解題技巧：利用等腰三角形的三線合一作輔助線（3類熱點(diǎn)題型）解析版-2024-2025學(xué)年北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

利用等腰三角形的“三線合一”作輔助線解題技巧

13類熱點(diǎn)題型】

目錄

【考點(diǎn)一等腰三角形中底邊有中點(diǎn)時(shí)，連中線】..................................................1

【考點(diǎn)二等腰三角形中底邊無(wú)中點(diǎn)時(shí)，作高】....................................................15

【考點(diǎn)三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】.........................................29

【考點(diǎn)一等腰三角形中底邊有中點(diǎn)時(shí)，連中線】

模型解析：等腰三角形中底邊有中點(diǎn)，連中線

直接用“三線合一"，?AB=AC-,?ADLBC-?BD=DC-,@Z1=Z2.知2推2原則。

A

連中線用“三線合一”，若⑷?=NCIO=C〃.則4?_L5C,Z1=Z2.

4

例題：（23-24八年級(jí)下?全國(guó)?單元測(cè)試）如圖，在中，ZACB=90°,AC=BC,。為4s邊的中

點(diǎn)，點(diǎn)、E、尸分別在射線C4、8。上，且/現(xiàn)卯=90。，連接EF.

①證明：4AED3MFD.

②直接寫(xiě)出SMFC，SAEFD和邑ABC的關(guān)系是：

⑵探究：如圖2,當(dāng)點(diǎn)￡、尸分別在邊C/、8c的延長(zhǎng)線上時(shí)，SAEFD，SbEFC和國(guó)ABC的關(guān)系是：

⑶應(yīng)用：若/C=6,AE=2,利用上面探究得到的結(jié)論，求AEFD的面積.

【答案】⑴①見(jiàn)解析；②齊.皿=S&EFD+SAEFC

⑵就ABC+SwC=S^EFD

⑶5或17

【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形綜合問(wèn)題、等腰三角形的性質(zhì)和判定

【分析】本題為三角形的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)及三角

形的面積等，根據(jù)圖形構(gòu)造全等三角形求解即可。

(1)①連接CD,即可證明三△CF￡)；②根據(jù)△ZED三△CFD,看圖即可得出結(jié)論；

(2)連接CD,即同(1)可證明三△CED,根據(jù)三△CED看圖即可得出結(jié)論；

(3)根據(jù)(1),(2)中的結(jié)論，代入求解即可。

【詳解】(1)證明：①如圖，連接8

在中，4C=BC,。為N8邊的中點(diǎn),

.■.CD1AB,ZA=ZB=45°,

.-.ZA=ZACD=45°,

△4DC是等腰直角三角形，

AD=CD,

???ZDCF=ZA=45°f

???ZEDF=90°,

?-ZEDC+ZCDF=90°f

??,ZADE+ZEDC=90。,

NADE=/CDF,

'=ZDCF

在△/￡)石和△CD尸中，<AD=CD

ZADE=/CDF

.-.AAED^CFD(ASA).

②SAED三ACFD,

S&AED=S^CFD，

根據(jù)圖中所示，

S—c_|_v

Q"z)c-3EFD丁Q^EFC>

為邊的中點(diǎn)，

.c_J_v

,，kJ^ADC~2"BC'

2S^ABC=S^EFD+S&EFC-

(2)解：如圖，連接CO

在Rt445C中，AC=BC,。為邊的中點(diǎn),

.?.CDLAB,/CAD=/B=45°,

.-.ZCAD=ZACD=45°f

???△4DC是等腰直角三角形，

/.AD=CD,

；?/ACD=/BCD=45°,

.-.180°-ZACD=180°-/BCD,

即/EAD=/FDC,

???ZEDF=90°,

，/ADF+/EDA=90°,

-ZADF+ZFDC=90°f

/EDA=NFDC,

ZEAD=ZFCD

在E和△C。尸中，<AD=CD,

/EDA=ZFDC

"EQ絲△CFO(ASA).

■:△AED-CFD,

S&AED=SKFD/

根據(jù)圖中所示，

CC_V

□"CD丁3EFC-n&EFD>

???。為邊的中點(diǎn)，

.C—J_V

,?°A^Z>C-2"BC'

3S"BC+S^EFC=SAEFD?

(3)如(1)中結(jié)論，

vAC=6,AE=2,

1?19

.A.AHL.—2ZC=—2x6=18,"

S囪c=：C尸.CE=g/E"C_/￡)=；x2x(6-2)=4,

..J_C—CIc

,24BC一口AEFDTDAEFCt

???S△詼=；S“3C—SAEFC=；xl8-4=5.

②如(2)中結(jié)論，

vAC-6,AE=2,

11

**,ARCAC7=—x69=18,

SEFC=gcFCE=；/￡，(/C+/E)=gx2x(6+2)=8,

..J_C_1_V—V

,2"BCT°AEFC一口AEFD/

S△Ljt1LJ——SARr+SPPr——x18+8=17

【變式訓(xùn)練】

1.（23-24八年級(jí)上,江蘇宿遷,期中）如圖，根據(jù)下列已知條件，寫(xiě)出你能得到的結(jié)論.

