第八章　§8.2　兩條直線的位置關(guān)系2025高考

§8.2兩條直線的位置關(guān)系章節(jié)副標題011.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標.3.掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.課標要求第一部分落實主干知識第二部分探究核心題型課時精練內(nèi)容索引落實主干知識章節(jié)副標題021.兩條直線的位置關(guān)系直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l(wèi)1與l3是同一條直線，l2與l4是同一條直線)的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系l1，l2滿足的條件l3，l4滿足的條件平行__________________________________________________________________垂直________________________相交______________________k1＝k2且b1≠b2A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)k1·k2＝－1A1A2＋B1B2＝0k1≠k2A1B2－A2B1≠02.三種距離公式(1)兩點間的距離公式①條件：點P1(x1，y1)，P2(x2，y2).②結(jié)論：|P1P2|＝

.③特例：點P(x，y)到原點O(0,0)的距離|OP|＝

.(2)點到直線的距離點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝

.(3)兩條平行直線間的距離兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝

.六種常用對稱關(guān)系(1)點(x，y)關(guān)于原點(0,0)的對稱點為(－x，－y).(2)點(x，y)關(guān)于x軸的對稱點為(x，－y)，關(guān)于y軸的對稱點為(－x，y).(3)點(x，y)關(guān)于直線y＝x的對稱點為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對稱點為(－y，－x).(4)點(x，y)關(guān)于直線x＝a的對稱點為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對稱點為(x,2b－y).(5)點(x，y)關(guān)于點(a，b)的對稱點為(2a－x,2b－y).(6)點(x，y)關(guān)于直線x＋y＝k的對稱點為(k－y，k－x)，關(guān)于直線x－y＝k的對稱點為(k＋y，x－k).1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)當直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1＝k2?l1∥l2.(

)(2)若兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.(

)(3)直線外一點與直線上點的距離的最小值就是點到直線的距離.(

)(4)若點A，B關(guān)于直線l：y＝kx＋b(k≠0)對稱，則直線AB的斜率等于

，且線段AB的中點在直線l上.(

)××√√2.(選擇性必修第一冊P102T2改編)若直線2x＋my＋1＝0與直線3x＋6y－1＝0平行，則m等于A.4

B.－4

C.1

D.－1√因為直線2x＋my＋1＝0與直線3x＋6y－1＝0平行，3.(選擇性必修第一冊P79練習T1改編)兩平行直線x－2y＋1＝0與直線2x－4y－3＝0的距離為√4.直線x－2y－3＝0關(guān)于定點M(－2,1)對稱的直線方程是______________.返回x－2y＋11＝0在直線上取點P(3,0)，點P關(guān)于M(－2,1)的對稱點為P′(－7,2)，過點P′與原直線平行的直線方程為x－2y＋11＝0，即為對稱后的直線方程.探究核心題型章節(jié)副標題03例1

(1)(2023·桂林模擬)已知直線l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，若l1⊥l2，則實數(shù)a的值是A.0或－1 B.－1或1C.－1 D.1√由題意可知l1⊥l2，故2a＋a(a－1)＝0，解得a＝0或a＝－1，經(jīng)驗證，符合題意.題型一兩條直線的平行與垂直(2)(2024·青島模擬)瑞士數(shù)學家歐拉在《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上.這條直線被稱為歐拉線.已知△ABC的頂點A(－3,0)，B(3,0)，C(3,3)，若直線l：ax＋(a2－3)y－9＝0與△ABC的歐拉線平行，則實數(shù)a的值為A.－2 B.－1C.－1或3 D.3√由△ABC的頂點A(－3,0)，B(3,0)，C(3,3)知，又三角形為直角三角形，因為ax＋(a2－3)y－9＝0與x＋2y－3＝0平行，判斷兩條直線位置關(guān)系的注意點(1)斜率不存在的特殊情況.(2)可直接利用直線方程系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.跟蹤訓練1

(1)(2023·襄陽模擬)設(shè)a，b，c分別為△ABC中角A，B，C所對邊的邊長，則直線xsinA＋ay＋c＝0與bx－ysinB＋sinC＝0的位置關(guān)系是A.相交但不垂直

B.垂直C.平行

D.重合√所以兩條直線垂直.(2)已知兩直線l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，則m＝________；若l1∥l2，則m＝____.3或－2因為l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，所以，若l1⊥l2，則m(m－1)－6＝0，解得m＝3或m＝－2，例2

