中考數(shù)學難點突破與訓練：旋轉綜合題中的面積問題（原卷版+解析）

專題34旋轉綜合題中的面積問題

【題型演練】

一、單選題

1.（2020?廣西玉林.九年級期中）將直角邊長為3cm的等腰直角AABC繞點A逆時針旋轉15。后得到△ABC,

則圖中陰影部分的面積（）

3\/3cm2C.2V3cm2D.6cm2

2

2.（2022.廣東.廣州天省實驗學校九年級階段練習）如圖，中，ZACB=90°,AB=5,BC=3,點、

。是斜邊上任意一點，將點。繞點C逆時針旋轉60。得到點E,則線段長度的最小值為（）

A.竺

BcD.3

5-1-1

3.（2022.新疆.烏魯木齊市第126中學九年級期末）如圖，在正方形A5CD中，點。為對角線的交點，點尸

為正方形外一點，且滿足N8PC=90。，連接PO.若PO=4,則四邊形OBPC的面積為（）

C.10D.16

4.（2021?新疆農(nóng)業(yè)大學附屬中學九年級期末）如圖，P是等邊三角形A3C內(nèi)一點，將AAC尸繞點A順時針

旋轉60。得到△ABQ,若必=2,PB=4,PC=26,則四邊形AP3。的面積為（）

B

A.273B.373C.4A/3D.5yli

5.（2022?天津?塘沽二中九年級期中）將兩塊斜邊長度相等的等腰直角三角形板如圖①擺放，如果把圖①中

的讖可繞點C逆時針旋轉90。得△ACF,連接A1尸，如圖②.下列結論錯誤的是（）

圖①圖②

A.AABC必CEDB.ABOV^AACFC.AAMC^ABOVD.AMFC^AMNC

6.（2021?湖北荊州?九年級期中）如圖，兩個邊長都為2的正方形ABCZ）和OPQR,如果。點正好是正方形

ABC。的中心，而正方形OPQR可以繞。點旋轉，那么它們重疊部分的面積為（）

A.4B.2C.1D.1

7.（2022?重慶一中九年級階段練習）如圖，在矩形A8CD中，ZAB￡>=60°,BD=16,連接2D,BCD

繞點。順時針旋轉w°（0°<〃<90。），得到4B'C'Z）,連接89，CC,延長CC咬89于點N,連接A9，當

夕=N2NC時，則△A3夕的面積為（）

9

C.85/39-245/3D.

4

8.（2022?浙江?寧波市鎮(zhèn)海區(qū)駱駝中學九年級期中）如圖，Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=：BC=2,點。

是A3上一動點，連接CD,將線段8繞點C逆時針旋轉90。得到線段CE,連接DE,BE,當團面積

最大時，AO的長為（）

A.2B.75C.-V5D.

55

9.（2020?湖北武漢?模擬預測）如圖，將“LBC繞點A逆時針旋轉60。得到VADE,連接8.若NCDE=75。,

AD=6,則四邊形E4CD面積的最小值是（）

A.9右-9拒B.973-9C.972-9D.90-9立+9

10.（2021?廣東?廣州市第七中學九年級期中）如圖，。是正△ABC內(nèi)一點，0A=3,。8=4,OC=5,將線段

BO以點8為旋轉中心逆時針旋轉60。得到線段BO',下列結論：①△203可以由△80C繞點2逆時針旋轉

60。得到；②點。與。'的距離為4；③NAO2=150。；④S逑形AOBO，=6+4退；@SAAOC+SAAOB=6+^^3,

其中正確的結論是（）

A.①②③⑤B.①②③④C.①②④⑤D.①②③④⑤

11.（2021?四川內(nèi)江?一模）一副三角板按圖1所示的位置擺放，將△。所繞點4（F）逆時針旋轉60。后（圖2）,

測得CG=10cm,則兩個三角形重疊（陰影）部分的面積為（）

圖1圖2

A.75cm2；B.（25+2573）cm2；C.（25+）cm2；D.（25+）cm2

12.（2022?福建?廈門市華僑中學九年級期中）如圖（1）,有兩全等的正三角形ABC,DEF,且。，A分別

為AABC,ADEF的重心.固定。點，將ADEF逆時針旋轉，使得A落在DE上，如圖（2）所示.則圖（1）

與圖（2）中，兩個三角形重疊區(qū)域的面積比為（）

D.5：4

13.（2021?湖北武漢?九年級期中）如圖，/M4N=60。，點8、C分別在AM、4V上，AB=AC,點。在/MAN

內(nèi)部、△ABC外部，連接80、CD、AD.下列結論：?DB+DC>DA；BDC<^BD-DC-,③若DB=m,

DC=n,則”且病+其中錯誤的結論個數(shù)為（）個.

