概念到得出矩陣的性質(zhì)，都應(yīng)緊緊抓住二階矩陣與平面上的線性變換一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，緊密結(jié)合幾何變換（線性變換）。通過(guò)幾類(lèi)重要的幾何變換引入二階矩陣；通過(guò)旋轉(zhuǎn)角是的旋轉(zhuǎn)變換，引入矩陣與向量的乘積來(lái)表示這個(gè)旋轉(zhuǎn)變換，這樣，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，某些幾何變換可以用矩陣來(lái)表示，豐富學(xué)生對(duì)矩陣幾何意義的理解；先通過(guò)重要的幾何變換感知和，再得出線性變換的基本性質(zhì)；通過(guò)兩個(gè)連續(xù)施行兩次具體的線性變換的實(shí)例，引入二階矩陣的乘法；并且通過(guò)學(xué)生熟悉的幾何變換的實(shí)例，說(shuō)明矩陣的乘法不滿足交換律和分配律；通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換、切變變換等具體的線性變換，并借助于幾何圖形、充分利用幾何直觀，引入逆矩陣的概念，引出并理解逆矩陣的性質(zhì)；通過(guò)考察在關(guān)于軸的反射變換、伸縮變換作用下的不變直線，進(jìn)而考察“不變”向量，引入矩陣的特征值、特征向量的概念，并通過(guò)這兩個(gè)幾何變換感知特征向量的性質(zhì)；教科書(shū)還從線性變換的角度來(lái)認(rèn)識(shí)解二元一次方程組的意義。

總之，在本專題的教學(xué)中，矩陣中的每個(gè)概念和結(jié)論，都應(yīng)先通過(guò)具體的幾何變換使學(xué)生獲得感知，借助幾何直觀有利于學(xué)生理解抽象的代數(shù)內(nèi)容，從而也降低了教科書(shū)的抽象程度。在教學(xué)中，只要有可能就要與具體的幾何變換相結(jié)合。

3．加強(qiáng)相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系性，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法

實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算的性質(zhì)與矩陣乘法運(yùn)算的性質(zhì)的聯(lián)系。

“數(shù)形”結(jié)合、類(lèi)比、從特殊到一般、從具體到抽象數(shù)學(xué)思想方法。

例如，類(lèi)比實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算中的一條重要性質(zhì)：“如果，則．