格林公式的討論及其應(yīng)用

MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h格林公式的討論及其應(yīng)用摘要牛頓-萊布尼茲（Newton-Leibniz)公式、格林（Green）公式、高斯(Gauss)公式和斯托克斯(Stokes)公式是積分學(xué)中的幾個非常重要的公式，分別建立了原函數(shù)與定積分、曲線積分與二重積分、曲線積分與三重積分、曲線積分和曲面積分之間的聯(lián)系，它們除了在數(shù)學(xué)上用來計算多元函數(shù)的積分有很大用處之外，在其他的領(lǐng)域也有很多重要的應(yīng)用。就這四大公式與物理學(xué)的相關(guān)內(nèi)容展開，結(jié)合場論的相關(guān)內(nèi)容，介紹它們在各個方面的應(yīng)用，幫助人們更好地理解并且更準(zhǔn)確地應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式。關(guān)鍵詞：牛頓-萊布尼茲公式；格林公式；高斯公式；斯托克斯公式；應(yīng)用DiscussionandapplicationofGreen'sformulaAbstractNewtonLeibnizformula,greenformula,GaussformulaandStokesformulaareseveralveryimportantformulasinintegralscience.Therelationsbetweentheoriginalfunctionandthedefiniteintegral,thecurveintegralandthedoubleintegral,thecurveintegralandthetripleintegral,thecurveintegralandthecurvedareaintegralareestablishedrespectively.TheyarenotonlyusedtocalculatemathematicallyTheintegralofmultivariatefunctionisveryuseful,butalsohasmanyimportantapplicationsinotherfields.BasedonthefourformulasandPhysicsrelatedcontent,combinedwiththefieldtheoryrelatedcontent,thispaperintroducestheirapplicationinvariousaspects,tohelppeoplebetterunderstandandmoreaccuratelyapplyNewtonLeibnizformula,greenformula,GaussformulaandStokesformula.Keywords:NewtonLeibnizformula;Greenformula;Gaussformula;Stokesformula;application目錄TOC\o"1-3"\h\u24142一、引言 一、引言牛頓-萊布尼茲公式、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式格林公式都反映了內(nèi)部積分與邊界積分之間的關(guān)系。牛頓-萊布尼茲公式也被稱為微積分基本公式，表達(dá)了原函數(shù)與定積分之間的關(guān)系，在一維區(qū)域內(nèi)應(yīng)用。推廣到曲線、曲面和空間區(qū)域，就是我們所說的格林公式、高斯公式和斯托克斯公式。格林公式作為多元函數(shù)積分學(xué)的基本公式之一，說明了平面區(qū)域上的二重積分可以通過其邊界曲線上的曲線積分來表示。而高斯公式、斯托克斯公式與格林公式有著密切的聯(lián)系，同樣作為多元函數(shù)積分學(xué)的基本公式，這兩個公式則更進(jìn)一步分別揭示了曲線積分與三重積分、曲線積分與曲面積分之間的關(guān)系。