42

A.0B.1C.2D.3

二、填空題

14.（2022.浙江寧波?一模）如圖，一副三角板如圖1放置，AB=CD=y[6,頂點E重合，將ADEC繞其頂

點E旋轉，如圖2,在旋轉過程中，當NA￡E>=75。，連接AO,BC,此時四邊形ABCD的面積是.

15.（2022?天津市第五十五中學九年級期中）如圖，在Rf/ABC中，^ACB=90°,AC=4,BC=3,點、D

是AC的中點，將CD繞著點C逆時針旋轉，在旋轉的過程中點。的對應點為點E,連接則ZAE2

面積的最小值是.

16.（2022?廣東.湖景中學九年級階段練習）如圖在RgABC中，ZBAC=90°,AB=AC=10,等腰直角三角

形AOE繞點A旋轉，ZZ）AE=90°,AD=AE=4,連接DC,點M、P、N分別為DE、DC、8C的中點，連接

MP、PN、MN,則△PMN面積的最小值是.

Dt

17.（2022?廣東?九年級專題練習）如圖所示，在RtZ\A3c和RtaADE中，ABAC=ZDAE=90°,AC=AD=3,

AB=AE=5,連接8。、CE,將VADE繞點A旋轉一周，在旋轉的過程中，當NDBA最大時，\AC￡=.

三、解答題

18.（2022?四川綿陽.九年級期中）如圖1,在Rt^ABC中，ZA=90°,AB=AC,點。、E分別在邊A3、

AC上，AD=AE,連接。C,點加、P、N分別為DE、DC、8C的中點.

（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關系是，位置關系是；

⑵探究證明：把VADE繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，連接MN,BD,CE,判斷APMN的形狀，

并說明理由；

⑶拓展延伸：把VADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉，若AD=2,AB=4,直接寫出APMN面積的最大值.

19.（2022?安徽?阜陽實驗中學九年級階段練習）如圖，。。為等邊AABC的外接圓，半徑為2,點D在劣弧

AB上運動（不與點A,8重合），連接ZM,DB,DC.

（1）求證：。。是NADB的平分線；

（2）四邊形AOBC的面積S是線段。C的長x的函數(shù)嗎？如果是，求出函數(shù)解析式，并寫出x的范圍；如果不

是，請說明理由.

20.（2022?黑龍江省新華農(nóng)場中學九年級階段練習）如圖①，在△ABC中，A2=AC=4,ZBAC=9Q°,AD±BC,

垂足為D

a）SAABD=.（直接寫出結果）

（2）如圖②，將AABD繞點。按順時針方向旋轉得到△/9。，設旋轉角為a（a＜90。），在旋轉過程中：

探究一：四邊形的面積是否隨旋轉而變化？說明理由；

探究二：當。=時，四邊形人尸￡＞。是正方形.

21.（2022?吉林通化?九年級期末）如圖，融。中，AB=AC,NBAC=90。，點。、E在3C邊上，NDAE=45。,

將"CE繞點A順時針旋轉90。得.

(2)連接DF,求證：VADF^VADE；

(3)若BD=3,CE=4,貝,四邊形AFDE的面積=

22.（2022?吉林省第二實驗學校模擬預測）如圖1,在等腰三角形ABC中，ZA=120。,AB=AC,點。、￡

分別在邊AB、AC上，AD=AE,連接BE.點M、N、P分別為DE、BE、8C的中點.

（1）觀察猜想.

圖1中，線段NM,NP的數(shù)量關系是,ZMNP的大小為°.

⑵探究證明

把VADE繞點A順時針方向旋轉到如圖2所示的位置，連接拉尸、BD、CE,判斷△MNP的形狀，并說明理

由；

（3）拓展延伸

將圖1中的VADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉，若AD=2,AB=6,請直接寫出△AWP面積的最大值.

23.（2022.湖北省水果湖第一中學九年級期中）如圖1,AABC中，AB=AC,44C=a,點。、E分別在

AB.AC上，AD=AE.將VADE繞點A逆時針旋轉/度（0＜尸＜360）,使得8、D、E三點共線.

A

A

A

(1)直接寫出：ZADB=(用a表示)；

⑵若a=60。，當180<360時，作AF1DE于F在圖2中畫出符合要求的圖形，并探究BE、CE、AF之

間的數(shù)量關系，并證明你的結論;

(3)如圖3,若。=90。，AC=8亞,當0<A<180時，直接寫出S四邊形ABCE的最大值________.