(1)已知AB=AC,Z1=Z2,貝！J；

(2)已知/2=/C,BD=DC,貝I]:

(3)已知刃C,AD1BC,貝U.

【答案】BD=CD,ADIBCZ1=Z2,ADYBCBD=CD,Z1=Z2

【知識(shí)點(diǎn)】三線合一

【分析】本題主要考查了三線合一定理：

(1)由等腰三角形的性質(zhì)"三線合一"可求解；

(2)由等腰三角形的性質(zhì)"三線合一"可求解；

(3)由等腰三角形的性質(zhì)"三線合一"可求解.

【詳解】解：(1)-：AB=AC,Zl=Z2,,

BD=CD,AD±BC,

故答案為：BD=CD,ADIBC；

(2)■：AB=AC,BD=DC,

：.Z1=Z2,ADLBC,

故答案為：Z1=Z2,AD±BC；

(3)■.-AB=AC,ADIBC,

：.BD=CD,Z1=Z2,

故答案為：BD=CD,Z1=Z2.

3.(2024八年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí))如圖，在△NBC中，AB=AC,NB4c=120°,。為3c的中點(diǎn)，DE±AC

于點(diǎn)E,AE=\,求CE的長(zhǎng).

【答案】CE=3.

【知識(shí)點(diǎn)】等邊對(duì)等角、含30度角的直角三角形、三線合一

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三線合一和含30。的特殊直角三角形的性質(zhì).連接力。，利用等邊

對(duì)等角得N8=NC=30。，在RtA/OE中，得40=16,在RtANDC中，得/C=4,即可求出CE的長(zhǎng)，熟練

運(yùn)用三線合一的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：連接

A

BDC

VAB=AC,ZBAC=120°,。為5C的中點(diǎn)，

/.ADIBC,/Z）平分/5/C,ZB=ZC=30°,

??.ADAC=-ZBAC=60°,

2

???DE1AC,

??.AAED=90°,

/./ADE=30°,

在RtaZDE中，4E=1,ZADE=30°,

?**AD=2AE=2,

在RtMOC中，AD=2,ZC=30°,

：.AC=2AD=4,

.\CE=AC-AE=4-1=3.

4.（24-25八年級(jí)上?四川綿陽(yáng),期中）如圖，A4?C是等腰直角三角形，AB=AC,。為斜邊3c的中點(diǎn)，E,

尸分別為“8/C邊上的點(diǎn)，且。E_LZ）F.若BE=5,CF=12.求E尸的長(zhǎng).

【答案】EF=13

【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASL4(AAS)綜合(/S4或者44S)、根據(jù)三線合一證明、用勾股定理解三角形

【分析】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與

判定是解題的關(guān)鍵；連接4。，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，易證AE￡%經(jīng)AFZJC,得到NE=CF=12,得

到4F=BE=5,然后利用勾股定理，即可求出

【詳解】解：如圖，連接4D.

B

AB=AC,ABAC=90°,BD=DC,

.??AD1BC.AD=BD=DC,/BAD=ZC=45°,

?；DE1DF,

/.ZEDF=ZADC=90°,

；"ADE=/FDC,

絲△尸。C（ASA）,

/.AE=CF=\2,

vAB=AC,

BE=AF=5,

EF=y/AE2-AF2=A/122+52=13?

5.（24-25八年級(jí)上?福建廈門?期中）如圖，在△NBC中，AB=AC,ZBAC=120°,點(diǎn)P為8c邊的中點(diǎn),

尸D14C于點(diǎn)。.

⑴求NC的度數(shù)；

⑵求證：CD=3AD.

【答案】⑴30。

⑵見(jiàn)解析

【知識(shí)點(diǎn)】三線合一、含30度角的直角三角形、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等邊對(duì)等角

【分析】本題考查等邊對(duì)等角，三線合一，含30度角的直角三角形的性質(zhì)：

(1)根據(jù)等邊對(duì)等角，利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行求解即可；

(2)連接的，根據(jù)三線合一，以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可。

【詳解】⑴解:-.■AB=AC,ZBAC=nO°,

ZC=Z5=1(180°-ZA)=30°；

(2)證明：連接加，則/P15C,

由(1)知，ZC=30°.

???PDVAC,

.■.ZCPD+ZC=90°,

又???//F￡)+/CPD=90°,

ZAPD=ZC=30°,

,-.AP=2AD,AC=2AP,

AC=4AD,

；.CD=AC-AD=44D-AD=34D,

即CD=3AD.

6.(24-25八年級(jí)上,江蘇泰州,期中)如圖，在△4BC中，NA4c=90。,/8=/(7,點(diǎn)。是8c的中點(diǎn)，點(diǎn)E

在A4的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)尸在4c的延長(zhǎng)線上，ED工DF.

⑴求證：AE=CF；

⑵連接E尸，若N8=4,B=2,求的值.