這四個公式在數(shù)學(xué)上應(yīng)用最為廣泛，用于計算積分，但它們在其它的領(lǐng)域也有很多重要的應(yīng)用。本文主要從這四個公式與物理學(xué)之間的聯(lián)系作為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合旋度等場論方面相關(guān)的內(nèi)容，展開介紹它們在其它方面的應(yīng)用，包括在生活實踐上的應(yīng)用，來幫助人們更深刻地理解、應(yīng)用公式，基于這些公式作出更多開創(chuàng)性的工作，為人類謀求更好的發(fā)展。牛頓-萊布尼茲（Newton-Leibniz）公式的應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式簡介在我們求解問題的實際計算過程中，用定義來計算定積分是比較困難的，關(guān)于這個問題，牛頓-萊布尼茲公式提供了更加簡便的方法，該公式也揭示了被積函數(shù)的原函數(shù)與定積分之間的關(guān)系。定理：若函數(shù)在上連續(xù)，且存在原函數(shù)，則在上可積，則（1）公式（1）即為牛頓-萊布尼茲（Newton-Leibniz）公式。牛頓-萊布尼茲公式的物理意義牛頓-萊布尼茲公式作為微積分基本公式，從微分和積分的角度出發(fā)：微分是一個瞬時的“點(diǎn)量”，表現(xiàn)一種趨勢；積分是一個時間延展的“積累量”，表現(xiàn)點(diǎn)量累積的效果。按照這種作用和效果，公式的物理意義是顯而易見的：導(dǎo)數(shù)的積累效果導(dǎo)致了原函數(shù)的差值。牛頓-萊布尼茲公式在生活中應(yīng)用例1老王開車正常行駛在道路上，駕駛速度為每小時72公里，突然有個人在前方55米左右處突然出現(xiàn)，準(zhǔn)備橫穿馬路，為了避免撞到行人，老王需要減速停車，假設(shè)汽車以等加速度剎車，問老王能否剎車成功進(jìn)而安全停車（忽略反應(yīng)的時間）？解：先求從剎車開始到停車所用的時間：時，剎車后，汽車減速行駛，速度為由可得：所以整個過程汽車所走過的路程為：通過比較可以看出老王可以安全停車。從例題可以看出，牛頓-萊布尼茲公式可以作為解決實際生活中問題的工具，說明數(shù)學(xué)既來源于生活，也服務(wù)于生活。三、格林（Green）公式的應(yīng)用（一）格林公式的簡介定理：設(shè)閉區(qū)域由分段光滑的曲線組成，函數(shù)，在上連續(xù)，且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有：（2）這里為區(qū)域的邊界曲線，取正方向。公式（2）叫做格林（Green）公式。該公式有使用條件：（1）區(qū)域是沒有“洞”的單連通區(qū)域；如果是有“洞”的復(fù)連通區(qū)域，公式右端應(yīng)該包含的全部邊界曲線的積分；（2）曲線具有正向規(guī)定：當(dāng)人沿邊界行走時，區(qū)域總是位于它的左手邊。（二）格林公式的物理原型1、物理原型在大學(xué)教材里，在學(xué)習(xí)格林公式的這部分內(nèi)容時，書上都是先給出定理及其證明，然后給出舉例和相關(guān)應(yīng)用，初學(xué)者在看到格林公式展現(xiàn)的曲線積分與二重積分的關(guān)系總是那么贊嘆不已，但是這里有一個疑問，對于曲線積分和二重積分有這種數(shù)量的關(guān)系這一想法，他們是怎么想到的呢？以下是對于這方面的介紹：流體物理學(xué)里，在流體中，質(zhì)點(diǎn)間可以擁有不同的速度，但是對于每個質(zhì)點(diǎn)，它的速度僅僅與位置有關(guān)，不會隨時間變化而變化，這樣的流動稱為“平面穩(wěn)定流動”。在該流動中,場內(nèi)各點(diǎn)的速度為，下面來計算在單位時間內(nèi)，流經(jīng)曲線的流體體積(實際上是流過以為準(zhǔn)線、高為的柱體的流體體積，簡單用面積表示)，也就是流量密度，這里面的是平面上閉合并且無重點(diǎn)(對于曲線,當(dāng)時，點(diǎn)與總是相異的）的光滑曲線。