2025年安徽省C20教育聯(lián)盟九年級第二次學(xué)業(yè)水平（二模）檢測數(shù)學(xué)試題 （原卷版+解析版）

安徽省“C20”教育聯(lián)盟2025年九年級第二次學(xué)業(yè)水平檢測數(shù)學(xué)注意事項：1．你拿到的試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘．2．本試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分，“試題卷”共6頁，“答題卷”共2頁．3．請務(wù)必在“答題卷”上答題，在“試題卷”上答題無效．4．考試結(jié)束后，請將“試題卷”和“答題卷”一并交回．一、選擇題（本大題共有10小題，每小題4分，滿分40分．在每小題所給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．）1.如圖，數(shù)軸上被墨水遮蓋的數(shù)可能為（）

A B. C. D.2.2024年10月30日，搭載最新3人組的神州十九號載人飛船成功發(fā)射并在距地面約米的軌道上與中國空間站完成對接．將用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.3.中國古代數(shù)學(xué)家劉微為了計算球體體積創(chuàng)造了一個獨特的立體幾何圖形，稱之為牟（mòu）合方蓋．可以簡化理解為由兩個直徑相等的圓柱體相互疊加，如圖1中間重合的部分．圖2所示即為一個牟合方蓋．按圖示箭頭方向進(jìn)行觀察，則俯視圖為（）A. B. C. D.4.如圖，在菱形中，對角線相交于點，點為的中點．若，則菱形的周長為（）A.4 B.16 C.12 D.205.若為正整數(shù)，則（）A. B. C. D.6.如圖，圓的直徑為6，四邊形內(nèi)接于，連接，．若，則的長為（）A B. C. D.7.如圖，平行于軸的直線分別交反比例函數(shù)與的圖象（部分）于點，，點是軸上的動點，則的面積為（）A. B. C. D.8.如圖，直線，一塊含角的直角三角板的頂點在直線上，，兩點在平面上移動，使直角邊與直線相交．其中，，則與的數(shù)量關(guān)系為（）A. B.C. D.9.如圖，在正五邊形中，連結(jié)，，過點作的垂線，與邊交于點，與對角線交于點，下列結(jié)論中錯誤的是（）A. B.C. D.點是的黃金分割點10.正方形頂點均在坐標(biāo)軸上，且．若平面內(nèi)的點滿足：射線與正方形的邊或交于點（點可以與點重合），且，則稱點為點關(guān)于正方形的“生長點”．已知直線上存在點關(guān)于正方形的“生長點”，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共有4小題，每小題5分，共20分）11.比較大?。篲____________．12.因式分解：__________．13.如圖是的正方形方格紙，如果把其中白色方格涂成黑色，可以使圖中黑色部分構(gòu)成軸對稱圖形，則稱涂色成功，小華隨機(jī)選擇一個白色方格涂黑，小麗在剩下的白色方格中再隨機(jī)選擇一個方格涂黑，則經(jīng)過兩次涂色后，涂色成功的概率是_____________．14.如圖，在中，，，點是邊上一點，連接，已知，點是射線上的一個動點，點是線段上一點，且，連接．（1）______；（2）的面積最大值為______．三、解答題（共2小題，每小題8，滿分16分）15.解不等式：．16.在圖中網(wǎng)格上用無刻度直尺作出圖形，保留作圖痕跡：（1）將三角形繞點向逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使得點、點、點的對應(yīng)點分別為點、點、點，請畫出；（2）以為位似中心，在第四象限內(nèi)畫出將放大兩倍后的位似，點，，的對應(yīng)點分別為點，，；（3）若軸上存在一點，使得的和最小，請在圖中標(biāo)出點的位置．四、解答題（共2小題，每小題8，滿分16分）17.公司開發(fā)了兩款模型，分別為模型和模型．由于工作需要，公司同時使用這兩款模型處理一批數(shù)據(jù)，模型工作了3小時，模型工作了5小時，一共處理了550數(shù)據(jù)．已知模型每小時處理的數(shù)據(jù)量比模型少10，問模型和模型每小時分別處理多少的數(shù)據(jù)？18.我國宋代數(shù)學(xué)家楊輝（13世紀(jì)）寫了一本書《詳解九章算法》，書中記載了一個用數(shù)字排成的三角形，這個三角形數(shù)陣圖是北宋賈憲（約11世紀(jì)上半葉）首創(chuàng)的“開方作法本源圖”，后人稱之為賈憲三角或楊輝三角．（圖1）楊輝三角實際是二項式乘方展開式的系數(shù)表（圖2），觀察圖2右側(cè)的系數(shù)表，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律回答下列問題：（1）多項式展開式的第三項系數(shù)是_____________．（2）請寫出的展開式：______________．（3）已知多項式，當(dāng)時，求該多項式的值．五、解答題（共2小題，每小題10分，滿分20分）19.在《測量物體的高度》的綜合實踐課上，王老師先帶領(lǐng)同學(xué)們制作簡易測角儀，隨后再用所制作的測角儀測量物體的高度．（1）小明同學(xué)提出如下方法制作測角儀（圖1），以較大量角器為主要器材進(jìn)行設(shè)計，在經(jīng)過中心點處安置一根可繞點旋轉(zhuǎn)的空心直管，眼睛可通過空心管的端瞄準(zhǔn)目標(biāo)物進(jìn)行測量，此時的方向即為視線的方向，原理是_____________．（請從下列選項中選擇正確選項的序號填入：①兩點之間線段最短；②兩點確定一條直線；③兩條直線相交有且只有一個交點．）（2）在量角器的中心點處懸掛重錘，由物理知識可知只要重錘懸掛線與線重合，則即為水平線．此時讀出角的度數(shù)，就是所測目標(biāo)的仰角．原理是______________．（請從下列選項中選擇正確選項的序號填入：①對頂角相等；②直角三角形的兩個銳角互余；③兩直線平行，內(nèi)錯角相等．）通過這個方式可得到測量目標(biāo)的仰角或俯角，為測量物體的高度進(jìn)行準(zhǔn)備．（3）如圖，某高樓頂部有一信號發(fā)射塔（圖2），小明在矩形建筑物的，兩點處測得該塔頂端仰角分別為，，矩形建筑物高度m．計算該信號塔頂端到地面的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）．20.如圖，內(nèi)接于圓，點、在圓上，且弦，過點作圓切線交延長線與，連接、、、．若．（1）求證：；（2）連接，若，，，求長．六、解答題（本題滿分12分）21.2024年國家提出推進(jìn)中國式現(xiàn)代化，推進(jìn)鄉(xiāng)村全面振興后，長豐縣下塘鎮(zhèn)甲村經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入了快車道．為了解甲村去年下半年經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r，從該村400戶家庭中隨機(jī)抽取了部分家庭調(diào)查其去年下半年的收入情況，整理得到如下不完整的統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖．部分家庭收入統(tǒng)計表組別分組（萬元）頻數(shù)（戶）每組平均收入（萬元）A47B58.3C

