空間角與探索性問題（2種考法）原卷版

重難點08空間角與探索性問題(2種考法)

【目錄】

考法1：空間角問題

考法2：探索性問題

Q二、命題規(guī)律與備考策略

1.求異面直線所成的角的三步曲

QB)。［即依據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角1

即證明作出的角是異面直線所成的角'：

‘需三民夜序由相由而￡而甚電向南京薪始

或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍：

、角，則它的補角才是要求的角；

2.求直線和平面所成角的關(guān)鍵

作出這個平面的垂線進(jìn)而斜線和射影所成角即為所求，有時當(dāng)垂線較為難找時也可以借助于三棱錐的等體

積法求得垂線長，進(jìn)而用垂線長比上斜線長可求得所成角的正弦值。

3.找二面角的平面角的常用方法

(1)由定義做出二面角的平面角

(2)用三垂線定理找二面角的平面角

(3)找公垂面

(4)劃歸為分別垂直于二面角的兩個面的兩條直線所成的角

4.用坐標(biāo)法求異面直線所成角的一般步驟

(D建立空間直角坐標(biāo)系；

(2)分別求出兩條異面直線的方向向量的坐標(biāo)；

(3)利用向量的夾角公式計算兩條直線的方向向量的夾角；

(4)結(jié)合異面直線所成角的范圍求出異面直線所成的角.

5.利用向量法求兩平面夾角的步驟

(1)建立空間直角坐標(biāo)系；

(2)分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量；

(3)求兩個法向量的夾角；

(4)法向量夾角或其補角就是兩平面的夾角(不大于90°的角)

6.探求某些點的具體位置，使得線面滿足平行或垂直關(guān)系，是一類逆向思維的題目。一般可采用兩種方法:

一是先假設(shè)存在，再去推理，下結(jié)論；二是運用推理證明計算得出結(jié)論，或先利用條件特例得出結(jié)論，然后

再根據(jù)條件給出證明或計算。

［關(guān)鍵技巧》空間向量適合解決立體幾何中的探索性問題，它無需進(jìn)行復(fù)雜的作圖、結(jié)論、推理，只需

要通過坐標(biāo)運算進(jìn)行判斷。解題時，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題

轉(zhuǎn)化為“點的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍的解”等，能更簡單、有效地解決問題，應(yīng)善于運用這一方法

解題。

a二或方法

考法1：空間角問題

1.（2023?上海青浦?統(tǒng)考二模）如圖，在直三棱柱ABC-A4c中，底面ASC是等腰直角三角,

AC=BC=AAi=2,。為側(cè)棱AA的中點.

⑴求證：平面ACCM；

（2）求二面角B.-CD-C,的正弦值.

2.（2023?上海寶山?統(tǒng)考二模）四棱錐的底面是邊長為2的菱形，ZZMS=60°,對角線AC與

8。相交于點O,POl^ABCD,PB與底面ABC。所成的角為60。，E是P8的中點.

B

⑴求異面直線DE與執(zhí)所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）;

（2）證明：OE〃平面叢。，并求點E到平面出。的距離.

3.（2023?上海閔行?統(tǒng)考二模）如圖，在四棱錐PA2C。中，底面ABC。為矩形，尸?；仄矫鍭8CD,

PD=AD=2,AB=4,點E在線段A8上，S.BE=^-AB.

⑴求證：CEB平面PBZ）；

⑵求二面角P—CE—A的余弦值.

4.（2023?上海黃浦?上海市敬業(yè)中學(xué)?？既＃┮阎庵鵄BC-4旦G中，AA1=2,AC=1,延長CB

至。，使CB=3D.

⑴求證：CA1DA；

⑵求平面B.AO與平面AOC所成銳二面角的余弦值.

5.（2023?上海閔行?上海市七寶中學(xué)?？级＃┮阎襟wABC。-AAGR,點￡為4A中點，直線4G

交平面CDE于點。

⑴證明：點/為4C的中點;

（2）若點M為棱A瓦上一點，且直線與平面CDE所成角的正弦值為迷，求瞿的值.

6.（2023?上海普陀?曹楊二中校考三模）如圖，在四棱錐C-ABED中，正方形ABED的邊長為2,平面

ABED,平面ABC,且3CAC,/^=括，點6,尸分別是線段￡^,皮）的中點.

⑴求證：直線GP〃平面A3C；

⑵求直線GF與平面8DE所成角的大小.

7.（2023?上海長寧?上海市延安中學(xué)?？既＃┮阎狝BC和VADE所在的平面互相垂直，ADVAE,

AB=2,AC=4,ZBAC=120°,O是線段BC的中點，AD=6

⑴求證：AD±BE；

⑵設(shè)AE=2,在線段AE上是否存在點尸（異于點A）,使得二面角A-族-C的大小為45。.

8.（2023?上海浦東新?華師大二附中?？寄M預(yù)測）如圖，直三棱柱ABC-A與J內(nèi)接于圓柱,

AB=AAi=BC=2.,平面A2CJ_平面A4,4B

⑴證明：AC是圓柱下底面的直徑;

(2)若M為4cl中點，N為CG中點，求平面A8C與平面所成二面角的正弦值.