24.(2022?遼寧?盤錦市雙臺子區(qū)實驗中學九年級階段練習)如圖在AASC中，AB=BC^6,ZABC=90°,

直線/〃8C,點E是直線/上的一個動點，連接BE,將BE繞E逆時針旋轉90。得到E尸，連接火交直線AC

于點G.

(1)如圖，當點E與點A重合，點尸在/上時，線段8G和線段GF的數(shù)量關系是；

(2)如圖，當點E在點A的右側時，(1)問中的關系是否成立，請證明，若不成立，請寫出你的結論并說明

理由；

(3)連接CF,若AE=2,請直接寫出ACFG面積大小.

專題34旋轉綜合題中的面積問題

【題型演練】

一、單選題

1.（2020?廣西玉林?九年級期中）將直角邊長為3cm的等腰直角AABC繞點A逆時針旋轉15。

后得到△AB'C',則圖中陰影部分的面積（）

A.B.36cmiC.2垂1cmiD.6cm2

2

【答案】A

【分析】根據(jù)旋轉的性質，旋轉角NC4O=15。，則NA4O=45。-15。=30。，可見陰影部分

是一個銳角為30。的直角三角形，且已知直角邊AO=3厘米，根據(jù)勾股定理或者三角函數(shù)求

出另一直角邊即可解答.

【詳解】解：設與玄。交于。點，

根據(jù)旋轉性質得ZCAC,=15°,而ZCAB=45°,

Z.CAD=ZCAB-ZCAC=30°,

又?.?A（7=AC=3cm,"="=90°,

C'D=AC'.tan3O0=,

,陰影部分的面積=4x3xG=￥cm2.

22

故選：A.

【點睛】本題考查旋轉的性質和解直角三角形.旋轉變化前后，對應點到旋轉中心的距離相

等以及每一對對應點與旋轉中心連線所構成的旋轉角相等.要注意旋轉的三要素：①定點?旋

轉中心；②旋轉方向；③旋轉角度

2.（2022?廣東?廣州天省實驗學校九年級階段練習）如圖，R3ABC中，ZACB=90°,AB

=5,BC=3,點。是斜邊上任意一點，將點。繞點C逆時針旋轉60。得到點E,則線段。E

長度的最小值為（）

【答案】A

【分析】由旋轉的性質可證△COE為等邊三角形，當。E最短，CD最短，COL48時，CD

最短，由直角三角形等面積法，即可求得.

【詳解】解：由旋轉的性質得，CD=CE,ZDCE=60°,

...△CDE為等邊三角形，

:.CD=CE=DE,

當OE最短，C。最短，

當COJ_A8時，CD最短，

止匕時SAABC^gAC?2C=1AB?CD,

即AC?BC=AB?CD,

在RtAABC中，ZACD=90°,A2=5,BC=3,

由勾股定理得，AC=4,

.,.3x4=5C￡）,

線段。E長度的最小值是年，

故選：A.

【點睛】本題主要考查了旋轉以及等邊三角形，熟練等面積法是解決本題的關鍵.

3.（2022.新疆?烏魯木齊市第126中學九年級期末）如圖，在正方形ABC。中，點。為對角

線的交點，點P為正方形外一點，且滿足/BPC=90。，連接PO.若尸。=4,貝U四邊形O8PC

的面積為（）

DC

A.6B.8C.10D.16

【答案】B

【分析】先畫出將△OCP順時針旋轉90。到△。2。的位置的圖形，再證。、B、尸在同一條

直線上，再利用旋轉的性質和正方形的性質，證^尸。。是直角三角形，求出以尸。。=!

四邊形

Op.（92=lx4x4=8,最后由SOBPC=SAOCP+SAOBP=SAOBQ+SAOBP=SAPOQ^

解.

【詳解】解：如圖，

:四邊形ABCD是正方形，

：.OC=OB,ZBOC^90°,

...將△OCP順時針旋轉90°,則到△OB。的位置，

貝必OCPQXOBQ,

'：ZBPC=90°,

：.ZOCP+ZOBP=360°-90°-90°=180°,

：.ZOCP=ZOBQ,

.?./0BQ+/08尸=180°,

：.Q.B、P在同一條直線上，

'：PO=4,△OCP^/\OBQ,

；.QO=PO=4,ZCOP=ZBOQ,

：.ZQOP=ZBOC=90°,

...△P。。是直角三角形，

SAPOQ=I■。尸?。。=gX4x4=8,

:?S四邊形OBPC=SAOCP+SAOBP=SAOBQ+SAOBP=SAPOQ=S,

故選：B.