9D

9.5請根據(jù)圖表中提供的信息，解答下列問題：（1）請補(bǔ)全統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖；（2）所抽取家庭去年下半年家庭收入中位數(shù)落在__________組；（3）求所抽取家庭去年下半年家庭收入的平均數(shù)；（4）試估計去年下半年甲村400戶家庭中收入不低于8.5萬元的戶數(shù)．七、解答題（本題滿分12分）22.折紙是數(shù)學(xué)課中常見的操作活動，同學(xué)們可由此進(jìn)行觀察、猜想和證明．如圖1，在矩形紙片中，點在邊上，沿折疊矩形，點落在點處，連接交于點．（1）小明發(fā)現(xiàn)，圖1中如果延長交邊于點，如圖2，則有，請說明理由；（2）若矩形是一張紙，且點是邊的中點，如圖2所示進(jìn)行折疊與連線，求的值；（3）在矩形紙片中，點、分別在邊和上，連接、、，且平分，，，求的值．八、解答題（本題滿分14分）23.已知拋物線（是常數(shù)）的頂點為，拋物線．（1）求證：點在拋物線上；（2）當(dāng)時，的圖象與軸交于、兩點，點在點的左側(cè)．①若拋物線與的圖象除頂點以外的另一個交點為，過點作直線軸，過點作，垂足為點，連接，．當(dāng)時，求的值；②在①的條件下，過點作軸的垂線，分別交和于點，；過點作軸的垂線，分別交和于點，；當(dāng)時，求的值．

