中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：數(shù)與式、方程與不等式的性質(zhì)及運(yùn)算（原卷版+解析）

專題01數(shù)與式、方程與不等式的性質(zhì)及運(yùn)算

目錄

題型01數(shù)與式的混合運(yùn)算

題型02科學(xué)記數(shù)法

題型03整式與分式的化簡求值

題型04因式分解的運(yùn)算及應(yīng)用

題型05比較大小

題型06解四大方程（含一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程組、分式方程）

題型07解不等式（組）

題型08根據(jù)分式方程解的情況求值

題型09根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況

題型10根據(jù)一元二次根的情況求參數(shù)

題型11一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

題型12根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系綜合

題型13特殊解及含參不等式（組）問題

?中考逆襲-高效集訓(xùn)

題型01數(shù)與式的混合運(yùn)算

1.（2022.江蘇蘇州?統(tǒng)考中考真題）下列運(yùn)算正確的是（）

A.J（_7）2=_7B.6+^=9C.2a+2b=2abD.2a-3b=5ab

2.（2023?北京石景山?校考一模）計(jì)算：（-1）2019+（-1）~2-|2-V12|+4sin60°.

3.（2023?廣東肇慶?統(tǒng)考三模）計(jì)算：C）-2+（_n）°—|舊一2].

4.（2022.重慶.統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：

（1）（%+2）2+x（x—4）；

⑵（DT

題型02科學(xué)記數(shù)法

5.（2023?安徽?模擬預(yù)測(cè)）安徽省統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)發(fā)布消息稱，2022年前三季度，全省農(nóng)林牧漁業(yè)總產(chǎn)值約3806

億元.其中3806億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.3.806x103B.3806x108C.3.806x1011D.3.806x1012

6.（2023?河南濮陽?統(tǒng)考三模）2023年“五一”假期，河南省共接待游客55180000人次，與2019年同比增長

21.3%,將數(shù)據(jù)“55180000”用科學(xué)記數(shù)法表示為5.518x10”,則w的值為（）

A.3B.4C.7D.8

7.（2023?山西臨汾?統(tǒng)考一模）原子是化學(xué)變化中的最小微粒，按照國際單位制的規(guī)定，質(zhì)量單位是“千克”.例

如：1個(gè)氧原子的質(zhì)量是2.657X10-26kg.如果小數(shù)0,000…02657用科學(xué)記數(shù)法表示為2.657X10-26,則

這個(gè)小數(shù)中“0”的個(gè)數(shù)為（）

A.25個(gè)B.26個(gè)C.27個(gè)D.28個(gè)

8.（2023?江蘇鹽城?校聯(lián)考二模）化學(xué)元素釘（Ru）是除鐵（Fe）、鉆（Co）和銀（Nii）以外，在室溫下具有獨(dú)特磁

性的第四個(gè)元素.釘（Ru）的原子半徑約0.000000000189m.將0.000000000189用科學(xué)記數(shù)法表示

為

題型03整式與分式的化簡求值

9.(2023?陜西西安??？级?先化簡，再求值：[(%+2y)(%-2y)+(%+2y)2-2%y]+2%,其中％=5,

y=-8.

10.(2023.湖南長沙.湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))先化簡，再求值：9+26)2+6+25)9-

2b)—2a?a,其中a=-1,Z)=|.

11.(2023?江蘇揚(yáng)州?校考二模)已知a、b滿足+62-10|+(a-&-2)2=0.

⑴求ab的值；

(2)先化簡，再求值：(2a—b)2—(a+26)(a—h).

12.(2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))先化簡，再求值：號(hào)其中％=/sin45。+2tan45。

a-2.

13.(2023?廣東東莞?統(tǒng)考二模)先化簡，再求值:(a—1一號(hào))，其中口=百?

a2-l

題型04因式分解的運(yùn)算及應(yīng)用

14.(2023?安徽?模擬預(yù)測(cè))下列分解因式錯(cuò)誤的是()

A.%2—2%+1=(%—I)2B.%(%—y)—y(x—y)=(%—y)2

C.%2—9=(%+3)(%—3)D.—x2—xy=—%(%—y)

15.(2023?廣東佛山?佛山市南海區(qū)里水鎮(zhèn)里水初級(jí)中學(xué)?？既?分解因式2/一8%=.

16.(2023?江蘇南通?統(tǒng)考二模)若4a2—^2=12,2a—b=4,貝!J2a+b=.

17.(2023?浙江?模擬預(yù)測(cè))已知實(shí)數(shù)%=巧二，求(2久5+2x4-53婷-57x+54)2。"的值.