【點睛】本題屬旋轉綜合題目，考查了旋轉的性質，正方形的性質，利用旋轉性質和數(shù)形結

合思想得出S四邊形OBPC=SAOCP+SAOBP=SAOBQ+SAOBP=SAPOQ是解題的關鍵.

4.（2021?新疆農(nóng)業(yè)大學附屬中學九年級期末）如圖，尸是等邊三角形A8C內(nèi)一點，將AACP

繞點A順時針旋轉60。得到△A3。，若B4=2,PB=4,PC=2退,則四邊形AP時的面積

為（）

A.2A/3B.3后C.473D.56

【答案】B

【分析】如圖，連接尸。.由題意△尸是等邊三角形，利用勾股定理的逆定理證明NPQB

=90。即可解決問題.

【詳解】解：如圖，連接尸Q.

?/△ACP繞點A順時針旋轉60。得到△ABQ,

：.AP=AQ=2,PC=BQ=2>Jj,NB4Q=60。，

ZXB4。是等邊三角形，

：.PQ^PA=2,

:尸2=4,

：.PB2=BQ2+PQ1,

：.NPQB=90。，

2

"'$四邊形APS。=S"BQ+S^,Q=^PQ.QB+^-.PA=1X2X2V3+^X4=3A/3,

故選：B.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質，旋轉的性質以及勾股定理的逆定理，熟練掌握

相關內(nèi)容是解題的關鍵.

5.（2022?天津?塘沽二中九年級期中）將兩塊斜邊長度相等的等腰直角三角形板如圖①擺放，

如果把圖①中的段可繞點C逆時針旋轉90。得△ACR,連接如圖②.下列結論錯誤

的是（）

A.△ABC且△CEDB.ABOV^AACFC.AAMC/ABOVD.AMFgAMNC

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法一一進行判斷即可得到答案.

【詳解】解：；AABC和△CE￡）是等腰直角三角形，且斜邊相等,

Z￡=ZA=45°

\CE=AB,

ZDCE=ZB=45°

/.AABC^ACED（ASA）,

故選項A正確；

根據(jù)旋轉的性質可得加⑺名/XACF,

故選項B正確；

'：AB=BC,ZA=ZB,NACM,/BCN并不一定相等，

AAMC,/kBCN不一定全等，

故選項C錯誤；

ZDCE=45°,

：.ZACD+ZNCB=45。,

ZFCA=ZNCB.

：.ZACD+ZFCA=45°,

：.ZACD+ZFCA=45°,

：.NFCM=45°,

FC=BC

'：\ZDCE=ZFCM,

MC=MC

：.AMFC^AAWC,

故選項D正確；

故選C.

【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質、旋轉的性質和全等三角形的判定，解題的關鍵是

熟練掌握全等三角形的判定方法.

6.（2021?湖北荊州.九年級期中）如圖，兩個邊長都為2的正方形ABC。和OPQR,如果O

點正好是正方形ABC。的中心，而正方形OPQR可以繞。點旋轉，那么它們重疊部分的面

積為（）

C.1D-T

【答案】c

【分析】連04,OB,設OR交8c于M,0P交AB于N,由四邊形ABC。為正方形，得到

OB=OA,ZBOA=90°,ZMBO=ZOAN=45°,而四邊形OR。尸為正方形，得NNOM=90。,

所以ZMOB=ZNOA,則△OBMm△OAN,即可得到S四邊形M0NB=S4AOB=:x2x2=1.

【詳解】連。4,OB,設OR交3c于M,OP交AB于N,如圖,

?..四邊形ABC。為正方形，

O

AOB=OA,ZBOA=90°,ZMBO=ZOAN=459

而四邊形0火。尸為正方形，

?,.ZNOM=90°,

：.ZMOB=ZNOAf

.??△0創(chuàng)修△O4N,

S四邊形MONB=S4x2x2=l,

即它們重疊部分的面積為1.

故選C.

【點睛】本題考查了旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的

夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等.也考查了正方形的性質.

7.（2022.重慶一中九年級階段練習）如圖，在矩形A8C。中，ZABD=60°,BD=16,連接

BD,將△BCD繞點。順時針旋轉暖（0°<n<90°）,得到/夕CD,連接89，CC,延長

CC交BB'于■點N,連接A9，當時，則AAB9的面積為（）

9

C.8月-246D.

