幾何模型綜合訓(xùn)練（二）解析版

幾何模型綜合訓(xùn)練（二）

1.（202”陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形ABCD中，連接對(duì)角線AC、,已知=6,

AC=CD,ZACB=45°,NACO=90。，則對(duì)角線8。的最大值為.

【答案】6A/2+6

【詳解】解：以N8為邊向下作△/￡8,使得E4=EB,BL4EB=90°,

AT)「ADAT)—

EL4c=C￡),EL4C￡>=90°,EEZZ4c=45°,——=V2,0一=——=J2,

ACAEAC

的￡%8=血4C+SCAB,

SCAE=^\EAB+^\CAB,^DAB=^CAE,^DAB^CAE,回器=&，?BD=^EC,

團(tuán)當(dāng)EC取得最大值時(shí)，BD取得最大值，

以為邊向上作A/OB,使得。4=08,EL405=90°,030/8=45。，

以點(diǎn)。為圓心，04為半徑作團(tuán)。，

的4。8=90°,ZACB=45。0點(diǎn)。在4尸2上，

在R/A/OB中，^iOA2+OB2=36,田OA=OB=3④,回。。=30,

^OAE=^\EAB+^OAB=90°,EL4EB=90°,EL4OB=90°,XOA=OB,

IB四邊形。/匹為正方形，回￡。=/2=6,EICE4OE+OC=6+3應(yīng)，

回當(dāng)點(diǎn)。在E。的延長(zhǎng)線上時(shí)，CE取得最大值，最大值為6+3&,

^BD=y[2CE<&（6+3應(yīng)）=60+6,

即8。長(zhǎng)的最大值為6應(yīng)+6.

故答案為6&+6.

DF

2.（2021?廣東清遠(yuǎn)?二模）如圖，正方形4BCZ）中，E在射線5C上，連48、DE,則七的最小值是

【詳解】解：作NAZ*=NA￡D交作于點(diǎn)F,如圖,

DEFD

???，

ZDAF=NEAD,ADAFsAEAD~AE~~AD

「ADAF

又..左ADAD正方形邊長(zhǎng)設(shè)為2a,

ABAF

,/AD=AB=2a,

~AE~~AB

又?.?44F=NE4B,，八RAFs八RAR,ZAFB=ZABE=90°f

???點(diǎn)產(chǎn)在以45為直徑畫圓為直徑的半圓上，如圖所示，

要求D專F=FWD的最小值，4。是定值，當(dāng)且僅當(dāng)廠點(diǎn)在OG上〃點(diǎn)時(shí)時(shí)Ob有最小值，此時(shí)D專F=FDW有最

AEADAEAD

小值，AG=GF=GB=HG=a,AD=2a,

(DE\(FDAPH-Ba-a^-1

/.DG=J(2a)2+〃2-,:.DH=DG-HG==

IL-IADLAD_2a=I-

3.（2021?廣東?廣州市第二中學(xué)二模）如圖，E,尸是正方形/BCD的邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足連

接CF交8。于點(diǎn)G,連接交/G于點(diǎn)，.若正方形的邊長(zhǎng)為2,則線段?！ㄩL(zhǎng)度的最小值是.

【答案】V5-1

【詳解】解：在正方形ASCD中，AB=AD=CD,NBAD=NCDA,ZADG=ZCDG,

AB=CD

在AABE和&DCF中，＜NBA。=ZCDA,:.AABE=ADCF(SAS),：.4=N2,

AE=DF

AD=CD

在A^DG和ACDG中，］ZADG=ZCDG,.-.AADG^ACDG(SAS),

DG=DG

二./2=/3,二/1=/3,

?/ZBAH+Z3=ABAD=90°,Zl+ZBAH=90°,ZAZ7B=180°-90°=90°,

取AB的中點(diǎn)。，連接OH、OD,

則OH=AO=—AB=1,

2

在?△AOO中,ODNACP+AD?=五+展=5

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OH+DH>OD,

.?.當(dāng)0、D、//三點(diǎn)共線時(shí)，?！钡拈L(zhǎng)度最小,

最小值=0。-OH=逐-1.