18.(2023?山西太原?山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))若三角形的三邊長分別為a,b,c,且滿足ab-ac=b2-be,

則這個(gè)三角形一定是()

A.直角三角形B.等邊三角形C.銳角三角形D.等腰三角形

19.(2023?福建龍巖?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))閱讀以下解題過程：

已知a、b、c為AABC的三邊長，且滿足a2c2-b2c2=a4一4，試判斷△ABC的形狀.

錯(cuò)解：2c2—b2c2=拉一4.......①

??,c2(a2—b2)=(a2—b2)(a2+b2).......②

??.c2=a2+b2③

△4BC是直角三角形……④

上述解題過程，從哪一步開始發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤請(qǐng)寫出該步的代號(hào),錯(cuò)誤的原因

是.

題型05比較大小

20.（2023?湖南湘西?模擬預(yù)測(cè)）比較大小:V17-113（選填或

21.（2023?廣東深圳?深圳市高級(jí)中學(xué)校考二模）數(shù)形結(jié)合是解決代數(shù)類問題的重要思想，在比較近+1與有

的大小時(shí)，可以通過如圖所示幾何圖形解決問題:若要比較近+3與VT7的大小，以下數(shù)形結(jié)合正確的是（）

A.B\C\D\E\F'Q,B1C1D1EQ,B1C1D1E￡）B\C\D\E1F

22.（2023?河北廊坊??？家荒＃┤鐖D是嘉嘉和淇淇比較魚+百與同忑的過程，下列關(guān)于兩人的思路判斷

正確的是（）

（作一個(gè)直角三角形，兩直角邊\

分別將兩式平方，得A

長分別為血，后，

利用勾股定理,得斜邊長為：

由三角形中兩邊之和大于第三邊，

及+G>j2+3.)I得及）

A.嘉嘉對(duì)，淇淇錯(cuò)B.嘉嘉錯(cuò)，淇淇對(duì)C.兩人都對(duì)D.兩人都錯(cuò)

23.（2023?安徽?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）比較大?。?554；若正數(shù)x,y滿足3,=5匕貝|3x—5y0.

題型06解四大方程（含一元一次方程、一元二次方程、二元一次方

程組、分式方程）

24.（2023?北京石景山??？家荒＃┯门浞椒ń夥匠?+；%+1=0時(shí)，正確的是（

A.（x+0=/比=一（±￥B.（久+：）=_1原方程無解

C.（%+|）=”=—|士曰D.卜+|）=—3原方程無解

25.（2023?廣東河源?一模）下列一元二次方程中最適合用因式分解法來解的是（）

A.（久一2）（x+5）=2B.2x2—x=0

C.x2+5x-2=0D.12（2-%）2=3

26.（2023?湖南長沙??？级＃┫旅媸切》f同學(xué)解一元一次方程的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并解答問題.

解：去分母,得2（2久+1）-（5%-1）=1……第一步

去括號(hào)，得4x+2-5x+1=1.......第二步

移項(xiàng)，得4萬一5乂=1一1一2......第三步

合并同類項(xiàng)，得一乂=一2,……第四步

方程兩邊同除以一1,得x=2...........第五步

（1）以上求解過程中，第三步的依據(jù)是.

A.等式的基本性質(zhì)B.不等式的基本性質(zhì)C.分式的基本性質(zhì)D.乘法分配律

（2）從第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；

（3）該方程正確的解為

27.（2023?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知出普求小y+xy2的值.

28.（2023?山西忻州?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）下面是小彬同學(xué)解二元一次方程組的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)

的任務(wù).

x-2y=1①

解方程組:

3x+y——2(2)

解：①X3,得3x—6y=3.③…第一步

②一③，得—5y=—5.…第—■步

y=l.…第三步

y=l代入①，得X=3.…第四步

所以，原方程組的解為二:?…第五步

填空:

①以上求解步驟中，第一步的依據(jù)是:

②第二步的基本思想是“消元”，即把“二元”變?yōu)椤耙辉保诖诉^程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（填序號(hào)）；

A.數(shù)形結(jié)合B.類比思想C.轉(zhuǎn)化思想D.分類討論

③小彬同學(xué)的解題過程從第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，直接寫出該方程組的正確解：.

29.（2023?安徽?模擬預(yù)測(cè)）解方程：號(hào)-義=4.

x-22-X

30.（2023?安徽六安?統(tǒng)考一模）解方程：0-1=-7?

x+1xz-l

31.（2023?四川廣安?統(tǒng)考一模）定義：若刀1，&是方程a/+bx+c=0（a力0）的兩個(gè)整數(shù)根，且滿足

1%-冷1=1，則稱此類方程為“自然方程”.例如：（%-1）（%-2）=0是“自然方程”.現(xiàn)給出下面兩個(gè)方程,

請(qǐng)通過計(jì)算說明這兩個(gè)方程是否是自然方程.