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)40

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)三線合一證明、利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)、用勾股定理解三角形、全等的性質(zhì)和"S綜合

(&4S)

【分析】本題主要查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)：

(1)連接/D,根據(jù)題意可得NDCF=135。，再由等腰三角形的性質(zhì)可得N/OC=90。，從而得到

NDAE=ZDCF,再由包＞_L。尸，可得NEDA=NFDC,可證明IxADEQACDF,即可求證；

(2)在RtZ\E4尸中，利用勾股定理解答，即可求解.

【詳解】(1)證明：如圖，連接40,

E

ZBAC=90°,AB=AC,

；,NB=ZACB=45。,

/.ZDCF=135°,

??,點(diǎn)。是5C的中點(diǎn)，

/.ADIBC,即N4DC=90。，

.'.ZCAD=ZACD=45°f

/.AD=CD,ZDAE=135%

；./DAE=/DCF,

???EDLDF,

"EDF=/ADC=9。。,

/EDA=NFDC,

在△AOE和△C。尸中，

vZEDA=ZFDC9AD=CD,/DAE=/DCF,

.”ADE%CDF（SAS）,

AE=CF；

（2）解：由（1）得：AB=AC=4,AE=CF=2,

AF=AC+CF=6,

???ABAC=90°,

/.ZEAF=9Q°,

在RtA"廠中，EF2=AE2+AF2=22+62=40.

7.（23-24八年級(jí)上?浙江杭州?期中）如圖，△45。是等腰直角三角形，ZC=90°f。是的中點(diǎn),

DELDF,點(diǎn)E,尸在4C,BC±.

y-j.*-*

F

⑴求證：DE=DF.

⑵連接"，則8尸、AE、斯之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)BF2+AE2=EF2,理由見(jiàn)解析

【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和S/S綜合(MS)、等邊對(duì)等角、用勾股定理解三角形

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，證得

△CDE三^BDF成為解題的關(guān)鍵.

(1)如圖：連接8,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得乙4=N2=45。，進(jìn)而證明△(7￡>￡三△6。尸，最后

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得CE=3尸，進(jìn)而得到4E=W；由勾股定理可得(7爐+0尸=￡尸，最后根據(jù)

等量代換即可解答.

【詳解】(1)證明：如圖：連接8,

???△/2C是等腰直角三角形，ZACB=90°,

AC=BC,

.?.//=/8=45°,

?.?0是48的中點(diǎn),

:.CD上AB,ZACD=ZBCD=-ZACB=45°,CD=BD=AD=-AB,

22

/.ZECD=ZB,/BCD=90。,

?：DE1DF,

ZEDF=90°,

ZCDE=/BDF=90°-ZCDF,

在△CD￡和ABDF中,

ZCDE=/BDF

<CD=BD,

/ECD=NB

:./\CDE2/\BDF(ASA),

:.DE=DF.

(2)解：BF2+AE2=EF2,理由如下:

???△CDEQABDF,

/.CE=BF,

:.AC-CE=BC-BF,

AE=CF,

■：CE2+CF2=EF2,

：,BF2+AE2=EF2.

8.（23-24七年級(jí)下?山東?期末）【探究1】

圖①圖②圖③

如圖①，在△48C中，AB=AC,4D是中線，若NC=72。，則/胡。的度數(shù)為°；

【探究2】

如圖②，在△48C和△/￡1尸中，AB=AC,AE=AF,AD,/G分別為a/BC和△/班的中線，若

ZBAF=no°,NCAE=16°,則ZD/G的度數(shù)為-°；

【探究3】

如圖③，在△42C和中，AB=AC,AB=AE,AD,4F分別為△4BC和的中線，AD與BE

交于點(diǎn)。，若NAOF=17°,則，。的度數(shù)為°.

【答案】【探究1】18；【探究2】63；【探究3】26

【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、三線合一

【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和三線合一性質(zhì)，

［探究1］根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得48=/C,由三角形內(nèi)角和定理求得NR4C,利用"三線合一"性質(zhì)即可求

得答案；

［探究2］由等腰三角形的性質(zhì)和三線合一性質(zhì)得NDAC=|NA4c和ZEAG=|ZEAF,結(jié)合角度之間的關(guān)系

即可求得答案；

［探究3］由等腰三角形的性質(zhì)和三線合一性質(zhì)得N84D=NC4D和ZBAF=ZEAF,結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得

ZDAF和Z0DB,再次結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得到NCAE=2ZOBD即可求得答案.

【詳解】解：［探究ir.Y2=4c,

ZS=ZC=72°,

ABAC=1800-Z5-ZC=36°,

是中線，則40是/2/C的角平分線

.-.ZBAD=-ZBAC=1S°,

2

故答案為：18.

［探究2］＜4B=/C,AE=AF,AD./G分別為△4BC和△/￡1廠的中線，

ZDAC=-ABAC,AEAG=-NEAF,

22

ZDAC+ZEAG=^(ZBAF-ZCAE)

=1x(110°-16o)=47°,

ZDAG=ZDAC+NEAG+ZCAE

=47°+16°

=63°；

故答案為：63.