計算方法流體面積計算方法一在上任取一小段弧線,在時間內(nèi)流過的流體面積與平行四邊形的面積相似,一邊的長度是，另一相鄰邊的長度是流程。因此面積為:(3)是的單位法向量，單位時間內(nèi)流體面積為：。由曲線積分定義有：總的流體面，則（4）設(shè)為點(diǎn)處的切線，與軸夾角，所以（5）流體面積計算方法二計算單位時間的流場中的每一個微元散發(fā)出的流體的面積:在曲線圍繞的平面區(qū)域內(nèi)，任意選取其中一個微元，單位時間內(nèi)從左側(cè)(軸方向)流入的流體面積近似于，從右側(cè)流出的流體面積近似于（為偏增量的近似)。因此這個微元在單位時間內(nèi)沿著方向(凈)散發(fā)出去的流體面積近似于，同理沿著方向（凈）散發(fā)出去的流體面積近似于。計算單位時間的流場中流體的面積總和：，由重積分的定義得：（6）由上述兩種計算方法可得：（7）這是場論中最根本的公式，即格林公式的原型。（三）格林公式在生活中的應(yīng)用課堂教學(xué)一般教授格林公式解決數(shù)學(xué)或物理學(xué)方面的應(yīng)用，比較少涉及到實際生活，比如它提供了有效方法計算平面區(qū)域面積。1.曲線積分計算平面區(qū)域面積當(dāng)式(2)的二重積分部分的被積函數(shù)為常數(shù)時，可以通過右端關(guān)于坐標(biāo)的曲線積分來計算封閉曲線所圍成的平面區(qū)域的面積，即若,則有（8）由此可以看出，只要構(gòu)造合適的和，就可以運(yùn)用上的曲線積分來計算它包圍的區(qū)域的面積。2.GPS面積測量儀的數(shù)學(xué)原理平面區(qū)域面積的精確計算，如果用邊界曲線方程結(jié)合格林公式等積分方法就比較難，因為方程的得到很困難。，然而GPS面積測量儀的使用，就這方面問題給出了相對簡捷的解決辦法，主要的操作就是拿著它繞著平面區(qū)域行走一周。設(shè)由邊界曲線圍成的區(qū)域和GPS測量儀記錄的點(diǎn)如圖1所示，各點(diǎn)的平面坐標(biāo)為。圖SEQ圖\*ARABIC1目標(biāo)區(qū)域與記錄點(diǎn)位置通過（7）(8)式子我們知道：若閉合曲線方程已知，封閉區(qū)域的面積轉(zhuǎn)換為曲線積分計算；若閉合曲線的方程未知，則利用微元法，封閉曲線近似為有向線段的并，其中，即（9）從而有（10）其中，。四、高斯（Gauss）公式的應(yīng)用高斯公式是數(shù)學(xué)中我們所熟知的多元函數(shù)積分學(xué)公式，場是物理學(xué)中的重要概念，其中電場、萬有引力場都是我們熟悉的場，他們都是保守場，結(jié)合這些內(nèi)容，首先一步步推導(dǎo)電場中的高斯定理，進(jìn)而利用類比的科學(xué)研究方法，推導(dǎo)出萬有引力場中的類比高斯定理公式，并且就這兩場的的高斯定理的應(yīng)用進(jìn)一步闡述。（一）高斯公式的簡介為積分學(xué)公式的進(jìn)一步深入，下面學(xué)習(xí)高斯公式的相關(guān)內(nèi)容。定理：設(shè)（1）是分片光滑閉曲面，是圍成的空間閉區(qū)域；（2）取外側(cè)；（3）函數(shù),,在上連續(xù),具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則（11）或（12）這里是上點(diǎn)處的法向量的方向余弦。公式（11）（12）稱為高斯（Gauss）公式。高斯公式的實質(zhì)：表達(dá)了空間閉曲面上的曲線積分與曲面所圍空間區(qū)域上的三重積分的關(guān)系。散度的概念：設(shè)為空間區(qū)域上上的向量函數(shù)，對上的每一點(diǎn)，定義數(shù)量函數(shù)，稱它為向量函數(shù)在處的散度，記作。設(shè)為曲面的單位法向量，則就稱為曲面的面積元素向量。于是高斯公式就可以寫成下面向量形式：（13）引進(jìn)符號向量，把它當(dāng)做運(yùn)算符號看待時，向量場的散度的向量形式是,高斯公式又可以寫作：(14)數(shù)學(xué)意義為：矢量場中閉合曲面所圍體上每一點(diǎn)的三重積分和與經(jīng)由曲面的流量相等。