安徽省“C20”教育聯(lián)盟2025年九年級第二次學(xué)業(yè)水平檢測數(shù)學(xué)注意事項：1．你拿到的試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘．2．本試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分，“試題卷”共6頁，“答題卷”共2頁．3．請務(wù)必在“答題卷”上答題，在“試題卷”上答題無效．4．考試結(jié)束后，請將“試題卷”和“答題卷”一并交回．一、選擇題（本大題共有10小題，每小題4分，滿分40分．在每小題所給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．）1.如圖，數(shù)軸上被墨水遮蓋的數(shù)可能為（）

A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)數(shù)軸上數(shù)的特點，在-2和-4之間的數(shù)即為答案；【詳解】由題可得，黑墨遮蓋的數(shù)字在-2和-4之間，符合條件的數(shù)字只有-3．故答案選C．【點睛】本題主要考查了數(shù)軸的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析是解題的關(guān)鍵．2.2024年10月30日，搭載最新3人組的神州十九號載人飛船成功發(fā)射并在距地面約米的軌道上與中國空間站完成對接．將用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值大于與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．【詳解】解：，故選：A．3.中國古代數(shù)學(xué)家劉微為了計算球體體積創(chuàng)造了一個獨特的立體幾何圖形，稱之為牟（mòu）合方蓋．可以簡化理解為由兩個直徑相等的圓柱體相互疊加，如圖1中間重合的部分．圖2所示即為一個牟合方蓋．按圖示箭頭方向進(jìn)行觀察，則俯視圖為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)俯視圖是由上向下觀察物體得到的視圖來判斷．本題考查三視圖，解題的關(guān)鍵是理解三視圖的含義．【詳解】解：由上向下觀察物體得到的視圖是，∴它的俯視圖是D選項．故選：D．4.如圖，在菱形中，對角線相交于點，點為的中點．若，則菱形的周長為（）A.4 B.16 C.12 D.20【答案】B【解析】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)以及三角形中位線定理的運用，關(guān)鍵是掌握：菱形的四條邊都相等，菱形的兩條對角線互相垂直平分．根據(jù)是的中位線，即可得到的長，然后根據(jù)菱形的周長公式計算即可得．【詳解】∵四邊形是菱形，∴，又點E是的中點，∴是的中位線，∴，∴菱形的周長，故答案選：B．5.若為正整數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了乘方以及冪乘方，先運算括號內(nèi)，再運用冪的乘方，即可作答．【詳解】解：，故選：A6.如圖，圓的直徑為6，四邊形內(nèi)接于，連接，．若，則的長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形，圓周角定理，弧長公式，先求出，再運用圓周角定理得，然后根據(jù)弧長公式進(jìn)行列式計算，即可作答．【詳解】解：∵四邊形內(nèi)接于，，∴，∵，∴，則，故選：B．7.如圖，平行于軸的直線分別交反比例函數(shù)與的圖象（部分）于點，，點是軸上的動點，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)和幾何綜合，設(shè)出A，B的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．設(shè)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，然后根據(jù)三角形的面積公式計算即可．【詳解】解：設(shè)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，∴，故選：C．8.如圖，直線，一塊含角的直角三角板的頂點在直線上，，兩點在平面上移動，使直角邊與直線相交．其中，，則與的數(shù)量關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．由，，，求出，再通過平行線的性質(zhì)得出，最后由三角形的外角性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，故選：．9.如圖，在正五邊形中，連結(jié)，，過點作的垂線，與邊交于點，與對角線交于點，下列結(jié)論中錯誤的是（）A. B.C. D.點是的黃金分割點【答案】C【解析】【分析】連接交于點，連接，由正五邊的性質(zhì)求出，由等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得，然后證明，得出，證出，則可得出；再證明，則，整理得，解得（負(fù)值已舍去），則，所以點是的黃金分割點，再得出，算出，即可作答．【詳解】證明：如圖，連接交于點，連接，正五邊形的內(nèi)角和是，∴，∵過點作的垂線，∴，∴在中，，故A選項是正確的，不符合題意；，，，∴，，，，又，，，又，，，，在和中，，，，，，．∴，故B選項是正確的，不符合題意；∵，，∴∵，∴，即，∵，，即，∴，解得（負(fù)值已舍去），∴，即，∴點是的黃金分割點，故D選項是正確的，不符合題意；則，∴，∴，則，即，∵，∴，∴，故C選項不是正確的，符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，黃金分割，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10.正方形的頂點均在坐標(biāo)軸上，且．若平面內(nèi)的點滿足：射線與正方形的邊或交于點（點可以與點重合），且，則稱點為點關(guān)于正方形的“生長點”．已知直線上存在點關(guān)于正方形的“生長點”，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，畫出圖形，得出點的運動軌跡，把點和代入，得出的取值范圍即可．【詳解】解：，點運動軌跡為圖中陰影區(qū)域，把代入，得把代入，得故的取值范圍為故選：D．二、填空題（本大題共有4小題，每小題5分，共20分）11.比較大?。篲____________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查實數(shù)的比較大小，求一個數(shù)的立方根，根據(jù)，利用無理數(shù)的估算方法，估算出的大小，再比較大小即可.【詳解】解：∵，∴，則∴故答案為：．12.因式分解：__________．【答案】【解析】【分析】先提取公因式x，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續(xù)分解．【詳解】解：原式，故答案：．【點睛】本題考查提公因式和完全平方公式因式分解，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．13.如圖是的正方形方格紙，如果把其中白色方格涂成黑色，可以使圖中黑色部分構(gòu)成軸對稱圖形，則稱涂色成功，小華隨機(jī)選擇一個白色方格涂黑，小麗在剩下的白色方格中再隨機(jī)選擇一個方格涂黑，則經(jīng)過兩次涂色后，涂色成功的概率是_____________．【答案】【解析】【分析】本題考查了列表法或畫樹狀圖法求概率，軸對稱圖形的概念，先根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)確定能構(gòu)成軸對稱圖形的情況，再畫出樹狀圖，確定能構(gòu)成軸對稱圖形的結(jié)果數(shù)，結(jié)合概率公式計算即可．【詳解】解：如圖，白色小正方形有個，分別標(biāo)記為、、、、、，當(dāng)選擇和、和、和時，能構(gòu)成軸對稱圖形；畫樹狀圖如下：共有種等可能的結(jié)果，其中能構(gòu)成軸對稱圖形的結(jié)果有種，∴經(jīng)過兩次涂色后，涂色成功的概率是