（l）x2+3%-2=0：

（2）x（x+1）+2（x+1）=0.

題型07解不等式（組）

2%—4>0

32.（2023?廣東?模擬預(yù)測(cè)）不等式組1-X-'的解集在數(shù)軸上表示正確的是（

---<1

3-2-1012

33.（2023?廣東茂名?統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)M（l-2m,租-1）在第一象限，則根的取值范圍在數(shù)軸上表示正確

的是（）

00.500.5

00.500.5

34.（2023?安徽?模擬預(yù)測(cè)）不等式言-1>0的解集是.

（5x—3<2%

35.（2023?廣東汕頭?汕頭市第六中學(xué)?？家荒＃┙獠坏仁浇M：7X+3>3%,并寫出它的所有整數(shù)解.

題型08根據(jù)分式方程解的情況求值

36.（2023?四川成都?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若分式方程1-卷=0有增根，則根的值是（）

x-2x-2

A.3B.2C.1D.-1

37.（2023?黑龍江齊齊哈爾??？既＃┤絷P(guān)于x的分式方程上+義=2a無解，則a的值為（）

x-22-x

A.0B.1C.-1或0D.0或1

38.（2023?湖南長沙?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于x的分式方程小=3的解是負(fù)數(shù)，則字母m的取值范圍是.

X+1

39.（2023?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于久的方程安-1=竺的方程恰好有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求k的值及方程的

x-1xz-xX

解.

題型09根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況

40.（2023?河南濮陽?統(tǒng)考三模）己知根為任意實(shí)數(shù)，則一元二次方程/—加%—；=0根的情況是（）

4

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.沒有實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

2

41.（2023?廣東汕頭?汕頭市第六中學(xué)?？家荒＃┤鬹>2,則關(guān)于x的方程--2kx+k-k+1=0的實(shí)數(shù)

根的個(gè)數(shù)為一.

42.（2023?安徽六安??？级＃╆P(guān)于x的方程/-3x+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則c的最大整數(shù)值

是.

43.（2023?北京海淀?北理工附中?？既＃┮阎P(guān)于x的方程7n產(chǎn)-（m+3）x+3=0（m*0）.

（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是聚到，求.擎契小的值.

題型10根據(jù)一元二次根的情況求參數(shù)

44.（2023?安徽?模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于x的一元二次方程-2）+m=1有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)機(jī)的值

為（）

A.1B.2C.-1D.-2

45.（2023?江蘇泰州?統(tǒng)考二模）若關(guān)于x的一元二次方程/-2x+m-3=0沒有實(shí)數(shù)根，則小的取值范圍

為.

46.（2023?湖北省直轄縣級(jí)單位?模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的方程/-2（m+2）x+m2+4=0.

（1）當(dāng)m取何值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？

（2）設(shè)X]、不是方程的兩根，且（%i+尤2）2-2（右+%2）—24=0,求m的值.

47.（2023?湖北襄陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于x的一元二次方程/一4力-2爪+5=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根修,%2,并

JiL%]4%2.

（1）求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

（2）滿足久1乂2++%2=m2+6,求力的值.

題型11一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

48.（2023?新疆烏魯木齊?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于光的一元二次方程--a久-3=。的一個(gè)根為1,則另一個(gè)根

為（）

A.2B.-2C.3D.-3

49.（2023?廣東陽江?三模）已知與，比2是一元二次方程/一乂―2=0的兩個(gè)根，則言+己的值是（）

11

A.1B.-C.-1D.--

22

50.（2023?廣東河源?統(tǒng)考二模）已知久1，&是一元二次方程4/-5%-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，貝隊(duì)/+2）（%2+

2）的值為（）

A.-B.4C.-D.-

444

51.（2023?江蘇鹽城??？级＃┮阎?、&是關(guān)于1的方程2%-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，下列結(jié)論正確的

是（）

22

A./=上B.xr—2%i=%2—2%2

C./+犯=—2D.?亞=1

52.（2023?安徽?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若m,九是一元二次方程式2-3%+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則病-2m+九的

值是.

題型12根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系綜合

53.（2023?湖北襄陽?統(tǒng)考二模）關(guān)于尤的一元二次方程/—2（m+l）龍+根2+5=。有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

（1）求相的取值范圍；

（2）若RtA4BC的兩條直角邊4C,8c的長恰好是此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，斜邊4B=6,求RtATIBC的周長.

54.（2023?湖北襄陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的一元二次方程/-6%+2機(jī)-1=0有與，久2兩實(shí)數(shù)根.

