江蘇省蘇州市昆山中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

江蘇省昆山中學(xué)2024—2025年第二學(xué)期高二模塊測(cè)試一試卷數(shù)學(xué)學(xué)科一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知函數(shù)，則（）A.0 B.1 C. D.4【答案】C【解析】【分析】直接求導(dǎo)計(jì)算即可.【詳解】由題意可得：故選：C2.正弦曲線在點(diǎn)處的切線斜率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】，所以，故選：D3.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后判斷導(dǎo)函數(shù)的奇偶性，最后根據(jù)圖像特征，通過(guò)賦值法判斷的符號(hào)即可求解.【詳解】∵，∴，∴，∴為奇函數(shù)，從而的圖像在區(qū)間上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由此可排除選項(xiàng)A、B，又∵，排除D，從而答案為C.故選：C.4.若在處取得極大值，則的值為（）A.或 B.或 C. D.【答案】C【解析】【分析】求出，由題意可得出，解出、的值，再結(jié)合題意進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得解.【詳解】因?yàn)?，則又在處取得極大值，，解得或，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在處取得極小值，與題意不符；當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在處取得極大值，符合題意，則，故選：C.5.設(shè)集合，集合，定義，則子集的個(gè)數(shù)是（）A. B. C. D.10【答案】B【解析】【分析】根據(jù)所給的兩個(gè)集合的元素，寫(xiě)出兩個(gè)集合的交集和并集，根據(jù)新定義的集合規(guī)則，得到和分別有種和種情況，最后由分步計(jì)數(shù)原理得出的元素個(gè)數(shù)，再根據(jù)含有個(gè)元素的集合有個(gè)子集計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，，又，則有2種情況，有5種情況，則由乘法原理可得元素個(gè)數(shù)有個(gè)，所以子集的個(gè)數(shù)是.故選：B6.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為解不等式求解.【詳解】由知，，又，故為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，所以由可得，平方得：，解得，故選：D7.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)可求得，；分別代入和，整理可得的大小關(guān)系.【詳解】令，則，在上單調(diào)遞增，，即，，，即；令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，即；綜上所述：.故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查與指數(shù)、對(duì)數(shù)有關(guān)的大小關(guān)系的比較，解題基本思路是能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值大小關(guān)系的比較，進(jìn)而通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方式，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性，從而得到兩函數(shù)的大小關(guān)系.8.已知直線與曲線相交于A，B兩點(diǎn)，與曲線相交于B，C點(diǎn)，A，B，C的橫坐標(biāo)分別為，則下列等式中不成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，利用導(dǎo)數(shù)分別求得函數(shù)和的單調(diào)性和最大值，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用圖象結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，令..，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，又由函數(shù)，可得，令，可得，當(dāng)當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，作出兩個(gè)函數(shù)和的圖象，如圖所示，由，可得，所以A正確；因?yàn)榍以谏蠁握{(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，所以，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)榍以谏蠁握{(diào)遞減，又因?yàn)椋?，所以，所以C正確；由，所以D正確.故選：B二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.甲工廠八年來(lái)某種產(chǎn)品年產(chǎn)量與時(shí)間（單位：年）的函數(shù)關(guān)系如圖所示．現(xiàn)有下列四種說(shuō)法正確的有（）A.前四年該產(chǎn)品產(chǎn)量增長(zhǎng)速度越來(lái)越快 B.前四年該產(chǎn)品產(chǎn)量增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢C.第四年后該產(chǎn)品停止生產(chǎn) D.第四年后該產(chǎn)品年產(chǎn)量保持不變．【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得答案.【詳解】設(shè)產(chǎn)量與時(shí)間的關(guān)系為，由題圖可知在點(diǎn)，，，處的切線的斜率越來(lái)越小，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，前四年該產(chǎn)品產(chǎn)量增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，故A錯(cuò)誤，B正確；由題圖可知從第四年開(kāi)始產(chǎn)品產(chǎn)量不發(fā)生變化，且，故C錯(cuò)誤，D正確，故說(shuō)法正確的有BD．故選：BD10.身高各不相同的六位同學(xué)站成一排照相，則說(shuō)法正確的是（