故答案為：75-1.

4.（2021?四川成都?二模）如圖，菱形ABCO的邊長(zhǎng)為2,銳角大小為60。，與8C相切于點(diǎn)￡,在上

任取一點(diǎn)P,則PB+^-PD的最小值為

2

【答案】

2

【詳解】解：在上截取/#=1.5,連接尸H、AE,過(guò)點(diǎn)8作AR3D4延長(zhǎng)線，垂足為尸,

BAB=2,0ABe=60°,WE=AF=1,AE=BF=布,0—=—=

AHAP3

^PAD=^PAH,^ADP^APH,0—=—=,^PH=—PD,

PHAP32

當(dāng)8、尸、”共線時(shí)，PB+且尸。的最小，最小值為8〃長(zhǎng)，

2

BH=dBFi+FH?=J（退）2+2.5?=等；故答案為：異.

5.（2020?湖北?武漢二中廣雅中學(xué)二模）如圖，M為矩形ABCD中AD邊中點(diǎn)，E、F分別為BC、CD上的動(dòng)

點(diǎn)，且BE=2DF,若AB=1,BC=2,則ME+2AF的最小值為

【答案】V26

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)”作皿，8。于^DF=x,則3E=2x.

，.,四邊形ABCD是矩形，\?fi4D?B?D90?,

MH±BC,\1MHB90?,.,.四邊形是矩形，\AM=DM=BH=1,AB=MH=\,\EH=1-2x,

\ME+2AF=+(1-2x)2+2722+x2=+(1-2x)2+y/42+(2x)2,

欲求ME+2AF的最小值，相當(dāng)于在x軸上找一點(diǎn)Q(2x,0),使得點(diǎn)。至I」40,4),和K(l,l)的距離之和最小(如

下圖)，

j

V

O~1Q

t?

J,

作點(diǎn)?/關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)人，連接A1/C交X軸于Q,連接JQ,此時(shí)相+QK的值最小，最小值=心?，

Q"0,4),K(l,l),\口？"彳=癡，\ME+2AF的最小值為亞，故答案為回.

6.(2019?江蘇南京?二模)如圖，在a48c中，a4c8=90。，BC=12,AC=9,以點(diǎn)C為圓心，6為半徑的圓上

有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。連接40、BD、CD,則Z4D+3Ao的最小值是.

【答案】12M

【詳解】如下圖，在CA上取一點(diǎn)E,使得CE=4

E

回AC=9,CD=6,CEM,回一=一

CECD

EDDC62f

回團(tuán)ECD二回ACD,mDCE^ACD,回一=——=-,回ED二一A。

ADAC93

2

在回EDB中，ED+DB>EB,團(tuán)ED+DB最小為EB,即ED+DB=EB,^\-AD+DB=EB

在RtElECB中，EB=7122+42=4^/10>^\~AD+DB=4y/1002AD+3DB=12.>/io

故答案為：12面.

7.（2020?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)二模）如圖，在4ACE中，CA=CE,0CAE=3O",回。經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且圓的直徑

AB在線段AE上.點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接OD,當(dāng)AB=4時(shí)，貝UgCD+OD的最小值

是.

【答案】6

【詳解】解：作OF平分回AOC,交回。于F,連接AF、CF、DF,如圖所示,

0OA=OC,EI0OCA=0OAC=3O0,00COB=6O°,貝峋AOF=IBCOF=；13Aoe(180°-60°)=60°.

EIOA=OF=OC,E0AOF.0COF是等邊三角形，0AF=AO=OC=FC,回四邊形AOCF是菱形，回根據(jù)對(duì)稱性可得DF=DO.

過(guò)點(diǎn)D作DH0OC于H,貝?。軩H=DC?sin0DCH=DC?sin3O0=1-DC,回《CD+OD=DH+FD.

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得，當(dāng)F、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH+FD（即gcD+OD）最小，

[3OF=OA=；AB=2,即比時(shí)FH=DH+FD=OF?sin0FOH=—x2=73,即;CD+OD的最小值為6.

222

故答案為：V3.