（1）求機(jī)的取值范圍；

（2）是否存在實(shí)數(shù)相，滿足（修-1）（亞-1）=-三？若存在，求出實(shí)數(shù)根的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

55.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是：關(guān)于x的方程a/+bx+c=0（a豐

0）的兩根為修、尤2,則有：/+犯=-3/％2=今某班學(xué)完該內(nèi)容后，王老師要求學(xué)生根據(jù)上述知識(shí)

進(jìn)行編題、解題訓(xùn)練，其中小明同學(xué)編的練習(xí)題是：設(shè)k=3,方程/一3久+k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是修、久2,

求三+占的值.

X1%2

小明同學(xué)對(duì)這道題的解答過程是：解：???k=3,?,?已知方程是％2一3%+k=0,

?X]+%2=3,=3,

X

.%21超+好（％1+%2）2—2%1%232-2X3

??1=------=-----------------=--------=41，

%2%1%2%1%23

...這+遼=1.

XiX2

（1）請(qǐng)你針對(duì)以上練習(xí)題的解答的正誤做出判斷，并簡述理由.

（2）請(qǐng)你對(duì)小明同學(xué)所編的練習(xí)題中的左另取一個(gè)適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，其他條件不變，求言+光的值.

56.（2023?四川南充?四川省南充高級(jí)中學(xué)?？级＃┮阎P(guān)于x的一元二次方程/+（2m+l）x+m2+1=

0有實(shí)數(shù)根.

（1）求實(shí)數(shù)爪的取值范圍；

（2）當(dāng)m=4時(shí),設(shè)方程的根為“x2,求代數(shù)式（理+8乂1+16）（%2—5%2+3）的值.

題型13特殊解及含參不等式（組）問題

57.（2023?廣東潮州?二模）如果關(guān)于尤的不等式組｛黑二：：：的整數(shù)解僅為1,2,3,那么適合這個(gè)不等

式組的整數(shù)對(duì)（孫⑶共有（）

A.42對(duì)B.36對(duì)C.30對(duì)D.11對(duì)

58.（2023?廣東深圳??？寄M預(yù)測(cè)）若關(guān)于久的不等式組「”一3I?有解，則小的取值范圍是（）

—m<0

A,3^3

A.m<-B.m>-C.m<-D.m>-

2222

5%（2。23?湖南邵陽?統(tǒng)考二模）若方程組產(chǎn)3；獸；21的解滿足1<%+”2,則a的取值范圍是（）

A.0<a<5B.0<a<2C.5<a<10D.a>0

60.（2023?廣東河源?一模）若關(guān)于x的不等式組二?々［Iv的解集是久>2a,則a的取值范圍是

61.（2023?重慶渝中?統(tǒng)考二模）關(guān)于x的分式方程￡=1+￡的解為非負(fù)數(shù)，且關(guān)于y的不等式組

{3y:++10的解集為y<2,則符合條件的整數(shù)a的值之和是.

中考逆襲-高效集訓(xùn)

（限時(shí)45分鐘）

一、單選題

1.（2023?安徽宿州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）中國氣象局3月10日公布的《2022年中國天然氧吧評(píng)價(jià)公報(bào)》顯示，中

國天然氧吧地區(qū)總面積已超90萬平方公里，約占中國國土總面積的9.5%,將90萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.9X106B.9X105C.9X104D.90X103

2.（2023?河北滄州??？寄M預(yù)測(cè)）與怖+4結(jié)果不相同的是（）

A.2x2-iB.42X43x4-5C.716^-2D.3°

3.（2023?福建廈門?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，A,B是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)4關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，以為邊作

正方形力BCD.若點(diǎn)力表示的數(shù)為1,正方形力BCD面積為7,則B,E兩點(diǎn)之間的距離是（）

DC

EOAB

A.V7+2B.V7-2C.V7+1D.V7-1

4.（2023?河北保定??？寄M預(yù)測(cè)）若？2義92x…x92=3x3x…X3,則機(jī)的值為（）

m個(gè)100個(gè)

A.100B.50C.25D.4

5.（2023?河北石家莊?校聯(lián)考二模）如下是嘉淇計(jì)算某道題的過程，下列選項(xiàng)中結(jié)論不正確的是（）

2x+x2—2（3%—2）

=2%+%2—6%+4......第一步

=x2+2%—6x+4......第二步

=/-4%+4.....第三步

=0—2）2..............第四步

A.第一步用到了去括號(hào)法則B.第二步用到了加法交換律

C.第三步用到了減法結(jié)合律D.第四步用到了完全平方公式

6.（2023?廣東梅州?統(tǒng)考一模）己知實(shí)數(shù)a,b滿足|a-4|+（垓-4b+4）=0,則有關(guān)尤的不等式組j，

的解集為（）

A.比丹B.久>2C,j<%<2D.無解

7.（2023?廣東江門?統(tǒng)考二模）下列關(guān)于x的一元二次方程中有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根的是（）

A.（x—3）2=4B.x2=xC.x2+2x+1—0D.x2-16=0

8.（2023?河北石家莊?統(tǒng)考一模）已知4=/+6%+聲，B=2x2+4x+n2,下列結(jié)論正確的是（）

A.B-4的最大值是0B.B—4的最小值是一1

C.當(dāng)B=24時(shí)，x為正數(shù)D.當(dāng)B=24時(shí)，x為負(fù)數(shù)

二、填空題

9.（2023?河北唐山?統(tǒng)考二模）已知b4=bx8（bK0）,貝防=,6的倒數(shù)為.