．

故答案為：

．14.如圖，在中，，，點是邊上一點，連接，已知，點是射線上的一個動點，點是線段上一點，且，連接．（1）______；（2）的面積最大值為______．【答案】①.②.【解析】【分析】本題考查了解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（）由，設(shè)，則，，然后由勾股定理得出，然后解方程即可；（）過點作于，則，證明，所以，即，設(shè)，則，得出，，故有，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：（）由，，設(shè)，則，，在中，，∴，解得：，，故，故答案為：；（）過點作于，∴，∴，∴，∴，∴，即，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴，∵，且對稱軸為直線，∴當(dāng)時有最大值為，故答案為：．三、解答題（共2小題，每小題8，滿分16分）15.解不等式：．【答案】【解析】【分析】本題考查了解一元一次不等式，先去分母再移項，然后合并同類項，即可作答．【詳解】解：∵，∴去分母得，∴移項得，∴系數(shù)化1得，16.在圖中網(wǎng)格上用無刻度直尺作出圖形，保留作圖痕跡：（1）將三角形繞點向逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使得點、點、點的對應(yīng)點分別為點、點、點，請畫出；（2）以為位似中心，在第四象限內(nèi)畫出將放大兩倍后的位似，點，，的對應(yīng)點分別為點，，；（3）若軸上存在一點，使得的和最小，請在圖中標(biāo)出點的位置．【答案】（1）見詳解（2）見詳解（3）見詳解【解析】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)作圖，位似作圖，最短路徑，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，分別找出點、點、點，再依次連接，即可作答．（2）根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，分別找出點，，，再依次連接，即可作答．（3）先找到點關(guān)于軸的對稱點，再連接該對稱點與點，與軸的交點，即為點【小問1詳解】解：如圖所示：【小問2詳解】解：如圖所示：【小問3詳解】解：點的位置如圖所示：四、解答題（共2小題，每小題8，滿分16分）17.公司開發(fā)了兩款模型，分別為模型和模型．由于工作需要，公司同時使用這兩款模型處理一批數(shù)據(jù)，模型工作了3小時，模型工作了5小時，一共處理了550數(shù)據(jù)．已知模型每小時處理的數(shù)據(jù)量比模型少10，問模型和模型每小時分別處理多少的數(shù)據(jù)？【答案】模型和模型每小時分別處理75、65個的數(shù)據(jù)【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用；設(shè)模型和模型每小時分別處理、個的數(shù)據(jù)，根據(jù)題意列出方程組，解方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)模型和模型每小時分別處理、個的數(shù)據(jù)．根據(jù)題意，得：解，得：答：模型和模型每小時分別處理75、65個的數(shù)據(jù)18.我國宋代數(shù)學(xué)家楊輝（13世紀(jì)）寫了一本書《詳解九章算法》，書中記載了一個用數(shù)字排成三角形，這個三角形數(shù)陣圖是北宋賈憲（約11世紀(jì)上半葉）首創(chuàng)的“開方作法本源圖”，后人稱之為賈憲三角或楊輝三角．（圖1）楊輝三角實際是二項式乘方展開式的系數(shù)表（圖2），觀察圖2右側(cè)的系數(shù)表，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律回答下列問題：（1）多項式展開式的第三項系數(shù)是_____________．（2）請寫出的展開式：______________．（3）已知多項式，當(dāng)時，求該多項式的值．【答案】（1）10；（2）（3）【解析】【分析】本題考查對題干“楊輝三角”規(guī)律的理解，以及規(guī)律的運用，解題的關(guān)鍵是找出展開式的各項系數(shù)規(guī)律并靈活運用．（1）根據(jù)“楊輝三角”規(guī)律寫出多項式的展開式，即可得到展開式中的第三項；（2）根據(jù)“楊輝三角”規(guī)律得到多項式展開式；（3）根據(jù)“楊輝三角”規(guī)律得到為的展開式，即可解題．