[探究3]r/2=/C,AB=AE,

△4BC和“BE是等腰三角形，

■■AD、AF分別為AABC和“ABE的中線，

；.NBAD=NCAD,ZBAF=ZEAF,ABDA=ABFA=90°,

???AAOF=NBOD=77°,

.-.ZDT1F=90°-77°=13°,

NODB=13°,

又/BAE=180°-2ZABE,ABAC=180°-2NABC,

ZCAE=ZBAE-ABAC=180°-2NABE-(180°-2/ABC)=2(NABC-AABE)=2NOBD,

ZCAE=2NOBD=2xl3°=26°.

故答案為：26.

9.（24-25八年級(jí)上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）如圖，已知銳角中，CD、BE分別是邊48、NC上的高,

M、N分別是線段?！辍?C的中點(diǎn).

⑴求證：MNLDE■,

⑵連接DN、EN,猜想-4與NDVE之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】⑴見(jiàn)解析

⑵/DA"=180。-244,理由見(jiàn)解析

【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)和判定、斜邊的中線等于斜邊的一半

【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，三

角形的內(nèi)角和定理，

（1）連接DN、NE,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得。N=；8C,NE=；BC,從而得

到DN=NE,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明；

（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得//3。+//尊=180。-44,再根據(jù)等腰三角形兩底角相等表示出

ZBND+ZCNE,然后根據(jù)平角等于180。表示出NCWE,整理即可得解；

【詳解】（1）證明：如圖，連接ZM/、ME,

：CD、8E分別是4B、/C邊上的高，”是8c的中點(diǎn)，

.-.DN=-BC,NE=-BC,

22

DN=NE

又為DE中點(diǎn)，

:.MNVDE；

(2)解：在ZUSC中，ZABC+ZACB^1SO0-ZA,

?：DN=NE=BN=NC,

ZBND+ZCNE=(1SO°-2ZABC)+(1SO°-2ZACB)

=360°-2(ZASC+ZACB)

=360°-2(180°-//)

=2ZA

:.NDNE=18Q0-2ZA；

10.(23-24七年級(jí)下?四川成都?階段練習(xí))在RtZ^/BC中，AB=AC,5=45。且4DE尸的頂點(diǎn)E在邊

2c上移動(dòng)，在移動(dòng)過(guò)程中，邊DE,E尸分別與48,/C交于點(diǎn)M,N,

/D

AjAM)

⑴當(dāng)8￡=CN且M與4重合時(shí)，求證：AABE%4ECN

⑵當(dāng)￡為8c中點(diǎn)時(shí)，連接MN,求證：NC=AM+MN

【答案】⑴見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、全等三角形綜合問(wèn)題、根據(jù)三線合一證明

【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，

（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得N/2E=NECN=45。，利用三角形外角的性質(zhì)與等量代換可得

/BAE=/CEN,在根據(jù)全等三角形的判定即可證明；

（2）連接4E,在ZC上截取/M=CG,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得/E=EC,

ZMAE=ZCAE=ZACE=45°,證得A/Affi^ACGE（&4S）,可得Affi=GE,ZMEA=ZGEC,利用等量代

換可得NMEN=NGEN=45。，證得絲AGEN（"S）,可得MN=GN,即可得證.

【詳解】（1）證明：???48=/C,ZBAC=90°,

/.NABE=ZECN=45°,

ZAEC=ZAEN+ZCEN=45°+ZCEN,

又???NAEC=NABE+NBAE=45°+ZBAE,

ZBAE=ZCEN,

又;BE=CN,

；.AABEAECN（AAS）；

（2）證明：連接/E,在/C上截取/M=CG,

AB=AC,ABAC=90°,E為3C中點(diǎn)，

.-.AE1.BC,AE=EC,

ZMAE=NCAE=NACE=45°,

在△/ME和ACGE中，

'AM=CG

<ZMAE=ZGCE,

AE=CE

：.AAME知CGE（SAS）,

.-.ME=GE,ZMEA=ZGEC,

■：ZAEG+ZGEC=90°,

；"MEA+NAEG=90°,即NAffiG=90。，

???ZDEF=45°,

:.NMEN=NGEN=45。,

又?：NE=NE,ME=GE,

：.AMENaGEN（SAS）,

：.MN=GN,

■：CN=CG+GN,

：.CN=AM+MN.

【考點(diǎn)二等腰三角形中底邊無(wú)中點(diǎn)時(shí)，作高】

例題：（2023上?福建廈門?八年級(jí)廈門一中校考期中）如圖，已知405=60。，點(diǎn)P在邊。/上，。尸=12,

點(diǎn)、M、N在邊上，PM=PN,若（W=5,求MV的長(zhǎng).

dMNB

【答案】2

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì).作尸。，。8交03于C,由等腰三

角形的性質(zhì)可得C"=CN,由含30。角的直角三角形的性質(zhì)得出OC=；OP=6,計(jì)算出CM即可得到答

案.熟練掌握等腰三角形的三線合一以及直角三角形中30。所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，作尸交。8于C,

???PM=PN,PCOB,

CM=CN,

在“ZPC中，APCO=90°,ZPOC=30°,。尸=12,

OC=-OP=6,

2

,;0M=5,

CM=OC-OM=6-5=1,

:.CN=CM=\,

:.MN=CM+CN=1+1=2.

