一元一次不等式（組）及其應(yīng)用 -2025年浙教版九年級中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義

浙教版中考數(shù)學(xué)第一輪專題復(fù)習(xí)講義

第二單元方程（組）與不等式（組）

《第8講一元一次不等式（組）及其應(yīng)用》

【知識梳理】

1.不等式的概念

用符號（或"W”），“>"（或"A’）,“W”連接而成的數(shù)學(xué)式子，叫做不等式.這些

用來連接的符號統(tǒng)稱不等號.

2.不等式的基本性質(zhì)

（1）不等式的基本性質(zhì)b<a<c.

（2）不等式的基本性質(zhì)2:不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù),所得到的不等式仍成立.

（3）不等式的基本性質(zhì)3:不等式的兩邊都乘（或都除以）同一個(gè)正教，所得的不等式仍成立;

不等式的兩邊都乘（或都除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，必須改變不等號的方向，所得的不等式成立.

3.一元一次不等式

⑴一元一次不等式:不等號的兩邊都是整式，而且只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是

——次，這樣的不等式叫做一元一次不等式，其一般形式為ax+6>0或奴+。<0（存0）.

⑵不等式的解集:能使不等式成立的未知數(shù)的值的全體叫做不等式的解集，簡稱為不等式的

解.

⑶解一元一次不等式的一般步驟:①去分母;②去括號;③移項(xiàng)：④合并同類項(xiàng)；⑤系數(shù)

化為1.

4.一元一次不等式組

（1）一元一次不等式組:由幾個(gè)含同一未知數(shù)的一元一次不等式所組成的一組不等式，叫做一元

一次不等式組.

（2）不等式組的解:組成不等式組的各個(gè)不等式的解的公共部分就是不等式組的解.

⑶不等式組的解可分為下表的四種情形（假設(shè)。<。）：

一元一次不等式組解圖示記憶口訣

x>a,Ja

x>bab同大取大

x<a,W__]A

12Vaab同小取小

x>a,大小小大

a<x<bab

<x<b中間找

小小大大

x<a,---

無解ab

1、x>b找不到

5.一元一次不等式（組）的應(yīng)用

列不等式（組）解應(yīng)用題的一般步驟：

（1）找出實(shí)際問題中的不等關(guān)系，設(shè)定未知數(shù)，列出不等式（組）.

（2）解不等式（組）.

（3）從不等式（組）的解中找出符合題意的答案.

【考題探究】

類型一不等式的有關(guān)概念和基本性質(zhì)

【例1】已知mb,c,d是實(shí)數(shù)，若c=d,貝！J（A）

A.〃+c〉b+dB.〃+b>c+d

C.a-\~c>b—dD.a-\-b>c—d

變式1—1:2023?臺州]不等式x+122的解在數(shù)軸上表示為（B）

--------1---------1----1-------1->1------1--------L.

012012

AB

--------1---------1----1——?->1------1——L.

012012

CD

變式1—2[2024?煙臺]實(shí)數(shù)mb,c在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（B

-3-2-1~01~2~34~5

變式1—2圖

A.Z?+c>3B.a-c<0

C.|a|>|c|D.—2QV—2Z?

【解析】由教軸，得一3VaV—2V-lV3VcV4,\c\>\a\>\b\,故C不正確，b+c<3,

故A不正確，a—cVO,故B正確，-2。>一2b,故D不正確.

類型二一元一次不等式的解法

【例2】解不等式9x—2W7x+3,并把解表示在數(shù)軸上.

IIIIIIIII-

-4-3-2-101234

典例2圖

解:移項(xiàng)，得9x—7xW3+2.

合并同類項(xiàng)，得2xW5.

兩邊同除以2,得xW］

解在數(shù)軸上表示如答圖.

I________|________|________|________|________|________I.I________

-4-3-2-1012534

彳

典例2答圖

變式2—1:2023?紹興］解不等式:3x—2>x+4.

解:移項(xiàng)，得3x—x>4+2,即2x>6,/.x>3.

變式2—2:2024?連云港］解不等式并把解在數(shù)軸上表示出來.

IIIIIIIII.

-4-3-2-101234

變式2—2圖

解

去分母，<x-l<2(x+l).

去括號，得x—l<2x+2.

移項(xiàng)，得x—2x<2+l.

合并同類項(xiàng)，得一x<3.

兩邊同除以一1,得x>一3.

不等式的斛在數(shù)軸上表示如答圖.

IJIIIIII_____I?