10.（2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）己知x+y=2,x+3y=4,則代數(shù)式/+4孫+4*的值為.

11.（2023?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于萬的不等式組｛/二仁33恰好有四個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是.

12.（2023?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）因式分解：4x2y-y3=.

13.（2023?浙江?模擬預(yù)測(cè)）化簡：711+6V2+V11-6V2=.

三、解答題

14.（2023?山西大同?大同一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（1）計(jì)算：V18--|-3A/2|-（1-V2）°；

（2）下面是王亮同學(xué)解方程三+三=卷的過程，請(qǐng)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

x-2x+2x2-4

解：方程兩邊同乘以4,得

3（%+2）+5。=2）=8第一步

3x+6+5x-2=8.第二步

2x=8-6+2第三步

x=6第四步

經(jīng)檢驗(yàn)：x=6是原方程的解.第五步

??.原方程的解是久=6第六步

任務(wù)一：

①以上求解過程中，第一步的依據(jù)是;

②王亮同學(xué)的求解過程從第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，整個(gè)解答過程.

從前一步到后一步的變形共出現(xiàn)處錯(cuò)誤：

③分式方程檢驗(yàn)的目的是.

任務(wù)二：請(qǐng)你直接寫出這個(gè)方程的正確解.

ra2

15.(2023.廣西貴港.統(tǒng)考二模)先化簡，再求值：(3m--U；-,其中也滿足m2+3根—6=0.

\zn+3，m2+6m+9

16.(2023?河南南陽?統(tǒng)考二模)【閱讀與思考】如表是小亮同學(xué)在數(shù)學(xué)雜志上看到的小片段，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并

完成相應(yīng)的任務(wù).

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

通過學(xué)習(xí)用公式法解一元二次方程可以發(fā)現(xiàn)，一元二次方程的根完全由它的系數(shù)確定，求根公式就是根與

系數(shù)關(guān)系的一種形式.除此以外，一元二次方程的根與系數(shù)之間還有一些其他形式的關(guān)系.

從因式分解的角度思考這個(gè)問題，若把一元二次方程a/+汝+c=0(a。0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別記為第1，上，

2

則有恒等式a/+「％+c=a(x—x1)(x—g)，即Q/+ft%+c=ax-+x2)x+axrx2>比較兩邊系

數(shù)可得：+%2=，,%2=?

任務(wù)：

(])土真:X]+%2=，%]?%2=?

⑵小亮同學(xué)利用求根公式進(jìn)行推理，同樣能夠得出一元二次方程兩根之和、兩根之積與系數(shù)之間的關(guān)系.下

面是小亮同學(xué)的部分推理過程，請(qǐng)完成填空，并將推理和運(yùn)算過程補(bǔ)充完整.

解：對(duì)于一元二次方程a/+力％+c=0(a。0),

當(dāng)力2-4ac>0時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根%1=，%2=.

(3)已知關(guān)于%的方程27+3租%+血2=。的兩根之和與兩根之積的和等于2,直接寫出血的值.

專題01數(shù)與式.方程與不等式的性質(zhì)及運(yùn)算

目錄

題型01數(shù)與式的混合運(yùn)算

題型02科學(xué)記數(shù)法

題型03整式與分式的化簡求值

題型04因式分解的運(yùn)算及應(yīng)用

題型05比較大小

題型06解四大方程（含一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程組、分式方程）

題型07解不等式（組）

題型08根據(jù)分式方程解的情況求值

題型09根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況

題型10根據(jù)一元二次根的情況求參數(shù)

題型11一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

題型12根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系綜合

題型13特殊解及含參不等式（組）問題

?中考逆襲-高效集訓(xùn)

題型01數(shù)與式的混合運(yùn)算

1.（2022?江蘇蘇州?統(tǒng)考中考真題）下列運(yùn)算正確的是（）

A.J（_7）2=_7B.6+|=9C.2a+2b=2abD.2a?3b=5ab

【答案】B

【分析】通過V^=|a],判斷A選項(xiàng)不正確；C選項(xiàng)中2a、2b不是同類項(xiàng)，不能合并；D選項(xiàng)中，單項(xiàng)式

與單項(xiàng)式法則：把單項(xiàng)式的系數(shù)、相同字母的幕分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式；B

選項(xiàng)正確.