（二）保守場數(shù)學(xué)里的保守場就是：在保守場中的曲線積分，它只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，與路徑無關(guān)。與保守場密切相關(guān)的概念有路徑無關(guān)和無旋矢量場，展開解釋說明就是任意一個保守場都是旋度為零且具有與路徑無關(guān)的性質(zhì)。矢量場為保守場的充分必要條件是：（15）在物理中，電場力、萬有引力都是保守力，從起始點(diǎn)到終點(diǎn)所做的功，都是與路徑無關(guān)的，不會因為路徑的不同而改變，即：和（16）根據(jù)斯托克斯定理：得出和，由此對比上面的充分必要條件，可以知道電場、萬有引力場都是保守場。（三）高斯公式在電場中的運(yùn)用利用高等數(shù)學(xué)中的高斯公式在大學(xué)物理靜電學(xué)的推導(dǎo)，可以得到電場中的高斯定理，它是由庫侖定律直接導(dǎo)出的，是物理學(xué)中電學(xué)部分的重要定理之一，反映了電場的基本屬性。如果是任意封閉曲面（通常叫高斯面），則電通量：。假設(shè)在真空中有一個正的點(diǎn)電荷，發(fā)出的電場線不會中斷，所以與發(fā)出的電場線垂直的有效曲面，始終是一個球面。以點(diǎn)電荷所在的地方為中心，r為半徑，做一個包圍它的球面，則有：。設(shè)閉合曲面內(nèi)的電荷總數(shù)為，則有：（17）這就是真空中靜電場的高斯定理，它可以表述為：通過任意一個閉合曲面的電通量，等于該閉合曲面所包圍的所有電荷的代數(shù)和除以，與閉合曲面外的電荷沒有關(guān)系。電荷中的靜電力符合庫侖定律，所以高斯定理也依賴于電荷間作用力的平方反比律。高斯定理在電場中主要就是用來求場強(qiáng)的分布，雖然在定理的描述中說封閉曲面是任意的，但在由于受數(shù)學(xué)水平的限制，在求解過程中對于場的分布是有一定要求的，需要在這個場中的電荷分布有高對稱性，如果電荷不對稱導(dǎo)致場強(qiáng)不對稱就無法用高斯公式解決場強(qiáng)分布問題，不過高斯定理仍然是成立的。在用定理求場強(qiáng)分布是，確定了對稱的電荷分布和對稱的場強(qiáng)分布后，還需要選取合適的高斯面，一般為無厚度幾何面，選取原則：高斯面形狀是最簡單的幾何體；所求場強(qiáng)的場點(diǎn)在高斯面上；高斯面要么與垂直，要么與平行；與垂直的部分高斯面上各點(diǎn)場強(qiáng)應(yīng)相等。高斯面高斯定理反映了靜電場是有源場這一特性。例2求一個均勻帶正電球體內(nèi)外的電場強(qiáng)度分布，設(shè)球體帶電總量為，球體半徑為，如圖2所示。圖SEQ圖\*ARABIC2帶電量為Q的球體（虛線為高斯面）分析：當(dāng)根據(jù)電場強(qiáng)度的疊加原理將帶電體系劃分為無限電荷元時，每個電荷元被作為點(diǎn)電荷，則所有電荷元產(chǎn)生的電場要積分求和的話，就要用到三重積分，顯然是比較復(fù)雜的。想要簡單快速求解就要用到高斯定理，題目給到的已知條件是均勻帶點(diǎn)球體，所以說電荷均勻分布在球面上，其電場分布具有球?qū)ΨQ性。解：在球面外任取一點(diǎn)，過點(diǎn)做一個半徑為的球面作為高斯面，因為球面上各點(diǎn)的法線方向與場強(qiáng)方向一致，所以通過該球面的電通量為：（18）此時，該球面包圍的電荷為：（19）根據(jù)高斯定理可得：（20）點(diǎn)的電場強(qiáng)度為：（19）對于球內(nèi)任一點(diǎn)，同樣過作一半徑為的球形高斯面，通過該球面的電通量為：（21）此時，該球面包圍的電荷為：（22）由高斯定理可得：（23）此時必有：（24）（四）高斯定理在萬有引力場中的應(yīng)用萬有引力是自然界普遍存在的弱相互作用力，相比與和靜電力有關(guān)的的靜電場，與萬有引力有關(guān)的場是萬有引力場場，這兩個力都是保守力，形成的場也都是保守場，還是有源場。