-4-3-2-101234

變式2—2答圖

類型三解一元一次不等式組

2r—I>1

-'的解在數(shù)軸上表示為（A）

（3（2-%）>-6

2

AB

_I____I___________I____I_____I______

-1012345

CD

2x-l21,①

【解析】

3(2—%)>—6.②

斛不等式①，得xNL

斛不等式②，<x<4,

二原不等式組的解為l<x<4,

故選A.

3x—2<2%,①

變式3—1解不等式組時(shí),不等式①和不等式②的解在數(shù)軸上表示正確的

2(%+1)>%—1②

是（C）

-J_?_*—?J----1----6-^

0202

AB

—4—1--1--11d">

-302

CD

2%+1<3,?

變式3-2:2024?天津］解不等式組

3%—1>第一7.②

請結(jié)合題意填空，完成本題的解答.

(1)解不等式①，得E.

(2)解不等式②，得x、一3.

(3)把不等式①和②的解在數(shù)軸上表示出來.

(4)原不等式組的解為一3WxWl.

1IIIIII

-4-3-2-1012

變式3—2圖

解：(3)不等式①和②的將在教軸上表示如答圖.

i.iII.1A

-4-3-2-102

變式3—2答圖

類型四與一元一次不等式(組)的解有關(guān)的問題

7v—1

的解為XV3,則m的取值范圍是

(x<m+l

(B)

A.m>2B.加22

C.m<2D.znW2

%+lv2

-5一'無解，則m的取值范圍是

(x<4m

【解析】斛不等式號V；—1,得x>8.

?.,不等式組無將，.?.4?iW8,斛得mW2.

4—2%>0,

變式4—2[2024?黑龍江]若關(guān)于x的不等式組1恰有3個(gè)整數(shù)解，則。的取值范

-x-a>0

12

圍是一工.

----2---------

【解析】斛不等式4一2%>0,得xW2.

斛不等式/一a>0,得x>2a.

又;不等式組恰有3個(gè)整教解,

???這3個(gè)整數(shù)解為x=2,1,0,

:.—1W2aVO,

斛得一］WaV0.

類型五一元一次不等式(組)的應(yīng)用

［例5］［2024?湖南］某村決定種植臍橙和黃金貢柚，助推村民增收致富.已知購買1棵臍橙

樹苗和2棵黃金貢柚樹苗共需110元;購買2棵臍橙樹苗和3棵黃金貢柚樹苗共需190元.

(1)求臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗的單價(jià).

(2)該村計(jì)劃購買臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗共1000棵，總費(fèi)用不超過38000元，問最多可以

購買臍橙樹苗多少棵？

解:⑴設(shè)臍卷樹祐的單價(jià)為x元〃果，黃金貢柚樹的的單價(jià)為y元〃果，

fx+2y=110,fx=50,

由題意，得解得

(2%+3y=190,ly=30.

答:臍卷樹苗的單價(jià)為50元〃果，黃金貢柚樹的的單價(jià)為30元/猿

(2)設(shè)可以購買臍梯樹苗用才果，則購買黃金貢柚樹的(1000—M,果，

由題意，得50m+30(1000—MW38000,解得/nW400.

答:最多可以購買臍卷樹的400棵.

變式5—1:2023?聊城改編］某熱門景點(diǎn)的門票價(jià)格規(guī)定如下表：

票的種類ABC

購票人數(shù)1~5051-100100以上

票價(jià)(元)504540

一個(gè)人數(shù)不足50人的旅游團(tuán)，當(dāng)游客人數(shù)最低為46人時(shí),購買3種門票比購買A種門

票節(jié)省.

【解析】設(shè)游客人數(shù)為m人.

由題意，得50m>45X51,

斛得m>45.9.

又?帆為正整教,

?'?m的最小值為46,

即當(dāng)游裒人數(shù)最低為46人時(shí)，購買5種門票比購買A種門票節(jié)省.

變式5—2［2024?成都］推進(jìn)中國式現(xiàn)代化，必須堅(jiān)持不懈夯實(shí)農(nóng)業(yè)基礎(chǔ)，推進(jìn)鄉(xiāng)村全面振興.

某合作社著力發(fā)展鄉(xiāng)村水果網(wǎng)絡(luò)銷售，在水果收獲的季節(jié)，該合作社用17500元從農(nóng)戶處購

進(jìn)A,3兩種水果共1500千克進(jìn)行銷售，其中A種水果收購單價(jià)10元/千克，3種水果收購

單價(jià)15元/千克.

(1)求A,3兩種水果各購進(jìn)多少千克.

(2)已知A種水果運(yùn)輸和倉儲(chǔ)過程中質(zhì)量損失4%,若合作社計(jì)劃A種水果至少要獲得20%的

利潤，不計(jì)其他費(fèi)用，求A種水果的最低銷售單價(jià).