4

【答案】C

【分析】過點。作交8'A的延長線于點E,利用直角三角形的邊角關系可得A。

的長，由旋轉可知：DC=DC,DB=DB',ZCDC'^ZBDB',得到△CDC'^/\BDB',則/￡>CC

=ZDBB',利用三角形的內(nèi)角和定理可得NBNC=/CD8=60。，于是/BAB，=60。；在

RfAWE中利用直角三角形的邊角關系可得AE,DE,在Rt^B'DE中,利用勾股定理可求8名,

則AB=8E-AE；利用平行線之間的距離相等可得AAB?中邊上的高等于DE,利用三

角形的面積公式結論可求.

【詳解】解：過點。作交2幺的延長線于點E,如圖，

在矩形A8CO中，

VZABD=60°,30=16,

n

：.AD=BC=B"n/ABD=16x口=8百.

2

由旋轉可知：DC=DC,DB=DB',ZCDC'=ZBDB',

.CDBD

"CD~B'D'

:.ACDC'sABDB'.

：.ZDCC'=ZDBB'.

：.ZBNC=ZCDB.

'：ZCDB=ZABD,/BNC=/BAB\NABD=60。，

：.ZBABr=60°.

*：ZBAD=90°,

：.ZEAD=180°-ZBABr-NBAD=30。.

DE=AD=473,

AE=AD9cosZEAD=Sy/_3x^n——i2.

2

ur2

?-BE=YJB'D1-DE=4y/13?

：.AB,^B,E-AE=4y/13-12.

,?NBAB』NABD=60。,

：.AB'//BD.

：.△ABE中A9邊上的高等于DE.

，—

S^AADRDR=2xAB'xDE

=；X（45/13-12）x4g

=8V39-24&.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質，旋轉的性質，勾股定理，直角三角形的邊角關系，相

似三角形的判定與性質，過點。作。ELAB,添加適當?shù)妮o助線，利用直角三角形的邊角

關系求得AQ的長是解題的關鍵.

8.（2022?浙江?寧波市鎮(zhèn)海區(qū)駱駝中學九年級期中）如圖，Rt^ABC中，

ZACB=90°,AC=；BC=2,點。是AB上一動點，連接8,將線段8繞點C逆時針旋

轉90。得到線段CE,連接DE,BE,當△血）面積最大時，AO的長為（）

C.|石

【答案】c

【分析】連接點A和BC中點尸，過點尸作EF/LAB,垂足為點X,連接E尸，證明點X、

F、E三點共線，則團為ABED的高，根據(jù)三角形的面積公式將ABED的面積表示出來即可

解答.

【詳解】

連接點A和3C中點E過點P作EF/LAS,垂足為點連接收,

,??點」為BC中點尸,

：.CF=-BC=1,

2

?/ZACB=NDCE=90°,

：.ZACB-ZDCF=ZDCE-ZDCF,即ZACD=ZFCE,

在AACD和△a?￡■中，

AC=CF

<ZACD=NFCE,

DC=CE

：.AACD玨FCE（SSA）,

：.NCFE=NCAD,

FH±AB,

：.ZABC+NBFH=ZABC+ACAD=90°,

NBFH=NCAD,

：.ZBFH=ZCFE,

"?NCFE+ZBFE=180°,

：.ZBFH+ZBFE=180°,則點H、尸、E三點共線，

故EH為ABED的高，

設AD=x,貝l|EF=x,

根據(jù)勾股定理得：AB=VAC2+BC2=百，

:,BD=4^-X,

???ZBFH=ZCAD,

：.小BFHs^ABC,

.BF_FH1FH?FH.小

即忑二丁",解傳:rri-----，

AC5

EH=FH+EF=~+x,

5

S?E=ga-+x=一；1一⑹x+去

???當面積最大時，20，

x=--------=

25

故選：C.

【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，勾股定理，全等三角形和相似三角形的判定，以及二

次函數(shù)的性質，解題的關鍵是根據(jù)題意畫出輔助線構造全等三角形.

9.（2020?湖北武漢?模擬預測）如圖，將AABC繞點A逆時針旋轉60。得到VADE,連接C。.若

ZCDE=75°,AD=6,則四邊形胡CD面積的最小值是（）

A.9括-90B.9A/3-9C.9日-9D.9陋-9垃+9

【答案】D

【分析】將四邊形的面積轉化為SAMD-SABCD，再進行分析解答

【詳解】由旋轉得：ABAC必DEA,

,?%ABC=S^DEA，

設四邊形E4CD面積為S,

?,S=S&DCA+S^ADE=S&DCA+S&BCA=^AABD-S&BCD■

由旋轉可知，AB=AD,而NDAB=60。，

.1.△ABD是等邊三角形，

?.BD^AD=AB=6,ZADB=ZABD=ZDAB=6Q°,

S&ABD=-ABBD-sin600=—x62=9A/3,

24

??SgCD最大時，s最小,

作△DCB的外接圓0,

易知NDCB=75。+60。=135°.