【詳解】A.^^=^=7,故A不正確；

B.6+|=6x|=9,故B正確；

C.2a+2b2ab,故C不正確；

D.2a-3b=6ab,故D不正確；

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)、有理數(shù)的除法及整式的運(yùn)算，靈活運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?北京石景山??？家荒＃┯?jì)算：（一1產(chǎn)19+（一3一2一|2一姨|+4sin60。.

【答案】5

【分析】直接利用負(fù)整數(shù)指數(shù)幕運(yùn)算法則、二次根式的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的性質(zhì)分別

化簡得出答案.

【詳解】解：原式=—1+4—|2-2A/3|+4X日

=-1+4-2V3+2+2V3

=5.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，二次根式的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的性

質(zhì)，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.

3.（2023?廣東肇慶?統(tǒng)考三模）計(jì)算：（1）”+（——|百—2卜

【答案】12+V3

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，先化簡負(fù)整數(shù)指數(shù)幕、零指數(shù)累、立方根以及絕對(duì)值，再運(yùn)算加減

法，即可作答.

【詳解】解：原式=9+1+4-（2-V3）

=9+1+4-2+73

=12+73

4.（2022?重慶?統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：

（1）（%+2尸+x（x—4）；

⑵

【答案】（1）2/+4

（2）—

'Ja+b

【分析】（1）先計(jì)算乘法，再合并，即可求解；

（2）先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，再計(jì)算除法，即可求解.

【詳解】（1）解：原式=/+4x+4+/-4萬

=2%2+4

（2）解：原式=?x一/一

b（a+Z7）（a-d）

2

a+b

【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，分式的混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

題型02科學(xué)記數(shù)法

5.（2023?安徽?模擬預(yù)測(cè)）安徽省統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)發(fā)布消息稱，2022年前三季度，全省農(nóng)林牧漁業(yè)總產(chǎn)值約3806

億元.其中3806億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.3.806x103B.3806x108C.3.806x1011D.3.806x1012

【答案】C

【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10九的形式，其中1<|a|<10,〃為整數(shù).確

定w的值時(shí)，要看把原數(shù)變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕

對(duì)值210時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值<1時(shí)，n是負(fù)數(shù).

【詳解】解：3806億用科學(xué)記數(shù)法表示為：3.806X10U,

故選：c.

6.（2023?河南濮陽?統(tǒng)考三模）2023年“五一”假期，河南省共接待游客55180000人次，與2019年同比增長

21.3%,將數(shù)據(jù)“55180000”用科學(xué)記數(shù)法表示為5.518x10",則”的值為（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】C

【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10%其中n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)

鍵要正確確定a的值及n的值.根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式即可求解.

【詳解】解：55180000=5.518x107,

71=7.

故選：C.

7.（2023?山西臨汾?統(tǒng)考一模）原子是化學(xué)變化中的最小微粒，按照國際單位制的規(guī)定，質(zhì)量單位是“千克”.例

如：1個(gè)氧原子的質(zhì)量是2.657x10-26kg.如果小數(shù)0.000…02657用科學(xué)記數(shù)法表示為2.657X10-26,則

這個(gè)小數(shù)中“0”的個(gè)數(shù)為（）

A.25個(gè)B.26個(gè)C.27個(gè)D.28個(gè)

【答案】B

【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義還原出原來的小數(shù)，即可得出答案.

【詳解】I?小數(shù)0.000...02657用科學(xué)記數(shù)法表示為2.657X10-26,

.??這個(gè)小數(shù)中“0”的個(gè)數(shù)為26個(gè).

故答案是B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，絕對(duì)值小于1的數(shù)可以表示為±ax10"的形式，其中1<a<10,

"為原數(shù)中第一個(gè)不是零的數(shù)字前面的零的個(gè)數(shù)（包括小數(shù)點(diǎn)前面的一個(gè)零），表示時(shí)關(guān)鍵是要正確確定a和

71的值.

8.（2023?江蘇鹽城?校聯(lián)考二模）化學(xué)元素釘（Ru）是除鐵（Fe）、鉆（Co）和銀（Nii）以外，在室溫下具有獨(dú)特磁

性的第四個(gè)元素.釘（Ru）的原子半徑約0.000000000189m.將0.000000000189用科學(xué)記數(shù)法表示

為.

【答案】1.89X10To

【分析】絕對(duì)值小于1的利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為aXIO",與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所

使用的是負(fù)指數(shù)塞，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定.

