2025年九年級中考數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練-二次函數(shù)與線段周長綜合

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年九年級中考數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練二次函數(shù)與線段周長綜合1．如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求線段的最大值；(3)是否存在以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2．點(diǎn)、、的坐標(biāo)為分別，拋物線經(jīng)過這三點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)，是拋物線上的兩個(gè)動點(diǎn)，且點(diǎn)在直線下方．①如圖1，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，交直線于點(diǎn)，連接，，，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②如圖2，點(diǎn)在直線上，且橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，求線段長度的最大值．3．如圖，已知拋物線L：經(jīng)過點(diǎn)，．(1)求的值；(2)連接，交拋物線：的對稱軸于點(diǎn)．①求點(diǎn)的坐標(biāo)；②將拋物線向左平移個(gè)單位得到拋物線．拋物線的對稱軸交拋物線于點(diǎn)，拋物線的對稱軸交拋物線于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求的值．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)F是直線上方拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)F作，交于點(diǎn)D，過點(diǎn)F作y軸的平行線交直線于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)G，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)在（2）問中取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線方向平移5個(gè)單位長度，點(diǎn)M為平移后的拋物線的對稱軸上一點(diǎn)，在平面內(nèi)確定一點(diǎn)N，使得以點(diǎn)B、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．5．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線的最大距離；(3)如圖2，將拋物線在直線上方的部分沿翻折得到“心形圖”（包含A、B兩點(diǎn)），若直線與該圖形有交點(diǎn)，求m的取值范圍．6．已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，與軸交于點(diǎn)．(1)直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖1，點(diǎn)是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一個(gè)動點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，作軸的平行線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，當(dāng)四邊形的周長最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(4)如圖2，將沿翻折得到，與軸交于點(diǎn)，在對稱軸上找一點(diǎn)，使得是直角三角形，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．7．如圖，拋物線交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸正半軸于點(diǎn)C，，點(diǎn)P在拋物線上．(1)求拋物線的解析式；(2)連接，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P恰好落在y軸上，求P點(diǎn)坐標(biāo)．(3)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是α，最小值是β，，求t的值．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸分別交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，連接．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)判斷的形狀，并說明理由；(3)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)（不與重合），連接，一動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動到點(diǎn)，再沿線段以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動到點(diǎn)后停止．當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動過程中用時(shí)最短，請直接寫出最短時(shí)間和點(diǎn)的坐標(biāo)．9．如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線上的一動點(diǎn)．(1)求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在直線上方時(shí)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線于點(diǎn)E．①求面積的最大值；②點(diǎn)M是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)B，E，P，M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請求出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)如圖2，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)D作交拋物線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，請直接寫出點(diǎn)H到拋物線對稱軸距離的最大值．10．如圖，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線解析式；(2)點(diǎn)P是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．11．如圖1，已知拋物線交x軸于點(diǎn)A，B（A在B點(diǎn)左側(cè)），交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，．