）A.A、C、D三位同學(xué)從左到右按照由高到矮的順序站，共有120種站法B.A與同學(xué)不相鄰，共有種站法C.A、C、D三位同學(xué)必須站在一起，且A只能在C與D的中間，共有144種站法D.A不在排頭，B不在排尾，共有504種站法【答案】ABD【解析】【分析】由定序排列即可判斷A；由插空法即可判斷B；由捆綁法即可判斷C；分類討論A的位置即可判斷D．【詳解】對(duì)于A，將三位同學(xué)從左到右按照由高到矮的順序站，共有種站法，故A正確；對(duì)于B，先排，共有種站法，A與同學(xué)插空站，有種站法，故共有種站法，故B正確；對(duì)于C，將三位同學(xué)捆綁在一起，且A只能在C與D的中間，有2種情況，捆綁后有種站法，故共有種站法，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)在排尾時(shí)，隨意站，則有種站法；當(dāng)不在排頭也不在排尾時(shí)，有種，有種，剩下同學(xué)隨意站有種，共有種，故A不在排頭，B不在排尾，共有種站法，故D正確；故選：ABD．11.若函數(shù)在定義域D內(nèi)的某個(gè)區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)，且在區(qū)間I上也是單調(diào)增函數(shù)，則稱是I上的“一致遞增函數(shù)”.已知，若函數(shù)是區(qū)間I上的“一致遞增函數(shù)”，則區(qū)間I可能是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)和分別求導(dǎo)，結(jié)合選項(xiàng)，判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)可得答案.【詳解】，，，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增；由，令，則，此時(shí)，、恒成立，，也即在單調(diào)遞減，，則函數(shù)在單調(diào)遞增，又有是的子集，故A、B滿足.當(dāng)時(shí)，，，在時(shí)，，在時(shí)，，可能大于，也可能小于，故C不滿足.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，，函數(shù)在單調(diào)遞增，故D滿足.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為15，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)___________.【答案】1【解析】【分析】由已知可得，再由函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為15，得，從而可求出實(shí)數(shù)的值【詳解】由區(qū)間可知，可得，又由，解得.故答案為：113.已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】由于函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間上存在極值點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)分類討論，求出極值點(diǎn)，根據(jù)極值點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，可得關(guān)于的不等式，即可求出結(jié)果．【詳解】由.①當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，不合題意；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極值點(diǎn)為，若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，必有，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由于函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間上存在極值點(diǎn)，這是解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)和突破點(diǎn).14.已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】利用轉(zhuǎn)化法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想進(jìn)行求解即可.【詳解】由于，方程等價(jià)于，即依題意與圖象有四個(gè)交點(diǎn)，令，若，令，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)，取最大值，，若，，當(dāng)當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)，的最小值，，函數(shù)的圖象如下圖所示：所以與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)，.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用轉(zhuǎn)化法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.一場(chǎng)晚會(huì)有4個(gè)演唱節(jié)目和2個(gè)舞蹈節(jié)目，要求排出一個(gè)節(jié)目單.（1）2個(gè)舞蹈節(jié)目不排在開(kāi)始和結(jié)尾，有多少種排法？（2）前三個(gè)節(jié)目要有舞蹈節(jié)目，有多少種排法？【答案】（1）288（2）576【解析】【分析】（1）特殊元素優(yōu)先考慮，先排好有條件限制的首尾兩個(gè)位置，再全排，再利用分步計(jì)數(shù)原理即可得出結(jié)果.（2）利用“正難則反”，先全排，再去掉不符合條件的排法數(shù)即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】先從4個(gè)演唱節(jié)目中選兩個(gè)排在首尾兩個(gè)位置有種排法，再將剩余的2個(gè)演唱節(jié)目，2個(gè)舞蹈節(jié)目排在中間4個(gè)位置上有種排法，故共有不同排法(種).