.,."05=90。，OB=OD=3五.

當C為BC中點時，A。。面積最大，

過。作”_L3產(chǎn)于尸，則/OCF=45。.

^DF=CF=a,DC=BC=y/2a.

??=36,Q~=18-9^2?

,*S&CDB=5xxa=2cT=9A/2_9?

/.5>9^/3-（972-9）=973-972+9.

故選D.

【點睛】本題求面積的最小值，考查的知識點有等邊三角形的判定與性質、圓周角定理、旋

轉的性質、勾股定理等知識，綜合性強，難度較大.

10.（2021?廣東?廣州市第七中學九年級期中）如圖，。是正△ABC內(nèi)一點，。4=3,OB=4,

OC=5,將線段80以點8為旋轉中心逆時針旋轉60。得到線段BO，，下列結論：①△80N

可以由ABOC繞點2逆時針旋轉60。得到；②點。與。'的距離為4；③44。8=150。；④）S四

茲殄4080=6+4百；⑤S/AOC+S」408=6+^43,其中正確的結論是（）

A.①②③⑤B.①②③④C.①②④⑤D.①②③④⑤

【答案】D

【分析】證明△BO'AgZ\BOC,又/。2。=60。，所以△2。幺可以由△BOC繞點2逆時針旋

轉60。得到，故結論①正確；

由4080是等邊三角形，可知結論②正確；

在△AOO,中，由三邊長為3,4,5,得△AOO是直角三角形；進而求得/AOB=150。，故結

論③正確；

S四邊形AOBO=SAAOO+SA080=6+46，故結論④正確；

將^AOC繞A點順時針旋轉60。至?。荨鰽B。，位置，S承^AOBOUSAAOO+SA。8。=6+(g，

故結論⑤正確.

【詳解】如圖，

由題意可知，Zl+Z2=Z3+Z2=60°,

.-.Z1=Z3,

XVOB=O'B,AB=BC,

：./\B0'A^/\B0C,

又：/08。，=60。，

ABO,A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60。得到,

故結論①正確；

如圖，連接。。，，

VOB=O'B,且/。80，=60。，

...△080,是等邊三角形，

OO'=OB=4.

故結論②正確；

:△BO'A四△80C,

O'A=5.

在AAO。，中，三邊長為3,4,5,這是一組勾股數(shù)，

△400,是直角三角形，ZAOO'=90°,

：.ZAOB=ZAOO'+ZBOO'=9Q°+60°=15Q°,

故結論③正確；

S舉形AOBO=SAAOO,+SaOBOu4x3x4+昱x42=6+4￡

24

故結論④正確;

如圖2,將^AOC繞A點順時針旋轉60。到八ABO位置,

同理可得SAAOC+SAAOB=S四邊形AOBO-SAAOO+SA。2。=6+:出,故⑤正確；

故選D.

【點睛】本題考查了旋轉變換中等邊三角形，直角三角形的性質.利用勾股定理的逆定理,

判定勾股數(shù)3、4、5所構成的三角形是直角三角形，這是本題的要點.

11.（2021.四川內(nèi)江.一模）一副三角板按圖1所示的位置擺放，將△。所繞點4（用逆時針

旋轉60。后（圖2）,測得CG=10cm,則兩個三角形重疊（陰影）部分的面積為（）

圖1圖2

A.75cHi2；B.（25+25G）cm2；C.（25+y^）cm2；D.（25+m5cm2

【答案】C

【分析】過點G作根據(jù)題意及三角函數(shù)可得G〃=C"=50，AH=皿,結

3

合圖形求解即可得出結果.

【詳解】解：過點G作GHLAC,如圖所示,

E

NG4c=60。，ZGCA=45°,CG=10,

在Rt^GCH中,

GH=CH==572,

2

在R,AG”中，

CGH5a

33

AC=50+亞，

3

陰影部分的面積為：gG"/C=gx5應x［應+半］=25+芋，

故選：C.

【點睛】本題考查旋轉、三角形的面積公式，銳角三角函數(shù)解三角形等，掌握旋轉的特征和

三角形的面積公式是解答本題的關鍵.