【變式訓(xùn)練】

1.（23-24八年級(jí)上?吉林?階段練習(xí)）有一個(gè)等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為120。，腰長(zhǎng)為

12m,則底邊上的高是m.

A

【答案】6

【知識(shí)點(diǎn)】三線合一、含30度角的直角三角形、等邊對(duì)等角

【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等.作

4D上BC于點(diǎn)D,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得NB=NC=1（18O0-Z5/1C）=30°,再根

據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】解：如圖，作4D18C于點(diǎn)。，

ZB=NC=；（180。-ABAC）=30°,

又；AD1BC,

.?./O=；AB=；xl2=6（m）,

故答案為：6.

2.（22-23九年級(jí)上?四川成都?階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC=6,。為/C上一點(diǎn)，連接AD,

且3。=5c=4,則。C為.

A

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、三線合一

【分析】本題考查勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，

屬于中考?？碱}型.作于E.設(shè)EC=DE=x,則有：BE2=AB2-AE2=BC2-EC2,由此構(gòu)建方程

求出x即可解決問(wèn)題.

【詳解】解:如圖，作于E.

EC=DE,設(shè)EC=DE=x,

貝府BE2=AB2-AE2=BC2-EC2,

62=42—x2,

4

解得：x=g,

Q

:.CD=2EC=-,

3

故答案為：|.

3.（24-25八年級(jí)上?重慶長(zhǎng)壽?階段練習(xí)）如圖，已知A8=/C=OC=OE=3,44+/。=180。，△4BC與

ACDE的面積和為10,則BE的平方=.

【答案】76

【知識(shí)點(diǎn)】三線合一、用勾股定理解三角形、全等的性質(zhì)和N&4(AAS)綜合G4&4或者44S)

【分析】本題考查了三角形的面積，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解

題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題.

作DKVCE,證明也A/AD,推出N〃=CK,CH=DK,設(shè)4H=CK=x,

CH=DK=y,利用完全平方公式求出x+了，可得結(jié)論.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)/作5c于點(diǎn)〃，過(guò)點(diǎn)。作。KLCE于點(diǎn)K.

2222

???ZBAC+NCDE=180°,

:.NC4H+NCDK=90。.

ZCAH+ZACH=90°,

：.ZACH=ZCDK,

又：NC=CD,NAHC=ZCKD=90°,

:.AAHC知CKD（AAS）,

AH=CK,CH=DK,

設(shè)AH=CK=x,CH=DK=y,

BC=1y,CE=1x.

與ACAE的面積和為10,

即gBC///+：C￡\DK=gx2a+；x2a=10,中=5,

在Rtacz>K中，魔+云=R,

即X2+「=9,

:.x+y=^x2+2xy+y2=V19,

.-.BE=BC+CE=2（CH+CK）=2（x+j）=2719,

BE2=76.

故答案為：76.

4.（23-24九年級(jí)下,四川遂寧,階段練習(xí)）如圖，等腰三角形ZUBC中，AB=AC=5,BC=8,點(diǎn)尸是底邊

8c上一動(dòng)點(diǎn)，PD、PE分別與4B、/C兩邊垂直，垂足分別為。、E,則PD+PE的值為.

A

E

D//\

BPC

24

【答案】y

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、三線合一

【分析】本題考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，然后過(guò)/點(diǎn)作/尸」8c于尸，連

接/尸，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)和勾股定理可得/尸的長(zhǎng)，由圖形得S-BC=S-BP+SMCP代入數(shù)值，

解答出即可.

【詳解】如圖所示，過(guò)/點(diǎn)作/尸18c于尸，連接矛，

BF=-BC=4,

2

.?.在Vi^ABF中，”=yjAB2-BF2=3，

-S^ABC=S^ABP+S^ACP=-x8x3=-x5xPr>+—X5XPE1,

即12=；x5x（尸Q+P￡）

24

；.PD+PE=——

5

24

故答案為：—.

5.（23-24八年級(jí)上?浙江寧波,期末）⑴如圖1所示，在△4BC中，ZD=20°,ZABC=50°,

NCBD=1。。,求證/5=CD.

（2）如圖2所示，在△/8C中，ZA=100°,ZACB=30°,延長(zhǎng)NC至。使CD=/8,求NCDB.