【小問(wèn)2詳解】先不考慮排列要求，有種排法，其中前三個(gè)節(jié)目沒(méi)有舞蹈節(jié)目的情況，可先從4個(gè)演唱節(jié)目中選3個(gè)節(jié)目排在前三個(gè)位置，然后將剩余三個(gè)節(jié)目排列在后三個(gè)位置，有種排法，所以前三個(gè)節(jié)目要有舞蹈節(jié)目的排法有(種).16.已知函數(shù)，點(diǎn)在曲線上．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（3）求曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程．【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)過(guò)點(diǎn)，代入即可求解；（2）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而利于點(diǎn)斜式求出切線方程；（3）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線的斜率為，表示出切線方程，再利用點(diǎn)在切線上，解出，從而得到切線方程.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：，則點(diǎn)處的切線的斜率為，所以切線方程為：，即；【小問(wèn)3詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線的斜率為，所以切線方程為：，將點(diǎn)代入切線方程得：，則，解得或，所以切線方程為：或.17.有一矩形硬紙板材料（厚度忽略不計(jì)），一邊長(zhǎng)為分米，另一邊足夠長(zhǎng).現(xiàn)從中截取矩形（如圖甲所示），再剪去圖中陰影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一個(gè)底面是弓形的柱體包裝盒（如圖乙所示，重疊部分忽略不計(jì)），其中是以為圓心、的扇形，且弧、分別與邊、相切于點(diǎn)、.（1）當(dāng)長(zhǎng)為分米時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)是多少分米時(shí)，折卷成的包裝盒的容積最大？并求容積的最大值【答案】（1）分米（2）當(dāng)分米時(shí)，折卷成的包裝盒容積最大，最大值為立方分米【解析】【分析】（1）在圖甲中，連接交于點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)可求得的值，再利用的長(zhǎng)度等于的長(zhǎng)度可求得的長(zhǎng)；（2）設(shè)，則，其中，利用柱體的體積公式可得出包裝盒的容積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)可求得該包裝盒的容積的最大值.【小問(wèn)1詳解】解：在圖甲中，連接交于點(diǎn)，設(shè)，圖甲在中，易知為的中點(diǎn)，則，則，所以，，所以，則，，等于的長(zhǎng)度，所以，，則，因?yàn)椋?，，所以，?dāng)長(zhǎng)為分米時(shí)，的長(zhǎng)為分米.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)，則，則所得柱體的底面積.又所得柱體的高，所以，其中.令，，則由，解得，列表如下：x增極大值減所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，并且.所以當(dāng)分米時(shí)，折卷成的包裝盒容積最大，最大值為立方分米.18.已知函數(shù)．（1）若，求的極值；（2）討論的單調(diào)性；（3）若對(duì)任意，有恒成立，求整數(shù)m的最小值．【答案】（1）極大值為，無(wú)極小值．（2）分類討論，答案見(jiàn)解析.（3）1【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，然后可得；（2）求導(dǎo)，分，討論可得；（3）參變分離，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立問(wèn)題，記，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值所在區(qū)間可得.【小問(wèn)1詳解】的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，令，解得當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減．所以在時(shí)取得極大值為，無(wú)極小值．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，在上恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，，則上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．【小問(wèn)3詳解】因?yàn)閷?duì)任意，恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立．設(shè)，則．設(shè)，，則上單調(diào)遞減，因?yàn)?，，所以，使得，即．?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以．因?yàn)?，所以，故整?shù)的最小值為1．【點(diǎn)睛】本題第三問(wèn)屬于恒成立問(wèn)題,恒成立問(wèn)題比較常見(jiàn)的處理方法之一便是參變分離法,然后構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化問(wèn)函數(shù)最值問(wèn)題,利用導(dǎo)數(shù)可解.19.材料一：“裝錯(cuò)信封問(wèn)題”是由數(shù)學(xué)家約翰·伯努利的兒子丹尼爾·伯努利提山來(lái)的，大意如下：一個(gè)人寫(xiě)了n封不同的信及相應(yīng)的n個(gè)不同的信封，他把這n封信都裝錯(cuò)了信封，問(wèn)都裝錯(cuò)信封的裝法有多少種？后來(lái)用瑞士數(shù)學(xué)家歐拉給出了解答：記n封信都裝錯(cuò)的情況為種，可以用全排列減去有裝正確的情況種數(shù)，即，其中.材料二：英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：若在處階可導(dǎo)，則有，其中表示的n階導(dǎo)數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式.閱讀以上材料后請(qǐng)完成以下問(wèn)題：（1）求出的值；（2）寫(xiě)出函數(shù)麥克勞林公式，并用e和n估計(jì)