12.（2022?福建?廈門市華僑中學九年級期中）如圖（1）,有兩全等的正三角形ABC,DEF,

且。，4分別為AABC,由EF的重心.固定。點，將ADEF逆時針旋轉，使得A落在DE上，

如圖（2）所示.則圖（1）與圖（2）中，兩個三角形重疊區(qū)域的面積比為（）

【答案】C

【分析】連接A。，MN交于點。，根據(jù)等邊三角形的性質及三角形重心的性質得出

AD=-x^x=^x,，ADM=30。，再結合圖形及三角函數(shù)計算陰影部分的面積求解即

323

可.

設等邊三角形的邊長是X,

圖（1）中陰影部分為一個內(nèi)角是60。的菱形，

：.AD=-^—x=—x,ADM=30°,

323

AO=-AD=-x,

26

MO=AOxtan30°=—x,

6

：.MN=-x,

3

則陰影部分的面積為：'且=34

23318

圖2中，AD=Z*BX=BX,NZMB=30。,

323

???NDHA=90。,

???DH=-xAD=-x,

26

AH=-x,

2

，陰影部分的面積為：LXAHXDH=』，

224

兩個重疊區(qū)域的面積比為：鼻走X2=&3,

1824

故選：C.

【點睛】題目主要考查等邊三角形的性質及解三角形的應用，菱形的性質等，理解題意，作

出相應輔助線及掌握三角形重心的性質是解題關鍵.

13.（2021?湖北武漢.九年級期中）如圖，NMAN=60。，點B、C分別在AM、AN上，42=

AC,點。在NM4N內(nèi)部、△ABC外部，連接CD、AD.下列結論：?DB+DC>DA；

②S4BDC*BD,DC；③若DB=m,DC=n,則SAAD把也蘇+1加.其中錯誤的結論

242

個數(shù)為（）個.

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】①將△AC。繞點A逆時針旋轉60。得到△AB。，可證得△AUD是等邊三角形，再

運用三角形三邊關系即可判斷①正確；

②過點C作于“，則/8"C=90。，根據(jù)由垂線段最短判斷

出②正確；

③把△BDC繞點、B順時針旋轉60。得到△ABK,連接DK,由旋轉的性質可證得△BDK是等

邊三角形，分K落在△的邊上、內(nèi)部、外部討論即可判斷③正確.

圖1

則AABC3AAC。,

：.AC'=AD,BC'=CD,

'：ZDAC'=60°,

.?.△ACT）是等邊三角形，

/.C'D=AD,

在△BCD中，BC'+BD>C'D,

：.CD+BD>AD,

當/AOC=60。，即/ACB=60。時，C\B、。三點共線,

CD+BD=AD,

故①正確；

②如圖2,過點C作于"，

圖2

則/3HC=90°,

:.SXBDC=^BD>CH,

由垂線段最短知，CH<CD,

:.SXBDC<^BD-CD,

故②正確；

③把△BDC繞點、B順時針旋轉60。得到△ABK,連接DK,

由旋轉得：BD=BK,ZDBK=6Q°,

...△BDK是等邊三角形，

（推導等邊三角形的面積公式如下:

B

SAABC=-ABCD=-AB\BC2-[-BC\=-AB—BC=—AB2)

22、(2)224

J7

：.S^BDK=^nr,

4

?：/\ABK^/\BDC(根據(jù)旋轉的性質)，

當K落在△ABD外部時，SAABK=SABDC<|BD?CD,

即S&ABK<^mn,

/.SAABD<SLABK+S^BDKWB療+Lmn>

-42

SAABD=SAABK+SABDK<^-m2+^mn,

~42

當K落在△AB。內(nèi)部時，

過點8、。分別作BALLAK于MZ)M_LAK于M,設AK與8。交于點。,

SAABD=SABDK+S4ABK+S4ADK

=Bm2+gAKBN+gAKDM=—m2+5AK(BN+DM)

42242

9

：BO>BN,OD>DMf

22

/.SAABD<^-m+^-AK(03+00)=^_m+^mn

~4242

故③正確；

綜上所述，正確的結論為3個，錯誤的結論為0個,

故選：A.

【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質,全等三角形的判定和性質，旋轉變換的性質,

三角形面積等知識點，解題關鍵是利用旋轉變換構造全等三角形.

、填空題

14.（2022?浙江寧波?一模）如圖，一副三角板如圖1放置，AB=CD=屈,頂點E重合，

將ADEC繞其頂點E旋轉，如圖2,在旋轉過程中，當/AED=75。，連接AD,BC,此時

四邊形ABCD的面積是.

【答案】2石+3

【分析】延長CE文AB于點尸，先根據(jù)特殊直角三角形的性質和上4磯＞=75。,推出AB〃CD,

從而可證四邊形ABC。為平行四邊形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質求出EF長，則可求出

C尸長，最后計算平行四邊形ABCD的面積即可.