8.（2020?陜西?西安市鐵一中學(xué)二模）如圖，在矩形ABGD中，AB=1,AD=拒,E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)、

G為邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且NFEG=45。，則線段FG的長(zhǎng)度最大值為.

【答案】273-2

【詳解】解：如圖，作出回EFG的外接圓過(guò)點(diǎn)。作0H回FG于點(diǎn)H,

EHFEG=45°,fflFOG=20FEG=9O°,

又回OG=OF,OHEFG,EFG=2HG=2OH,BOFG=0OGF=45O,

El在RtEDHG中，0OGF=45°,0HG=^OG,El當(dāng)。。的半徑最大時(shí)，F(xiàn)G的長(zhǎng)度取得最大值,

2

如下圖，當(dāng)O。經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、D時(shí)，即點(diǎn)E、G分別與點(diǎn)B、D重合時(shí)，F(xiàn)G的長(zhǎng)度取得最大值,

在矩形PCDH中，PC=DH=x,PH=CD=1,回BP=BC-PC=6—x,0P=PH-0H=Lx,

在RtEIBOP中，BP2+OP2=BO2,0(73-x)2+(1-x)2=(V2x)2,解得，x=g-l,EIFD=2x=26-2,

故答案為：26-2.

9.(2018?江蘇泰州?中考模擬)如圖點(diǎn)E、F分別是邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE=CF,

連接DE、AF相交于P點(diǎn)，作PN0CD于N點(diǎn)，PM0BC于M點(diǎn)，連接MN,則MN長(zhǎng)的最小值為

【答案】A/5-I

【詳解】連接CP,fflPNC=fflPMC=0C=9Oo,國(guó)四邊形PMCN是矩形，EPC=MN,

回四邊形ABCD是正方形，00ADC=0BCD=9O°,AD=BC=CD,

又E)BE=CF,0EC=FD,0AADFEISDCE,EBDAP=E1EDC,

fflEDC+EIADP=0ADC=9Oo,fflDAP+0ADP=9O°,0EAPD=9O°,

團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中團(tuán)APD=90。保持不變，回點(diǎn)P的路徑是一段以AD為直徑的圓弧，

設(shè)AD的中點(diǎn)為0,連接C。交弧于點(diǎn)P,此時(shí)CP的長(zhǎng)度最小，即MN長(zhǎng)度的最小值，

EHAPD=90°,。為AD中，點(diǎn)，0PO=OD=yAD=1,

在RtACOD中，8=JcD?+OD?=五+『=石,EICP=CO-OP=75-1,即MN長(zhǎng)的最小值是正-1,

故答案為6-1,

10.(2021?四川成都?二模)如圖，平行四邊形/BCD,AB>AD,4)=4,ZADB=60。，點(diǎn)￡、尸為對(duì)角線

8。上的動(dòng)點(diǎn)，DE=2BF,連接/￡、CF,則AE+2cb的最小值為.

B

【答案】4幣

【詳解】解：如圖，在直線。8的上方作NBDT=60。，且使得OT=28C.

過(guò)點(diǎn)7作交/。的延長(zhǎng)線于“，連接￡7、AT.

團(tuán)四邊形48。是平行四邊形，0BC/7AZ）,AD=BC=4,ZADB=ZDBC=60°,國(guó)NCBF=NTDE,

BCBFCFBC

團(tuán)----=----由YCBFgATDE團(tuán)---=----國(guó)ET=2CF,

DTDE2ETDT2

IEZTDH=180°-60°-60°=60°,ZH=90°fDT=2BC=8,

EID"=OT-cos600=4,HT=^3DH=4A/3,SAH=AD+DH=8

回AT=4AH2+HT?=〃+（4A/3）2=477,

0AE+2CF=AE+ET,AE+ET>AT,0A￡+2CF>4-y/7,回AE+2CF的最小值為4療.

故答案為：4幣.