AA

cc

B^==^-----------------------DB^===^-----------------------D

圖1圖2

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）20°

【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形綜合問(wèn)題、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)和判定、根據(jù)三線合一證明

【分析】（1）作/8CE=10°交于￡,過(guò)點(diǎn)5作AF2/C交C/的延長(zhǎng)線于尸，過(guò)點(diǎn)￡作由

題意得8E=CE和/DEC=20。，利用等角對(duì)等邊可得CE=DC,利用三線合一的性質(zhì)得CH=8〃，結(jié)合含

30。角的直角三角形性質(zhì)得8尸=8〃=S,可證明尸2AEC//,即可證得結(jié)論；

（2）在/C上取/E=4E,連接BE,作/月平分/A4C,交BE于H,交5c于尸，根據(jù)題意得

ZABF=ZBAF=50°,利用等腰三角形兩腰上的高相等得NG=,結(jié)合含30。角的直角三角形性質(zhì)得

AC=BE,由題意得NC=DE,即可求得乙4匹=40。，即可求得答案.

【詳解】解：（1）作/BCE=10。交8c于E,過(guò)點(diǎn)5作AF//C交C/的延長(zhǎng)線于尸，過(guò)點(diǎn)E作EHJ.BC,

如圖，

VZBCE=10°,ZCBD=10°,

BE=CE,ZDEC=20°,

■;ND=20°,

CE=DC,

-：EH±BC,

：.CH=BH,

;/ACB=NCBD+ND=30°,BF1AC,ZL45c=50°,

BF=BH=CH,/4BF=10°,

ZAFB=ZEHC=90°

在44BF和AECH中，＜NABF=ZECH=10。

BF=CH

:.AABFAECH（AAS）,

AB=EC,

AB=CD.

（2）在4C上取=連接成，作4方平分NA4C,交BE于H,交BC于F,如圖,

?.?4F平分/A4C,ABAC=100°,

:"BAH=/EAH=50。,BH±AF,

???N/Cg=30。，

:./ABF=/BAF=50。,

即4/8尸是等腰三角形，

作ZGL5C,則=（等腰三角形兩腰上的高相等），

ZACB=30°,

/.2AG=AC,

?/2BH=BE,

??.AC=BE,

vCD=AB=AEf

.?.AC=DE,

:.AC=BE=DE,

???NAEB=1（180°-/BAE）=40°,

ND=20°,

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、三線合一的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)和含30。角的

直角三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線并找到對(duì)應(yīng)邊角之間的關(guān)系.

6.（22-23八年級(jí)上?湖北武漢?期中）如圖，點(diǎn)。，E在△48C的邊5c上，AB=AC,AD=AE.

⑴如圖1,求證：BD=CE；

⑵如圖2,當(dāng)4D=CD時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)M,如果。河=2,求CD-AD的值.

【答案】⑴見(jiàn)解析

（2）4

【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和/SN（AAS）綜合（NSN或者44S）、根據(jù)三線合一證明

【分析】（1）過(guò)A作/41BC于點(diǎn)根據(jù)三線合一可得：BH=CH,DH=EH,即可證明;

(2)過(guò)A作于點(diǎn)H,易證也△CMC,可得地=?！ǎ纯汕蠼?

【詳解】(1)證明：如圖過(guò)A作3c于點(diǎn)〃，

VAB=AC,AH1BC,

:.BH=CH,

vAD=AE,

：.DH=EH,

；,BD=CE；

(2)解：過(guò)A作4"18c于點(diǎn)

A

ZCDM=ZADH

<ZCMD=ZAHD=90°

CD=AD

.-.^AHD^CMD(AAS),

DH=MD,

CD-BD=(CH+DH)-(BH-DH)=2DH=2MD=4.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)"三線合一"，熟練掌握全等三角形的判定

方法是解題的關(guān)鍵.

7.(24-25八年級(jí)上?遼寧大連?期中)如圖，在等邊△4BC中，點(diǎn)。在8C邊上，點(diǎn)E在NC延長(zhǎng)線上，且

AD=ED.

⑴求證：/BAD=/CDE；

⑵若等邊△N5C的邊長(zhǎng)為6,8。=2,求的長(zhǎng)；

⑶求證：BD=CE；

⑷如圖，當(dāng)點(diǎn)。在C2的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在C/延長(zhǎng)線上時(shí)，其它條件不變，（3）中的結(jié)論是否仍然成立?

若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴見(jiàn)解析

（2）AE=8

⑶見(jiàn)解析

⑷（3）中的結(jié)論仍然成立，證明見(jiàn)解析

【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形綜合問(wèn)題、等邊三角形的判定和性質(zhì)、三線合一、含30度角的直角三角形

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，結(jié)合三角形的外角，即可得出結(jié)論；

（2）過(guò)。作。尸，NE于尸，利用等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，以及三線合一，進(jìn)

行求解即可；

（3）過(guò)。作?！啊?C交48于點(diǎn)“，易得AADM是等邊三角形，得到證明涇ADCE,

得到。Af=CE,等量代換即可得出結(jié)論；

（4）過(guò)。作ZW〃/。交的延長(zhǎng)線于N,證明是等邊三角形，得到3D=DN,證明

AAND沿ADCE,得到DN=CE,等量代換即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）證明：???△/3C是等邊三角形，

ABAC=ZACB=60°,

?：AD=ED,

ZDAE=ZE,

ZBAC=ZBAD+ZDAE,ZACBZCDE+ZE,

ABAD=NCDE；

（2）如圖，過(guò)。作DF_!_/￡■于尸，

AD=DE,

AF=EF=-AE.