(1)求該拋物線的解析式；(2)已知直線交x軸于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E，過拋物線上一動點(diǎn)P作于Q，求的最小值；(3)如圖2，將拋物線L向上平移個(gè)單位長度得到拋物線，拋物線與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作y軸的垂線交拋物線于另一點(diǎn)D．F為拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)，P為線段上一點(diǎn)，若與相似，并且符合條件的點(diǎn)P恰有2個(gè)，求m的值及相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)是直線下方拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)，使得與相似；若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．13．有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“樂學(xué)四邊形”，如菱形，正方形等都是“樂學(xué)四邊形”，這一組相等的鄰邊叫做“善思線段”．拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D．(1)當(dāng)，請判斷四邊形是否為“樂學(xué)四邊形”，如果是，請說明理由并指出“善思線段”，如果不是，請說明理由．(2)在第（1）問的條件下，試探究在第一象限內(nèi)，拋物線上是否存在一點(diǎn)E使得，若存在，請求出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．(3)四邊形為“樂學(xué)四邊形”，且．拋物線還滿足：①；②為等腰直角三角形；點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，且．若恒成立，求m的最小值．14．如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)，對稱軸與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式，并直接寫出拋物線的對稱軸及點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)是線段上的一個(gè)點(diǎn)，過點(diǎn)作x軸的垂線，與拋物線交于點(diǎn)．①若點(diǎn)在對稱軸上，判斷此時(shí)點(diǎn)是否為線段的中點(diǎn)，說明理由；②當(dāng)最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)將線段先向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移3個(gè)單位得到線段，若拋物線與線段只有一個(gè)交點(diǎn)，請直接寫出的取值范圍．15．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)和點(diǎn)都在拋物線上，點(diǎn)在拋物線對稱軸的右側(cè)，且點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)恰好落在軸上，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)不在軸上時(shí)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)在軸上方，且拋物線在內(nèi)部（包括邊界）的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)在拋物線對稱軸右側(cè)時(shí)，直線交直線于點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)．若的周長是周長的倍，直接寫出的值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年九年級中考數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練——二次函數(shù)與線段周長綜合》參考答案1．(1)(2)(3)或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出，再求出直線的解析式為，設(shè)，則，求出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）先求出，根據(jù)以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，分或，兩種情況討論，設(shè)，則，求出，建立方程求解即可．【詳解】（1）解：將、兩點(diǎn)代入拋物線，則，解得：，即拋物線解析式為：；（2）解：將代入中，則，∴，又∵，設(shè)直線的解析為，則，解得：，∴直線的解析為，設(shè)，則，∴，∵，且，∴當(dāng)時(shí)，線段有最大值為；（3）解：存在以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，理由如下：∵，∴∴，∵軸，∴，∴，∵以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，∴或，∵，.∴，設(shè)，則，∴，∴或，解得(P與C重合，舍去)或或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，,∴.P的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，相似三角形性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用，2．(1)(2)①，理由見解析；②【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，面積問題以及線段最值問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；（1）待定系數(shù)法求解析式，即可求解；（2）①先求得直線的解析式為，進(jìn)而表示出，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求得到的距離，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式，即可求解；②先求得直線的解析式，進(jìn)而求得的長，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為代入得，解得：∴拋物線的解析式為（2）①，理由如下：設(shè)直線的解析式為，代入，∴解得：∴直線的解析式為∵，軸，∴，，∴，，∵，∴點(diǎn)到的距離為，∵，，，∴到的距離為，∴，，∴；②∵，，則，設(shè)直線的解析式為∴解得：∴∵的橫坐標(biāo)為∴∵∴當(dāng)時(shí)的最大值為3．(1)，(2)①；②【分析】（）利用待定系數(shù)法解答即可；（）由（）可得二次函數(shù)解析式，即得拋物線?