11.（2022?廣東?育才三中一模）如圖，正方形48co中，AB=6,。是8C邊的中點(diǎn)，點(diǎn)￡是正方形內(nèi)一動(dòng)

點(diǎn)，OE=2,連接DE,將線段DE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得。尺連接/￡、CF.則線段。廠長(zhǎng)的最小值為

【答案】3屈-2

【詳解】如圖，連接。O,將線段。。繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得連接。凡FM,OM,

^B\EDF=WDM=90",^SiEDO=BFDM,

^DE=DF,DO=DM^EDO^\FDM(SAS),^\FM=OE=2,

團(tuán)正方形/8C。中，48=6,。是8c邊的中點(diǎn)，回0c=3,

團(tuán)在RtAOCD中，OD=-JCD2+OC2=762+32=36，回在等腰Rt^ODM中，OM=y/2OD=夜x3如=3屈.

SOF+MF>OM,S\OF>OM-MF=3M-2,

團(tuán)線段。廠長(zhǎng)的最小值為3JQ-2,故答案為：3710-2.

12.（2021?陜西渭南?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方形中，/8=6,點(diǎn)￡是邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是邊CD

上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足勖0c=90。，則尸E+PQ的最小值是.

【答案】60-3

【詳解】解：回財(cái)。C=90。，回0點(diǎn)在以8c為直徑的圓上，

作E點(diǎn)關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)尸，連接。尸交回。于。，交CD于P,如圖,

S^E+PQ=PF+PQ=FQ=OF-OQ,

團(tuán)此時(shí)PE+尸。的值最小，

連接?！?如上圖，

站點(diǎn)為的中點(diǎn)，回。砸4D,

在RZ0OEF中，^OE=AB=6,EF=2DE=6,?OF=梃OE=6四,MQ=6&-3,

即PE+PQ的最小值是60-3.

故答案為：6^-3.

13.（2021?河南洛陽(yáng)?三模）四邊形N8CD中，AB=6,BC=8,EL4=05=9O°,EIC=60。，點(diǎn)￡,M,N,F

分別是邊BC,CD,。/上的動(dòng)點(diǎn)，尸是線段EF的中點(diǎn)，且斯=4,則即周長(zhǎng)的最小值是.

【答案】8A/3

【詳解】解：如圖.作點(diǎn)尸關(guān)于胡8C、CD的對(duì)稱點(diǎn)P、分別交3c于點(diǎn)加，交CD于點(diǎn)N.連接尸/C、

P2C、PC.貝PN=P?N,^\PMN局長(zhǎng)=PM+PN+MN=P1M+P2N+MN.

當(dāng)P、M、N三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，，SPMN周長(zhǎng)最短為PP2.

^PC=P1C,PC=P2C,^P1C=P2C=PC,^P2CD=^PCD,^P1CB=^PCB,

^P2CD+^P1CB=SPCD+SPCB=^BCD=60°,

o

fflfflP/CPj=120,^\PiP2=-J3PiC=73PC,

連接4P.即是線段￡尸的中點(diǎn)，且￡尸=4,0Ap=/￡尸=2,AC=^AB2+BC2=762+82=10?

^POAC-AP,團(tuán)當(dāng)4、P、C三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，尸C最短，PC=AC-AP=W-2=8.

針I(yè)P2=KPC=8C-即MAM周長(zhǎng)的最小值是8百.

故答案為8省.

14.（2021?河南周口?三模）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形4BCD中，動(dòng)點(diǎn)E,尸分別在2C,48上移動(dòng)，AF

=BE,/￡和。尸交于點(diǎn)尸，點(diǎn)M為邊N8上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為平面上一動(dòng)點(diǎn)，CN=\,則M0+兒。的最小值

是

【答案】2岳-3

【詳解】解:如圖,

團(tuán)四邊形/BCD是正方形，回回8=皿4尸=90°,AD=AB,

AB=DA

在蜘BE和EIZM尸中，｛=ZDAF,^ABE^EDAF(SAS),^\BAE^\ADF,

BE=AF

EE5/E+ED4P=90°,SBADP+WAE=90°,EEL4PD=90°,

回點(diǎn)尸在以4D為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓心為7,作點(diǎn)T關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)R,以R為圓心，AR為半徑作西，

則點(diǎn)尸關(guān)于N8的對(duì)稱點(diǎn)乙在即?上，連接CT?,RL,ML.