2

???等邊△48C的邊長(zhǎng)為6,

BC=AC=6,

BD=2,

:.CD=BC-BD=6—2=4,

???ZDCF=60°,

ZCDF=30°,

:.CF=-CD=-x4=2,

22

AF=AC-CF=6-2=4.

/.AE=2AF=8；

A

(3)證明：如圖2,過(guò)。作功〃〃力。交于點(diǎn)

ZBMD=ABAC=60°,

又???NB=60。,

是等邊三角形.

/.BD=MD,

???ZBMD=60°,

：.AAMD=nO0,

又?.?NZC5=60。，

:.ADCE=nO0,

ZAMD=NDCE.

由(1)得，NBAD=/CDE,

又YAD=ED.

「.△/MD四△QCE(AAS).

:.MD=CE.

???BD=MD,

BD=CE；

A

（4）（3）中的結(jié)論仍然成立.證明如下：

如圖，過(guò)。作QN〃/C交45的延長(zhǎng)線于N,則/N=/A4C=60。,

.?.△BDN是等邊三角形.

BD=DN,AN=60°.

?「DA=DE,

NE=ZDAE,

/DAE+ZDAB+NBAC=180。，

??.ZDAE+NDAB=120。，

???NE+ZEDC+NC=180。，

.??/E+/￡DC=120。，

:"DAB=/EDC.

又?.?NN=NC,AD=DE,

：AAND%DCE（AAS）,

:.DN=CE.

?：BD=DN.

:.BD=CE.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三線合一，含30度角的直角三角形，全等三角

形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形和等邊三角形，是解題的關(guān)鍵.

8.在中，AB=AC,過(guò)點(diǎn)C作射線C9,使44C夕=NZCB（點(diǎn)玄與點(diǎn)B在直線/C的異側(cè)）點(diǎn)、D

是射線。夕上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)。重合），點(diǎn)E在線段上，且NZM￡+N4CQ=90。.

'B'IB1

AA

D

C(￡)C

ffll圖2

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，4。與C8'的位置關(guān)系是_,若BC=a，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)；（用含a的式子

表示）

⑵如圖2,當(dāng)點(diǎn)￡與點(diǎn)C不重合時(shí)，連接。￡.

①用等式表示/A4C與NZME之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

②用等式表示線段班，CD,OE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】⑴互相垂直；|a

⑵①NB4C=2ND4E,證明見(jiàn)解析；@BE=CD+DE,證明見(jiàn)解析

【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和S4S綜合（MS）、全等的性質(zhì)和（AAS）綜合（4X4或者44S）、根據(jù)三線合

一證明

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得4D與C9的位置關(guān)系是互相垂直，過(guò)點(diǎn)/作//L8C于點(diǎn)“，根

據(jù)等腰三角形性質(zhì)得到。屈=8河=；8。=9,利用AAS證明根據(jù)全等三角形性質(zhì)即可

得出CD=C”=；a；

（2）當(dāng)點(diǎn)￡與點(diǎn)C不重合時(shí)，①過(guò)點(diǎn)/作于點(diǎn)M、AN1CB，干武N,利用AAS證明

△ACD^ACM,根據(jù)全等三角形性質(zhì)即可得到ABAC=2ZDAE；

②在8C上截取8尸=5,連接//，利用SAS證明△NB尸也△NC。，根據(jù)全等三角形性質(zhì)得到4F=40,

NBAF=ACAD,根據(jù)角的和差得到AFAE=NDAE,再利用SAS證明AFAEGDAE,根據(jù)全等三角形性

質(zhì)及線段和差即可得到BE=CD+DE.

【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，NDAE=NDAC,

???ZDAE+ZACD=90°,

??.ZDAC+ZACD=90°f

/.ZADC=90°,

.?.AD1CB',

即AD與CB'的位置關(guān)系是互相垂直，

若BC=a,過(guò)點(diǎn)4作NMLBC于點(diǎn)跖如圖:

B

A

則/AMC=90°=/ADC,

vAB=AC,

:.CM=BM=—BC=—a,

22

在“CO與△/CM中，

AADC=ZAMC

<ZACD=AACM

AC=AC

^ACD^AACM(AAS),

CD=CM=-a,

2

即CD的長(zhǎng)為,

2

故答案為：互相垂直；

2

(2)解：①當(dāng)點(diǎn)￡與點(diǎn)C不重合時(shí)，用等式表示，"C與ND4E之間的數(shù)量關(guān)系是：NBAC=2NDAE,