比較萬有引力定律與庫侖定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，發(fā)現(xiàn)他們具有相似的表達(dá)形式，都遵循平方反比定律，而且靜電場中的高斯定理是反平方定律的必然結(jié)果，所以把萬有引力場同靜電場類比，得到任意閉面內(nèi)的萬有引力場強(qiáng)通量：，所以萬有引力場中的類比高斯定理公式為：（25）與靜電場中的高斯定理具有類似的形式。該公式它可以表述為：對任意閉合曲面S的引力場強(qiáng)的通量等于該曲面內(nèi)所包圍的總質(zhì)量除以，負(fù)號表示吸引力。電場中面對具有嚴(yán)格對稱性的電荷分布時，使用高斯定理是一個便捷有效地方法，所以高斯定理在靜電場中有著重要的地位，同樣的，在萬有引力場中面對具有嚴(yán)格對稱性的質(zhì)量分布時，運(yùn)用類比的高斯定理公式進(jìn)行求解會便捷許多。例3一個密度（密度為半徑的函數(shù)）關(guān)于球?qū)ΨQ分布的大球，如圖3所示，求球外質(zhì)點(diǎn)受到的引力大??？圖SEQ圖\*ARABIC3對稱質(zhì)量分布的大球與封閉的球面分析：對球外質(zhì)點(diǎn)的吸引作用就好像球質(zhì)量集中在球心一樣，如果直接應(yīng)用萬有引力定律，就要把大球細(xì)分成薄的球殼,球殼再細(xì)分成圓環(huán)，圓環(huán)又細(xì)分成質(zhì)元,再應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力定律，結(jié)合矢量迭加原理證明，但計算復(fù)雜，則想到運(yùn)用類比的高斯定理公式解答。解：已知對稱質(zhì)量分布的大球密度為，質(zhì)量為，半徑為，球心為，球外質(zhì)點(diǎn)在距球心距離為的點(diǎn)，現(xiàn)以為圓心，為半徑，作一封閉的球面，由（26）得（27）根據(jù)球的對稱性知：，（28）由知球外質(zhì)點(diǎn)受到的引力大小為：（29）五、斯托克斯（Stokes）公式的應(yīng)用（一）斯托克斯公式簡介斯托克斯公式是曲面積分情況下微積分基本公式的擴(kuò)展，它也是格林公式的擴(kuò)展，該公式在曲面塊上的第二類曲面積分與邊界曲線上的第二類曲線積分之間建立了聯(lián)系。右手法則右手四指沿著邊界曲線的方向,大拇指所指的就是曲面的正向邊界，如圖所示：圖SEQ圖\*ARABIC4定理敘述設(shè)光滑曲面的邊界是按段光滑的連續(xù)曲線，的方向與的法向量符合右手法則，則（30）公式（29）稱為斯托克斯（Stokes）公式。當(dāng)曲面S是面上的一塊平面閉區(qū)域時，斯托克斯公式就變成格林公式，所以格林公式是斯托克斯公式的特殊情況，斯托克斯公式是格林公式從平面到空間的推廣。（二）Stokes公式中P、Q、R的物理意義有前面公式物理意義的鋪墊，下面我們就對斯托克斯公式中P、Q、R的物理意義進(jìn)行闡述，讓大家對斯托克斯公式有更清晰地理解。對物理學(xué)中任意一個矢量場，它的分量表示，它可以是電場，也可以是大氣環(huán)流場等等。這樣子的一個任意矢量場,它沿著任意閉曲線的環(huán)流和以為邊界的區(qū)域面積分之間的關(guān)系，應(yīng)該遵循斯托克斯公式給出的運(yùn)算法則。求任意矢量場的環(huán)流，能夠?qū)С鋈缦玛P(guān)系式：（31）導(dǎo)出的關(guān)系式與斯托克斯公式左邊有完全相同的形式。將斯托克斯公式得到的關(guān)系式（32）與斯托克斯公式的數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行比較，有：，，（33）從而：（34）所以，斯托克斯公式中的P、Q、R在矢量場的問題中可以用某一個物理量在三個方向上的分量表示，進(jìn)而給出了斯托克斯公式中P、Q、R的物理意義。旋度與環(huán)流量設(shè)為空間區(qū)域上的向量函數(shù)。對上每一點(diǎn)，定義向量函數(shù)（35）稱它為向量函數(shù)在處的旋度，記作：(36)設(shè)是曲線的正向上的單位切向量的方向余弦，向量稱為弧長元素向量，于是斯托克斯公式就可