(1)經(jīng)過兩直線l1：2x－y＋3＝0與l2：x＋2y－1＝0的交點，且平行于直線3x＋2y＋7＝0的直線方程是A.2x－3y＋5＝0 B.2x＋3y－1＝0C.3x＋2y－2＝0 D.3x＋2y＋1＝0√題型二兩直線的交點與距離問題所以直線l1與l2的交點為(－1,1)，設(shè)與直線3x＋2y＋7＝0平行的直線為3x＋2y＋m＝0(m≠7)，所以3×(－1)＋2×1＋m＝0，解得m＝1，所以所求直線方程為3x＋2y＋1＝0.方法二設(shè)所求直線方程為2x－y＋3＋λ(x＋2y－1)＝0，即(λ＋2)x＋(2λ－1)y＋3－λ＝0，又該直線與3x＋2y＋7＝0平行，故(λ＋2)·2－3·(2λ－1)＝0，直線系方程過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，λ∈R，但不包括直線l2.典例過兩直線l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交點和原點的直線方程為A.3x－19y＝0 B.19x－3y＝0C.19x＋3y＝0 D.3x＋19y＝0√設(shè)過兩直線交點的直線系方程為x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，(2)(2023·上饒統(tǒng)考)正方形ABCD的兩個頂點A，B在直線x＋y－4＝0上，另兩個頂點C，D分別在直線2x－y－1＝0，4x＋y－23＝0上，那么正方形ABCD的邊長為____________.設(shè)直線CD的方程為x＋y＋m＝0，解得m＝－8或m＝－32，利用距離公式應(yīng)注意的點(1)點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|.(2)兩條平行線間的距離公式要把兩條直線方程中x，y的系數(shù)化為相等.跟蹤訓練2

(1)若點(m，n)在直線l：3x＋4y－13＝0上，則(m－1)2＋n2的最小值為A.3

B.4

C.2

D.6√由(m－1)2＋n2的幾何意義為點(m，n)到點(1,0)距離的平方，得其最小值為點(1,0)到直線l：3x＋4y－13＝0的距離的平方，(2)已知兩條平行直線分別過點A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自繞點A，B旋轉(zhuǎn)，平行線之間的距離的最大值為________，此時兩平行直線方程分別為_____________________________.3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0兩條平行直線分別過點A(6,2)，B(－3，－1)，并且各自繞點A，B旋轉(zhuǎn)，當AB與兩平行直線垂直時，兩平行線之間的距離最大，故這兩條平行直線的斜率為－3，則兩平行直線方程分別為y－2＝－3(x－6)，y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.命題點1點(或直線)關(guān)于點對稱例3直線3x－2y＝0關(guān)于點

對稱的直線方程為A.2x－3y＝0 B.3x－2y－2＝0C.x－y＝0 D.2x－3y－2＝0√題型三對稱問題所以所求直線方程為3x－2y－2＝0.方法二在直線3x－2y＝0上任取兩點O(0,0)，M(2,3)，√命題點2點關(guān)于直線對稱設(shè)點A(1,1)關(guān)于直線x＋y＋1＝0的對稱點為A′(x0，y0)，所以對稱點為A′(－2，－2)，命題點3直線關(guān)于直線的對稱問題例5兩直線方程為l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，則l1關(guān)于l2對稱的直線方程為A.3x－2y－4＝0 B.2x＋3y－6＝0C.2x－3y－4＝0 D.3x－2y－6＝0√設(shè)所求直線上任意一點M(x，y)，M關(guān)于直線x－y－2＝0的對稱點為M′(x1，y1)，①∵點M′在直線3x－2y－6＝0上，∴將①式代入，得3(y＋2)－2(x－2)－6＝0，化簡得2x－3y－4＝0，即為l1關(guān)于l2對稱的直線方程.對稱問題的求解策略(1)解決對稱問題的思路是利用待定系數(shù)法將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系求解.(2)中心對稱問題可以利用中點坐標公式解題，兩點軸對稱問題可以利用垂直和中點兩個條件列方程組解題.跟蹤訓練3已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2).求：(1)點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標；(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l對稱的直線m′的方程；在直線m上取一點，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點M′必在直線m′上.設(shè)對稱點為M′(a，b)，設(shè)直線m與直線l的交點為N，又m′經(jīng)過點N(4,3)，所以直線m′的方程為9x－46y＋102＝0.(3)直線l關(guān)于點A的對稱直線l′的方程.章節(jié)副標題04方法一在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點，如P(1,1)，Q(4,3)，則P，Q關(guān)于點A(－1，－2)的對稱點P′，Q′均在直線l′上，易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，所以l′的方程為2x－3y－9＝0.方法二因為l∥l′，所以設(shè)l′的方程為2x－3y＋C＝0(C≠1).因為點A(－1，－2)到兩直線l，l′的距離相等，所以由點到直線的距離公式，所以l′的方程為2x－3y－9＝0.返回課時精練章節(jié)副標題05一、單項選擇題1.已知直線l1經(jīng)過點A(2，a－1)，B(a,4)，且與直線l2：2x＋y－3＝0平行，則a等于A.－2

B.2

C.－1

D.1√12345678910111213141516123456789101112131415162.若直線ax－4y＋2＝0與直線2x＋5y＋c＝0垂直，垂足為(1，b)，則a＋b＋c等于A.－6

B.4

C.－10

D.－4√因為ax－4y＋2＝0與直線2x＋5y＋c＝0垂直，故2a－20＝0，解得a＝10，因為垂足為(1，b)，故a＋b＋c＝－4.123456789101112131415163.四邊形ABCD的四個頂點是A(3,0)，B(0,4)，C(4,7)，D(11,6)，則四邊形ABCD為A.矩形