證明如下：

過(guò)點(diǎn)/作4Af_LBC于點(diǎn)M、AN1CB'于點(diǎn)、N,如圖：

則ZAMC=NANC=90°,

:./CAN+ZACB'=90°,

■：ZDAE+ZACD=90°,

即ZD/E+//C3'=90°,

ZDAE=ZCAN,

???AB=AC,AMLBC,

：.ABAC=2ZCAM=2ZBAM,

在.44CN與AACM中，

ZANC=NAMC

<ZACN=ZACM,

AC=AC

.?.△4CN%/CM（AAS）,

??.ZCAN=ZCAM,

??.ABAC=2ZCAM=2ZCAN=2ZDAE；

②用等式表示線段成，CD,。石之間的量關(guān)系是：BE=CD+DE,證明如下:

在3C上截取=連接4月，如圖：

.?./B=ZACB,

???NACB'=ZACB,

.?./B=/ACB'=ZACD,

在尸和△/CD中，

AB=AC

</B=/CD,

BF=CD

AABF^AACD（SAS）f

:.AF=AD,ZBAF=ACAD,

NBAF+/CAE=/CAD+/CAE=/DAE,

由①知：/BAC=2/DAE,

即=

/.ABAF+ZCAE=-NBAC,

2

ZFAE=ABAC-1/BAF+ZCAE）=|ABAC,

ZFAE=/DAE,

在^FAE和2AE中，

AF=AD

<ZFAE=/DAE,

AE=AE

.?.A"E&AD/E（SAS）,

??.FE=DE,

:.BE=FE+BF=CD+DE.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、

垂直定義等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)并作出合理的輔助線是解題的關(guān)

鍵.

【考點(diǎn)三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】

模型解析：：如圖，AABC中X。平分48人6人口_186由“4^”易得△ABD三△ACD,從而得

AB=AC,BD=CD.即一邊上的高與這邊所對(duì)的角平分線重合，易得這個(gè)三角形是等腰三角形.

例題：（24-25八年級(jí)上?廣東肇慶?期中）（1）【問(wèn)題情境】利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如

圖1,OP平■分NMON.點(diǎn)A為?！吧弦稽c(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作/CLOP,垂足為C,延長(zhǎng)/C交CW于點(diǎn)8,求證:

AAOC^ABOC.

（2）【問(wèn)題探究】如圖2,在（1）的條件下，過(guò)點(diǎn)A作4DLON,垂足為交。尸于點(diǎn)￡.若

AD=OD,試探究/C和OE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

（3）【拓展延伸】如圖3,ZUBC中，48=",/氏4。=90。，點(diǎn)。在線段如上，且/8?！?」乙4口,8￡，。￡

2

于E,DE交AB于F,試探究班和。尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

圖1圖2圖3

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）OE=24C,見(jiàn)解析；（3）BE^DF-見(jiàn)解析

2

【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形綜合問(wèn)題、等腰三角形的性質(zhì)和判定

【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),

（1）根據(jù)"ASA"證明△/OC^ABOC即可得出結(jié)論；

（2）先證/8OC=/D/2,再證△DOE也△D/3得出=,進(jìn)而即可得解；

(3)如圖：過(guò)點(diǎn)。作。G〃/C,交成的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,與4歹相交于X,證出△3GH絲△。方H和

△BDE知GDE,然后進(jìn)行線段的等量代換即可得解；

解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題.

【詳解】(1)在△ZOC和小OC中，

ZAOC=ZBOC

<OC=OC,

ZOCA=ZOCB=90°

.?.△40。名△5OC(ASA)；

(2)0E=2AC,理由如下：

由(1)得，△/OC也△3OC,

：.AC=BC,BPAB=2AC,

???NBC0=NADB=9。。,

ZBOC+ZOBC=/DAB+ZOBC=90°,

/./BOC=/DAB,

在gOE和△D/5中，

ZDOE=/DAB

<OD=AD,

NODE=/ADB=90°

也△ZUB(ASA),

OE=AB,

:.OE=2AC；

(3)BE=；DF.理由如下：

如圖：過(guò)點(diǎn)。作0G〃4C,交8E的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,與4尸相交于a,

ZGDB=ZC,ABHD=NA=90°,

■：ZBDE=-ZACB,

2

ZEDB=ZEDG=-ZACB,

2

?;BELED,

/BED=90°,

/BED=/BHD,

?/ZEFB=ZHFD,

:.ZEBF=ZHDF,

'：AB=AC,ABAC=90°,

/.ZC=/ABC=45°,

???DG|HC,

:"GDB=/C=45。,

:"GDB=/ABC=45。,

:.BH=DH,

在△5GW和aFH中,

AHBG=ZHDF

<BH=DH,

/BHG=/DHF=90°

:.ABGH^Z\DFH(ASA),

/.BG=DF,

在/\BDE和AGDE中，

ZBDE=ZGDE

<DE=DE

/BED=/GED=9。。

.-.△5D^AGDE(ASA),

:.BE=EG,即=

:.BE=-BG=-DF.

22

【變式訓(xùn)練】

1.（23-24七年級(jí)下?陜西西安?期末）利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖①，"平分

NMON.點(diǎn)A為。河上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作/CLOP,垂足為C,延長(zhǎng)4。交ON于點(diǎn)3,可證得

則AC=BC.

圖④

【問(wèn)題提出】

（1）如圖②，在△N8