的對稱軸為直線，，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再把代入計(jì)算即可求解；（）根據(jù)平移可得的解析式為，進(jìn)而可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，最后根據(jù)列出方程解答即可求解；本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)的幾何應(yīng)用，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵拋物線L：經(jīng)過點(diǎn)，，∴，解得，即，；（2）解：①∵，，∴拋物線的解析式為，∴拋物線?的對稱軸為直線，，設(shè)直線的解析式為，把，代入得，，解得，∴直線的解析式為，把代入，得，∴；②∵，∴將拋物線向左平移個(gè)單位得到拋物線，的解析式為，∴拋物線的對稱軸為直線，把代入得，，∴，把代入得，，∴，∵，∴，整理得，，解得，（不合題意，舍去），∴的值為．4．(1)(2)的最大值為，此時(shí)點(diǎn)(3)或或或【分析】本題考查了二次函數(shù)綜合，解直角三角形，熟練利用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）設(shè)，利用表示出的長，即可求解；（3）當(dāng)是對角線時(shí)，由勾股定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，列出方程組即可求解；當(dāng)是邊時(shí)，同理可解．【詳解】（1）解：拋物線交軸于兩點(diǎn)，設(shè)拋物線解析式為，把代入拋物線可得，，解得，拋物線解析式為；（2）解：設(shè)直線的解析式為，把，代入可得，解得，直線的解析式為，在中，，，如圖，軸，，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，則，則，，，故當(dāng)時(shí)，有最大值，為，此時(shí)點(diǎn)；（3）解：將該拋物線沿射線方向平移5個(gè)單位長度，則相當(dāng)于向右平移了4個(gè)單位，向下平移了3個(gè)單位，則新拋物線的對稱軸為直線，設(shè)點(diǎn)，如圖，當(dāng)為對角線時(shí)，存在兩種情況，可得，，解得，則，的中點(diǎn)為，即，設(shè)，則可得，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)；如圖，當(dāng)為邊時(shí)，存在兩種情況，當(dāng)在下方時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，，，，根據(jù)勾股定理可得，，，根據(jù)中點(diǎn)公式可得；如圖，當(dāng)為邊時(shí)，當(dāng)在上方時(shí)，可得，根據(jù)勾股定理可得，，，根據(jù)中點(diǎn)公式可得；綜上，或或或．5．(1)(2)(3)【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）證明，得到，即可求解；（3）根據(jù)“心形圖”關(guān)于直線對稱可知：當(dāng)時(shí)，直線與“心形圖”左下方只有一個(gè)交點(diǎn)，由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與“心形圖”有交點(diǎn)，即可求解．【詳解】（1）解：一次函數(shù)與軸分別交于點(diǎn)、兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，可得，解得，則，將，代入拋物線，可得：，解得，拋物線的解析式為：；（2）解：設(shè)，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，當(dāng)時(shí)，最大為，點(diǎn)到直線的最大值為；（3）解：當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，令，則，，，當(dāng)時(shí)，直線與“心形圖”右上方只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，直線解析式的值與直線解析式的值相同，為，直線與直線平行，根據(jù)“心形圖”關(guān)于直線對稱可知，上方直線與下方直線關(guān)于直線對稱且平行于直線，上方直線到直線的距離與下方直線到直線的距離相等，根據(jù)平行線分線段成比例可得，故當(dāng)時(shí)，直線與“心形圖”左下方只有一個(gè)交點(diǎn)，由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與“心形圖”有交點(diǎn)．6．(1)，；(2)；(3)；(4)，，，．【分析】（1）求出即可得到答案；（2）將拋物線化為頂點(diǎn)式即可得到答案；（3）證明四邊形是矩形，得到四邊形的周長表達(dá)式即可得到答案；（4）證明，分三種情況進(jìn)行討論即可．【詳解】（1）解：與軸交于點(diǎn)，，故拋物線的解析式為：，將代入，即，解得，，；（2）解：，故的坐標(biāo)為；（3）解：由（2）知，拋物線對稱軸為，設(shè)，軸，，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，作軸的平行線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，四邊形是矩形，矩形的周長，當(dāng)時(shí)，四邊形的周長最大，此時(shí)的坐標(biāo)為；（4）解：過點(diǎn)作對稱軸于，過點(diǎn)作軸于，，由翻折得，，，．，，對稱軸于，軸，，，，，，，，，，，，，直線的解析式為，，設(shè)，，，，分三種情況：①當(dāng)時(shí)，，，解得，；②當(dāng)時(shí)，，，解得，；③當(dāng)時(shí)，，，解得，，，所以，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，翻折的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式以及勾股定理，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．7．(1)(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3)或【分析】（1）令，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入，即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，過點(diǎn)作垂直于軸，交軸于點(diǎn)H，證明，得出，則，解答即可；（3）分三種情況討論，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求解．【詳解】（1）解：令，則，解得，∴，∵，∴，將代入中，得，∴拋物線的解析式為．（2）解：設(shè)點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，過點(diǎn)作垂直于軸，交軸于點(diǎn)H，∵，則；∵，則，∴，∴，∴，則，解得：或，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）解：根據(jù)（1）可知拋物線的解析式為，故拋物線的對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，函數(shù)圖象開口向上，在頂點(diǎn)處取得最小值為；∵當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是α，最小值是β，，①當(dāng)對稱軸在左側(cè)，即時(shí)，最小值為，最大值為，此時(shí)，解得：（舍去）；②當(dāng)對稱軸在右側(cè)，即，時(shí)，最小值為，最大值為，此時(shí)，解得：（舍去）；③當(dāng)對稱軸在之間，即，即時(shí)，此時(shí)最小值為，最大值為或，則或，解得：或（舍去）或（舍去）或；綜上，或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．