【小問1詳解】解：由題可得：多項式的展開式各系數(shù)依次為1，5，10，5，1，多項式的展開式中第三項系數(shù)是10．故答案為：；【小問2詳解】解：由題意可得：．故答案為：；【小問3詳解】解：，當(dāng)時，原式．五、解答題（共2小題，每小題10分，滿分20分）19.在《測量物體的高度》的綜合實踐課上，王老師先帶領(lǐng)同學(xué)們制作簡易測角儀，隨后再用所制作的測角儀測量物體的高度．（1）小明同學(xué)提出如下方法制作測角儀（圖1），以較大量角器為主要器材進(jìn)行設(shè)計，在經(jīng)過中心點處安置一根可繞點旋轉(zhuǎn)的空心直管，眼睛可通過空心管的端瞄準(zhǔn)目標(biāo)物進(jìn)行測量，此時的方向即為視線的方向，原理是_____________．（請從下列選項中選擇正確選項的序號填入：①兩點之間線段最短；②兩點確定一條直線；③兩條直線相交有且只有一個交點．）（2）在量角器的中心點處懸掛重錘，由物理知識可知只要重錘懸掛線與線重合，則即為水平線．此時讀出角的度數(shù)，就是所測目標(biāo)的仰角．原理是______________．（請從下列選項中選擇正確選項的序號填入：①對頂角相等；②直角三角形的兩個銳角互余；③兩直線平行，內(nèi)錯角相等．）通過這個方式可得到測量目標(biāo)的仰角或俯角，為測量物體的高度進(jìn)行準(zhǔn)備．（3）如圖，某高樓頂部有一信號發(fā)射塔（圖2），小明在矩形建筑物的，兩點處測得該塔頂端仰角分別為，，矩形建筑物高度m．計算該信號塔頂端到地面的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）．【答案】（1）②（2）①（3）該信號塔頂端到地面的高度約為84米【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，涉及對頂角相等，直線的性質(zhì)等知識點，正確理解題意，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)直線的性質(zhì)求解；（2）根據(jù)仰角的定義和對頂角的性質(zhì)即可求解；（3）過點作于點，由題意可知，則米，設(shè)米，解得到，解，得到，解得，再由即可求解．【小問1詳解】解：眼睛可通過空心管的端瞄準(zhǔn)目標(biāo)物進(jìn)行測量，此時的方向即為視線的方向，原理是：兩點確定一條直線，故答案為：②；【小問2詳解】解：∵，即，而為仰角，∴讀出角的度數(shù)，就是所測目標(biāo)的仰角，故答案為：①；【小問3詳解】解：過點作于點，由題意可知，米，設(shè)米，在中，，在中，，即，解得：經(jīng)檢驗，是原分式方程的解（米）（米）答：該信號塔頂端到地面的高度約為84米．20.如圖，內(nèi)接于圓，點、在圓上，且弦，過點作圓切線交延長線與，連接、、、．若．（1）求證：；（2）連接，若，，，求長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，利用平行線的性質(zhì)求得，推出，，利用三角形內(nèi)角和定理求得，據(jù)此求解即可證明；（2）連接并延長交于點，過點作于，證明點是的外心，也是的內(nèi)心，推出平分，再證明是等腰直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求得的長，即可得解．【小問1詳解】證明：連接，，，，，又，，，；【小問2詳解】解：連接并延長交于點，過點作于，，，，是等邊三角形，點是的外心，也是的內(nèi)心，平分，，，，切圓與，，即，，是等腰直角三角形，，，在中，，，．【點睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．六、解答題（本題滿分12分）21.2024年國家提出推進(jìn)中國式現(xiàn)代化，推進(jìn)鄉(xiāng)村全面振興后，長豐縣下塘鎮(zhèn)甲村經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入了快車道．為了解甲村去年下半年經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r，從該村400戶家庭中隨機(jī)抽取了部分家庭調(diào)查其去年下半年的收入情況，整理得到如下不完整的統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖．部分家庭收入統(tǒng)計表組別分組（萬元）頻數(shù)（戶）每組平均收入（萬元）A47B58.3C