B.菱形C.等腰梯形

D.直角梯形12345678910111213141516√∵kBC＝kAD，kAB≠kCD，∴BC∥AD，AB與CD不平行，∴四邊形ABCD為梯形，又∵kAD·kAB＝－1，∴AD⊥AB，∴四邊形ABCD為直角梯形.12345678910111213141516123456789101112131415164.在平面直角坐標系中，某菱形的一組對邊所在的直線方程分別為x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一組對邊所在的直線方程分別為3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，則|c1－c2|等于√因為菱形四條邊都相等，所以每條邊上的高也相等，且菱形對邊平行，1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516123456789101112131415166.使三條直線4x＋y－4＝0，mx＋y＝0,2x－3my－4＝0不能圍成三角形的實數(shù)m的值最多有A.3個

B.4個

C.5個

D.6個√要使三條直線不能圍成三角形，存在兩條直線平行或三條直線交于一點，若4x＋y－4＝0，mx＋y＝0平行，若mx＋y＝0，2x－3my－4＝0平行，若4x＋y－4＝0，2x－3my－4＝0平行，1234567891011121314151612345678910111213141516二、多項選擇題7.已知直線l過點P(1,2)，且點A(2,3)，B(4，－5)到直線l的距離相等，則l的方程可能是A.4x＋y－6＝0 B.x＋4y－6＝0C.3x＋2y－7＝0 D.2x＋3y－7＝0√12345678910111213141516√所以直線l的方程是y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0；當直線l經(jīng)過線段AB的中點(3，－1)時，12345678910111213141516由條件可知直線l平行于直線AB或過線段AB的中點，8.已知在以C(2,3)為直角頂點的等腰直角三角形ABC中，頂點A，B都在直線x－y＝1上，下列判斷中正確的是A.斜邊AB的中點坐標是(3,2)B.|AB|＝C.△ABC的面積等于4D.點C關(guān)于直線AB的對稱點的坐標是(4,1)√√12345678910111213141516√12345678910111213141516如圖，取AB的中點為P(x，y)，因為△ABC為以C為直角頂點的等腰直角三角形，所以CP⊥AB，即CP垂直于直線x－y＝1，則AB的中點P的坐標為(3,2)，故A正確；設(shè)點C關(guān)于直線AB的對稱點為點C1，則CC1的中點為點P，即xP＝＝3，所以

＝4，所以

＝－1，解得

＝1，即點C關(guān)于直線AB的對稱點的坐標是(4,1)，故D正確.12345678910111213141516三、填空題9.已知直線l1：2x＋y＋1＝0和直線l2：x＋ay＋3＝0，若l1⊥l2，則實數(shù)a的值為______；若l1∥l2，則l1與l2之間的距離為_____.12345678910111213141516－212345678910111213141516已知直線l1：2x＋y＋1＝0和直線l2：x＋ay＋3＝0，若l1⊥l2，則2＋a＝0，解得a＝－2；此時直線l2：2x＋y＋6＝0，顯然兩直線不重合，10.△ABC的頂點A(0，－2)，B(3,1)，C(－2,2).若AD⊥BC，垂足為點D，則點D的坐標為__________.12345678910111213141516又AD⊥BC，∴kAD＝5，∴直線AD方程為y＝5x－2，即5x－y－2＝0，123456789101112131415161234567891011121314151611.(2023·菏澤模擬)點A(5,2)到直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距離的取值范圍是__________.直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5可化為(x＋2y－1)m－x－y＋5＝0，所以直線過定點P(9，－4)，當點A在直線上時，點A(5,2)到直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距離的最小值為0，1234567891011121314151612.(2023·臨沂模擬)已知光線從點A(6,1)射出，到x軸上的點B后，被x軸反射到y(tǒng)軸上的點C，再被y軸反射，這時反射光線恰好經(jīng)過點D(4,4)，則CD所在直線的方程為_____________.12345678910111213141516x－2y＋4＝0如圖，由題意知點B在原點O的右側(cè)，直線BC一定過點A(6,1)關(guān)于x軸的對稱點A′(6，－1)，且一定過點D(4,4)關(guān)于y軸的對稱點D′(－4,4)，令x＝0，則y＝2，所以C點坐標為(0,2)，12345678910111213141516四、解答題13.(1)已知點A(a,6)到直線3x－4y＝2的距離d＝4，求a的值；1234567891011121314151612345678910111213141516(2)在直線x＋3y＝0上求一點P，使它到原點O的距離與到直線x＋3y－2＝0的距離相等.設(shè)點P(－3b，b)，1234567891011121314151614.已知△ABC的頂點A(5,1)，AB邊上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，∠B的平分線BN所在直線方程為x－2y－5＝0.求：(1)頂點B的坐標；12345678910111213141516設(shè)點B(x0，y0)，由AB中點在2x－y－5＝0上，即2x0－y0－1＝0，又x0－2y0－5＝0，1234567891011