(1)(2)直角三角形；理由見解析(3)秒，【分析】（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為，再將點(diǎn)代入即可得解；（2）說明，即可求解；（3）過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則此時(shí)運(yùn)動過程中用時(shí)最短，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴設(shè)該拋物線的表達(dá)式為，∵拋物線與軸交于點(diǎn)，∴把點(diǎn)代入，得，解得，∴該拋物線的表達(dá)式為；（2）是直角三角形．理由如下：∵拋物線與軸分別交于兩點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，可得，解得，，∴，，∴，，，∴，∴，∴是直角三角形；（3）由（2）可知，，，，且，∴，，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則此時(shí)運(yùn)動過程中用時(shí)最短，如下圖，∵，∴，∴，∴，∴運(yùn)動時(shí)間為：，此時(shí)運(yùn)動時(shí)間最短，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)直線的表達(dá)式為，將點(diǎn)，代入，可得，解得，∴直線的表達(dá)式為，∵，，，∴，設(shè)直線的表達(dá)式為，將點(diǎn)代入，可得，∴直線的表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，可有，解得，∴，∵，∴，，∴，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∵，∴，∴，∴，即此時(shí)運(yùn)動過程中用時(shí)最短為秒，∵在中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∴，設(shè)直線的表達(dá)式為，將點(diǎn)，代入，可得，解得，∴直線的表達(dá)式為，設(shè)點(diǎn)，∴，解得（舍去）或，∴，即點(diǎn)的坐標(biāo)是時(shí)，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動過程中用時(shí)最短，最短時(shí)間為秒．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式、拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題、兩點(diǎn)間的距離、勾股定理及其逆定理、銳角三角函數(shù)、垂線段最短、平行線之間的距離處處相等等知識，利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．9．(1)(2)①；②點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）①先求出直線的解析式，然后設(shè)設(shè)，則，即可表示并配方得到最值即可；②分為，，三種情況，利用菱形的性質(zhì)解題即可；（3）過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作軸,交過點(diǎn)作軸的平行線于點(diǎn)，，則，即可得到，然后利用根與系數(shù)得的關(guān)系解題即可．【詳解】（1）∵拋物經(jīng)過點(diǎn)，，∴解得∴該拋物線的函數(shù)解析式為；（2）①∵點(diǎn)，，設(shè)直線的解析式為，把代入得，∴直線的解析式為.設(shè)，則，∴∴，∴當(dāng)時(shí)，；②∵拋物線與x軸交于A、兩點(diǎn)，令，則，解得或，∴，∵，，∴，∵，∴.以下分三種情況討論：（i）如答圖9-1，當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，此時(shí)，又∵，∴垂直平分，∴點(diǎn)P與點(diǎn)E關(guān)于x軸對稱∴，即解得，(舍去)，∴，，∴.（ii）如答圖9-2，當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，此時(shí)，∴.∴點(diǎn)P與點(diǎn)A重合∴，，∴.（iii）如答圖9-3，當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，此時(shí)，∵，，∴，∴，解得，(舍去)，∴，，∴.綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或.（3）如圖，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作軸,交過點(diǎn)作軸的平行線于點(diǎn)，，則，∴∴，∴，，，已知，則有，整理得：①，設(shè)直線的解析式為，聯(lián)立拋物線，消去y可得：，由韋達(dá)定理得，，代入①得，整理得，∴直線為，∴直線過定點(diǎn)，∴，∵，∴點(diǎn)H的軌跡是以為直徑的圓，點(diǎn)H到拋物線對稱軸距離的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合問題，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．10．(1)(2)【分析】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識點(diǎn)，依據(jù)軸對稱路徑最短問題確定出點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；（2）連接交拋物線的對稱軸于點(diǎn)P，連接，依據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)可得到，則的周長，故當(dāng)點(diǎn)在一條直線上時(shí)，的周長最小值，然后求得直線的解析式，從而可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線的解析式為；（2）∵當(dāng)時(shí)，，∴，∵點(diǎn)P是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，∴，∴．∴當(dāng)點(diǎn)在一條直線上時(shí)，有最小值，即的長度．如圖，連接交拋物線的對稱軸于點(diǎn)P，又∵為定值，∴此時(shí)，的周長最?。O(shè)直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為，將代入得：，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．11．