回CN=1,回點(diǎn)N在以C為圓心，半徑為1的田C上運(yùn)動(dòng)，

在RtACDR中，CR=yjDR2+CD2=V62+42=2而，

^RL+ML+MN+NC>CR,MP=ML,0PM+AGV>2V13-2-1,^PM+MN>2s/l3,m/+ACV的最小值為2舊3

15.（2022,湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在0A8。中，8=90。，AB=8,C是N8中點(diǎn)，E是BD中點(diǎn),將

點(diǎn)￡繞8點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。為點(diǎn)F,則CF的最小值為.

D■F

E

/xy

ACB

【答案】275-2

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)2作且=連接CE,C1EH,取2C的中點(diǎn)0,連接EO,OH

DF

、\/1

、、、/1

1

、*

、、

7

H

回將點(diǎn)E繞8點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°為點(diǎn)尸，^BE=BF,回￡8尸=90°=回。8〃，^EBH=^CBF,

EB=BF

在0￡3〃和EIC8尸中，0<NEBH=NCBF,^EBH^CBF(SAS),SCF=EH,

BH=BC

國(guó)當(dāng)有最小值時(shí)，CR有最小值,

EL4B=8,C是中點(diǎn)，E是AD中點(diǎn)，EICE04D,BC=4,

S^ADB=@CEB=90°,回點(diǎn)E在以3c為直徑的圓上運(yùn)動(dòng),

國(guó)當(dāng)點(diǎn)￡在線段上時(shí)，有最小值,

團(tuán)點(diǎn)。是8c中點(diǎn)，勖。=2,回。/7=JOB?+BH?=J4+16=2后，

SET/的最小值=2?-2,

團(tuán)CF的最小值為2君-2,

故答案為：26-2.

16.（2021?江蘇?沐陽(yáng)縣懷文中學(xué)二模）如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)尸，把點(diǎn)尸繞定點(diǎn)42,0）逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)90。到點(diǎn)0,點(diǎn)。恰好在以點(diǎn)M3,2）為圓心，1為半徑的加上，則。P的最小值為

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)尸作P/母軸交于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)。作軸交于￡點(diǎn),

回勿尸=90°,

330/￡+回￡/9=90°,EIQN￡+a4QE=9O°,

3S\AQE=^EAP,ffiL4Q￡H3B4尸(AAS),^AF=QE,AE=PF,

設(shè)尸(x,y),EL4(2,0),130(2-y,x-2),

團(tuán)。點(diǎn)在以點(diǎn)M（3,2）為圓心，1為半徑的IW上，回。河=1,

0(2-y-3)2+(x-2-2)2=1,0(x-4)2+⑶+1)2=1,

0P點(diǎn)在以（4,-1）為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),

設(shè)N（4,-1）,?ON=后，的最小值為&7-1,故答案為：V17-1.

17.（2021,廣東汕頭?一模）在酎2c中，酎=45。，回2=60。，4B=4,點(diǎn)、P、M、N分別在邊/5、BC、CA

上，連接PM、MN,NP,貝幗PMN周長(zhǎng)的最小值為.

【答案】2乖

【詳解】如圖，作點(diǎn)〃■關(guān)于直線AB、直線/C的對(duì)稱點(diǎn)K、H,連接HK交AB于P,交ZC于N.

HK

K

^PMN的周—PM+MN+PN=PK+PN+HN=HK,WK最小時(shí)APAW的周長(zhǎng)最小，

根據(jù)對(duì)稱性，AM=AK=AH,^MAC=^CAH,WG4H=2{^MAB+SMAO=90°,

BKH=eAM，EL4”最短時(shí)，APAW的周長(zhǎng)最短=應(yīng)/M,

當(dāng)4WEI5C時(shí)，4Wr的值最短，在RtA/BW中，EL4〃B=90。，4B=4,魴=60。，

0AM--^AB-2,JAB?-BM。=,4?-2?=2/,KH=2布,

回臚兒W的周長(zhǎng)的最小值為2?.故答案為：26.

18.（2021,山東?東營(yíng)市勝利第一初級(jí)中學(xué)一模）如圖，在尺3