9D

9.5請根據(jù)圖表中提供的信息，解答下列問題：（1）請補(bǔ)全統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖；（2）所抽取家庭去年下半年家庭收入的中位數(shù)落在__________組；（3）求所抽取家庭去年下半年家庭收入的平均數(shù)；（4）試估計去年下半年甲村400戶家庭中收入不低于8.5萬元的戶數(shù)．【答案】（1）見解析（2）C（3）所抽取家庭去年下半年家庭收入的平均數(shù)為萬元；（4）估計去年下半年甲村400戶家庭中收入不低于8.5萬元的約有220戶．【解析】【分析】（1）用B組的戶數(shù)除以B組戶數(shù)占比即可得出抽取的總戶數(shù)，再根據(jù)D組的占比求得D組的戶數(shù)，再用總數(shù)減去其他各組戶數(shù)，即可得出組的戶數(shù)；（2）由各組的戶數(shù)及中位數(shù)的定義即可得出所抽取家庭去年下半年家庭收入的中位數(shù)落在哪一組；（3）根據(jù)平均數(shù)的定義和計算方法進(jìn)行計算即可；（4）用樣本估計總體即可．【小問1詳解】解：（戶），（戶），（戶），，，補(bǔ)全統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖如圖所示：組別分組（萬元）頻數(shù)（戶）每組平均收入（萬元）A47B58.3C89D39.5；【小問2詳解】解：抽取的總戶數(shù)為，且，，所抽取家庭去年下半年家庭收入的中位數(shù)落在組，故答案為：；【小問3詳解】解：（萬元），所抽取家庭去年下半年家庭收入的平均數(shù)為萬元；【小問4詳解】解：（戶），估計去年下半年甲村400戶家庭中收入不低于8.5萬元的約有220戶．【點睛】本題主要考查了由扇形統(tǒng)計圖求總量，頻數(shù)分布表，根據(jù)數(shù)據(jù)描述求頻數(shù)，中位數(shù)的定義，求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，用樣本估計總體等知識點，熟練掌握頻數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)的概念及扇形統(tǒng)計圖、頻數(shù)分布表是解題的關(guān)鍵．七、解答題（本題滿分12分）22.折紙是數(shù)學(xué)課中常見的操作活動，同學(xué)們可由此進(jìn)行觀察、猜想和證明．如圖1，在矩形紙片中，點在邊上，沿