【詳解】解：0.000000000189=1.89x1O-10,

故答案為：1.89x10-1。

【點(diǎn)睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為axlOf,其中l(wèi)W|a|<10,〃為由原數(shù)左邊

起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面0的個(gè)數(shù)所決定.

題型03整式與分式的化簡求值

9.(2023?陜西西安??？级?先化簡，再求值：[(x+2y)(x-2y)+(x+2y)2-2xy]2x,其中X=5,

y=-8.

【答案】％+y,—3

【分析】先利用完全平方公式，平方差公式與單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則去掉括號(hào)，然后再合并同列項(xiàng)計(jì)算，

最后代入犬，y計(jì)算即可.

【詳解】解：[(%+2y)(x—2y)+(%+2y)2—2xy]+2x

22

=(%—4y+/+4Xy+4y2—2%y)+2x

=(2/+2xy)+2x

=%+y,

當(dāng)％=5,y=—8時(shí),原式=5+(—8)=-3.

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式的運(yùn)算法則.

10.(2023?湖南長沙?湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))先化簡，再求值：(a+2b)2+(a+26)(a-

2b)—2ci,CL,中a=-1,b=w

【答案】4ab,-2

【分析】先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)，然后把〃，。的值代入化簡后的式子進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【詳解】解：(a+2b丫+(a+2/?)(a-2b)-2a-a

=a2+4ab+4b2+a2-4b2-2a2

=4ab,

當(dāng)Q=-1,Z?=a時(shí)，原式=4x(-1)x5=-2.

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算-化簡求值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

11.(2023?江蘇揚(yáng)州??？级?已知a、b滿足|。2+接一10|+①一5一2)2=0.

⑴求ab的值；

(2)先化簡，再求值：(2a—b}2—(a+2/?)(a—b).

【答案】⑴3

(2)3a2+3b2—Sab,15

【分析】(1)先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到M+廬=io,a—b=2,再利用完全平方公式的變形進(jìn)行求解即可；

(2)先根據(jù)完全平方公式和多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)化解，再根據(jù)(1)所

求，代值計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：:+fe2-10|+(a-6-2)2=0,\a2+b2-10|>0,(a-b-2)2>0,

\a2+b2—10|=(a—h—2)2=0,

CL^+—10=0,d—b—2=0,

/.a2+h2=10,a—b=2,

.\—2ab=(a-6)2—(a2+62)=22-10=—6,

??ctb—3；

(2)解:(2ct—b)2—(a+26)(cz—b)

=4a2—4ab+b2—(a2+2ab—ab—2b2)

=4a2—4ab+b2—a2—lab+ab+2b2

=3a24-3b2-5ab

=3(a2+b2)—Sab

=3x10—5x3

=15.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的化解求值，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

12.(2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))先化簡，再求值：號(hào)W)'其中％=V^in45。+2tan45。

【答案】六,|

【分析】本題考查了分式的化簡求值，特殊角的三角函數(shù)值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

先利用異分母分式加減法法則計(jì)算括號(hào)里，再算括號(hào)外，然后把x的值代入化簡后的式子進(jìn)行計(jì)算，即可解

答.

【詳解】解：島―(1-擊)

X%+1—1

(X+1)(%—1)X+1

XX+1

(%+1)(%—1)X

1

x-1

當(dāng)x=V2sin45°+2tan45°=V2Xy+2x1=1+2=3時(shí),

原式

13.(2。23?廣東東莞?統(tǒng)考二模)先化簡，再求值：黑a—1—空1),其中a=百.

a+1/

【答案】；，呼

az-a6

【分析】本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解答此題的關(guān)鍵.先根據(jù)分式混合運(yùn)

算的法則把原式進(jìn)行化簡，再把a(bǔ)的值代入進(jìn)行計(jì)算即可.

2

【詳解】解：原式=/三+a-l-2a+l

a+1

CL—2a+1

(a+1)(Q—1)—2)

1

a2—a

當(dāng)。=百時(shí),

原式=f=等

題型04因式分解的運(yùn)算及應(yīng)用

14.(2023?安徽?模擬預(yù)測(cè))下列分解因式錯(cuò)誤的是()

A.x2—2x+1=(x—I)2B.x(x—y)—y(x-y)=(x—y)2

C.x2—9—(x+3)(x—3)D.—x2—xy——x(x—y)

【答案】D

【分析】本題考查了因式分解，掌握各類因式分解方法是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：由完全平方公式可得：x2-2x+l=(x-l)2,故A正確，不符合題意;

x(x-y)-y(x-y)=(x-y)(x-y)=(x-y)2,故B正確，不符合題意；

由平方差公式可得：x2-9=(x+3)(x-3),故C正確，不符合題意；

-x2-xy=-%(%4-y),故D錯(cuò)誤，符合題意；

故選：D

15.(2023?廣東佛山?佛山市南海區(qū)里水鎮(zhèn)里水初級(jí)中學(xué)?？既?分解因式2爐—8%=

【答案】2x(x+2)(x-2)

【分析】此題主要考查了提取公因式與公式法分解因式，熟練掌握分解因式的步驟是解題關(guān)鍵.首先提取

公因式2x,再利用平方差公式分解因式得出即可.