(1)(2)(3)當(dāng)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；當(dāng)，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或【分析】（1）將代入中，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可得，，則，過點(diǎn)作軸，交于，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得，由平行可知，則，根據(jù)得函數(shù)關(guān)系式，即可求解；（3）設(shè)拋物線的解析式為，可得點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，，再分兩種情況：當(dāng)方程①有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根時(shí)；當(dāng)方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，是方程①的一個(gè)根，即可求解．【詳解】（1）解：將代入中，可得：，解得：，∴該拋物線的解析式為；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，對于直線，令，則，即：，令，則，即：，∴，，則，過點(diǎn)作軸，交于，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∵軸，，∴，則，∴，即：當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為；（3）由平移可知，拋物線的解析式為；∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∵為線段上一點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，∵∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴；當(dāng)時(shí)，，∴，∴；當(dāng)方程①有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根時(shí)，，解得：或，∵，∴，∴此時(shí)方程①的根為，方程②有一個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；當(dāng)方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，是方程①的一個(gè)根，把②代入①，得：，解得：或，∵，∴，此時(shí)，方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，方程②有一個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；綜上，當(dāng)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；當(dāng)，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，得到是解題的關(guān)鍵；（3）小題中運(yùn)用分類討論思想進(jìn)行求解是關(guān)鍵．12．(1)拋物線的解析式為(2)當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為8，此時(shí)(3)存在，Q的坐標(biāo)為或．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）首先求出直線的解析式為，設(shè)，表示出，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）根據(jù)題意分兩種情況∶當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，然后分別根據(jù)相似三角形的性求解即可．【詳解】（1）將，，代入得，，解得∴拋物線的解析式為；（2）設(shè)直線的解析式為為∵，∴解得∴直線的解析式為，設(shè)，∵過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為，將代入得，得，∴，∴，∴∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為8，此時(shí)；（3）如圖所示，當(dāng)時(shí)，

∵∴拋物線對稱軸為∵直線的解析式為，∴將代入∴∴設(shè)∴，∵∴∴解得∴；如圖所示，當(dāng)時(shí)，

∵，，∴，∵∴∴解得∴綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，線段最值問題，相似三角形存在性問題，勾股定理等，掌握相關(guān)解題方法是解題的關(guān)鍵．13．(1)四邊形是“樂學(xué)四邊形”，理由見解析，是“善思線段”(2)存在，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為(3)m的最小值為【分析】（1）先求得，，，，，，由勾股定理得，運(yùn)用新定義“樂學(xué)四邊形”，“善思線段”即可得出答案．（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，，利用，求出，令，得，解方程即可．（3）在拋物線中，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，根據(jù)．可得①，根據(jù)為等腰直角三角形，可得②，聯(lián)立①②，且，解得，，得出拋物線解析式為，進(jìn)而可得，運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)可得：當(dāng)時(shí)，有最大值，再結(jié)合題意求解即可得出答案．【詳解】（1）解：四邊形是“樂學(xué)四邊形”，，是“善思線段”．理由如下：當(dāng)，，時(shí)，，令，得，解得：，，令，得，，，，，，，頂點(diǎn)，，，，四邊形是“樂學(xué)四邊形”，，是“善思線段”．（2）解：存在．點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，，則，，，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，令，得，解得：，（舍去），點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（3）解：在拋物線中，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，．．①，為等腰直角三角形，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，在中，令，得，解得：，，，，，，，，②，聯(lián)立①②，且，得，，拋物線解析式為，，當(dāng)時(shí)，有最大值，恒成立，∴t最大值∴m的最小值為【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，函數(shù)的思想求最值，新定義，等腰直角三角形性質(zhì)，勾股定理等，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，理解并運(yùn)用新定義．14．(1)，直線，(2)①點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，理由見解析；②(3)或或【分析】（1）將點(diǎn)代入可求，則，拋物線的對稱軸為直線，可求，進(jìn)而可得點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）①待定系數(shù)法求直線的解析式，進(jìn)而可求的坐標(biāo)為，