解:(1)設(shè)A種水果購選x千克，5種水果賄選y千克，

,>(x+y=l500,

由題意，得《

(10%+15y=17500,

(x=l000,

斛得

ly=500.

答:A種水果購址1000千克，5種水果購址500千克.

(2)設(shè)A種水果的銷售單價(jià)為m元/千克，

由題意，得1000X(1-4%-10X100010X1000X20%,

將得利212.5,

：.m的最小值為12.5.

答:A種水果的最低銷售單價(jià)為12.5元/千克.

【課后作業(yè)】

“2024?上海］如果x>y,那么下列關(guān)系正確的是(C)

A.x+5Wy+5B.%—5<y—5

C.5x>5yD.-5x>—5_y

2.［2024?河北］能使不等式5x—l<6成立的x的值可以為(A)

A.1B.2

C.3D.4

3.不等式x+l》2的解在數(shù)軸上表示為（A）

IIjI

-1012

A

―I----------1-----------6----------L_

-1012

C

r-ki>n

（一工。的解在數(shù)軸上表示正確的是（c）

B

0

CD

5.[2024?西湖區(qū)模擬]某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量/應(yīng)不少于2.5%,蛋

白質(zhì)的含量2應(yīng)不少于2.3%.據(jù)此情境，列出的不等式組為（A）

Af/>2.5%,B[/<2.5%,

Ip>2.3%Ip<2.3%

cr/<2.5%,dr/>2.5%,

lp<2.3%lp>2.3%

6.[2024?包頭]若2加一1,m,4—機(jī)這三個(gè)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)從左到右依次排列，則

機(jī)的取值范圍是（B）

A.m<2B.m<1

C.l<m<2D.l<m<-

3

2???-1777

'斛得加VI.

（m<4—771,

7.如果不等式組『十5<八—1，的解為》>2,那么根的取值范圍是（A）

{x>m

A.mW2B.加N2

C.m>2D.m<2

Y-1-2>1

一,的一個(gè)整數(shù)解一1（答案不唯一）.

（2x-l<5

卜+221,①

【解析】

(2%-1<5.(2)

由①，得*三一1.

由②，得xV3,

.?.不等式組的將為一1WXV3,

.?.不等式組的一個(gè)整數(shù)群可以為一1.

9.某品牌護(hù)眼燈的進(jìn)價(jià)為240元，商店以320元的價(jià)格出售.“五一節(jié)”期間，商店為讓利于

顧客，計(jì)劃以利潤率不低于20%的價(jià)格降價(jià)出售，則該護(hù)眼燈最多可降價(jià)32元.

【解析】設(shè)該護(hù)眼燈可降價(jià)x元，

由題意，得32。：：；240X100%220%,

解得xW32,即該護(hù)眼燈最多可降價(jià)32元.

10.已知點(diǎn)A(2加—5,6—2加)在第四象限，則m的取值范圍是/〃>3.

【解析】VAA(2m—5,6—2⑼在第四象F艮，

.f2m-5>0,

(6—2m<0,

解得m>3.

11.在RtZkABC中，兩邊長Q,6分別為3,4,第三邊長為c,且c不大于Q,b,c的平均值,

則c=_V7_.

【解析】由題意，得

斛得cWr

V3<|<4,：.RtAABC的斜邊長為4,

，c=[42-32=位.

12.解下列不等式(組)：

(1)[2023?陜西]*>2x.

解:去分母，得3x—5>4x.

移項(xiàng)，得3x—4x>5.

合并同類項(xiàng)，得一%>5.

兩邊都除以一1,得“V—5.

(2%+3>—1,①

解:斛不等式①，得》三一2.

斛不等式②，得xV9,

,不等式組的解是一2WxV9.

(3(久一1)<4+2%，①

(3)[2024?4匕京]<久_9_

(牙<2%.②

解:斛不等式①，得xV7.

將不等式②，得工>一1,

，不等式組的解為一1VXV7.

13.[2024?武漢]求不等式組『+3>1，①的整數(shù)解.

12%-1<x②

解:由①，得x>—2.

由②，得xWL

故此不等式組的斛為一2VxWL

故它的整數(shù)斛為一1,0,1.

■y--aQ

,

(-3%<4+x.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求該不等式組的解.

(2)若該不等式組有且只有三個(gè)整數(shù)解，求。的最大值.

(x—K0,①

解:(1)將。=1代人不等式組，得l、

(一3%<4+%.②

斛不等式①，得xVL

將不等式②，得%>一1,

...不等式組的解為一IVxVL

(2)將不等