【詳解】解:原式=2——8%

=2x(x2-4)

=2x(x+2)(x—2),

故答案為：2x(x+2)(x-2).

16.(2023?江蘇南通?統(tǒng)考二模)若4a2—垓=12,2a—6=4,則2a+b=.

【答案】3

【分析】本題考查了平方差公式因式分解，根據(jù)平方差公式，可得4a2-b2=(2a+6)(2a-b),即可求解.

【詳解】解：；4a2—b2=(2a+b)(2a—b),4a.2—b2=12,2a—b=4,

2a+b=3,

故答案為：3.

17.(2023?浙江?模擬預(yù)測(cè))已知實(shí)數(shù)久=等二，求(2x5+2久4—53久3-57%+54)2。"的值.

【答案】-1

【分析】根據(jù)X=彎二，得出2/+2%-55=0,進(jìn)而將代數(shù)式因式分解，整體代入，即可求解.

【詳解】解：.?"=月二

2%+1=V111

/.(2%+I)2=111

即2/+2%-55=0

.?.當(dāng)“=?時(shí)，

(2x5+2x4-53x3-57x+54)2017

=[(2x2+2x-55)(%3+x-1)-I]2017

=(-1)2。*

=-1

【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的應(yīng)用，首先把已知等式變形，然后因式分解把所求代數(shù)式分解因式，最后

利用整體代值的方法即可解決問題.

18.(2023?山西太原?山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))若三角形的三邊長分別為a,b,c,且滿足ab-acb2-be,

則這個(gè)三角形一定是()

A.直角三角形B.等邊三角形C.銳角三角形D.等腰三角形

【答案】D

【分析】將ab-ac=62—兒，進(jìn)行因式分解，再進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：：ab-ac=b2-bc,

ab—ac—b2+be=0,

a(b—c)—b(b—c)=0,

/.(a—b)(b—c)=0,

a=b或b=c；

這個(gè)三角形一定是等腰三角形.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是掌握分組法進(jìn)行因式分解.

19.(2023?福建龍巖?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))閱讀以下解題過程：

已知6、c為AABC的三邊長，且滿足a2c2—b2c2=。4-64,試判斷的形狀.

錯(cuò)解：?.,42c2—=口4一人4...①

c2(a2-b2)=(a2-b2Xa2+b2)……②

c2=a2+b2...③

△ABC是直角三角形……④

上述解題過程，從哪一步開始發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤請(qǐng)寫出該步的代號(hào),錯(cuò)誤的原因

是.

【答案】③不能確定a?—/是不是等于o

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)和勾股定理的逆定理進(jìn)行計(jì)算即可得.

【詳解】解：2c2—b2c2=04—^4

c2(a2—b2)—(a2—b2)(a2+b2)

c2(a2—b2)—(a2—b2)(a2+爐)=0

(a2-b2)[c2-(a2+b2)]=0

(a2—b2)=0或c?—(a2+b2)=0,

.,.a=b或c2=a2+b2,

△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形，

從第③步開始錯(cuò)誤，錯(cuò)誤原因是不能確定a?-川是不是等于0,

故答案為：③，不能確定。2-62是不是等于（J.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識(shí)點(diǎn)，學(xué)會(huì)分類

討論.

題型05比較大小

20.（2023?湖南湘西?模擬預(yù)測(cè)）比較大小:V17-113（選填或

【答案】<

【分析】由16<17<25得4<舊<5,再利用不等式的基本性質(zhì)可得3<717-1<4,從而可得答案.

【詳解】解：：16<17<25,

A4<V17<5,

；.3<V17-1<4.

.,.V17-1<13.

故答案為：<.

【點(diǎn)睛】本題考查的是實(shí)數(shù)的大小比較，掌握實(shí)數(shù)的大小比較的方法是解題的關(guān)鍵.

21.（2023?廣東深圳?深圳市高級(jí)中學(xué)校考二模）數(shù)形結(jié)合是解決代數(shù)類問題的重要思想，在比較近+1與6

的大小時(shí)，可以通過如圖所示幾何圖形解決問題:若要比較/+3與VT7的大小，以下數(shù)形結(jié)合正確的是（）

A

A.B1C1￡>\E\FB.B