【詳解】解：如圖2,延長CE交A3于點R

,/ZAED=15°,

：.ZEAD+ZADE=180°-ZAED=105°,

又ZBAE+ZCDE=45°+30°=75°,

ABAD+Z.CDA=ZBAE+Z.CDE+ZEAD+ZADE=180°,

C.AB//CD,

"：AB=CD,

???四邊形是ABCD平行四邊形，

CE±CD,

ACELAB,BPEF±AB,

；?EF、AB=^,EC=-CD=^2,

223

?廠口口廠?口口A/6+2A/2

.?CF=EC+EF=-------------,

2

S四邊形ABC。=ABxCF=忘xV6=2幣+3?

故答案為：2道+3.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，平行四邊形的判定和平行四邊形面積的計算，先證出四邊

形ABCD是平行四邊形是解題的關鍵.

15.（2022?天津市第五十五中學九年級期中）如圖，在RMABC中，^ACB=90°,AC=4,

8C=3,點。是AC的中點，將C。繞著點C逆時針旋轉，在旋轉的過程中點。的對應點為

點E,連接BE,則面積的最小值是.

【答案】1

【分析】作CHLA3于如圖，先利用勾股定理計算出AB=5,再利用面積法計算出

12

CH=q,再根據(jù)旋轉的性質得CE=2,然后利用E點在線段"C上時，點E到AB的距離

最小，從而可計算出AAEB的面積的最小值.

【詳解】解：作于H,如圖，

ZACB=90°,AC=4,BC=3,

.?.A5=j32+4,=5,

}-CH-AB=-AC>BC,

22

"""，

105

:點。是AC的中點，

/.CD=2,

將CD繞著點C逆時針旋轉，在旋轉過程中點D的對應點為點E,

；.CE=2,即點E在以C為圓心，2為半徑的圓上，

?.■點E在線段HC上時，點E到AB的距離最小，

iI?

:.AAEB的面積的最大值為m'(1-2)x5=1.

故答案為：1.

【點睛】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線

段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等.也考查了勾股定理.

16.(2022?廣東?湖景中學九年級階段練習)如圖在中，ZBAC=90°,AB=AC=10,

等腰直角三角形4DE繞點A旋轉，ZDAE=90°,AD=AE=4,連接。C,點M、P、N分別

為DE、DC、3C的中點，連接MP、PN、MN,貝必PMN面積的最小值是.

g

【答案】j

【分析】通過AABC和VADE為等腰直角三角形，判定出△&￡厲三AEC,得到

DB=EC,ZABD=ACE,通過已知條件，再設4庭=工。,乙4。=y。,得到/AW為等腰直

角三角形,所以S“PMN='PN?=：8加,當BD最小時，APMN的面積最小,。是以A為圓心，

2o

4。=4為半徑的圓上的點，所以點。在A3上時，BD最小,即可得到最終結果.

【詳解】Rt^ABC^p,/ft4c=90。，AB=AC=10,

AABC為等腰直角三角形，

又/￡)AE=90。，AD=AE=4,

VADE為等腰直角三角形，

ABAC-ADAC=ZDAE-ADAC,

ZBAD=ZCAE,

:.^ADB=AEC(SAS\

DB=EC,ZABD=ACE,

???點M、P、N分別為OE、DC、BC的中點,

...MPHEC,MP=-EC,NP//BD,NP=-BD,

22

MP=NP,ZDPM=4DCE,/PNC=/DBC,

設ZACE=x°,ZACD=y。，

/.ABD=x°,ZDBC=45°-x°=/PNC,ZDCB=45°-y。，

/.ZDPN=NDCB+NPNC=90°-x°-y。，

???ZDPM=ZDCE=x°+y。，

/MPN=ZDPM+ZDPN=90°,

:ZMN是等腰直角三角形，

12919

-^PMN=-PN=-BD\

Zo

當2。最小時，APMN的面積最小，

?是以A為圓心，&。=4為半徑的圓上的點，

.,.點。在48上時，3。最小，

BD=AB-AD=10-4=6,

:￡PMN=1x62=2，

ooZ

9

△PMN面積的最小值是］.

,0

故答案為：-.

【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，涉及全等三角形的性質和判定，等腰直角三角形的性

質等知識，有一定難度和綜合性，屬于壓軸題，熟練掌握這些性質，利用旋轉解題是關鍵.

17.（2022?廣東?九年級專題練習）如圖所示，在RtZkABC和Rt^ADE中，

ZBAC=ZDAE