9.(2023?上海金山?統(tǒng)考一模)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，已知底面A3C。，底面A8CO是正方

形，PA^AB.

⑴求證：直線平面PAC；

(2)求直線PC與平面PBD所成的角的大小.

10.(2023,上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖，在正三棱柱ABC-AAG中，AA1=AC=2,分別為C。，A,B

的中點.

⑴證明：ED〃平面ABC；

⑵求直線CC,與平面&BD所成角的大小.

11.（2023下?上海浦東新?高三華師大二附中?？茧A段練習(xí)）如圖，為圓O的直徑，點E尸在圓。上,

AB//EF,矩形ABCD所在平面和圓。所在的平面互相垂直，已知AB=2,￡F=1.

⑴求證：平面ZM產(chǎn)，平面CB尸；

（2）當(dāng)AD的長為何值時，二面角C—EF—B的大小為60。？

12.（2023?上海楊浦?統(tǒng)考二模）四邊形ABC。是邊長為1的正方形，AC與8。交于0點，24,平面

ABCD,且二面角P—3C—A的大小為45。.

⑴求點A到平面PBD的距離；

(2)求直線AC與平面PCD所成的角.

13.(2023?上海寶山?上海交大附中?？既?如圖，平面ABCD,四邊形A3CD為直角梯形,

AB//CD,ZADC=90,PD=CD=2AD=2AB=2.

⑴求異面直線AB與PC所成角的大小:

(2)求二面角8-尸C-D的余弦值.

14.(2017?上海黃浦,統(tǒng)考二模)如圖，在直棱柱ABC-4與&中，AA,=AB=AC=2,AB1AC,

D,E,F分別是4片,CG,BC的中點.

(1)求證：AE_LD尸；

(2)求AE與平面DEF所成角的大小及點A到平面DEF的距離.

考法2：探索性問題

1.(2022上?上海虹口?高二華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)?？计谀?如圖，在三棱柱ABC-A京C中，底面

ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，側(cè)面A41GC為菱形，點人在底面上的投影為AC的中點。，且

AB=2.

⑴若M、N分別為棱AB,4G的中點，求證：B\M||平面CDV；

(2)求點C到側(cè)面44,左B的距離；

⑶在線段A片上是否存在點E,使得直線。E與側(cè)面用3#所成角的正弦值為如？若存在，請求出

7

的長；若不存在，請說明理由.

2.(2023上?上海普陀?高二上海市晉元高級中學(xué)?？计谀?正ABC的邊長為4,CD是A3邊上的高，E、F

分別是AC和8C邊的中點，現(xiàn)將..ABC沿。翻折成直二面角A-DC-3.

0

⑴求證：直線平面￡>￡F；

(2)求二面角E-Db-C的余弦值;

⑶在線段8c上是否存在一點尸，使APLDE?若存在，請指出P點的位置，若不存在，請說明理由.

3.(2022上?上海浦東新?高二校考期末)如圖，正四棱錐S-MCD的底面邊長為2,側(cè)棱長是2形，點尸

為側(cè)棱SD上的點.

⑴求正四棱錐S-ABCD的體積；

(2)若平面PAC,求二面角P-AC-D的大??；

⑶在(2)的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點E,使得3E〃平面P4c.若存在，求跖:EC的值；若不

存在，試說明理由.

4.(2023上?上海靜安?高二?？茧A段練習(xí))如圖，已知ABCD是矩形，點尸為平面A3C。外一點，上4,平

面ABCD,若點E為PB的中點，PA=AB=1,BC=2.

p

⑴求證：/a_1平面尸3。；

⑵求直線AE與直線PC所成角的大小;

⑶在邊BC上是否存在一點G,使點。到平面PAG的距離為夜，若存在，求出3G的值，若不存在，請

說明理由.

5.（2023上?上海寶山?高二上海市行知中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC-A4G中，底面ABC是

以AC為斜邊的等腰直角三角形，側(cè)面為菱形，點人在底面上的投影為AC的中點。，且AB=2.

B

⑴求證：BD±CC,；

（2）求點C到側(cè)面M與8的距離；

⑶在線段44上是否存在點E,使得直線OE與側(cè)面①與出所成角的余弦值為包？若存在，請求出AE

7

的長；若不存在，請說明理由.

6.（2023上?上海長寧?高二上海市復(fù)旦中學(xué)?？计谥校┰谡襟wA8CD-A4GA中，E是棱DR的中點.

⑴作出平面ABE與平面ABC。的交線，保留作圖痕跡.

⑵在棱G2上是否存在一點尸，使得用尸/平面A8E?若存在，請說明/的位置，若不存在，請說明理

由；

⑶求二面角8-AE-A的余弦值.

7.（2023?上海虹口?統(tǒng)考一模）如圖，在三棱柱ABC-A用G中，底面ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角

形，側(cè)面為菱形，點在底面上的投影為的中點）且

A41GC4AC￡,AB=2.

⑴求證：BD

±CQ;

（2）求點C到側(cè)面AA^B的距離；

⑶在線段A耳上是否存在點E,使得直線。E與側(cè)面內(nèi)所成角的正弦值為如？若存在，請求出A